Recovering the properties of thecorrelationfunction after the integral transformation

Abstract

In this paper the integral transformation of a random process is analyzed with a sufficiently General formulation of the problem. Similar problems were studied by the author earlier in relation to random functions in the electric power industry. In principle, the problem is to analyze the changes in the correlation function under the influence of the process of the integral filter with the weight function, the “inverse problem” is considered - the output signal is assumed to be known, the parameters of the input signal to be determined. The idealization used in this case consists in the assumption of the stationary of the initial process, as well as the difference structure of the weight function. The paper continues the mathematical description of the action of the linear integral operator on a random function described in the book [6], §7.

Full Text

Будем рассматривать случайный процесс (СП) (либо случайную функцию (СФ)) - X(t), а также примененное к этому СП интегральное преобразование в достаточно общем виде, в отличие от [3]: , (1) здесьw(t,τ) - заданная «весовая» функция двух переменных;Ɵ - интервал осреднения от «прошедшего» времени t-Ɵ к «настоящему» t[6]. Можно определить X(t) как входящий, Y(t) - как исходящий стохастический сигнал. Оговорим некоторые условия, образовав частный случай, который достаточно типичен и будет рассматриваться и в дальнейшем; а именно будем полагать X(t) стационарной в широком смысле случайной функцией и w(t1,t2) = w(t2-t1), зависящей от разности своих аргументов, фактически от одного аргумента t2-t1. Тогда, применяя оператор математического ожидания М[•] к процессу X(t), получим не зависящую от времени величину, М[X(t)] = mx = const. Не составит труда доказать и стационарность СФ Y(t), проанализировав средние от обеих частей (1): Следовательно, Y(t) также является стационарной СФ в широком смысле. Корреляционная функция и ее образ относительно (1) По-прежнему процесс X(t) стационарен в широком смысле, но на функцию w(t1,t2) не наложено пока никаких условий. Корреляционная функция (второго порядка) входного сигнала пусть Kx(t1,t2), а корреляционная функция выходного сигнала пусть Ky(t1,t2): С учетом (1) Kx(t1,t2) и Ky(t1,t2) связаны следующим интегральным соотношением [6]: (2) Для двойного интеграла в правой части логичен переход к новым переменным с целью упрощения аргументов функции Kx(τ2- τ1): . Здесь ξ1, ξ2 - новые переменные;J - якобиан преобразования. Старая область интегрирования D (квадрат) в правой части (2) трансформируется в новую D׳ (параллелограмм), получим[1]: после разбиения новой области интегрирования на две части и перехода к повторным интегралам имеем . (3) Введем обозначения: (4) (5) уравнение связи (3) принимает вид (6) Вернемся к случаю разностного ядра w(t1,t2) = w(t2-t1) и проанализируем свойства функций φ1(t1,t2,ξ2) и φ2(t1,t2,ξ2) при таком условии: применим формулу интегрирования по частям: учли очевидное равенство: Итак: .(7) Далее продифференцируем известную функцию φ1(t1,t2,ξ2) по переменной t2: (8) Правые части соотношений (7) и (8) отличаются только знаком, из чего следует: Решением такого дифференциального уравнения является функция φ1(t2- t1,ξ2)[2], теперь φ1(t1,t2,ξ2) = φ1(t2 - t1,ξ2).Аналогичное свойство легко доказывается и для φ2(t1,t2,ξ2), именно φ2(t1,t2,ξ2) = φ2(t2 - t1,ξ2). Теперь уравнение связи (6) будет выглядеть так: или, после заменыτ = t2- t1, (9) Анализ и решение интегрального уравнения (9) покажет изменение корреляционной функции при достаточно общих условиях осреднения, а также позволит регулировать свойства преобразованного случайного процесса. Книга [6] содержит описание применения интегрального преобразования к корреляционной функции, но достаточно общие аспекты проблемы, в данном случаеприкладные особенности задачи, автор попытался рассмотреть в деталях.
×

About the authors

Vladimir V Kuznetsov

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskayast., Samara,443100, Russian Federation

References

  1. Кузнецов В.В. О нахождении корреляционных функций высших порядков // Сборник тр. 9-й Международной конференции молодых ученых и студентов. Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. Ч. 1-3: Математика. Математическое моделирование.- Самара: СамГТУ, 2008. - С. 99-104.
  2. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. - М.: Физматлит, 2003. - 416 с.
  3. Евдокимов М.А., Кузнецов В.А., Кузнецов В.В. Математические аспекты преобразования случайных процессов//Вестник Самарского технического университета. Сер. Технические науки. - 2008. - №1(21). - С. 69-73.
  4. Кузнецов В.В. Об одном линейном преобразовании несимметричных распределений вероятностей//Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Пятой Всерос. науч.-конф. Ч. 2. - Самара: СамГТУ, 2008. - С. 61-66.
  5. Кузнецов В.В. Использование моментов третьего порядка в расчетах электрических нагрузок//Вестник Самарского технического университета. Сер. Технические науки. - 2009. - № 2 (24). - С. 166-171.
  6. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. - М.: Наука, 1968.

Statistics

Views

Abstract: 55

PDF (Russian): 16

Dimensions

Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies