Forecasting aftershock activity: 5. Estimating the duration of hazardous period

Cover Page

Abstract


Continuing the series of publications on aftershock hazard assessment, we consider the problem of estimating the time interval after a strong earthquake that is prone to the aftershocks which may pose an independent hazard. The distribution model of this quantity is constructed which depends on three parameters of the Omori–Utsu law. With appropriate averaged parameter estimates, the model fairly closely fits the real (empirical) distributions of this quantity on the global and regional scale. A key parameter in the model is the expected number of aftershocks of a given magnitude. This number broadly varies from earthquake to earthquake which determines a wide confidence variant of the estimates based on the averaged parameters. Therefore, for forecasting the duration of the hazardous aftershock-prone period we propose to use two variants of the estimates. The first variant is based only on the averaged parameter estimates for a region under study and on the value of the magnitude of the earthquake. This variant is applicable immediately after a strong earthquake. The second variant employs information about the aftershocks that occurred during the first few hours after the earthquake, which improves the forecast considerably.


Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Эта статья является продолжением серии по проблеме прогнозирования опасности повторных толчков после сильных землетрясений. В данной работе ставится задача оценить распределение вероятности времени, в течение которого после сильного землетрясения могут продолжаться опасные афтершоки. Под опасными понимаются афтершоки с магнитудой Mm MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  2 или выше (Mm MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  магнитуда основного толчка). Однако в конце статьи приводится формула для пересчета оценок длительности периода афтершоков с магнитудой выше произвольного порога.

Эта задача на первый взгляд кажется эквивалентной задаче оценивания длительности периода афтершоков. В такой задаче порог по магнитуде обычно устанавливается равным представительной магнитуде каталога для данного региона. Но распределение длительности афтершоков, как будет показано в данной работе, сильно зависит от рассматриваемой минимальной магнитуды, поэтому просто оценка длительности афтершоков не может использоваться для оценки периода опасных афтершоков. Кроме того, хорошо известно, что число афтершоков в единицу времени убывает со временем по степенному закону (закон Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Утсу [Utsu, 1961]):

 

λ t = K t+c p . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH7oaBdaqadaWdaeaapeGaamiD aaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maalaaapaqaa8qacaqGlbaapaqaa8 qadaqadaWdaeaapeGaamiDaiabgUcaRiaadogaaiaawIcacaGLPaaa paWaaWbaaSqabeaapeGaamiCaaaaaaGccaGGUaaaaa@4AC1@

(1)

Очевидно, что при p1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGWbGaeyizImQaaGymaaaa@4146@  последовательность афтершоков формально является бесконечной, что невозможно физически, поэтому такая зависимость возможна лишь на конечном отрезке времени. Возможны и весьма растянутые во времени реальные серии афтершоков длительностью десятки и более лет, например после серии Нью-Мадридских землетрясений 1811 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 1812 гг., M = 7.0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 7.4 [Stein, Liu, 2009]. Столь длительные периоды вряд ли представляют существенный практический интерес. Соответственно мы вводим ограничение по времени T и рассматриваем задачу в этом условном варианте, оценивая вероятность того, что на отрезке (t, T) не произойдет афтершоков магнитуды выше заданной.

Афтершоки часто сами сопровождаются сериями вторичных афтершоков. Включение этих афтершоков в общую последовательность приводит к отклонению убывания общего числа афтершоков в единицу времени от монотонного спадания, описываемого законом Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Утсу (1). Для описания такого ветвящегося процесса известный японский математик И. Огата, ученик Т. Утсу, работающий в области статистической сейсмологии, предложил модель, получившую название ETAS (Epidemic-type aftershock sequence MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Последовательность афтершоков эпидемического типа) [Ogata, 1989; 1999]. Эта модель получила широчайшее распространение, особенно в западной научной литературе, в том числе благодаря популяризации в большой серии публикаций с участием Д. Сорнета и А. Хельмстеттер (см., например [Sornette, Helmstetter, 2002]. ETAS-модель, а также ее вариант, учитывающий пространственное распределение [Zhuang et al., 2004], широко используются для оценки сейсмической опасности афтершоков, в том числе для оценивания продолжительности серии афтершоков [Hainzl et al., 2016]. В оригинальном варианте модель ETAS представляет собой суперпозицию независимых последовательностей, подчиняющихся закону Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Утсу, при этом новое событие «порождает» свою последовательность с интенсивностью, зависящей от магнитуды:

 

λ t =μ+ i, t i <t K 1 10 α M i M min t t i +c p , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH7oaBdaqadaWdaeaapeGaamiD aaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iabeY7aTjabgUcaRmaawafabeWcpa qaa8qacaWGPbGaiWgGcYcacaaMi8UaamiDa8aadaWgaaadbaWdbiaa dMgaa8aabeaal8qacqGH8aapcaWG0baabeqdpaqaa8qacqGHris5aa GcdaWcaaWdaeaapeGaam4sa8aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabeaa k8qacaaIXaGaaGima8aadaahaaWcbeqaa8qacqaHXoqydaqadaWdae aapeGaamyta8aadaWgaaadbaWdbiaadMgaa8aabeaal8qacqGHsisl caWGnbWdamaaBaaameaapeGaamyBaiaadMgacaWGUbaapaqabaaal8 qacaGLOaGaayzkaaaaaaGcpaqaa8qadaqadaWdaeaapeGaamiDaiab gkHiTiaadshapaWaaSbaaSqaa8qacaWGPbaapaqabaGcpeGaey4kaS Iaam4yaaGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWcbeqaa8qacaWGWbaaaaaa kiaacYcaaaa@6910@

(2)

где: t i MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOWxh9frVeeu0dXdh9vqqj =hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXd ar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr0=vqpWqaaeaabiGaciaadaqabeaaea qaauaaaOqaaabaaaaaaaaapeGaamiDa8aadaWgaaWcbaWdbiaadMga a8aabeaaaaa@3D64@  и M i MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaamyA aaWdaeqaaaaa@3FFC@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  время и магнитуда i-ого события; μ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  частота событий так называемой фоновой сейсмичности; K1, α MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  константы; c, p MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  параметры закона Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Утсу.

Для прогноза активности афтершоков после сильных землетрясений по модели ETAS обычно используется «сценарный» подход. Параметры μ, K1, α, c и p оцениваются по данным за какой-либо период времени (это может быть начальная часть афтершоковой серии одного сильного землетрясения) из некоторой области пространства. Затем производится многократная симуляция модели с полученными значениями параметров, и распределение искомой величины (например, времени последнего афтершока заданной магнитуды) оценивается по наблюденной в реализациях модели частоте. При этом, однако, возникает ряд проблем, требующих введения в модель дополнительных условий и ограничений, часто мало обоснованных. К наиболее существенным для рассматриваемой в данной работе задачи следует отнести следующие проблемы.

Во-первых, при оценке параметров не учитывается локальная неполнота каталога сразу после землетрясения. Чем больше разность магнитуды инициирующего толчка и минимальной магнитуды рассматриваемых афтершоков, тем дольше интервал времени, в течение которого каталог неполон [Helmstetter et al., 2006; Shebalin, Baranov, 2017; Баранов и др., 2019].

Для оценки параметров модели (2) в принципе можно исключать начальные интервалы времени после каждого события, однако оценка параметра c при этом, очевидно, окажется весьма неточной. При численной симуляции модели также придется исключать периоды времени после событий. Именно так оценивается длительность серии афтершоков, например, в работе [Hainzl et al., 2016]. С учетом того, что именно для малых времен после событий, как следует из модели (2), интенсивность потока генерируемых событий велика, а каждое событие в исключаемом интервале также должно порождать свои афтершоки, такой подход представляется нам лишь техническим решением, позволяющим избежать при численной симуляции появление расходящихся последовательностей.

Во-вторых, как следует из модели (2), количество непосредственных афтершоков (то есть не являющихся афтершоками афтершоков) любого события зависит только от разности магнитуды этого события и рассматриваемой минимальной магнитуды, так как параметры K1 и α считаются константами. Вместе с тем, хорошо известно, что количество афтершоков может варьировать в пределах нескольких порядков [Marsan, Helmstetter, 2017] и, более того, эта величина, при фиксированной разности магнитуды основного толчка и минимальной рассматриваемой магнитуды имеет экспоненциальный вид распределения с максимумом в нуле [Шебалин и др., 2018]. В силу значительной нелинейности временных зависимостей в (2) использование этой модели неизбежно приведет к завышенным оценкам длительности серии афтершоков.

В-третьих, в модели ETAS предполагается, что интенсивность порождаемого потока афтершоков после главных толчков и после афтершоков зависит лишь от магнитуды «порождающего» события. Это удобная для стохастической модели схема, представляющая афтершоковый процесс как прямой каскад разрушений [Смирнов и др., 2010]. Вместе с тем, как главный толчок, так и афтершоки происходят в результате высвобождения накопленной в течение длительного времени упругой энергии и, таким образом, имеют общую причину. Поэтому представление о том, что каждое сейсмическое событие «порождает» свои афтершоки вряд ли правомерно. Каждое событие лишь локально ускоряет процесс релаксации напряжений и поэтому с течением времени после основного сброса напряжений количество событий в таких всплесках при равных магнитудах уменьшается [Шебалин, 2018]. Применимость представлений об афтершоковых процессах тектонических землетрясений как о прямом каскаде разрушения ставится под сомнение также недавним наблюдением независимости магнитуд таких афтершоков от времени [Баранов, Шебалин, 2019].

Таким образом, модель ETAS, несмотря на общепринятый в западной литературе статус парадигмы в решении задач прогнозирования активности афтершоков, для поставленной в данной работе задачи не применима, во всяком случае, в существующих в настоящее время модификациях.

Другой парадигмой в западных публикациях по исследованию афтершоков является модель, основанная на нелинейном трении (rate-and-state friction) [Dietrich, 1994]. Интенсивность потока афтершоков в этой модели определяется скачком напряжений Δσ: MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqGHuoarcqaHdpWCcaGG6aaaaa@41CA@

 

λ t = μ 1+ e Δσ Aσ 1 e t t r μ, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH7oaBdaqadaWdaeaapeGaamiD aaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maalaaapaqaa8qacqaH8oqBa8aaba WdbiacacO0aaaaigdacWaGaknaaaGHRaWkdGaGaknaaaqabaqaiaiG sdaaamacacO0aaaaDaaaleacacO0aaaaaeacacO0aaaaaaaakiacac O0aaaawIcaaiac8c4GLbWdamac8cihaaWcbKaVagac8c4dbiad8cTH sisldGaVqVaaa8aabGaVq=qacWaVqBiLdqKamWl0eo8aZbWdaeac8c 9dbiacOc9GbbGamWl0eo8aZbaaaaGccWaVaAOeI0IaiWlGigdadGaG as3=aaqacaqaiaiG09paamacaciD=daaDaaaleacaciD=daaaeacac iD=daaaaaakiacaciD=daawMcaaiacaciD=daadwgapaWaiaiG09pa aWbaaSqajaiG09paaeacaciD=daapeGamaiG09paayOeI0YaiaiG09 paaSaaa8aabGaGas3=aaWdbiacaciD=daadshaa8aabGaGas3=aaWd biacaciD=daadshapaWaiaiG09paaSbaaWqaiaiG09paa8qacGaGas 3=aaWGYbaapaqajaiG09paaaaaaaaaaaGcpeGaeyOeI0IaeqiVd0Ma aiilaaaa@B061@

(3)

где: μ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  по-прежнему интенсивность потока фоновых событий; Aσ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGbbGaeq4Wdmhaaa@406B@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  сопротивление трения; t r MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaamOC aaWdaeqaaaaa@402C@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  период затухания афтершоков, который обратно пропорционален скорости тектонической деформации τ ˙ , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacuaHepaDpaGbaiaapeGaaiilaaaa @407F@   t r =Aσ/ τ ˙ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaamOC aaWdaeqaaOWdbiabg2da9iaadgeacqaHdpWCcaGGVaGafqiXdq3day aacaWdbiaac6caaaa@4727@  Выражение (3) близко совпадает с законом Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Утсу (1) при p = 1, K=μ  t r MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGlbGaeyypa0JaeqiVd0MaaiiO aiaadshapaWaaSbaaSqaa8qacaWGYbaapaqabaaaaa@44DC@  и c= t r / e σ Aσ 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGJbGaeyypa0ZaaSGbaeaacaWG 0bWdamaaBaaaleaapeGaamOCaaWdaeqaaaGcpeqaamaabeaabaWaa0 baaSqaaaqaaaaaaOGaayjkaaaaaiacacij=daadwgapaWaiaiGK8pa aWbaaSqajaiGK8paaeacacij=daapeGamaiGK8puayOeI0YaiaiGK8 puaSaaa8aabGaGasY=qbWdbiadacij=dfaeo8aZbWdaeacacij=dfa peGaiaiGK8puamyqaiadacij=dfaeo8aZbaaaaGccWaGasY=aaGHsi slcGaGasY=aaaIXaWaiaiGi5paaeGaaeacacis+daadGaGaIK=aaqh aaWcbGaGaIK=aaaabGaGaIK=aaaaaaGccGaGaIK=aaGLPaaaaaa@78E8@  и экспоненциальным затуханием при t> t r MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bGaeyOpa4JaamiDa8aadaWg aaWcbaWdbiaadkhaa8aabeaaaaa@422D@  [Cocco et al., 2010]. Из модели следует, что длительность афтершоков тем больше, чем больше величина с. Недавно было установлено, что значение c зависит от глубины очага [Shebalin, Narteau, 2017]. Таким образом, в рассматриваемой в данной работе задаче необходимо учитывать глубину очага. Еще один параметр, определяющий масштаб времени афтершокового процесса, в соответствии с моделью (3) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  скорость тектонических деформаций. В работе [Toda, Stein, 2018] утверждается, что в районах медленных тектонических движений длительность процесса афтершоков может достигать сотен и даже тысяч лет, поэтому в таких районах афтершоковая сейсмичность преобладает над фоновой. В этой связи, при оценке длительности афтершоков важным элементом является алгоритм выделения афтершоков.

В настоящее время существует значительное число алгоритмов выделения кластеров сейсмических событий (фор- и афтершоков). До недавнего времени, в основном, использовались так называемые «оконные» методы, среди которых наиболее известным был метод работы [Gardner, Knopoff, 1974]. В США, начиная с середины 80-х годов, популярным стал алгоритм П. Ризенберга [Reasenberg, 1985], связывающий землетрясения с кластерами в соответствии с зонами пространственного и временного взаимодействия. В этом алгоритме кластеры обычно растут в размерах при обработке все большего количества землетрясений. К существенным недостаткам метода следует отнести частую идентификацию ложных афтершоков. Метод Ризенберга часто применяется без оценивания результатов и с повсеместным использованием значений параметров, оптимизированных для сейсмичности Центральной̆ Калифорнии.

Важным шагом в развитии методов идентификации афтершоков стал метод, описанный в работе [Molchan, Dmitrieva, 1991; 1992]. В этом алгоритме отличие афтершоковой последовательности от потока фоновых землетрясений определяется различием функций распределения во времени и пространстве (двумерная Гауссова функция в пространстве и степенная во времени MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  закон Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ для афтершоков и Пуассоновский поток с равномерной плотностью для фоновой сейсмичности). При идентификации афтершоков возможны ошибки двух типов: отнесение афтершока к группе фоновых событий и, наоборот, идентификация фонового события как афтершока. Алгоритм строится таким образом, чтобы уравнять эти ошибки, что обеспечивает равенство математического ожидания количества идентифицированных афтершоков их истинному значению. Недостаток этого метода в редких случаях проявляется в виде неоднозначности решения. Это происходит при специфической конфигурации афтершоковой области, когда она состоит из двух разделенных между собою областей c сильными афтершоками, приуроченными к противоположным концам очага. Другой недостаток MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ при локально небольшом числе событий  участвующих в анализе, очевидные афтершоки могут идентифицироваться как фоновые события. Алгоритм стал популярен у российских исследователей благодаря свободно распространяемому компьютерному коду, подготовленному В. Б. Смирновым [2009].

Широкое применение модели ETAS привело к появлению стохастических методов декластеризации [Zhuang et al., 2002; Marsan, Lengline, 2010]. Ядром метода декластеризации, основанном на пространственно-временном варианте модели ETAS [Zhuang et al., 2002], является расчетная интенсивность фона. Эта интенсивность является функцией пространства, но не времени, и параметров, связанных с кластерными структурами. Алгоритм строится на оценке параметров модели и генерировании с помощью датчика случайных чисел цепочек событий, в каждой из которых каждый «предок» может иметь несколько «потомков», но каждый «потомок» имеет лишь одного «предка». Для выбора конкретного «предка» из всех вероятных, используется датчик случайных чисел и, таким образом, нет единственного решения. Оценка вероятности того, что конкретное событие является фоновым или инициированным проводится по соответствующей частоте проявления в большом количестве реализаций. Метод работы [Marsan, Lengline, 2010] предусматривает использование более широкого класса моделей. В этом алгоритме декомпозиция каталога на кластеры также осуществляется с помощью датчика случайных чисел, поэтому для практических целей необходимо использовать множество реализаций. В обоих алгоритмах оценки параметров модели весьма неустойчивы из-за большого числа параметров (выше уже говорилось о проблемах оценки параметров более простой модификации модели ETAS). Поэтому, несмотря на кажущуюся возможность более точного выделения непосредственных афтершоков какого-либо землетрясения, в рассматриваемой в данной работе задаче эти алгоритмы вряд ли применимы.

В кластерном подходе для идентификации афтершоков многими исследователями предпринимались попытки ввести определение обобщенного расстояния в пространстве MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ времени. Удачной оказалась метрика η, предложенная в работе [Baiesi, Paczuski. 2004], учитывающая фрактальные свойства пространственного распределения сейсмичности и повторяемость событий разной магнитуды в соответствии с законом Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Рихтера [Gutenberg, Richter, 1954]:

 

η ij = t j t i r ij d f e b M i ,   t j > t i                ,                      t j t i , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH3oaApaWaaSbaaSqaa8qacaWG PbGaamOAaaWdaeqaaOWdbiabg2da9maaceaapaqaauacaciW+daabe qaceaaaeacaciW+daapeWaiaiGa7paaeWaa8aabGaGacS=aaWdbiac aciW+daadshapaWaiaiGa7paaSbaaSqaiaiGa7paa8qacGaGacS=aa WGQbaapaqajaiGa7paaaGcpeGamaiGa7paayOeI0IaiaiGa7paamiD a8aadGaGacS=aaWgaaWcbGaGacS=aaWdbiacaciW+daadMgaa8aabK aGacS=aaaaaOWdbiacaciW+daawIcacGaGacS=aaGLPaaacGaGacS= aaWGYbWdamacaciW+daaDaaaleacaciW+daapeGaiaiGa7paamyAai acaciW+daadQgaa8aabGaGacS=aaWdbiacaciW+daadsgapaWaiaiG a7paaSbaaWqaiaiGa7paa8qacGaGacS=aaWGMbaapaqajaiGa7paaa aaaOWdbiacaciW+daadwgapaWaiaiGa7paaWbaaSqajaiGa7paaeac aciW+daapeGamaiGa7paayOeI0IaiaiGa7paamOyaiacaciW+daad2 eapaWaiaiGa7paaSbaaWqaiaiGa7paa8qacGaGacS=aaWGPbaapaqa jaiGa7paaaaaaOWdbiacaciW+daacYcacGaGacS=aaGGGcGaiaiGa7 paaiiOaiaadshapaWaaSbaaSqaa8qacaWGQbaapaqabaGcpeGaeyOp a4JaamiDa8aadaWgaaWcbaWdbiaadMgaa8aabeaaaOqaiaiGa7paa8 qacGaGacS=aaGGGcGaiaiGa7paaiiOaiacaciW+daacckacGaGacS= aaGGGcGaiaiGa7paaiiOaiacaciW+daacckacGaGacS=aaGGGcGaia iGa7paaiiOaiacaciW+daacckacGaGacS=aaGGGcGaiaiGa7paaiiO aiacaciW+daacckacGaGacS=aaGGGcGaiaiGa7paaiiOaiacaciW+d aacckacWaGacS=aaGHEisPcGaGacS=aaGGSaGaiaiGa7paaiiOaiac aciW+daacckacGaGacS=aaGGGcGaiaiGa7paaiiOaiacaciW+daacc kacGaGacS=aaGGGcGaiaiGa7paaiiOaiacaciW+daacckacGaGacS= aaGGGcGaiaiGa7paaiiOaiacaciW+daacckacGaGacS=aaGGGcGaia iGa7paaiiOaiacaciW+daacckacGaGacS=aaGGGcGaiaiGa7paaiiO aiacaciW+daacckacGaGacS=aaGGGcGaiaiGa7paaiiOaiacaciW+d aacckacGaGacS=aaGGGcGaiaiGa7paamiDa8aadGaGacS=aaWgaaWc bGaGacS=aaWdbiacaciW+daadQgaa8aabKaGacS=aaaak8qacWaGac S=aaGHKjYOcGaGacS=aaWG0bWdamacaciW+daaBaaaleacaciW+daa peGaiaiGa7paamyAaaWdaeqcaciW+daaaOWdbiacaciW+daacYcaaa aacaGL7baaaaa@932F@

(4)

где: t i ,  t j MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaamyA aaWdaeqaaOWdbiaacYcacaaMe8UaaiiOaiaadshapaWaiGfGBaaale acyb4dbiacyb4GQbaapaqajGfGaaaa@495F@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  время событий с индексами i и j, годы; r ij   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGYbWdamaaBaaaleaapeGaamyA aiaadQgaa8aabeaak8qacaGGGcaaaa@424E@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  расстояние между эпицентрами (гипоцентрами), км; d f MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGKbWdamaaBaaaleaapeGaiigG dAgaa8aabeaaaaa@40FA@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  фрактальная размерность пространственного распределения эпицентров (гипоцентров) в рассматриваемой области; M i MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaamyA aaWdaeqaaaaa@3FFC@   MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  магнитуда события i; b MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  параметр закона Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Рихтера. Мы будем называть эту величину функцией близости.

Авторами, однако, не было предложено формальное правило для нахождения порогового значения. В работе [Zaliapin et al., 2008] были введены определения перемасштабированных времени и расстояния, произведение которых равно величине η. На графиках в этих координатах для пар событий в каталоге землетрясений Калифорнии и синтетическом каталоге на основе модели ETAS четко разделяются популяции независимых и взаимозависимых событий. В дальнейшем в работах [Zaliapin, Ben-Zion, 2013; 2016] сформулировали простой и четкий алгоритм построения кластеров связанных событий. В этом алгоритме каждое событие может иметь несколько «потомков» («offspring» в терминологии авторов), но каждый «потомок» может иметь только одного «предка» («parent» в терминологии авторов). Отметим, что такая иерархическая цепочка позволяет определить «ранг» афтершока, что может быть полезно, например, для выделения только непосредственных афтершоков, т. е. афтершоков первого ранга, для которых «предки» не являются «потомками» других событий. Главный недостаток этого метода состоит в том, что он не учитывает протяженность очага землетрясения. Кроме того, серия связанных между собой событий, выделяемых по этому методу, может оказаться значительно растянутой в пространстве и тогда эту серию уже неправомерно характеризовать как серию афтершоков какого-либо одного из сильнейших событий в этой серии.

Время возникновения последнего афтершока заданной магнитуды может существенно зависеть от определения афтершоков, то есть от алгоритма их идентификации. Мы рассмотрим несколько алгоритмов, включая алгоритм Молчана MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Дмитриевой и модификации метода Заляпина MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Бен-Зиона.

Задача оценки опасного периода афтершоков может рассматриваться и в несколько другой формулировке. Многими авторами рассматривалась задача оценки времени сильнейшего афтершока [Saichev, Sornette, 2005; Tahir et al., 2012; Shcherbakov et al., 2018]. Эта задача может решаться одновременно с задачей оценки магнитуды сильнейшего афтершока [Shcherbakov et al., 2018]. С практической точки зрения, на наш взгляд, более актуальна задача в нашей формулировке, поскольку не только наиболее сильный афтершок после землетрясения может представлять серьезную опасность.

Теоретическое решение поставленной задачи строится на модели афтершокового процесса, в соответствии с законом Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Утсу и с распределением Пуассона для числа афтершоков. Магнитудные пороги для прогноза и для оценки параметров могут различаться, в этом случае для экстраполяции мы используем закон Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Рихтера. Сравнение теоретических оценок с фактическими усредненными распределениями в разных регионах и для разных интервалов глубины очага показало хорошее совпадение теоретических и фактических распределений.

С учетом возможного практического использования мы предлагаем проводить оценку длительности опасного периода афтершоков в два этапа. На первом этапе, непосредственно после сильного землетрясения, предлагается использовать усредненную модель, зависящую только от разности магнитуды основного толчка и рассматриваемой минимальной магнитуды и от глубины очага. На втором этапе, через несколько часов после землетрясения (оптимальным представляется интервал в 12 часов), предлагается использовать оценки параметров закона Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Утсу по уже произошедшим афтершокам, если их число достаточно для оценки параметров.

Целью данной работы является, главным образом, разработка методики для получения чисто практических результатов, которые, в том числе, могут быть использованы в разрабатываемой автоматизированной системе прогнозирования опасности афтершоков AFCAST (www.afcast.org). Вместе с тем, впервые построенная модель распределения длительности опасного периода афтершоков, дающая хорошее совпадение с наблюдениями, служит и уточнению физических представлений о сейсмогенезе.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Для сопоставления теоретических и фактически наблюденных выборочных распределений вероятности длительности опасного периода афтершоков мы используем следующие данные: глобальный каталог землетрясений ANSS ComCat геологической службы США (USGS) [ANSS…]; каталог землетрясений Камчатки и Командорских островов Камчатского филиала ФИЦ ЕГС РАН [Каталог землетрясений Камчатки…], каталог землетрясений Кавказа ФИЦ ЕГС РАН, в который были добавлены данные сейсмологического бюллетеня Кавказа за 1971 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 1986 [Сейсмологический…] и исключены взрывы [Каталог землетрясений Кавказа…]; каталог землетрясений Байкала и Забайкалья Иркутского филиала ФИЦ ЕГС РАН [Каталог землетрясений Байкальского…]. Для построения эмпирических закономерностей и их сопоставления с теоретическими расчетами в работе рассматриваются серии афтершоков от землетрясений мира с магнитудой 6.5 и выше за период с 1980 по 2017 гг.; Камчатки и Курильских островов MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  с 1962 по октябрь 2018 гг. с магнитудой 6 и выше; Кавказ и Крым MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  с 1960 по май 2016 гг. с магнитудой 5 и выше; Байкал и Забайкалье MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  с 1960 по 2014 гг. с магнитудой 5.5 и выше.

МЕТОД ОЦЕНКИ

Мы рассматриваем афтершоки, имеющие магнитуду выше некоторого заданного порога. Порог может задаваться в зависимости от того, насколько опасны в данном регионе события такой магнитуды. Мы предполагаем, что изменение интенсивности потока афтершоков подчиняется закону Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Утсу [Utsu, 1961] (1). Плотность и функция распределения времени t произвольного афтершока для условного случая, когда рассматриваются времена в пределах некоторого интервала T (везде далее мы используем значение T = 365 сут.) после основного толчка, имеют вид [Holshneider et al., 2012]:

 

f t = D c,p 0,T 1+ t c p , F t = D c,p 0,T D c,p 0,t , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGMbWaaeWaa8aabaWdbiaadsha aiaawIcacaGLPaaacqGH9aqpdaWcaaWdaeaapeGaamira8aadaWgaa WcbaWdbiaadogacaGGSaGaamiCaaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qa caaIWaGaaiilaiaaysW7caWGubaacaGLOaGaayzkaaaapaqaa8qada qadaWdaeaapeGaaGymaiabgUcaRmaalaaapaqaa8qacaWG0baapaqa a8qacaWGJbaaaaGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWcbeqaa8qacaWGWb aaaaaakiaacYcacaGGGcGaamOramaabmaapaqaa8qacaWG0baacaGL OaGaayzkaaGaeyypa0ZaaSaaa8aabaWdbiaadseapaWaaSbaaSqaa8 qacaWGJbGaaiilaiaadchaa8aabeaak8qadaqadaWdaeaapeGaaGim aiaacYcacaaMe8UaamivaaGaayjkaiaawMcaaaWdaeaapeGaamira8 aadaWgaaWcbaWdbiaadogacaGGSaGaamiCaaWdaeqaaOWdbmaabmaa paqaa8qacaaIWaGaaiilaiaaysW7caWG0baacaGLOaGaayzkaaaaai aacYcaaaa@6CAB@

(5)

где

 

D c,p t 1 , t 2 = 1p /c 1+ t 2 c 1p 1+ t 1 c 1p , p1 1/c ln 1+ t 2 c ln 1+ t 1 c , p=1. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGebWdamaaBaaaleaapeGaam4y aiaacYcacaWGWbaapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaadshapaWaaS baaSqaa8qacaaIXaaapaqabaGcpeGaaiilaiaadshapaWaaSbaaSqa a8qacaaIYaaapaqabaaak8qacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0Zaaiqaa8 aabaqbaeqabiqaaaqaa8qadaWcaaWdaeaapeWaaeWaa8aabaWdbiaa igdacqGHsislcaWGWbaacaGLOaGaayzkaaGaai4laiaadogaa8aaba Wdbmaabmaapaqaa8qacaaIXaGaey4kaSYaaSaaa8aabaWdbiaadsha paWaaSbaaSqaa8qacaaIYaaapaqabaaakeaapeGaam4yaaaaaiaawI cacaGLPaaapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGymaiabgkHiTiaadchaaaGc cqGHsisldaqadaWdaeaapeGaaGymaiabgUcaRmaalaaapaqaa8qaca WG0bWdamaaBaaaleaapeGaaGymaaWdaeqaaaGcbaWdbiaadogaaaaa caGLOaGaayzkaaWdamaaCaaaleqabaWdbiaaigdacqGHsislcaWGWb aaaaaakiaacYcacaGGGcGaamiCaiabgcMi5kaaigdaa8aabaWdbmaa laaapaqaa8qacaaIXaGaai4laiaadogaa8aabaWdbiaadYgacaWGUb WaaeWaa8aabaWdbiaaigdacqGHRaWkdaWcaaWdaeaapeGaamiDa8aa daWgaaWcbaWdbiaaikdaa8aabeaaaOqaa8qacaWGJbaaaaGaayjkai aawMcaaiabgkHiTiaadYgacaWGUbWaaeWaa8aabaWdbiaaigdacqGH RaWkdaWcaaWdaeaapeGaamiDa8aadaWgaaWcbaWdbiaaigdaa8aabe aaaOqaa8qacaWGJbaaaaGaayjkaiaawMcaaaaacaGGSaGaaiiOaiaa dchacqGH9aqpcaaIXaGaaiOlaaaaaiaawUhaaaaa@83B3@

(6)

Мы предполагаем также, что для каждой серии число афтершоков в интервале (0, T) имеет распределение Пуассона со средним Λ:

 

p Λ k = Λ k k! e Λ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGWbWaaSbaaSqaaiabfU5ambqa baGcdaqadaWdaeaapeGaam4AaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maala aapaqaaiabfU5amnaaCaaaleqabaWdbiaadUgaaaaak8aabaWdbiaa dUgacaGGHaaaaiaadwgadaahaaWcbeqaaiabgkHiTiabfU5ambaaki aac6caaaa@4CD3@

(7)

Вероятность того, что все k афтершоков произойдут ранее момента τ, при условии τ < T, равна F τ k . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGgbWaaeWaa8aabaWdbiabes8a 0bGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWcbeqaa8qacaWGRbaaaOWdaiaac6 caaaa@4421@  Учитывая распределение (7) для величины k, по формуле полной вероятности получаем распределение вероятности времени τ последнего афтершока заданной магнитуды (при условии τ < T):

 

F Λ τ =  k=0 F τ k Λ k k! e Λ = e Λ 1F τ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGgbWdamaaBaaaleaapeGaeu4M dWeapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiabes8a0bGaayjkaiaawMcaai abg2da9iaacckadaGfWbqabSWdaeaapeGaam4Aaiabg2da9iaaicda a8aabaWdbiabg6HiLcqdpaqaa8qacqGHris5aaGccaWGgbWaaeWaa8 aabaWdbiabes8a0bGaayjkaiaawMcaa8aadaahaaWcbeqaa8qacaWG RbaaaOWaaSaaa8aabaWdbiabfU5am9aadaahaaWcbeqaa8qacaWGRb aaaaGcpaqaa8qacaWGRbGaaiyiaaaacaWGLbWdamaaCaaaleqabaWd biabgkHiTiabfU5ambaakiabg2da9iaadwgapaWaaWbaaSqabeaape GaeyOeI0Iaeu4MdW0aaiWaa8aabaWdbiaaigdacqGHsislcaWGgbWa aeWaa8aabaWdbiabes8a0bGaayjkaiaawMcaaaGaay5Eaiaaw2haaa aakiaac6caaaa@6847@

(8)

Дифференцирование (8) дает выражение для плотности вероятности:

 

f Λ τ =Λf τ e Λ 1F τ .  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGMbWdamaaBaaaleaapeGaeu4M dWeapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiabes8a0bGaayjkaiaawMcaai abg2da9iabfU5amjacOc4GMbWaaeWaa8aabaWdbiabes8a0bGaayjk aiaawMcaaiaadwgapaWaaWbaaSqabeaapeGaeyOeI0Iaeu4MdW0aai Waa8aabaWdbiaaigdacqGHsislcaWGgbWaaeWaa8aabaWdbiabes8a 0bGaayjkaiaawMcaaaGaay5Eaiaaw2haaaaakiaac6cacaGGGcaaaa@59CE@

(9)

Отметим, что выражение (8) не обращается в 0 при τ = 0. Это связано с тем, что всегда существует вероятность того, что у землетрясения не будет ни одного афтершока рассматриваемой магнитуды, которая тем больше, чем меньше величина Λ. Эта величина при прочих равных условиях может варьировать от землетрясения к землетрясению на два порядка и более [Marsan, Helmstetter, 2017]. При фиксированном пороге рассматриваемых магнитуд относительно магнитуды соответствующего основного толчка глобальное и региональные распределения величины Λ имеют экспоненциальный вид [Шебалин и др., 2018]:

 

f Λ = Λ 0 1 e Λ Λ 0 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGMbWaaeWaa8aabaWdbiabfU5a mbGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iabfU5am9aadaqhaaWcbaWdbiaaic daa8aabaWdbiabgkHiTiaaigdaaaGccaWGLbWdamaaCaaaleqabaWd biabgkHiTmaalaaapaqaa8qacqqHBoata8aabaWdbiabfU5am9aada WgaaadbaWdbiaaicdaa8aabeaaaaaaaOWdbiaac6caaaa@4E77@

(10)

Оценкой Λ0 является среднее число афтершоков в серии. Согласно работе С.Л. Соловьева и О.Н. Соловьевой [1962] Λ0 убывает с глубиной основного толчка. Это свойство является дополнительным аргументом необходимости учета глубины в настоящем исследовании.

Таким образом, величина Λ в конкретных сериях часто имеет значения, близкие 0. Для таких серий уже через короткое время после основного толчка вероятность сильных повторных толчков невелика. Для усредненных оценок, очевидно, необходимо учитывать распределение (10). Исходя из (8) и (9) получаем усредненные функцию распределения и плотность величины τ (при условии τ < T):

 

 

FΛ¯τ=0FτfΛd==1Λ00eΛΛ0eΛ1FτdΛΛ=11+Λ01Fτ ,

(11)

 

f Λ ¯ τ = Λ 0 f τ 1+ Λ 0 1F τ 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaa0aaaeaaqaaaaaaaaaWdbiaadAgadaWgaaWcbaGa eu4MdWeabeaaaaGcdaqadaWdaeaapeGaeqiXdqhacaGLOaGaayzkaa Gaeyypa0ZaaSaaa8aabaGaeu4MdW0aaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqa baGcpeGaamOzamaabmaapaqaa8qacqaHepaDaiaawIcacaGLPaaaa8 aabaWdbmaacmaabaGaaGymaiabgUcaRiabfU5am9aadaWgaaWcbaWd biaaicdaa8aabeaak8qadaWadaWdaeaapeGaaGymaiabgkHiTiaadA eadaqadaWdaeaapeGaeqiXdqhacaGLOaGaayzkaaaacaGLBbGaayzx aaaacaGL7bGaayzFaaWdamaaCaaaleqabaWdbiaaikdaaaaaaOGaai Olaaaa@5C4C@

(12)

Ключевым параметром в распределении (11) является величина Λ0, которая определяет значение функции вероятности при τ = 0. Чем меньше значение Λ0, тем выше вероятность вообще не иметь афтершоков соответствующей магнитуды. Величина Λ0 зависит от выбранного порога магнитуды относительно магнитуды основного толчка. Удобной величиной этого порога является MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 2.0. Это существенно ниже средней разности магнитуды сильнейшего афтершока и основного толчка (закон Бота [Bath, 1965; Баранов, Шебалин, 2018]), но достаточно высоко, чтобы в большинстве случаев обеспечить превышение порога представительной магнитуды. Везде в дальнейшем мы будем использовать именно такой относительный порог по магнитуде. Соответственно, для величин Λ0 и τ в (11) и (12) будут использоваться обозначения Λ2 и τ2. Для параметра Λ, определяемого для каждой серии афтершоков, мы сохраним при данном пороге то же обозначение везде далее кроме специально оговоренных случаев. Мы предполагаем [Баранов, Шебалин, 2019], что в афтершоковой последовательности магнитуды не зависят от времени и распределены по закону Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Рихтера, поэтому величины Λ0 и Λ могут быть пересчитаны для любого относительного порога магнитуды, а распределение длительности опасного периода τ затем пересчитано по формулам (8), (11).

ВЫБОР АЛГОРИТМА ИДЕНТИФИКАЦИИ АФТЕРШОКОВ

Фактические значения величины τ зависят от того, какие события считаются афтершоками определенного основного толчка. Здесь будет рассмотрено четыре разных алгоритма и построены эмпирические распределения величины τ для серий афтершоков от землетрясений мира с магнитудой M m 6.5, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaamyB aaWdaeqaaOWdbiabgwMiZkaaiAdacaGGUaGaaGynaiaacYcaaaa@44C1@  выделенных этими способами.

Метод 1. Алгоритм Молчана MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbcKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A5@ Дмитриевой [1991], кратко описанный во Введении. Этот метод, по нашему мнению, является оптимальным при достаточно большом количестве афтершоков. Однако при малом числе афтершоков алгоритм может идентифицировать очевидные афтершоки как независимые (фоновые) события. В результате число землетрясений без афтершоков оказывается завышенным. Другой недостаток этого подхода MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@  идентификация статуса каждого события (афтершок или фоновое событие) зависит не только от предыстории, но и от будущих событий.

Метод 2. «Двойной оконный» метод. Большинство «оконных» методов являются изотропными, в них не учитываются ни протяженность очага основного толчка, ни его ориентация в пространстве. Здесь мы предлагаем очень простую модификацию «оконного» метода, в которой хотя бы частично эти недостатки устраняются. Мы полагаем, что афтершоки в течение первых 12 часов после основного толчка происходят в пределах его очага. Поэтому идентификация афтершоков производится в два этапа. На первом шаге стандартным «оконным» методом выделяются «базовые» афтершоки, которые произошли в течение 12 часов. На втором шаге тем же «оконным» методом уже в полном временном «окне» отыскиваются остальные афтершоки, при этом расстоянием до гипоцентра основного толчка считается расстояние до гипоцентра ближайшего к рассматриваемому кандидату базового афтершока.

В качестве пространственного окна принимается шар радиуса r 0 =α 10 0.5  M m . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGYbWdamaaBaaaleaapeGaaGim aaWdaeqaaOWdbiabg2da9iabeg7aHjaaigdacaaIWaWdamaaCaaale qabaWdbiaaicdacaGGUaGaaGynaiaacckacaWGnbWdamaaBaaameaa peGaamyBaaWdaeqaaaaakiaac6caaaa@4A97@  В данной задаче в качестве временного окна принимается интервал 0<tT. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaaIWaGaeyipaWJaamiDaiabgsMi JkaadsfacaGGUaaaaa@43D9@  В дальнейшем мы предполагаем найти способ задания временного окна для более универсального применения этого метода.

На обоих шагах исключаются события, являющиеся афтершоками другого землетрясения с M6.5, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbGaeyyzImRaaGOnaiaac6ca caaI1aGaaiilaaaa@435B@  гипоцентры которых расположены на меньшем относительном расстоянии до его гипоцентра. Относительное расстояние определяется путем деления фактического расстояния на соответствующую величину r 0 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGYbWdamaaBaaaleaapeGaaGim aaWdaeqaaOGaaiOlaaaa@40A9@

Метод 3. Афтершоки «первого ранга» MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbcKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A5@  модификация метода Заляпина MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbcKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A5@ Бен-Зиона [Zaliapin, Ben-Zion, 2013; 2016]. Афтершоками землетрясения i магнитуды M i 6.5  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaamyA aaWdaeqaaOWdbiabgwMiZkaaiAdacaGGUaGaaGynaiaacckaaaa@4531@  считаются события с величиной η ij MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH3oaApaWaaSbaaSqaa8qacaWG PbGaamOAaaWdaeqaaaaa@41C5@  (4), не превышающей значение η 0 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH3oaApaWaaSbaaSqaa8qacaaI WaaapaqabaGccaGGUaaaaa@415E@  Для исключения случайной идентификации в качестве афтершоков далеких событий вводится дополнительное ограничение r ij α  10 0.5  M i . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGYbWdamaaBaaaleaapeGaamyA aiaadQgaa8aabeaak8qacqGHKjYOcqaHXoqycqGHflY1caGGGcGaaG ymaiaaicdapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGimaiaac6cacaaI1aGaaiiO aiaad2eapaWaaSbaaWqaa8qacaWGPbaapaqabaaaaOGaaiOlaaaa@4FD3@  Исключаются также события с индексом j и величиной η kj < η ij , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH3oaApaWaaSbaaSqaa8qacaWG RbGaamOAaaWdaeqaaOWdbiabgYda8iabeE7aO9aadaWgaaWcbaWdbi aadMgacaWGQbaapaqabaGccaGGSaaaaa@4782@  если есть такое событие k, не являющееся афтершоком события i, что   t k < t j MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaGGGcGaamiDa8aadaWgaaWcbaWd biaadUgaa8aabeaak8qacqGH8aapcaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaam OAaaWdaeqaaaaa@44A9@  и   M k > M j . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaGGGcGaamyta8aadaWgaaWcbaWd biaadUgaa8aabeaakiaaygW7peGamWlGg6da+iaad2eapaWaiigGBa aaleacIb4dbiacIb4GQbaapaqajigGaOGaaiOlaaaa@4B90@  Этот подход уже использовался в работах [Shebalin, Narteau, 2017; Шебалин и др., 2018].

Метод 4. Афтершоки с учетом протяженного очага основного толчка MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbcKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A5@  модификация метода Заляпина MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbcKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A5@ Бен-Зиона [Zaliapin, Ben-Zion, 2013; 2016]. В этом методе мы используем идею «двойного оконного» метода. Отличие состоит в том, что вместо пространственного и временного окон используется порог η 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH3oaApaWaaSbaaSqaa8qacaaI Waaapaqabaaaaa@40A2@  для величины η ij MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH3oaApaWaaSbaaSqaa8qacaWG PbGaamOAaaWdaeqaaaaa@41C5@  (4). На первом шаге, тем не менее, вводится ограничение по времени 12 часов. На обоих шагах, как и в методе 3, вводится дополнительное ограничение r ij α  10 0.5  M i . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGYbWdamaaBaaaleaapeGaamyA aiaadQgaa8aabeaak8qacqGHKjYOcqaHXoqycqGHflY1caGGGcGaaG ymaiaaicdapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGimaiaac6cacaaI1aGaaiiO aiaad2eapaWaaSbaaWqaa8qacaWGPbaapaqabaaaaOGaaiOlaaaa@4FD3@  Для исключения афтершоков других землетрясений вместо относительного расстояния до ближайшего базового афтершока используется функция близости (4). При этом в качестве потенциальных основных толчков исключаемого события, так же как и в методе 3, могут быть любые предшествующие события с магнитудой большей или равной его магнитуде и не являющиеся рассматриваемым основным толчком, ни его афтершоками.

На рис. 1 для каждого из четырех методов показаны эмпирические функции распределения времени τ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@40BD@  последнего на интервале [0, 365 сут.] афтершока магнитуды M M m 2, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbGaeyyzImRaamyta8aadaWg aaWcbaWdbiaad2gaa8aabeaak8qacqGHsislcaaIYaGaaiilaaaa@450B@  а также суммарные функции распределения всех времен t и гипоцентральных расстояний r афтершоков относительно соответствующих основных толчков и кумулятивные графики повторяемости числа афтершоков K2 с магнитудой M M m 2. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbGaeyyzImRaamyta8aadaWg aaWcbaWdbiaad2gaa8aabeaak8qacqGHsislcaaIYaGaaiOlaaaa@450D@  Параметры α и η 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH3oaApaWaaSbaaSqaa8qacaaI Waaapaqabaaaaa@40A2@  для методов 2, 3 и 4 выбраны таким образом, чтобы распределения времен t и расстояний r минимально отличались от соответствующих распределений для метода 1.

Как видно из рисунка, распределение величины τ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@40BD@  для афтершоков, выделенных «двойным оконным» методом, значительно отличается. При τ 2 >100  MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI YaaapaqabaGcpeGaeyOpa4JaaGymaiaaicdacaaIWaGaaiiOaaaa@4532@ сут. начинает увеличиваться наклон графика, что, скорее всего, означает преобладание фоновых событий для этих времен. Таким образом, метод 2 требует доработки и пока не может использоваться для целей данной работы. Методы 3 и 4 дают очень близкие распределения величины τ 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI YaaapaqabaGccaGGUaaaaa@4179@  При этом обращает на себя внимание огромное различие значений параметра η 0 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH3oaApaWaaSbaaSqaa8qacaaI WaaapaqabaGccaGGUaaaaa@415E@  Значения параметров для метода 3 совпадают со значениями по работе [Zaliapin, Ben-Zion, 2016], а в методе 4 значение η 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaH3oaApaWaaSbaaSqaa8qacaaI Waaapaqabaaaaa@40A2@  почти на два порядка меньше. Поскольку в методе 4 неявным образом учитываются размеры и форма очага основного толчка, в данной работе мы отдаем предпочтение именно этому методу, и все дальнейшие результаты получены для афтершоков, выделенных этим методом.

 

Рис. 1. Эмпирические функции распределения длительности опасного периода афтершоков τ2 (а), времен (б) и гипоцентральных расстояний (в) для всех рассмотренных афтершоков относительно соответствующих основных толчков и кумулятивный график повторяемости числа афтершоков магнитуды M ≥ Mm -2 для всех рассмотренных основных толчков (г). Сплошная линия – афтершоки выделены по методу 1, штриховая линия – по методу 2 (α = 0.015 сут.), пунктирная – по методу 3 (η0 = 10–4, α = 0.015 сут., df = 1.3) штрих-пунктирная – по методу 4 (η0 = 0.000002, α = 0.02 сут., b = 1, df = 1.3).

 

УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛЬ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ОПАСНОГО ПЕРИОДА

Как было обосновано во введении, в усредненной модели необходимо учитывать глубину очага. Усредненная модель для афтершоков с M M m 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbGaeyyzImRaamyta8aadaWg aaWcbaWdbiaad2gaa8aabeaak8qacqGHsislcaaIYaaaaa@445B@  определяется формулой (11) и, с учетом распределения времен афтершоков по закону Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Утсу (5), зависит от трех параметров: Λ 2 , c, p. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI YaaapaqabaGcpeGaaiilaiaacckacaWGJbGaaiilaiaacckacaWGWb GaaiOlaaaa@46BE@  Ключевым является параметр Λ 2 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI YaaapaqabaGccaGGSaaaaa@4127@  так как именно этим параметром определяется вероятность полного отсутствия афтершоков с M M m 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbGaeyyzImRaamyta8aadaWg aaWcbaWdbiaad2gaa8aabeaak8qacqGHsislcaaIYaaaaa@445B@  (значение функции (11) при τ 2 =0). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI YaaapaqabaGcpeGaeyypa0JaaGimaiaacMcacaGGUaaaaa@43F6@  Параметры c и p влияют на форму распределения: чем больше p и/или меньше с, тем быстрее значение функции распределения (11) приближается к 1 и тем меньше наиболее вероятное значение времени последнего на интервале (0, Т) афтершока. Стоит отметить, что такая зависимость τ от параметра c соответствует модели Дитриха (3) и представлениям о том, что параметр c определяет масштаб времени афтершокового процесса.

В работе [Шебалин и др., 2018] было показано, что параметр Λ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@406D@  может иметь значительные региональные отличия. Хорошо известно также, что количество афтершоков у более глубоких землетрясений обычно меньше по сравнению с менее глубокими очагами [Соловьев, Соловьева, 1962]. Мы построили (рис. 2) зависимость от глубины очага параметра Λ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@406D@  для афтершоковых последовательностей от сильных землетрясений мира M m 6.5 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbiqaamCgqaaaaaaaaaWdbmaabmaapaqaa8qacaWGnbWd amaaBaaaleaapeGaamyBaaWdaeqaaOWdbiabgwMiZkaaiAdacaGGUa GaaGynaaGaayjkaiaawMcaaaaa@4698@  и Камчатки и Курильских островов M m 6.0 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaqadaWdaeaapeGaamyta8aadaWg aaWcbaWdbiaad2gaa8aabeaak8qacqGHLjYScaaI2aGaaiOlaiaaic daaiaawIcacaGLPaaacaGGUaaaaa@4666@  В качестве оценки величины Λ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@406D@  принималось среднее по всем сильным землетрясениям количество афтершоков магнитуды M M m 2. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbGaeyyzImRaamyta8aadaWg aaWcbaWdbiaad2gaa8aabeaak8qacqGHsislcaaIYaGaaiOlaaaa@450D@  Действительно, оказалось, что значения параметра Λ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@406D@  могут меняться в зависимости от глубины в десятки раз. При этом в обоих случаях оказалось, что эта зависимость имеет экспоненциальный характер в интервале глубин от 10 до 100 км.

 

Рис. 2. Зависимость параметра Λ2 от глубины очага для афтершоковых последовательностей: (а) от землетрясений мира с Mm ≥ 6.5 1980–2018 гг.; (б) от землетрясений с в Курило-Камчатском регионе. Сплошная линия – оценки параметра Λ2 по основным толчкам, упорядоченным по возрастанию глубины очага в скользящем окне 50 событий с шагом 5 событий (в качестве значения глубины принимается среднее по 50 событиям); штриховая линия – кусочно-линейная аппроксимация в логарифмическом масштабе (см. текст).

 

Эти зависимости в логарифмическом масштабе глубин могут быть аппроксимированы кусочно-линейными соотношениями (13) для глобального каталога и (13а) для Камчатки и Курильских островов (рис. 2).

 

Λ 2 = 5.0,  h<10KM, 19.58.5 lgh, 1.0,  h>150KM. 10KMh150KM, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI YaaapaqabaGcpeGaeyypa0Zaaiqaa8aabaqbi4jGbeqadeaaaeacEc 4dbiac2biI1aGaiyhGc6cacGGDaIimaiac2bOGSaGaiyhGcckacGGD akiOaiac2b4GObGamyhGgYda8iac2biIXaGaiyhGicdacGGDaIjbVN aaGiac2byGlbGaiyhGb2eakiac2bOGSaaapaqai4jGpeGaiadGigda cGamaIyoaiacWaOGUaGaiadGiwdacWamaAOeI0IaiadGiIdacGamak OlaiacWaiI1aGaiadGbckacOamakiBaiacWaOGNbGaiadGdIgacGam akilaaWdaeacEc4dbiacEciIXaGai4jGc6cacGGNaIimaiacEcOGSa Gai4jGcckacGGNakiOaiacEc4GObGam4jGg6da+iacEciIXaGai4jG iwdacGGNaIimaiacEciMe8EcaaIai4jGbUeacGGNagytaOGai4jGc6 caaaaacaGL7baacaaIXaGaaGimaiaaysW7jaaicaqGlbGaaeytaOGa eyizImQaamiAaiabgsMiJkaaigdacaaI1aGaaGimaiaaysW7jaaica qGlbGaaeytaOGaaeilaaaa@A427@

(13)

 

Λ2=40.0,  h<10  KM,79.039.0 lgh,1.0,  h>100 KM.10 KMh100 KM,

(13 a)


Для проверки, насколько модель (11) совпадает с эмпирическими данными по глобальному каталогу мы рассмотрели 4 интервала глубины и оценили для них значение
Λ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@406D@  (табл. 1). Для Байкальского и Кавказского регионов данных для оценки зависимости параметра Λ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@406D@  от глубины недостаточно, поэтому в этих регионах мы используем полученные общие по всем глубинам оценки (табл. 1).

Оценить реальные значения параметра с для афтершоковых серий после сильных землетрясений не представляется возможным, но возможно получить косвенные оценки параметра, используя афтершоки небольших землетрясений, рассматривая совместно большое число серий [Narteau et al., 2009]. В работе [Shebalin, Narteau, 2017] была установлена зависимость параметра с от глубины основного толчка. Более того, оказалось, что параметр с мало зависит от магнитуды как основного толчка, так и афтершоков. Для разломов сдвигового типа в Калифорнии значения c варьируют в пределах 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 4 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 1 сут., демонстрируя устойчивую тенденцию уменьшения с увеличением глубины в интервале 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 15 км, в котором в этом регионе происходит основная масса землетрясений. В процессе подготовки публикации была получена аналогичная тенденция для зоны субдукции в Японии (рис. 3а) в интервале до 40 км, в котором параметр c уменьшается от 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 2 до 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 3 сут. Здесь мы повторили процедуру анализа этой работы по данным каталога землетрясений Курило-Камчатского региона [Каталог землетрясений Камчатки …] (рис. 3б). Оказалось, что в интервале глубин до 40 км параметр с аналогичным образом убывает от значения 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 2 сут. до значения 10 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzOdaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@3A2A@ 3 сут., а в интервале от 40 до 100 км снова несколько увеличивается. Можно предположить, что в других зонах субдукции параметр с изменяется с глубиной аналогичным образом примерно в таких же пределах. Землетрясения в зонах субдукции составляют основную массу землетрясений мира, поэтому в среднем по всем сильным землетрясениям величина с должна иметь тот же порядок значений. С учетом этого мы приняли значения параметра c для четырех интервалов глубины, используемых для проверки модели (табл. 1).

 

Таблица 1. Усредненные значения параметров для оценки длительности опасного периода афтершоков

Интервал глубин для мирового каталога или регион

Λ2

с, сут.

p

Число основных толчков

0–10 км

 

5.0

 

0.01

 

1.25

 

233

 

10–30 км

 

8.5

 

0.005

 

1.14

 

674

 

30–50 км

 

6.6

 

0.001

 

1.06

 

410

 

50–100 км

 

1.75

 

0.01

 

1.00

 

401

 

Курилы-Камчатка, Mm≥6.0

 

12.0

 

0.002

 

1.20

 

218

 

Кавказ, Mm≥5.0

 

2.8

 

0.001

 

1.05

 

152

 

Байкал, Mm≥5.5

 

3.2

 

0.001

 

1.11

 

443

 

 

Рис. 3. Зависимость оценок параметра c закона Омори–Утсу от глубины очага основного толчка, полученных по методике работы [Shebalin, Narteau, 2017]: (а) – землетрясения в зонах субдукции вблизи Японии; (б) – землетрясения Курило-Камчатского региона. На графиках отмечены оценки максимального правдоподобия (кружки) и доверительные интервалы на уровне 95%.

 

Для Кавказа и Байкальского региона имеющиеся данные не позволяют оценить зависимость параметра с от глубины, поэтому по методике работы [Shebalin, Narteau, 2017] мы получили лишь усредненные оценки (табл. 1).

Для оценки параметра p закона Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Утсу (1) использование афтершоковых серий от сильных землетрясений вполне допустимо при условии исключения из рассмотрения начальной части серии. Для глобального каталога и Курило-Камчатских данных мы получили зависимости параметра p от глубины очага (рис. 4). Для глобального каталога, кроме того, были получены аналогичные оценки для четырех рассматриваемых интервалов глубины (табл. 1). Рассматривались афтершоки с относительным порогом магнитуды ( M M m 2). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaGGOaGaaiiOaiaad2eacqGHLjYS caWGnbWdamaaBaaaleaapeGaamyBaaWdaeqaaOWdbiabgkHiTiaaik dacaGGPaGaaiOlaaaa@478A@  При таком пороге каталог афтершоков можно считать полным, начиная с момента t= 10 23.5 /0.7 cyT.=0.007 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bGaeyypa0JaaGymaiaaicda paWaaWbaaSqabeaapeWaiaONbmaapaqaiaONpeGaiaONikdacWaGEA OeI0IaiaONiodacGaGEkOlaiaca6jI1aaacGaGEAjkaiaca6PLPaaa cGaGEk4laiaca6jIWaGaiaONc6cacGaGEI4naaaakiaabogacaqG5b qcLzpacGaLagivaOGaaeOlaiabg2da9iaaicdacaGGUaGaaGimaiaa icdacaaI3aaaaa@6393@ сут. (см. ниже). Оценки параметра p были получены с помощью Байесовского подхода [Holschneider et al., 2012] в интервале [0.01, 365] сут. Оценки проводились для стека всех афтершоков отобранной группы основных толчков [Narteau et al., 2009].

Аппроксимация зависимостей параметра p от глубины очага кусочно-линейной функцией в логарифмическом масштабе определяется соотношениями (14) для глобального каталога и (14а) для Камчатки и Курильских островов (рис. 4).

 

p= 1.5, h 1KM  1.50.25lgh, 1<h100KM 1, h>100KM , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGWbGaeyypa0Zaaiqaa8aabaqb iqjGbeqadeaaaeacuc4dbiacuciIXaGaiqjGc6cacGaLaIynaiacuc OGSaGaiqjGcckacGaLaIjbVlacuciMc8UaiqjGdIgacGaLakiOaiad ucOHKjYOcGaLaIymaiacuciMe8UaiqjGykW7jaaicGaLag4saiacuc yGnbGccGaLakiOaaWdaeacuc4dbiacuciIXaGaiqjGc6cacGaLaIyn aiaducOHsislcGaLaIimaiacucOGUaGaiqjGikdacGaLaIynaiGcEc OGSbGai4jGcEgacGaLaoiAaiacucOGSaGaiqjGcckacGaLaIjbVlac uciMe8UaiqjGigdacWaLaAipaWJaiqjGdIgacWaLaAizImQaiqjGig dacGaLaIimaiacuciIWaGaiqjGysW7cGaLaIPaVNaaGiacucyGlbGa iqjGb2eaaOWdaeacuc4dbiacuciIXaGaiqjGcYcacGaLakiOaiacuc iMe8UaiqjGykW7cGaLaoiAaiaducOH+aGpcGaLaIymaiacuciIWaGa iqjGicdacGaLaIjbVlacuciMc8EcaaIaiqjGbUeacGaLagytaaaaaO Gaay5EaaGaaiilaaaa@BE41@

(14)

 

p=1.60.187lgh,  1  h<40 KM,2.1380.523 lgh,1.0,  h>150 KM.40 кмh150 KM.

(14a)

 

 

Рис. 4. Зависимость параметра p от глубины очага для афтершоковых последовательностей (а) от землетрясений мира с Mm ≥ 6.5 1980–2018 гг.; (б) от землетрясений с Mm ≥ 6.0 в Курило-Камчатском регионе. Кружками отмечены оценки параметра p по основным толчкам, упорядоченным по возрастанию глубины очага в скользящем окне 50 событий с шагом 5 событий (в качестве значения глубины принимается среднее по 50 событиям); штриховая линия – кусочно-линейная аппроксимация в логарифмическом масштабе (см. текст).

 

Для Кавказа и Байкальского региона были получены усредненные для всего диапазона глубин оценки параметра p. Аналогичная усредненная оценка была получена и для Курило-Камчатского региона (табл. 1).

Проверку модели распределения величины τ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@40BD@  мы провели путем сравнения теоретических и эмпирических функций распределения этой величины для четырех интервалов глубины по глобальному каталогу и по трем региональным каталогам (рис. 5). Теоретические распределения построены по формуле (11) со значениями параметров из табл. 1. Эмпирические распределения в целом значительно различаются между собой, но при этом теоретические распределения отличаются от соответствующих эмпирических в значительно меньшей степени. Наилучшее совпадение достигается для h 50 км по глобальному каталогу (доверительный уровень 0.99 по критерию Колмогорова), наихудшее для h = 30 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ 50 км (доверительный уровень 0.52). С учетом того, что в каждой серии афтершоков возможны локальные по времени отклонения от закона Омори MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Утсу (1) и что зависимости модели (11) от параметров с и p этого закона существенно не линейны, полученные результаты можно считать хорошим подтверждением модели. Хорошее совпадение теоретических и эмпирических распределений также подтверждает правомерность использования косвенных оценок параметра c, поскольку значения этого параметра существенно влияют на форму распределения.

 

Рис. 5. Эмпирические и теоретические функции распределения длительности опасного периода афтершоков τ2 для глобального каталога, Mm ≥ 6.5 (а) и (б): интервалы глубин основного толчка  км (кружки),  км (треугольники),  км (знаки «+»), 50 км ≤ h (крестики) и региональных каталогов (в): Курило-Камчатского региона, Mm ≥ 6.0 (жирная линия), Байкальского региона, Mm ≥ 5.5 (тонкая линия), Кавказского региона, Mm ≥ 5.0 (линия средней жирности). Теоретические функции распределения (11) с параметрами из табл. 1 показаны штриховыми линиями.

 

ОЦЕНКИ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ОПАСНОГО ПЕРИОДА С УЧЕТОМ ИНФОРМАЦИИ О ПЕРВЫХ АФТЕРШОКАХ

Можно предположить, что информация о первых афтершоках может существенно улучшить оценки длительности опасного периода. Время tstart, начиная с которого каталог можно считать полным, зависит от разности магнитуды основного толчка Mm и порога магнитуды афтершоков Mc [Helmstetter et al., 2006; Баранов и др., 2019]. В работе [Баранов и др., 2019] для глобального каталога ANSS получено соотношение:

 

t start = 10 ( M m M c 3.5)/0.7 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaam4C aiaadshacaWGHbGaamOCaiaadshaa8aabeaak8qacqGH9aqpcaaIXa GaaGima8aadaahaaWcbeqaa8qacaGGOaGaamyta8aadaWgaaadbaWd biaad2gaa8aabeaal8qacqGHsislcaWGnbWdamaaBaaameaapeGaam 4yaaWdaeqaaSWdbiabgkHiTiaaiodacaGGUaGaaGynaiaacMcacaGG VaGaaGimaiaac6cacaaI3aaaaOWdaiaac6caaaa@5453@

(15)

Оценкой параметра Λ в (7) при любом пороге магнитуды служит число афтершоков в исследуемом интервале [Holschneider et al., 2012]. Эта оценка может быть пересчитана для произвольного интервала. Величина Λ в соотношении (8) относится к интервалу [0, T]. Для оценки параметра Λ могут использоваться данные об афтершоках представительной магнитуды. В этом случае необходимо оценить (или задать) также параметр b закона Гутенберга MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Рихтера и пересчитать в соответствии с этим законом величину Λ для интересующей магнитуды. Таким образом, если известно число афтершоков n c t start , t 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGUbWdamaaBaaaleaapeGaam4y aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaam 4CaiaadshacaWGHbGaamOCaiaadshaa8aabeaak8qacaGGSaGaaGjb VlaadshapaWaaSbaaSqaa8qacaaIWaaapaqabaaak8qacaGLOaGaay zkaaaaaa@4C71@  магнитуды M M c MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbGaeyyzImRaamyta8aadaWg aaWcbaWdbiaadogaa8aabeaaaaa@428E@  в интервале t start ,  t 0 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaWadaWdaeaapeGaamiDa8aadaWg aaWcbaWdbiaadohacaWG0bGaamyyaiaadkhacaWG0baapaqabaGcpe GaaiilaiaacckacaaMe8UaamiDa8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aa beaaaOWdbiaawUfacaGLDbaacaGGSaaaaa@4C5F@  то оценка величины Λ в соотношении (8) для относительного порога M m 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbWdamaaBaaaleaapeGaamyB aaWdaeqaaOWdbiabgkHiTiaaikdaaaa@41C3@  определяется по формуле:

 

Λ= n c t start , t 0 10 b( M c M m +2) D c,p t start , t 0 D c,p 0,T . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatcqGH9aqpcaWGUbWdamaa BaaaleaapeGaam4yaaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bWdam aaBaaaleaapeGaam4CaiaadshacaWGHbGaamOCaiaadshaa8aabeaa k8qacaGGSaGaamiDa8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaaaOWdbi aawIcacaGLPaaacqGHflY1caaIXaGaaGima8aadaahaaWcbeqaa8qa caWGIbGaaiikaiaad2eapaWaaSbaaWqaa8qacaWGJbaapaqabaWcpe GaeyOeI0Iaamyta8aadaWgaaadbaWdbiaad2gaa8aabeaal8qacqGH RaWkcaaIYaGaaiykaaaakmaalaaapaqaa8qacaWGebWdamaaBaaale aapeGaam4yaiaacYcacaWGWbaapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiaa dshapaWaaSbaaSqaa8qacaWGZbGaamiDaiaadggacaWGYbGaamiDaa WdaeqaaOWdbiaacYcacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqa aaGcpeGaayjkaiaawMcaaaWdaeaapeGaamira8aadaWgaaWcbaWdbi aadogacaGGSaGaamiCaaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaaIWaGa aiilaiaadsfaaiaawIcacaGLPaaaaaGaaiOlaaaa@71DB@

(16)

Параметры c и p при наличии достаточного количества данных на интервале t start ,  t 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qadaWadaWdaeaapeGaamiDa8aadaWg aaWcbaWdbiaadohacaWG0bGaamyyaiaadkhacaWG0baapaqabaGcpe GaaiilaiaacckacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaaGimaaWdaeqaaaGc peGaay5waiaaw2faaaaa@4A22@  также могут быть оценены [Баранов и др., 2019]. Однако, как указывалось выше, оценка параметра с в данной задаче не применима, и значения этого параметра следует задавать по косвенным данным. Значение параметра b оценивалось по методике работы [Bender, 1983] (краткое описание метода приведено в работе [Vorobieva et al., 2013]) c использованием разных вариантов априорного распределения аналогично работе [Баранов и др., 2019]. Мы провели серию экспериментов с различными способами оценки или задания параметров c, p, b. Для глобального и региональных каталогов оптимальными оказались варианты с оценкой параметра Λ по формуле (16), но с использованием заданных значений с, p и b. Это связано с тем, что оценки параметров для отдельных серий недостаточно устойчивы.

Оценивание результатов с использованием данных о первых афтершоках, аналогично работе [Баранов и др., 2019], мы проводили по критерию информационного выигрыша LG (N) [Schorlemmer et al., 2007] оцениваемого метода по отношению к референц-модели, определяемого как отношение правдоподобия полученных реализаций для двух моделей в пересчете на один прогноз:

 

LG N = i=1 N   f Λ τ i / i=1 N f Λ ¯ τ i 1/N . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGmbGaam4ramaabmaapaqaa8qa caWGobaacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0ZaaiWaa8aabaWdbmaalyaaba Waaubmaeqal8aabaWdbiaadMgacqGH9aqpcaaIXaaapaqaa8qacaWG obaan8aabaWdbiabg+GivdaakiaacckacaWGMbWdamaaBaaaleaape Gaeu4MdWeapaqabaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiabes8a09aadaWgaaWc baWdbiaadMgaa8aabeaaaOWdbiaawIcacaGLPaaaaeaadaqfWaqabS WdaeaapeGaamyAaiabg2da9iaaigdaa8aabaWdbiaad6eaa0Wdaeaa peGaey4dIunaaOWdamaanaaabaWdbiaadAgapaWaaSbaaSqaa8qacq qHBoata8aabeaaaaGcpeWaaeWaa8aabaWdbiabes8a09aadaWgaaWc baWdbiaadMgaa8aabeaaaOWdbiaawIcacaGLPaaaaaaacaGL7bGaay zFaaWdamaaCaaaleqabaWdbmaalyaabaGaaGymaaqaaiaad6eaaaaa aOWdaiaac6caaaa@647B@

(17)

В формуле (17) в качестве референц-модели (обозначена f Λ ¯ ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaWaiaOynaaabGaGIbbaaaaaaaaapeGaiaOydAgapaWa iaOyBaaaleacak2dbiadakwHBoata8aabKaGIbaaaOGaiaOycMcaaa a@48B4@  используется усредненная модель (12), зависящая от глубины очага сильного землетрясения. Мы рассмотрели ретроспективные прогнозы величины τ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@40BD@  для одного фиксированного времени t0 = 0.5 сут. Это время представляется нам оптимальным с практической точки зрения. Для глобального каталога и для Курило-Камчатского региона параметр Λ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@406D@  в референц-модели и параметр p для обеих моделей определялись из соотношений (13) и (14) или (13а) и (14а) соответственно, а значения параметра с для обеих моделей в обоих случаях брались из табл. 1. Для регионов Байкал и Кавказ для обеих моделей значения параметров с и р и для референц-модели параметра Λ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoatpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@406D@  определялись из табл. 1. В тестируемой модели, аналогично работе [Баранов и др., 2019], оценка параметра Λ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqqHBoataaa@3F57@  проводилась при условии n c t start , t 0 5. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGUbWdamaaBaaaleaapeGaam4y aaWdaeqaaOWdbmaabmaapaqaa8qacaWG0bWdamaaBaaaleaapeGaam 4CaiaadshacaWGHbGaamOCaiaadshaa8aabeaak8qacaGGSaGaamiD a8aadaWgaaWcbaWdbiaaicdaa8aabeaaaOWdbiaawIcacaGLPaaacq GHLjYScaaI1aGaaiOlaaaa@4E1B@  Информационный выигрыш (17) оценивался для совокупности только таких серий афтершоков. Результаты приведены в табл. 2.

Как следует из табл. 2, выигрыш при использовании данных об афтершоках за первые 0.5 сут. значителен по сравнению с усредненной моделью, он составляет в среднем около 50 %.

Предложенная здесь методика позволяет оценить функцию распределения величины τ 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI YaaapaqabaGccaGGUaaaaa@4179@  На практике при прогнозе в реальном времени может быть удобнее оперировать конкретными значениями. Следуя подходу работы [Баранов и др., 2019], на основе функций распределения можно определить «мягкий», «жесткий» и «нейтральный» прогнозы как 10%, 90% и 50% квантили.

 

Таблица 2. Результаты ретроспективного теста оценок длительности опасного периода афтершоков  с использованием информации об афтершоках в интервале [0, 0.5 сут.]

Каталог

Число серий N с nctstart,t05

LG (N)

Глобальный каталог ANSS, Mm≥6.5

 

181

 

1.48

 

Курило-Камчатский регион, Mm≥6.0

 

32

 

1.59

 

Кавказ, Mm≥5.0

 

10

 

1.39

 

Байкал, Mm≥5.5

 

4

 

1.64

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе разработана методика оценки длительности опасного периода τ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@40BD@  возможного возникновения афтершоков магнитуды M M m 2. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacaWGnbGaeyyzImRaamyta8aadaWg aaWcbaWdbiaad2gaa8aabeaak8qacqGHsislcaaIYaGaaiOlaaaa@450D@  При необходимости оценка может быть пересчитана для произвольного порога магнитуды. Оценка проводится в 2 этапа. На первом этапе, сразу после сильного землетрясения, используется усредненная модель распределения величины τ 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI YaaapaqabaGcpeGaaiOlaaaa@4189@  Входной информацией для этой модели может являться только глубина очага. Параметры модели заранее определены. На втором этапе прогноз величины τ 2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI Yaaapaqabaaaaa@40BD@  может быть уточнен за счет информации о первых афтершоках, например, в течение первых 12 часов после землетрясения. Параметры модели для серий с большим числом афтершоков в принципе могут быть оценены, но оказалось, что результаты лучше совпадают с реальными значениями времени последнего афтершока, если использовать заранее заданные значения параметров, по возможности зависящие от глубины очага. Поэтому фактически для оценок на втором этапе используется только число афтершоков представительной магнитуды.

Для практического применения методики оценены параметры модели по глобальному каталогу землетрясений и отдельно для Курило-Камчатского, Байкальского и Кавказского регионов. Для глобального каталога и Курил, и Камчатки параметры зависят от глубины очага. Ретроспективная проверка первого этапа методики показала хорошее совпадение теоретической модели с эмпирическими распределениями величины τ 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B 1jxALjhiov2DaebbnrfifHhDYfgasaacHOaM0xg9vrFfpeea0xh9v8 qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpe pae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGacaGaamaabeqaaq aabaqbaaGcbaaeaaaaaaaaa8qacqaHepaDpaWaaSbaaSqaa8qacaaI YaaapaqabaGcpeGaaiOlaaaa@4189@  Уточнение прогноза на втором этапе, как показал второй ретроспективный тест, действительно целесообразно, поскольку позволяет получить информационный выигрыш в среднем около 50%.

Целью данной работы являлось, главным образом, создание методики для получения чисто практических результатов, которые, в том числе, будут использованы в разрабатываемой автоматизированной системе прогнозирования опасности афтершоков AFCAST (www.afcast.org). Вместе с тем, в работе получены новые результаты, которые могут послужить уточнению физических представлений о сейсмогенезе. В частности, установлена сильная зависимость от глубины очага среднего количества афтершоков с относительным порогом магнитуды. Эта величина экспоненциально уменьшается с глубиной, изменяясь более чем на порядок.

Важным отрицательным результатом работы является вывод о неправомерности использования широко распространенной, особенно в западной научной литературе, модели ETAS для прогноза длительности опасного периода афтершоков. Главная причина в том, что количество афтершоков у каждого события определенной магнитуды считается параметром модели, однако в природе эта величина варьирует в очень широких пределах, подчиняясь экспоненциальному распределению, имеющему максимум в нуле.

Значительное внимание в работе уделено проблеме идентификации афтершоков. Была проведена модификация метода Заляпина MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Бен-Зиона [Zaliapin, Ben-Zion, 2013; 2016], в которой неявным образом учитываются размеры и направление простирания очага сильного землетрясения. Этот алгоритм позволяет выделять последовательности афтершоков, близко совпадающие при большом числе афтершоков c последовательностями, выделенными с методом Молчана MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Дмитриевой [1991], при этом алгоритм лишен его недостатков при малом числе афтершоков. Оказалось, однако, что пороговое значение функции близости примерно на два порядка меньше порога в стандартном методе. Это фактически означает, что «иерархическая» схема выделения афтершоков в методе Заляпина MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Бен-Зиона в виде ветвящейся цепочки «родитель MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ потомки» фактически имеет лишь чисто технический смысл, без фактичексих причинно-следственных связей. Таким образом, методика Заляпина MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39A3@ Бен-Зиона и иерархические модели афтершокового процесса вообще требуют переосмысления.

Финансирование работы

Исследование выполнено при поддержке грантов Министерства образования и науки MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFwecaaa@39A7@  14. W03.31.0033 и РФФИ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFwecaaa@39A7@  17-05-00749 в рамках Госзаданий по темам НИР MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFwecaaa@39A7@  АААА-А19-119011490 127-6 и MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzGfaeaaaaaaaaa8qacaWFwecaaa@39A7@  0152-2019-0010.

БЛАГОДАРНОСТИ

Авторы выражают благодарность двум анонимным рецензентам за ценные замечания.

About the authors

P. N. Shebalin

Institute of Earthquake Prediction Theory and Mathematical Geophysics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: shebalin@mitp.ru

Russian Federation, Moscow

S. V. Baranov

Institute of Earthquake Prediction Theory and Mathematical Geophysics, Russian Academy of Sciences; Kola Branch, Federal Research Center “Geophysical Survey of Russian Academy of Sciences” 

Email: bars.vl@gmail.com

Russian Federation, Moscow; Apatity

References

  1. Баранов С.В., Шебалин П.Н. Глобальная статистика афтершоков сильных землетрясений: независимость времен и магнитуд // Вулканология и сейсмология. 2019. № 2. С. 67–76.
  2. Баранов С.В., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 3. Динамический закон Бота // Физика Земли. 2018. № 6. С. 129–136.
  3. Баранов С.В., Павленко В.А., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 4. Оценка максимальной магнитуды последующих афтершоков // Физика Земли. 2019. № 4. С. 15–32.
  4. Каталог землетрясений Байкальского филиала ФИЦ ЕГС РАН. URL: http://seis-bykl.ru/modules.php?name=Data&da=1 (дата обращения 19.11.2018)
  5. Каталог землетрясений Кавказа ФИЦ ЕГС РАН. URL: ftp://ftp.gsras.ru/pub/Teleseismic_Catalog/Caucasus-catalog-EQ.xlsx (дата обращения 19.11.2018)
  6. Каталог землетрясений Камчатки и Командорских островов (1962 г.– наст. вр.) Камчатского филиала Геофизической службы РАН. URL: http://www.emsd.ru/sdis/earthquake/catalogue/catalogue.php (дата обращения 11.11.2018)
  7. Молчан Г.М., Дмитриева О.Е. Идентификация афтершоков: обзор и новые подходы // Вычислительная сейсмология. 1991. Вып. 24. С. 19–50.
  8. Сейсмологический бюллетень Кавказа за 1971–1986. Тбилиси: Мецниереба. 1972–1990.
  9. Смирнов В.Б. Прогностические аномалии сейсмического режима.I. Методические основы подготовки исходных данных. // Геофизические исследования. 2009. Т. 10. № 2. С. 7–22.
  10. Смирнов В.Б., Пономарев А.В., Бернар П., Патонин А.В. Закономерности переходных режимов сейсмического процесса по данным лабораторного и натурного моделирования // Физика Земли. 2010. № 2. С. 17–49.
  11. Соловьев С.Л., Соловьева О.Н. Показательное распределение общего числа последующих толчков землетрясения и убывание с глубиной его среднего значения // Изв. АН СССР, сер. геофиз. 1962. № 12. С. 1685–1694.
  12. Шебалин П.Н., Баранов Св., Дзебоев Б.А. Закон повторяемости количества афтершоков // Докл. РАН. 2018. Т. 481. № 3. С. 320–323.
  13. Шебалин П.Н. Математические методы анализа и прогноза афтершоков землетрясений: необходимость смены парадигмы. Чебышевский сборник. 2018. Т. XIX. Вып. 4 (68). С. 227–242.
  14. ANSS Comprehensive Earthquake Catalog (ComCat) URL: https: // earthquake.usgs.gov/data/comcat/(дата обращения 19.11.2018).
  15. Baiesi M., Paczuski M. Scale–free networks of earthquakes and aftershocks // Phys. Rev. E. 2004. V. 69. № 6. doi: 10.1103/PhysRevE.69.066106
  16. Bath M. Lateral inhomogeneities in the upper mantle // Tectonophysics. 1965. V. 2. P. 483–514.
  17. Bender B. Maximum likelihood estimation of b values for magnitude grouped data // Bulletin of the Seismological Society of America. 1983. V. 73. № 3. P. 831–851.
  18. Cocco M., Hainzl S., Catalli F., Enescu B., Lombardi A.M., Woessner J. Sensitivity study of forecasted aftershock seismicity based on Coulomb stress calculation and rate- and state-dependent frictional response // J. Geophys. Res. 2010. V. 115. № B05307. doi: 10.1029/2009 JB006838
  19. Dieterich J.H. A constitutive law for rate of earthquake production and its application to earthquake clustering // J. Geophys. Res. 1994. V. 99. № B2. P. 2601–2618. doi: 10.1029/93 JB02581
  20. Gardner J.K., Knopoff L. Is the sequence of earthquakes in Southern California, with aftershocks removed, Poissonian? // Bulletin of the Seismological Society of America. 1974. V. 64. № 5. P. 1363–1367.
  21. Gutenberg B. and Richter C.F. Seismicity of the Earth and Associated Phenomena, 2 nd ed. Princeton, N.J.: Princeton University Press. 1954. 273 p.
  22. Hainzl S., Christophersen A., Rhoades D., Harte D. Statistical estimation of the duration of aftershock sequences // Geophysical Journal International. 2016. V. 205. № 2. P. 1180–1189. doi: 10.1093/gji/ggw075
  23. Helmstetter A., Kagan Y.Y., Jackson D.D. Comparison of Short-Term and Time-Independent Earthquake Forecast Models for Southern California // Bulletin of the Seismological Society of America. 2006. V. 96. № 1. P. 90–106. doi: 10.1785/0120050067
  24. Holschneider M., Narteau C., Shebalin P., Peng Z., Schorlemmer D. Bayesian analysis of the modified Omori law // Journal of Geophysical Research. 2012. V. 117, B05317, doi: 10.1029/2011 JB009054.
  25. Marsan D., Helmstetter A. How variable is the number of triggered aftershocks? // J. Geophys. Res. Solid Earth. 2017. V. 122. P. 5544–5560. doi: 10.1002/2016 JB013807
  26. Marsan D., Lengline O. A new estimation of the decay of aftershock density with distance to the mainshock // J. Geophys. Res. Solid Earth. 2010. V. 115. № B09302. doi: 10.1029/2009 JB007119
  27. Molchan G.M., Dmitrieva O.E. Aftershock identification: methods and new approaches // Geophys. J. Int. 1992. V. 109. P. 501–516. doi: 10.1111/j.1365–246 X.1992.tb00113.x
  28. Narteau C., Byrdina S., Shebalin P., Schorlemmer D. Common dependence on stress for the two fundamental laws of statistical seismology // Nature. 2009. V. 462. № 2. P 642–645.
  29. Ogata Y. Statistical models for standard seismicity and detection of anomalies by residual analysis // Tectonophysics. 1989. V. 169. P. 159–174.
  30. Ogata.Y. Seismicity analysis through point-process modeling; a review // PAGEOPH. 1999. V. 155. P. 471–508.
  31. Reasenberg P. Second‐order moment of central California seismicity, 1969–1982 // J. Geophys. Res. Solid Earth. 1985. V. 90. № B7. P. 5479–5495.
  32. Reasenberg P.A., Jones L.M. Earthquake Hazard After a Mainshock in California // Science. 1989. V. 242. № 4895. P. 1173–1176. doi: 10.1126/science.243.4895.1173
  33. Saichev A., Sornette D. Distribution of the largest aftershocks in branching models of triggered seismicity: Theory of the universal Båth law // Phys. Rev.E. 2005., V. 71 (5). P. 056127-1-056127-11. doi: 10.1103/PhysRevE.71.056127
  34. Shcherbakov R., Zhuang J., Ogata Y. Constraining the magnitude of the largest event in a foreshock-mainshock-aftershock sequence // Geophys.J. Int. 2018. V. 212. P. 1–13. doi: 10.1093/gji/ggx407
  35. Shebalin P., Narteau C. Depth dependent stress revealed by aftershocks // Nature Communications. 2017. V. 8. № 1317. doi: 10.1038/s41467–017–01446 y
  36. Shebalin P., Narteau C., Holschneider M., Zechar J. Combining earthquake forecast models using differential probability gains // Earth, Planets and Space. 2014. V. 66:37. P. 1–14.
  37. Shebalin P., Baranov S. Long-Delayed Aftershocks in New Zealand and the 2016 M7.8 Kaikoura Earthquake // Pure and applied Geophysics. 2017. V. 174 (10). P. 3751–3764. doi: 10.1007/s00024-017-1608-9
  38. Schorlemmer D., Gerstenberger M., Wiemer S., Jackson D.D., Rhoades D.A. Earthquake likelihood model testing // Seismol. Res. Lett. 2007. V. 78. P. 17–29.
  39. Sornette D., Helmstetter A. Occurrence of Finite-Time-Singularity in Epidemic Models of Rupture, Earthquakes and Starquakes // Physical Review Letters. 2002. V. 89. Is. 15. P. 158501-1-158501-4. doi: 10.1103/PhysRevLett.89.158501
  40. Stein S., Liu M. Long aftershock sequences within continents and implications for earthquake hazard assessment // Nature. 2009. V. 462. P. 87–89. doi: 10.1038/nature08502
  41. Tahir M., Grasso J.‐R, Amorèse D. The largest aftershock: How strong, how far away, how delayed? // Geophys. Res. Lett. 2002. V. 39. L04301. doi: 10.1029/2011 GL050604
  42. Toda S., Stein R.S. Why Aftershock Duration Matters for Probabilistic Seismic Hazard Assessment // Bulletin of the Seismological Society of America. 2018. V. 108. № 3 A.P. 1414–1426. doi: 10.1785/0120170270
  43. Utsu T.A. Statistical study on the occurrence of aftershocks // Geoph. Magazine. 1961. V. 30. P. 521–605.
  44. Vorobieva I., Narteau C., Shebalin P., Beauducel F., Nercessian F., Clouard V., Bouin M.P. Multiscale Mapping of Completeness Magnitude of Earthquake Catalogs // Bulletin of the Seismological Society of America. 2013. V. 103. P. 2188–2202.
  45. Zaliapin I., Gabrielov A., Keilis-Borok V., Wong H. Clustering analysis of seismicity and aftershock identi-fication // Phys. Rev. Lett. 2008. V. 101. № 1. P. 1–4. doi: 10.1103/PhysRevLett.101.018501
  46. Zaliapin I., Ben-Zion Y. Earthquake clusters in Southern California I: Identification and stability // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. 2013. V. 118. № 6. P. 2847–2864. doi: 10.1002/jgrb.50178
  47. Zaliapin I., Ben-Zion Y. A global classification and characterization of earthquake clusters // Geophysical Journal International. 2016. V. 207. № 1. P. 608–634. doi: 10.1093/gji/ggw300
  48. Zhuang J., Ogata Y., Vere-Jones D. Stochastic declustering of space–time earthquake occurrences // J. Am. Stat. Assoc. 2002. V. 97. P. 369–380. doi: 10.1198/016214502760046925
  49. Zhuang J., Ogata Y., Vere-Jones D. Analyzing earthquake clustering features by using stochastic reconstruction // Journal of Geophysical Research. 2004. V. 109 (B05301). doi: 10.1029/2003 JB002879

Supplementary files

Supplementary Files Action
1.
Fig. 1. Empirical distribution functions of the duration of the aftershock dangerous period τ2 (a), times (b) and hypocentral distances (c) for all considered aftershocks relative to the corresponding main shocks and a cumulative graph of the frequency of the number of aftershocks of magnitude M ≥ Mm -2 for all considered main shocks ( d). The solid line — the aftershocks were selected by method 1, the dashed line — by method 2 (α = 0.015 days), the dashed line — by method 3 (η0 = 10–4, α = 0.015 days, df = 1.3); method 4 (η0 = 0.000002, α = 0.02 days., b = 1, df = 1.3).

Download (184KB) Indexing metadata
2.
Fig. 2. Dependence of the parameter Λ2 on the source depth for aftershock sequences: (a) on the earthquakes of the world with Mm ≥ 6.5 1980–2018; (b) from earthquakes in the Kuril-Kamchatka region. The solid line - estimates of the parameter Λ2 by the main shocks, ordered by increasing depth of the focus in a sliding window of 50 events with a step of 5 events (the average over 50 events is taken as the depth value); the dashed line is a piecewise linear approximation on a logarithmic scale (see the text).

Download (105KB) Indexing metadata
3.
Fig. 3. Dependences of parameter estimates c of the Omori – Utsu law on the depth of the source of the main shock, obtained according to the procedure of [Shebalin, Narteau, 2017]: (a) - earthquakes in subduction zones near Japan; (b) - earthquakes of the Kuril-Kamchatka region. The graphs show maximum likelihood estimates (circles) and confidence intervals at the level of 95%.

Download (201KB) Indexing metadata
4.
Fig. 4. Dependence of the parameter p on the source depth for aftershock sequences (a) on the earthquakes of the world with Mm ≥ 6.5 1980–2018; (b) from earthquakes with Mm ≥ 6.0 in the Kuril-Kamchatka region. Circles mark estimates of the parameter p by the main shocks ordered by increasing the depth of the focus in a sliding window of 50 events with a step of 5 events (the average over 50 events is taken as the depth value); the dashed line is a piecewise linear approximation on a logarithmic scale (see the text).

Download (72KB) Indexing metadata
5.
Fig. 5. Empirical and theoretical distribution functions of the duration of the aftershock dangerous period τ2 for the global catalog, Mm ≥ 6.5 (a) and (b): depth intervals of the main push km (circles), km (triangles), km (“+” signs), 50 km ≤ h (crosses) and regional catalogs (c): Kuril-Kamchatka region, Mm ≥ 6.0 (bold line), Baikal region, Mm ≥ 5.5 (thin line), Caucasus region, Mm ≥ 5.0 (average fat line). Theoretical distribution functions (11) with parameters from table. 1 are shown by dashed lines.

Download (188KB) Indexing metadata

Statistics

Views

Abstract - 129

PDF (Russian) - 40

Cited-By


PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Russian academy of sciences

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies