Astronomy ReportsAstronomy ReportsАстрономический журнал0004-62993034-5170The Russian Academy of Sciences68884310.31857/S0004629925050061PSCFHSArticlesСТАТЬИResearch ArticleEFFICIENT COMPUTATIONS IN KEPLERIAN MOTION AND KEPLER'S EQUATIONЭФФЕКТИВНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В КЕПЛЕРОВСКОМ ДВИЖЕНИИ И УРАВНЕНИИ КЕПЛЕРАMoiseevI. A.МоисеевЮ. А.moiseev.ia20@physics.msu.ruEmelyanovN. V.ЕмельяновН. В.emelia@sai.msu.ruLomonosov Moscow State University, Faculty of Physics, Department of Celestial Mechanics, Astrometry and GravimetryМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра небесной механики, астрометрии и гравиметрииLomonosov Moscow State University, Sternberg Astronomical InstituteМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга150520251025VOL 102, NO5 (2025)ТОМ 102, №5 (2025)42043408082025Copyright ©; 2025, The Russian Academy of SciencesCopyright ©; 2025, Российская академия наук2025The Russian Academy of SciencesРоссийская академия наукhttps://journals.eco-vector.com/0004-6299/article/view/688843

The article considers the main aspects of practical calculations by the formulas of Keplerian motion. The initial value under consideration is the mean anomaly and five other constant parameters. Much attention is paid to solving the Kepler equation. An overview of the methods for solving is given. A method for specifying the accuracy of calculations is considered, taking into account the limited accuracy of representing numbers in a computer system. The article provides examples of solving the Kepler equation and examples of motion trajectories. According to the considered concept, an optimal program for calculations is compiled in the programming languages C/C++, Fortran, Python and offered on the Internet pages. The user is given the opportunity to choose a method for solving the Kepler equation from those considered in the article.

В статье рассмотрены основные аспекты практических вычислений по формулам кеплеровского движения. Рассматриваемой исходной величиной является средняя аномалия и пять других постоянных параметров. Большое внимание уделено решению уравнения Кеплера. Дан обзор методов его решения. Рассмотрен способ задания точности вычислений, учитывающий ограниченную точность представления чисел в компьютерной системе. В статье приведены примеры решения уравнения Кеплера и примеры траекторий движения. Согласно рассмотренной концепции составлена на языках программирования C/C++, Fortran, Python и предложена на страницах интернета оптимальная программа для вычислений. Пользователю предоставляется возможность выбора метода решения уравнения Кеплера из рассмотренных в статье.

Keplerian motionKepler's equationcomputer modelingкеплеровская орбитауравнение Кеплерачисленное моделированиеD.A. Di Liscia, Johannes Kepler, in: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, edited by E.N. Zalta (2011).Г.Н. Дубошин, Небесная механика. Основные задачи и методы (М.: Физматгиз, 1963).М.Ф. Субботин, Введение в теоретическую астрономию (М.: Наука, 1968).Л.Г. Лукьянов, Г.И. Ширмин, Лекции по небесной механике. Учебное пособие для ВУЗов (Алматы: Эверо, 2009).Н.В. Емельянов, Динамика естественных спутников планет на основе наблюдений (Фрязино: Век-2, 2019).P. Colwell, Solving Kepler’s equation over three centuries (Richmond, Va.: Willmann-Bell, 1993).R. Borghi, Mathematics 12(1), 154 (2024), arXiv:2312.01437 [math-ph].A.R. Pimienta-Penalver and J.L. Crassidis, Celest. Mech. Dyn. Astron. 136(1), 2 (2024).A.N. Beloiarov, V.A. Beloiarov, R.C. Cruz-Gomez, C.O. Monzon, and J.L. Romero, Mathematics 12, 2108 (2024).K.T.J. Otto, S. Burgis, K. Kersting, R. Bertrand, and D.S. Dhami, Machine Learning: Sci. Technol. 5, id. 025069 (2024).R.H. Ibrahim and A.R.H. Saleh, Iraqi J. Science 65(2), 1129 (2024).B. Wu, Y. Zhou, C.W. Lim, and H. Zhong, Acta Astronautica 202, 303 (2023).R.I. Abdulganiy, H. Ramos, J.A. Osilagun, S.A. Okunuga, and S. Qureshi, Comp. and Appl. Math. 42(8), 327 (2023).F.G. Orlando, C. Farina, C.A. Zarro, and P. Terra, Amer. J. Physics 86(11), 849 (2018).T.J. Ypma, SIAM Rev. 37(4), 531 (1995).C. Siewert and E.E. Burniston, Celestial mechanics 6(3), 294 (1972).A.E. Dubinov and I.N. Galidakis, Physics of Particles and Nuclei Letters 4(3), 139 (2007).J. Friedman, J. Complexity 5(1), 12 (1989).А. Колмогоров, С. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа (M: Наука, 1976).М.К. Абубекеров, Н.Ю. Гостев, Астрон. журн. 97(12), 1022 (2020).J.M.A. Danby and T.M. Burkardt, Celestial mechanics 31, 95 (1983).A.C. Aitken, Proc. Royal Soc. Edinburgh 46, 289 (1927).E. Halley, Philosoph. Transactions Roy. Soc. London 18(210), 136 (1707).E.W. Ng, Celestial mechanics 20(3), 243 (1979).B.A. Conway, Celestial mechanics 39, 199 (1987).V. Raposo-Pulido and J. Pelaez, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 467(2), 1702 (2017).G.R. Smith, Celestial Mechanics 19, 163 (1979).A.W. Odell and R.H. Gooding, Celestial Mechanics 38(4), 307 (1986).J.M.A. Danby, Celestial mechanics 40(3−4), 303 (1987).E.D. Charles and J.B. Tatum, Celest. Mech. Dyn. Astron. 69, 357 (1997).M.J. Bergam and J.E. Prussing, J. Astronaut. Sci. 30, 75 (1982).L.G. Taff and T.A. Brennan, Celest. Mech. Dyn. Astron. 46, 163 (1989).R. Esmaelzadeh and H. Ghadiri, Intern. J. Computer Appl. 975, 8887 (2014).P. Colwell, American Math. Monthly 99(1), 45 (1992).J.L. Lagrange, Nouvelle methode pour resoudre les equations litterales par le moyen des series (Chez Haude et Spener, Libraires de la Cour and de l’Academie royale, 1770).D. Merlini, R. Sprugnoli, and M.C. Verri, Acta Applicandae Math. 94(3), 233 (2006).P. Pardal, M.P. de Melo, J.F.N. de Oliveira, L. de Oliveira Ferreira, P. Nishimoto, and R.V. Garcia, in book: Colecao desafios das engenharias: Engenharia mecanica 2, p. 19 (2021).J. Dutka, Archive History Exact Sci. 49(2), 105 (1995).P. Haggstrom, The basics of Bessel functions (Bondi Beach Public School, 2023).A. Alshaery and A. Ebaid, Acta Astronautica 140, 27 (2017).G. Adomian and R.J. Rach, Math. Analysis and Appl. 105(1), 141 (1985).R. Borghi, arXiv:2112.15154 [math.CA] (2021).D. Mortari and A. Clocchiatti, Celest. Mech. Dyn. Astron. 99, 45 (2007).R.H. Gooding and A.W. Odell, Celestial mechanics 44(3), 267 (1988).V. Raposo-Pulido and J. Pelaez, Astron. and Astrophys. 619, id. A129 (2018).A. Ebaid, R. Rach, and E. El-Zahar, Acta Astronautica 138, 1 (2017).