Recovering the properties of thecorrelationfunction after the integral transformation

Full Text

Будем рассматривать случайный процесс (СП) (либо случайную функцию (СФ)) - X(t), а также примененное к этому СП интегральное преобразование в достаточно общем виде, в отличие от [3]: , (1) здесьw(t,τ) - заданная «весовая» функция двух переменных;Ɵ - интервал осреднения от «прошедшего» времени t-Ɵ к «настоящему» t[6]. Можно определить X(t) как входящий, Y(t) - как исходящий стохастический сигнал. Оговорим некоторые условия, образовав частный случай, который достаточно типичен и будет рассматриваться и в дальнейшем; а именно будем полагать X(t) стационарной в широком смысле случайной функцией и w(t1,t2) = w(t2-t1), зависящей от разности своих аргументов, фактически от одного аргумента t2-t1. Тогда, применяя оператор математического ожидания М[•] к процессу X(t), получим не зависящую от времени величину, М[X(t)] = mx = const. Не составит труда доказать и стационарность СФ Y(t), проанализировав средние от обеих частей (1): Следовательно, Y(t) также является стационарной СФ в широком смысле. Корреляционная функция и ее образ относительно (1) По-прежнему процесс X(t) стационарен в широком смысле, но на функцию w(t1,t2) не наложено пока никаких условий. Корреляционная функция (второго порядка) входного сигнала пусть Kx(t1,t2), а корреляционная функция выходного сигнала пусть Ky(t1,t2): С учетом (1) Kx(t1,t2) и Ky(t1,t2) связаны следующим интегральным соотношением [6]: (2) Для двойного интеграла в правой части логичен переход к новым переменным с целью упрощения аргументов функции Kx(τ2- τ1): . Здесь ξ1, ξ2 - новые переменные;J - якобиан преобразования. Старая область интегрирования D (квадрат) в правой части (2) трансформируется в новую D׳ (параллелограмм), получим[1]: после разбиения новой области интегрирования на две части и перехода к повторным интегралам имеем . (3) Введем обозначения: (4) (5) уравнение связи (3) принимает вид (6) Вернемся к случаю разностного ядра w(t1,t2) = w(t2-t1) и проанализируем свойства функций φ1(t1,t2,ξ2) и φ2(t1,t2,ξ2) при таком условии: применим формулу интегрирования по частям: учли очевидное равенство: Итак: .(7) Далее продифференцируем известную функцию φ1(t1,t2,ξ2) по переменной t2: (8) Правые части соотношений (7) и (8) отличаются только знаком, из чего следует: Решением такого дифференциального уравнения является функция φ1(t2- t1,ξ2)[2], теперь φ1(t1,t2,ξ2) = φ1(t2 - t1,ξ2).Аналогичное свойство легко доказывается и для φ2(t1,t2,ξ2), именно φ2(t1,t2,ξ2) = φ2(t2 - t1,ξ2). Теперь уравнение связи (6) будет выглядеть так: или, после заменыτ = t2- t1, (9) Анализ и решение интегрального уравнения (9) покажет изменение корреляционной функции при достаточно общих условиях осреднения, а также позволит регулировать свойства преобразованного случайного процесса. Книга [6] содержит описание применения интегрального преобразования к корреляционной функции, но достаточно общие аспекты проблемы, в данном случаеприкладные особенности задачи, автор попытался рассмотреть в деталях.

About the authors

Vladimir V Kuznetsov

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskayast., Samara,443100, Russian Federation

References

Supplementary files