Доклады Академии наукДоклады Академии наукДоклады Академии наук0869-5652The Russian Academy of Sciences1582310.31857/S0869-56524874376-380MechanicsМеханикаResearch ArticleOn bifurcation of the four Liouville tori in one generalized integrable model of the vortex dynamicsО бифуркации четырёх торов Лиувилля в одной обобщённой интегрируемой модели вихревой динамикиRyabovP. E.РябовП. Е.
Russian Federation
peryabov@fa.ruFinance University under the Government of the Russian FederationФинансовый университет при Правительстве Российской ФедерацииInstitute of Machines Sciense named after A.A. Blagonravov of the Russian Academy of SciencesИнститут машиноведения имени А.А. Благонравова Российской академии наукUdmurt State UniversityУдмуртский государственный университет2708201948743763802308201923082019Copyright ©; 2019, Russian academy of sciencesCopyright ©; 2019, Российская академия наук2019Russian academy of sciencesРоссийская академия наукhttps://journals.eco-vector.com/0869-5652/article/view/15823

The article deals with a generalized mathematical model of the dynamics of two point vortices in the Bose-Einstein condensate enclosed in a harmonic trap, and of the dynamics of two point vortices in an ideal fluid bounded by a circular region. In the case of a positive vortex pair, which is of interest for physical experimental applications, a new bifurcation diagram is obtained, for which the bifurcation of four tori into one is indicated. The presence of bifurcations of three and four tori in the integrable model of vortex dynamics with positive intensities indicates a complex transition and the connection of bifurcation diagrams of both limit cases. Analytical results of this publication (the bifurcation diagram, the reduction to a system with one degree of freedom, the stability analysis) form the basis of computer simulation of absolute dynamics of vortices in a fixed coordinate system in the case of arbitrary values of the physical parameters of the model (the intensities, the vortex interaction and etc.).

Рассматривается обобщённая математическая модель динамики двух точечных вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате, заключённом в гармоническую ловушку, и динамики двух точечных вихрей в идеальной жидкости, ограниченной круговой областью. В случае положительной вихревой пары, представляющей интерес для физических экспериментальных приложений, получена новая бифуркационная диаграмма, для которой показано наличие бифуркации четырёх торов в один. Бифуркации трёх и четырёх торов в интегрируемой обобщённой модели вихревой динамики с положительными интенсивностями свидетельствуют о сложном переходе и связи бифуркационных диаграмм обоих предельных случаев. Аналитические результаты данной публикации (бифуркационная диаграмма, сведение к системе с одной степенью свободы, анализ устойчивости) составляют основу компьютерного моделирования абсолютной динамики вихрей в фиксированной системе координат при произвольных значениях физических параметров модели (интенсивностей, параметра вихревого взаимодействия и др.).

completely integrable hamiltonian systemsbifurcation diagram of momentum mappingbifurcations of Liouville toridynamics of vorticesBose-Einstein condensateвполне интегрируемые гамильтоновы системыбифуркационная диаграмма отображения моментабифуркации торов Лиувиллядинамика вихрейбозе-эйнштейновский конденсатMinistry of Education and Science of the Russian FederationМинистерство образования и науки Российской ФедерацииRussian Foundation for Basic ResearchРоссийский фонд фундаментальных исследованийTorres P.J., Kevrekidis P.G., Frantzeskakis D.J., Carretero-Gonzalez R., Schmelcher P., Hall D.S. Dynamics of Мortex Вipoles in Сonfined Bose-Einstein Сondensates // Phys. Lett. A. 2011. V. 375. P. 3044-3050.Navarro R., Carretero-González R., Torres P.J., Kevrekidis P.G., Frantzeskakis D.J., Ray M.W., Altuntas E., Hall D.S. Dynamics of Few Co-Rotating Vortices in Bose-Einstein Condensates // Phys. Rev. Lett. 2013. V. 110. № 22. P. 225 301-1-6.Koukouloyannis V., Voyatzis G., Kevrekidis P.G. Dynamics of Three Noncorotating Vortices in Bose-Einstein Condensates // Phys. Rev. E. 2014. V. 89. № 4. P. 042 905-1-14.Greenhill A.G. Plane Vortex Motion // Quart. J. Pure Appl. Math. 1877/78. V. 15. № 58. P. 10-27.Kilin A.A., Borisov A.V., Mamaev I.S. The Dynamics of Point Vortices Inside and Outside a Circular Domain. In: Basic and Applied Problems of the Theory of Vortices. Izhevsk: Regular and Chaotic Dynamics / Inst. Comput. Sci., 2003. P. 414-440.Kilin A.A., Borisov A.V., Mamaev I. S. The Dynamics of Point Vortices Inside and Outside a Circular Domain. In: Mathematical Methods of Vortex Structure Dynamics. M.; Izhevsk: Regular and Chaotic Dynamics / Inst. Comput. Sci., 2005. P. 148-173.Sokolov S.V., Ryabov P.E. Bifurcation Analysis of the Dynamics of Two Vortices in a Bose-Einstein Condensate. The Case of Intensities of Opposite Signs // Reg. and Chaot. Dyn. 2017. V. 22. № 8. P. 979-998.Соколов С.В., Рябов П.Е. // ДАН. 2018. Т. 480. № 6. С. 652-656.Рябов П.Е. // ДАН. 2019. Т. 485. № 6. С. 670-675.Ryabov P.E., Sokolov S.V. Phase Topology of Two Vortices of the Identical Intensities in Bose-Einstein Condensate // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2019. V. 15. № 1. P. 59-66.Болсинов А.В., Борисов А.В., Мамаев И.С. // УМН. 2010. Т. 65. № 2. С. 71-132.