The sign method of detection and estimation of informative units of multicomponent signals in the presence of external additive noise

Full Text

Обнаружение информативных составляющих многокомпонентных сигналов на фоне естественных или искусственно созданных внешних шумов является классической задачей, с которой приходится сталкиваться в самых различных областях науки и техники. В процессе решения такой задачи информативные составляющие сигнала должны быть извлечены из аддитивной смеси с шумами, создаваемыми внешними источниками. Применение методов обнаружения, различения и оценивания информативных составляющих полезных сигналов играет существенную роль при передаче акустической информации, сигналов дистанционного управления в охранных и технических системах и т. п. Поэтому обнаружение и различение информативных составляющих непрерывных сигналов на фоне внешних шумов, препятствующих передаче, получению и обработке полезной информации, является актуальной задачей [1]. Под обнаружением сигнала понимают констатацию факта его наличия. В случае положительного ответа необходимо обеспечить выделение и восстановление его составляющих. Современные методы анализа зашумленных непрерывных многокомпонентных сигналов основываются на статистических методах оценивания их частотно-временных характеристик. В частности, к таким методам относятся методы гармонического анализа, которые основаны на представлении сложных сигналов с помощью более простых гармонических функций. Наиболее адекватной формой математического описания многокомпонентного сигнала является его представление в виде центрированного, т. е. не имеющего постоянной составляющей, ряда Фурье в базисе гармонических (фильтрующих) составляющих, кратных основной частоте: (1) где и - коэффициенты ряда Фурье; - основная частота. Внешний по отношению к сигналу шум обычно интерпретируют как фоновый с непрерывным спектром, нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией . Тогда с учетом (1) математическая модель полезного сигнала в смеси с аддитивным шумом будет иметь вид (2) Модель (2) имеет нулевое математическое ожидание. Данное допущение основано на том, что постоянная составляющая всегда может быть удалена в результате выполнения предварительной операции центрирования. Отсутствие постоянной составляющей позволяет сосредоточить основное внимание на оценивании гармонических составляющих. С инженерной точки зрения более рациональной формой представления гармонических составляющих является их запись в полярных координатах. В соответствии с этим модель (2) примет вид: (3) , (4) Исходя из (2) - (4) подчеркнем, что гармонический анализ связан с получением на частотах оценок и коэффициентов ряда Фурье и вычислением оценок амплитудного и фазового спектров на фоне шума . На практике широкое распространение получил цифровой гармонический анализ сигналов. Существующие цифровые алгоритмы гармонического анализа позволяют достаточно просто организовать обработку цифровых отсчетов анализируемого сигнала. Однако при малых значениях отношения сигнал/шум малое число разрядов может оказаться недостаточным для точного представления дискретных отсчетов сигналов в широкополосном шуме. При этом выбор числа уровней квантования может быть ограничен, а также может зависеть от разрешающей способности датчиков, регистрирующих сигналы. Кроме того, при равномерном шаге квантования помехозащищенность от шумов будет разной для полезных сигналов с малой амплитудой и с большой. Относительная погрешность квантования для сильных сигналов будет меньше, в то время как для слабых сигналов она будет больше. В соответствии с этим следует использовать методы первичного преобразования сигналов, обеспечивающие рациональное соотношение между точностью цифрового представления и последующей простотой обработки получаемых данных. Для повышения эффективности обнаружения сигналов предлагается использовать знаковое аналого-стохастическое квантование. Данный вид квантования позволяет осуществлять предельно грубое двухуровневое (бинарное) квантование без систематической погрешности независимо от статистических свойств исследуемых сигналов [2-5]. По существу, такое квантование представляет собой нелинейную операцию двухуровневого преобразования, где в качестве порога квантования выступает равномерно распределенный случайный сигнал . В результате такого квантования получаем знаковый сигнал: . (5) Оценки и на интервале времени будем искать в следующем виде [6, 7]: (6) (7) где , . Величина определяет предельное разрешение по частоте дискретных гармонических составляющих. Обозначим и . Будем считать, что . Следовательно, будем иметь . Пусть множество , где , определяет моменты времени, в которые знаковый сигнал на интервале меняет свои текущие значения. Тогда (6) и (7) можно записать следующим образом: (8) (9) Знаковый сигнал принимает значения, равные или , которые чередуются строго последовательно во времени и остаются постоянными в пределах интервалов времени . Поэтому достаточно знать только одно его начальное значение . Принимая это во внимание, интегралы в (8) и (9) можно проинтегрировать аналитически, и оценки и примут вид: ; (10) ; (11) (12) В (10) и (11) перейдем к числовым значениям моментов времени . Тогда , где - период счетных импульсов и . При этом и . В соответствии с этим для непрерывного интервала времени будет иметь место его дискретный аналог , или просто . Кроме того, если , то соответственно и . Подставим в (10) и (11) числовые значения моментов времени и получим следующие соотношения для оценок коэффициентов ряда Фурье: ; (13) . (14) Как следует из (13) и (14), вычисление оценок и свелось к выполнению простейших арифметических операций суммирования и вычитания дискретных значений фильтрующих функций и , вычисленных в моменты времени, когда результат знакового аналого-стохастического квантования меняет свой знак на противоположенный в пределах интервала времени анализа . Таким образом, практическая реализация соотношений (13) и (14) не требует осуществления многочисленных операций цифрового умножения многоразрядных отсчетов в отличие от классического гармонического анализа Фурье, что обеспечивает вычислительную эффективность получения оценок и . Для принятия решения об обнаружении гармонических составляющих используется критерий превышения порогового значения оценками амплитуд гармонических составляющих. Согласно этому критерию устанавливается уровень значимости гармонических составляющих при условии, что вероятность ложного обнаружения не превышает заданного значения. Если , то считается, что гармоническая составляющая с частотой не является значимой, и ее амплитуда принимается равной нулю. На основе (13) и (14) был разработан цифровой алгоритм обнаружения сигналов на фоне внешних аддитивных широкополосных шумов. Апробация данного алгоритма проводилась с использованием имитационного моделирования аналого-стохастического квантования и специально разработанного Windows-приложения в среде MS Visual Studio 2010. В процессе формирования модели (3) гармонические составляющие генерировались с нормированными частотами . При этом их амплитуды удовлетворяли условию , а начальные фазы задавались генератором равномерно распределенных величин от до . Аддитивный шум представлял собой белый шум с нулевым математическим ожиданием и . В частности, модель (3) содержала девять гармонических составляющих, нормированные частоты которых имели значения в пределах от 0,22 до 0,28 с постоянным шагом . На рис. 1 представлены параметры и этих составляющих, а на рис. 2 - результаты вычисления их оценок и , полученные с разрешением 0,0001 единиц нормированной частоты. Ниже в таблице приведены значения отношений сигнал/шум для каждой гармонической составляющей, а также значения относительных погрешностей и для оценок и . На рис. 3 представлены результаты экспериментальных исследований для данного набора гармонических составляющих в графическом виде. Показаны полезный сигнал , сигнал , восстановленный сигнал и нормированная оценка спектра амплитуд . Рис. 1. Параметры гармонических составляющих Рис. 2. Результаты оценивания параметров гармонических составляющих Значения отношений и относительных погрешностей и k , дБ , % , % 1 -20,00 -0,61 0,30 2 -9,76 0,40 0,30 3 -5,19 -0,01 0,05 4 -2,21 0,37 -0,25 5 0,00 -0,03 -0,09 6 -2,21 -0,02 -0,03 7 -5,19 -0,04 0,26 8 -9,76 -0,41 0,02 9 -20,00 0,76 -2,09 Представленные результаты экспериментальных исследований показывают, что положение оценок всех гармонических составляющих в полученном спектре амплитуд соответствует исходным данным. Ложных линий в спектре нет, спектральные линии четко различимы и не маскируют друг друга. Практически все оценки и получены с относительными погрешностями, не превышающими одного процента. Это говорит о высоком качестве их вычисления в статистическом смысле. Потеря информации незначительна. Сравнение полезного и восстановленного сигналов позволяет сделать вывод, что они практически идентичны. Таким образом, благодаря использованию знакового аналого-стохастического квантования можно достаточно эффективно обеспечить устранение влияния аддитивного внешнего шума и получить высокое качество восстановления непрерывных многокомпонентных полезных сигналов. а б в г Рис. 3. Графическое представление результатов экспериментальных исследований: а - полезный сигнал б - сигнал в - нормированный спектр амплитуд г - восстановленный сигнал

About the authors

Vladimir N Yakimov

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Аndrey V Mashkov

Samara State Technical University

Senior Lecture 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Oleg V Gorbachev

Pravo.RU Ltd

Speshialist 17, Moskovskoe sh., Samara, 443013, Russian Federation

References

Supplementary files