The paper is devoted to the study of the possibility of calibrating the time series model of the underlying asset on the basis of market quotes of options on this asset. Market prices of options reflect the expectations of traders on the future dynamics of the underlying asset. At the beginning of the paper we present the general form of the ARIMA-GARCH time series model, as well as the form of the ARMA-GARCH model corresponding to the martingale risk-neutral probability measure. Next, the paper presents the formulation of the optimization problem of calibrating the risk-neutral model of logarithmic returns of the underlying asset based on the market prices of European options using the Monte Carlo method. The method of stochastic gradient approximation projection is applied to solve the problem. It is then shown how the form of the model changes when switching from a risk-neutral to a risk-averse probability measure under the assumption of the agent’s power utility function. The paper presents the results of calibrating the models on historical data on the quoted prices of the S&P500 index and the prices of European options on this index over the period from 2019 to 2023. Finally, the statistical test of Crnkovic–Drachman is performed to assess the accuracy of the calibrated models of the underlying asset returns for different future points in time.
Работа посвящена исследованию возможности калибровки модели временнóго ряда базового актива на основе рыночных котировок опционов на этот актив. Рыночные цены опционов отражают ожидания участников торгов будущей динамики базового актива. Приводится общая форма модели временного ряда ARIMA-GARCH, а также форма модели ARMA-GARCH, соответствующая мартингальной риск-нейтральной вероятностной мере. Формулируется оптимизационная задача калибровки риск-нейтральной модели логарифмических доходностей базового актива на основе рыночных цен европейских опционов с помощью метода Монте-Карло. Для ее решения применяется метод проекции стохастической аппроксимации градиента. Показано изменение формы модели при переходе от риск-нейтральной к физической вероятностной мере в предположении степенной функции полезности агента. Приведены результаты калибровки моделей на исторических данных о котировках индекса S&P500 и ценах европейских опционов на этот индекс за период с 2019 по 2023 г. Статистический тест Црнковича–Драхмана позволяет оценить точность откалиброванных моделей доходностей базового актива для будущих моментов времени.