Sensory SystemsSensory SystemsСенсорные системы0235-00923034-5936The Russian Academy of Sciences67578410.31857/S0235009224020059DDKZPOТЕХНИЧЕСКОЕ ЗРЕНИЕResearch ArticleRecognition of projectively transformed planar figures. XVII. Using plucker’s reciprocity theorem to describe ovals with an external fixed pointРаспознавание проективно преобразованных плоских фигур. XVII. Привлечение теоремы взаимности Плюккера для описания овалов с внешней фиксированной точкойNikolaevP. P.НиколаевП. П.
Russian Federation
nikol@iitp.ruA. A. Kharkevich Institute of Information Transmission Problems of the Russian Academy of SciencesИнститут проблем передачи информации им А. А. Харкевича РАНSmart Engines Service LLCООО “Смарт Энджинс Сервис”01082024382629328022025Copyright ©; 2024, Russian Academy of SciencesCopyright ©; 2024, Российская академия наук2024Russian Academy of SciencesРоссийская академия наукhttps://journals.eco-vector.com/0235-0092/article/view/675784

An approach to a projectively invariant description of a family of ovals (o) in scenes where the figure o is given in a composition with an external point, P, fixed in its plane is considered, and in cases where o has hidden symmetries (central or axial), the position of P is not specified in the form of an additional condition defining the scene, but can be calculated through the symmetry parameters. The invariant description, as a general universal method for numerical processing of compositions like “o + ext-P”, is proposed to be implemented in the form of Wurf mappings.The method uses the apparatus of dual pairs (DP) and wurf functions,previously developed and described by us, which are a product of decomposition of statements of the reciprocity theorem proposed by J. Plьcker to describe the properties of quadratic curves (conics).Illustrated examples of special cases of the “o + ext-P”composition are considered and discussed, actually completing the topic of studying the scenes like “an oval and a linear element of the plane”, which are classified according to the types of symmetry of o.

Рассмотрен подход к проективно инвариантному описанию семейства овалов (о) в сценах, где фигура о задана в композиции с фиксированной в ее плоскости внешней точкой P, причем в случаях, когда о обладает скрытыми симметриями (центральной либо осевой), позиция P не задается в виде дополнительного условия, комплектующего сцену, а может быть вычислена через параметры симметрии. Инвариантное описание, как общий универсальный метод численной обработки композиций вида “о + ext-P”, предлагается реализовать в виде вурф-отображений. Метод привлекает разработанный и описанный нами аппарат дуальных пар (ДП) и вурф-функций, представляющих собой продукт декомпозиции утверждений теоремы взаимности, предложенной Ю. Плюккером для описания свойств квадратичных кривых (коник). Модельные иллюстрированные примеры частных случаев композиции “о + ext-P” рассмотрены и обсуждены, фактически завершая тему исследования сцен вида “овал и линейный элемент плоскости”, классифицируемых по типам симметрии о.

ovalcenter and axis of symmetryPlücker pole and polar curvedual pairharmonic wurfplanar wurfwurf functiondescriptorLamé curveовалцентр и ось симметрииплюккеровы полюс и полярадуальная парагармонический вурфплоскостной вурфвурф-функциядескрипторкривая ЛамеAkimova G.P., Bogdanov D.S., Kuratov P.A. Zadacha proektivno invariantnogo opisanija ovalov s nejavno vyrazhennoj central’noj i osevoj simmetriej i princip dvojstvennosti Pljukkera [Task projectively the invariant description of ovals with implicitly expressed central and axial symmetry and the principle of a duality of Plucker]. Trudy ISA RAN [Proceedings of the ISA RAS]. 2014. V. 64(1). P. 75–83. (in Russian).Акимова Г.П., Богданов Д.С., Куратов П.А. Задача проективно инвариантного описания овалов с неявно выраженной центральной и осевой симметрией и принцип двойственности Плюккера. Труды ИСА РАН. 2014. Т. 64. № 1. С. 75–83.Balitsky A.M., Savchik A.V., Gafarov R.F., Konovalenko I.A. O proektivno invariantnyh tochkah ovala s vydelennoj vneshnej pryamoj. [On projective invariant points of oval coupled with external line]. Problemy peredachi informacii [Problems of Information Transmission]. 2017. V. 53(3). P. 84–89. (in Russian). https://doi.org/10.1134/S0032946017030097Балицкий А.М., Савчик А.В., Гафаров Р.Ф., Коноваленко И.А. О проективно инвариантных точках овала с выделенной внешней прямой. Проблемы передачи информации. 2017. Т. 53. № 3. С. 84–89. https://doi.org/10.1134/S0032946017030097Glagolev N.A. Proektivnaya geometriya [Projective geometry]. Moscow, Vysshaya shkola [High school]. 1963. 344 p. (in Russian).Глаголев Н.А. Проективная геометрия. М. Высш. шк., 1963. 344 с.Deputatov V.N. K voprosu o prirode ploskostnyh vurfov [On the nature of the plane wurfs]. Matematicheskij sbornik [Mathematical collection]. 1926. V. 33(1). P. 109–118. (in Russian).Депутатов В.Н. К вопросу о природе плоскостных вурфов. Математический сборник. 1926. Т. 33. № 1. С. 109–118.Kartan Je. Metod podvizhnogo repera, teoriya nepreryvnykh grupp i obobshchennye prostranstva. Sb. Sovremennaya matematika. Kniga 2-ya [The method of a moving ranging mark, the theory of continuous groups and generalized spaces]. Moscow, Leningrad, Gosudarstvennoe tehniko-teoreticheskoe izdatel’stvo [State technical and theoretical publishing]. 1933. 72 p. (in Russian).Картан Э. Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства. Сб. Современная математика. Кн. 2-я. М., Л.: Гос. технико-теор. изд-во, 1933. 72 с.Modenov P.S. Analiticheskaya geometriya [Analytic geometry]. Moscow, Izdatel’stvo moskovskogo universiteta [Moscow University Press]. 1969. 699 p. (in Russian).Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. 699 с.Nikolaev P.P. Metod proektivno invariantnogo opisaniya ovalov s osevoi libo tsentral’noi simmetriei [A method for projectively-invariant description of ovals having axial or central symmetry]. Informatsionnye tekhnologii i vychislitel’nye sistemy. 2014. No. 2. P. 46–59. (in Russian).Николаев П.П. Метод проективно инвариантного описания овалов с осевой либо центральной симметрией. Информационные технологии и вычислительные системы. 2014. № 2. C. 46–59.Nikolaev P.P. O zadache proektivno invariantnogo opisaniya ovalov s simmetriyami trekh rodov [A projective invariant description of ovals with three possible symmetry genera]. Vestnik RFFI [RFBR Information Bulletin]. 2016. V. 92(4). P. 38–54. DOI: 10.22204/2410-4639-2016-092-04-38-54 (in Russian).Николаев П.П. О задаче проективно инвариантного описания овалов с симметриями трех родов. Вестник РФФИ. 2016. Т. 92. № 4. С. 38–54. DOI: 10.22204/2410-4639-2016-092-04-38-54Nikolayev P.P. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. II. Oval v kompozitsii s dual’nym ehlementom ploskosti. [Recognition of projectively transformed planar figures. II. An oval in a composition with a dual element of a plane]. Sensornye sistemy [Sensory systems]. 2011. V. 25(3). P. 245–266. (in Russian).Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. II. Овал в композиции с дуальным элементом плоскости. Сенсорные системы. 2011. Т. 25. № 3. С. 245–266.Nikolayev P.P. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. VIII. O vychislenii ansamblya rotacionnoj korrespondencii ovalov s simmetriej vrashheniya [Recognition of projectively transformed planar figures. VIII. On computation of the ensemble of correspondence for “rotationally symmetric” ovals]. Sensornye sistemy [Sensory systems]. 2015. V. 29(1). P. 28–55. (in Russian).Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. VIII. О вычислении ансамбля ротационной корреспонденции овалов с симметрией вращения. Сенсорные системы. 2015. Т. 29. № 1. C. 28–55.Nikolayev P.P. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. X. Metody poiska okteta invariantnykh tochek kontura ovala – itog vklyucheniya razvitoi teorii v skhemy ego opisaniya [Recognition of projectively transformed planar figures. X. Methods for finding an octet of invariant points of an oval contour – the result of introducing a developed theory into the schemes of oval description]. Sensornye sistemy [Sensory systems]. 2017. V. 31(3). P. 202–226. (in Russian).Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. X. Методы поиска октета инвариантных точек контура овала – итог включения развитой теории в схемы его описания. Сенсорные системы. 2017. Т. 31. № 3. С. 202–226.Nikolaev P.P. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. XII. O novykh metodakh proektivno invariantnogo opisaniya ovalov v kompozitsii s lineinym elementom ploskosti [Recognition of projectively transformed planar figures. XII. On new methods for projectively-invariant description of ovals in composition with a linear element of a plane]. Sensornye sistemy [Sensory systems]. 2019. V. 33(1). P. 15–29. (in Russian). https://doi.org/10.1134/S0235009219030077Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. XII. О новых методах проективно инвариантного описания овалов в композиции с линейным элементом плоскости. Сенсорные системы. 2019. Т. 33. № 1. С. 15–29. https://doi.org/10.1134/S0235009219030077Nikolaev P.P. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. XV. Metody poiska osej i centrov ovalov s simmetriyami, ispol’zujushhie set dual’nyh par libo triady chevian [Recognition of projectively transformed planar figures. XV. Methods for searching for axes and centers of ovals with symmetries, using a set of dual pairs of cevian triads]. Sensornye sistemy [Sensory systems]. 2021. V. 35(1). P. 55–78. (in Russian). https://doi.org/10.31857/S0235009221010054Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. XV. Методы поиска осей и центров овалов с симметриями, использующие сет дуальных пар либо триады чевиан. Сенсорные системы. 2021. Т. 35. № 1. С. 55–78. https://doi.org/10.31857/S0235009221010054Nikolayev P.P. Raspoznavanie proektivno preobrazovannykh ploskikh figur. XVI. Oktet proektivno stabil’nykh vershin ovala i novye metody etalonnogo ego opisaniya, ispol’zuyushchie oktet. [Recognition of projectively transformed planar figures. XIV. The octet of projectively stable vertices of the oval and new methods for its reference description using the octet]. Sensornye sistemy [Sensory sistems]. 2022. V. 36(1). P. 61–89. (in Russian). https://doi.org/10.31857/S023500922201005XНиколаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. XVI. Октет проективно стабильных вершин овала и новые методы эталонного его описания, использующие октет. Сенсорные системы. 2022. Т. 36. № 1. С. 61–89. https://doi.org/10.31857/S023500922201005XSavelov A.A. Ploskie krivye. Sistematika, svojstva, primeneniya [Flat curves. Systematics, properties, applications]. M. Gos. izd-vo fiziko-matematicheskoj literatury [Moscow. State publishing house of physical and mathematical literature], 1960. 293 p. (in Russian).Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Гос. изд-во физико-матем. лит-ры, 1960. 293 с.Savchik A.V., Nikolaev P.P. Teorema o peresechenii T- i H- polyar [The Theorem of T- and H-Polars Intersections Count]. Informacionnye process [Information processes]. 2016. V. 16(4). P. 430–443 (in Russian).Савчик А.В., Николаев П.П. Теорема о пересечении T- и H-поляр. Информационные процессы. 2016. Т. 16. № 4. C. 430–443.Brugalle E. Symmetric plane curves of degree 7: Pseudoholomorphic and algebraic classifications. Journal fur Die Reine und Angewandte Mathematic (Crelles Journal). 2007. V. 612. P. 1–38. https://doi.org/10.1515/CRELLE.2007.086Carlsson S. Projectively invariant decomposition and recognition of planar shapes. International Journal of Computer Vision. 1996. V. 17(2). P. 193–209. https://doi.org/10.1007/BF00058751Faugeras O. Cartan’s moving frame method and its application to the geometry and evolution of curves in the euclidean, affine and projective planes. Joint European-US Workshop on Applications of Invariance in Computer Vision. Berlin, Heidelberg. Springer, 1993. P. 9–46. https://doi.org/10.1007/3-540-58240-1_2Gardner M. Piet Hein’s Superellipse, Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York. Vintage Press, 1977. 240–254 p.Hann C.E., Hickman M.S. Projective curvature and integral invariants. Acta Applicandae Mathematica. 2002. V. 74(2). P. 177–193. https://doi.org/10.1023/A:1020617228313Hoff D., Olver P.J. Extensions of invariant signatures for object recognition. Journal of mathematical imaging and vision. 2013. V. 45. P. 176–185. https://doi.org/10.1007/s10851-012-0358-7Itenberg I.V., Itenberg V.S. Symmetric sextics in the real projective plane and auxiliary conics. Journal of Mathematical Sciences. 2004. V. 119(1). P. 78–85. https://doi.org/10.1023/B:JOTH.0000008743.36321.72Lebmeir P., Jurgen R.-G. Rotations, translations and symmetry detection for complexified curves. Computer Aided Geometric Design. 2008. V. 25. P. 707–719. https://doi.org/10.1016/j.cagd.2008.09.004Musso E., Nicolodi L. Invariant signature of closed planar curves. Journal of mathematical imaging and vision. 2009. V. 35(1). P. 68–85. https://doi.org/10.1007/s10851-009-0155-0Olver P.J. Geometric foundations of numerical algorithms and symmetry. Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 2001. V. 11. P. 417–436. https://doi.org/10.1007/s002000000053Sanchez-Reyes J. Detecting symmetries in polynomial Bezier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2015. V. 288. P. 274–283. https://doi.org/10.1016/j.cam.2015.04.025