О ТЕСТИРОВАНИИ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ВЯЗКОЙ ДИФФУЗИИ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ ГАЗА В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Полный текст

При расчете течений воздуха с относительно большими дозвуковыми скоростями возникает подзадача расчета вязкости потока с учетом сжимаемости. Соответствующие уравнения данной подзадачи приводятся, например, в [1, 2]. Правильный выбор шага интегрирования по времени является важным при расчете таких течений. В предыдущих работах [3, 4] автором было найдено правило для выбора шага по времени в подзадаче диффузии для несжимаемого потока. Протестируем это правило для случая сжимаемого течения. Тестирование будем производить на примере двумерной задачи об импульсном старте плоской пластины (задача Стокса) [5]. 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА МЕТОДА Уравнения Навье-Стокса для сжимаемого газа [1] в двумерном случае имеют вид , . (1) Для замыкания задачи необходимо добавить уравнение неразрывности (2) и энергии , (3) где . (4) Здесь , , (5) . Также необходимо добавить уравнение состояния , или . (6) При этом коэффициент динамической вязкости для воздуха для (1) и (5) определяется следующим выражением [2] . (7) При решении данной задачи методами, использующими расщепление по физическим процессам, возникает задача о моделировании процесса диффузии. Данная задача будет описываться следующими уравнениями , , (8) . (9) Для конечно-разностной аппроксимации системы уравнений (8, 9) использовались следующие схемы: , , (10) , , где - шаг по времени, а и - по пространству. Индекс i отвечает за изменение переменной вдоль оси x, j - вдоль оси y. Остальные производные аппроксимируются аналогичным образом. Граничные условия прилипания потока на поверхности пластины для слоя фиктивных ячеек , находящихся с «обратной стороны» пластины, сводятся к , , (11) где ячейка с координатами (i,0) является прилегающей к поверхности пластины. В работах [3, 4] было показано, что при выборе шага по времени в виде (12) ошибка численного решения уравнения диффузии с помощью схемы «донор-акцептор» и схемы «вперед по времени, центральная по пространству» (ВВЦП) зависит только от константы k и от количества сделанных шагов по времени. Здесь h - шаг ячейки расчетной сетки по пространству . В работе [4] путем серии численных экспериментов было найдено значение , при котором ошибка решения минимальна. Применим это значение и в нашей численной схеме. 2. ТЕСТИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОЙ СХЕМЫ В качестве тестовой задачи была выбрана первая задача Стокса об импульсном старте плоской стенки [5]. При обращенном движении эту задачу можно рассматривать как продольное обтекание бесконечно длинной плоской пластины равномерным потоком со скоростью u. В данном случае аналитическое решение данной задачи имеет вид , . (13) Расчетная область представляла собой прямоугольник размерами , в центре которого в направлении, совпадающем с осью OX, располагалась плоская пластина длины b. Использовалась однородная расчетная сетка ячеек. Были получены профили безразмерной скорости (14) для трех сечений, располагавшихся на расстояниях: 0.25b, 0.5b, 0.75b, - от переднего края пластины в численной схеме. В силу выбора переменной данные профили будут совпадать для разных сечений, и для трех проведенных расчетов. Эти численные расчеты были со следующими начальными условиями (см. таблицу 1). Остальные одинаковые для всех трех случаев начальные условия были равны: скорость набегающего потока м/с, температура K, динамическая вязкость кг/(м×с). При проведении расчетов для разных величин h и n выяснилось, что, как и в [3, 4], порядок ошибки численного решения зависит только от константы k и количества сделанных шагов по времени. Максимальная относительная ошибка решения определялась следующим образом , , (15) где - численное решение, - аналитическое решение. Сравнение профиля скорости, полученного численно с помощью рассмотренной схемы, с аналитическим решением показано на рис. 1. При этом для выбранного значения максимальная погрешность для профиля скорости вдоль линии, перпендикулярной центру пластины, (0.5b) составляет 0.32% для всех трех расчетов. Это позволяет сделать вывод, что значения коэффициента k, при котором получается достаточная точность решения задачи Стокса для схемы ВВЦП [4], и схемы, рассмотренной в данной работе, совпадают.

Об авторах

В. В Никонов

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва

Email: v_nikonov@mail.ru
г. Самара, Россия

Список литературы

Дополнительные файлы