Introduction. In general, the physiological response of tissues to external stresses is not linear in accordance with Hooke's law. Biological tissues are known to exhibit a nonlinear relationship between stress and strain, although the origins of this nonlinearity remain incompletely understood. In the literature, authors over the years have proposed many forms of σ-ε correspondence, but this question is still open.
The aim of the study. The article formalizes the characteristics of the elastic properties of soft biological tissues. Elastic behavior is considered within the framework of a two-phase elastin-collagen bilinear model with a variable elastic modulus and its detailed statistical analysis is performed.
Methods. Calculations were performed using the computer algebra system Mathcad 15.0 using the built-in fitting functions linfit, genfit, pwrfit and corr. The residual parameters of the experimental and model data were assessed using descriptive statistics.
Results. The correlation range of empirical and model data was R=0.8696–0.9845, the median of the correlation coefficient was 0.9616, the coefficient of variation was CV=0.03, which indicates a strong connection between the studied random variables and the homogeneity of the calculation procedures. The critical value of deformation ε=εcr, at which the mechanism of tissue deformation changes from elastin to collagen in the tissues of living organisms (median 0.38) is quite variable (CV 1.06). The median of the bilinear model parameters E1 and E2 were set to 0.02 MPa and 8.0 MPa, the CV was 0.35 and 0.79, respectively. Data outlier points have been identified. Based on the calculations performed, it was concluded that the Young’s modulus of collagen fibers in the tissues of the studied organs is a significant number of times (greater than the elastic modulus of elastin structures; average value 3071.36, median 160.00, CV 0.29), which is consistent with the literature data. The stress-strain relationships of phenomenological models alternative to the bilinear one are obtained. As a numerical example, the tissues of the periodontal ligament of the human central incisor are considered.
Conclusion. To describe the mechanism of evolution of the deformation properties of biological tissues, the terminology of the physics of phase transitions, accompanied by a change in symmetry, is used. It is proposed to consider as an order parameter the measure of «involvement» of collagen structures in the overall resistance of tissues to deformation, which is determined by the degree of «linearization» of the branched collagen network in the direction of the action of uniaxial load.
Введение. В общем случае физиологический ответ тканей на внешние напряжения не является линейным. Известно, что биологические ткани демонстрируют нелинейную зависимость между напряжением и деформацией, хотя истоки этой нелинейности остаются до конца не изученными. В литературе авторы в разные годы предлагали немало форм соответствия σ-ε, но этот вопрос до сих пор является открытым.
Цель работы. В статье формализованы характеристики упругих свойств мягких биологических тканей. Упругое поведение рассмотрено в рамках двухфазной эластин-коллагеновой билинейной модели с переменным модулем упругости и выполнен ее детальный статистический анализ.
Методы. Расчеты производились с помощью системы компьютерной алгебры Mathcad 15.0 с помощью встроенных подгоночных функций linfit, genfit, pwrfit и corr. Параметры невязки опытных и модельных данных оценивали с помощью показателей описательной статистики.
Результаты. Диапазон корреляции эмпирических и модельных данных составил R=0,8696–0,9845, медиана коэффициента корреляции – 0,9616, коэффициент вариации – CV=0,03, что свидетельствует о сильной связи исследованных случайных величин и однородности расчетных процедур. Критическое значение деформации ε=εкр, при которой происходит смена механизма деформирования тканей с эластинового на коллагеновый в тканях живых организмов (медиана 0,38) достаточно вариабельно (CV 1,06). Медиана параметров билинейной модели E1 и E2 установлена равной 0,02 МПа и 8,0 МПа, CV составил 0,35 и 0,79 соответственно. Определены точки выбросов данных. На основании выполненных расчетов сделан вывод, что модуль Юнга коллагеновых волокон тканей исследованных органов в значительное число раз (больше упругого модуля эластиновых структур; среднее значение 3071,36; медиана 160,00, CV 0,29), что согласуется с литературными данными. Получены зависимости напряжение-деформации феноменологических моделей, альтернативных билинейной. В качестве численного примера рассмотрены ткани периодонтальной связки центрального резца человека.
Заключение. Для описания механизма эволюции деформационных свойств биотканей привлечена терминология физики фазовых переходов, сопровождающихся изменением симметрии. Предложено рассматривать в качестве параметра порядка меру «вовлеченности» коллагеновых структур в общую сопротивляемость тканей деформациям, которая определяется степенью «линеаризации» разветвленной коллагеновой сети в направлении действия одноосной нагрузки.