Inverse problem for a nonlinear partial differential equation of the eighth order

Abstract


We study the questions of solvability of the inverse problem for a nonlinear partial differential equation of the eighth order, left-hand side of which is the superposition of pseudoparabolic and pseudohyperbolic operators of the fourth order. The applicability of the Fourier method of separation of variables is proved in study of mixed and inverse problems for a nonlinear partial differential equation of the eighth order. Using the method of separation of variables, the mixed problem is reduced to the study of the countable system of nonlinear Volterra integral equations of the second kind. Use the given additional conditions led us to study of nonlinear Volterra integral equation of the first kind with respect to the second unknown function (with respect to restore function). With the help of nonclassical integral transform the one-value restore of the second unknown function is reduced to study of the unique solvability of nonlinear Volterra integral equation of the second kind. As a result is obtained a system of two nonlinear Volterra integral equations of the second kind with respect to two unknown functions. This system is one-value solved by the method of successive approximations. Further the stability of solutions of the mixed and inverse problems is studied with respect to initial value and additional given functions.

Full Text

Введение. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению прямых и обратных задач математической физики. Теория начальных, смешанных и краевых задач для уравнений в частных производных в силу ее прикладной важности является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. © 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Ю л д а ш е в Т. К. Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 1. С. 136-154. doi: 10.14498/vsgtu1335. 136 Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка Смешанные задачи в теории упругости возникают при расчете различных деталей машин и элементов конструкций, находящихся во взаимодействии, при расчете фундаментов и оснований сооружений [1]. К смешанным задачами также относятся задачи о концентрации напряжений в окрестности всевозможных трещин, инородных включений, подкрепляющих стрингеров и накладок. Смешанные задачи часто встречаются в гидродинамике: это и нелинейные задачи теории крыла и глиссирования, теория струйных течений, теории качки корабля и удара тел о поверхность жидкости, фильтрации, теории взрыва, ряд задач гидроупругости. Дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков [2] представляют интерес с точки зрения физических приложений. Изучение многих задач газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков. Дифференциальные уравнения высоких порядков используют и при построении инвариантных решений дифференциальных уравнений с использованием высшей симметрии и законов сохранения [3]. Изучению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков посвящено немало работ. Дифференциальные уравнения в частных производных четвертого и шестого порядков изучались во многих работах, в частности [4-12]. Однако дифференциальные уравнения в частных производных более высоких порядков [13-22] остаются сравнительно мало изученными. Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной теории дифференциальных уравнений. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено необходимостью разработки математических методов решения обширного класса важных прикладных проблем. Обратную задачу назовем нелинейной, если функция восстановления входит в данное уравнение нелинейно. Нелинейные обратные задачи рассматривались в [23-25]. В данной работе используются следующие известные понятия. Линейное множество aN (t) | aN (t) = a1 (t), a2 (t), . . . , aN (t) ∈ C(DT ) введением нормы N aN (t) N B2 (T ) max |an (t)| = n=1 2 1/2 t∈DT N становится банаховым пространством и обозначается через B2 (T ), где DT ≡ [0; T ]. Наряду с этим пространством также рассматривается банахово пространство B2 (T ) с нормой ∞ a(t) B2 (T ) max |an (t)| = n=1 t∈DT 2 1/2 . Для произвольной функции g(x), x ∈ Dl ≡ [0; l] в пространстве L2 (Dl ) 137 Ю л д а ш е в Т. К. вводится норма 1/2 l g(x) L2 (Dl ) 2 |g(y)| dy = . 0 Для числовой последовательности ϕn в пространстве ∞ ϕ 2 |ϕn |2 = 2 используется норма 1/2 . n=1 3 ˆ3 Рассмотрим пространство Cоболева W2 (D). Обозначим через W2 (D), где 3 (D) таких, что D ≡ DT × Dl , множество функций w(t, x) ∈ W2 w(t, x), ∂2 ∂6 w(t, x), . . . , w(t, x) ∂x2 ∂x6 при фиксированном t ∈ DT принадлежат области определения оператора ∂ 6 /∂x6 с достаточно гладкими функциями из L2 (D), имеют обобщенные производные третьего порядка по t, принадлежащие L2 (D), и обращаются в нуль при t T - δ (величина δ > 0 зависит от w(t, x)). 1. Постановка задачи. В области D рассмотрим уравнение ∂3 ∂4 ∂ -ε + 4 ∂t ∂t∂x2 ∂x ∂2 ∂3 ∂4 -ε 2 2 + 4 ∂t2 ∂t ∂x ∂x u(t, x) = = f (t, x, u(t, x), p(t)) (1) со смешанными u(0, x) = φ1 (x), u(t, 0) = u(t, l) = ut (0, x) = φ2 (x), utt (0, x) = φ3 (x), x ∈ Dl , (2) ∂2 ∂2 u(t, 0) = u(t, l) = 2 ∂x ∂x2 ∂4 ∂4 ∂6 ∂6 = u(t, 0) = u(t, l) = u(t, 0) = u(t, l) = 0 (3) 4 4 6 ∂x ∂x ∂x ∂x6 и интегральным t K(t, s)u(s, x0 )ds = h(t), t ∈ DT , 0 < x0 < l (4) 0 условиями, где f (t, x, u, p) ∈ C(D × R2 ); φ1 (x), φ2 (x), φ3 (x) ∈ C 9 (Dl ); p(t) - 2 функция восстановления; K(t, s) ∈ C(DT ), h(t) ∈ C(DT ); h(0) = 0; D ≡ DT × Dl , DT ≡ [0; T ], Dl ≡ [0; l], 0 < T < ∞, 0 < l < ∞; R2 ≡ R × R; ε > 0 - малый параметр. При ε = 0 левая часть уравнения (1) состоит из суперпозиции двух известных операторов математической физики (параболический и гиперболический 138 Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка операторы четвертого порядка). Правая часть уравнения состоит из функции, нелинейно включающей в себе неизвестную функцию u(t, x) и функцию восстановления p(t). В данной работе решение смешанной задачи (1)-(3) разыскивается в виде ряда [9, 10]: ∞ u(t, x) = an (t)bn (x), (5) n=1 где bn (x) = 2/l sin λn x, λn = nπ/l. 3 Определение. Если функция u(t, x) ∈ W2 (D) удовлетворяет интегральному тождеству T l ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 3 w(t, y) + 2ε - ε2 + ∂t3 ∂t3 ∂y 2 ∂t3 ∂y 4 0 ∂ 6 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) + -ε - +ε + - ∂t2 ∂y 4 ∂t2 ∂y 6 ∂t∂y 4 ∂t∂y 6 ∂y 8 u(t, y) - 0 - f (t, x, u(t, x), p(t)) w(t, y) dydt = l ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) + 2ε - ε2 + ∂t2 ∂t2 ∂y 2 ∂t2 ∂y 4 0 ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) + -ε - +ε dy+ ∂t∂y 4 ∂t∂y 6 ∂y 4 ∂y 6 t=0 l ∂w(t, y) ∂ 3 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) + φ2 (y) - 2ε + ε2 - ∂t ∂t∂y 2 ∂t∂y 4 0 ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) - +ε dy+ ∂y 4 ∂y 6 t=0 l ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) + φ3 (y) -w(t, y) + 2ε - ε2 ∂y 2 ∂y 4 0 = φ1 (y) - t=0 dy ˆ3 для любого w(t, x) ∈ W2 (D), то она называется обобщенным решением смешанной задачи (1)-(3). Применение метода разделения переменных в виде (5) и использование интегрального тождества для определения обобщенного решения позволяет отказаться от непрерывной дифференцируемости правой части уравнения (1). Кроме того, такой подход дает возможность свести смешанную задачу к счетной системе нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ). Для восстановления второй неизвестной функции воспользуемся неклассическим интегральным преобразованием. 2. Сведение решения смешанной задачи к ССНИУ. Покажем, что коэффициенты разложения an (t) обобщенного решения смешанной задачи (1)-(3) удовлетворяют следующей ССНИУ: an (t) = ψn (t, ε)+ 1 + ωn (ε) t ∞ l f s, y, 0 0 ai (s)bi (y), p(s) bn (y)Gn (t, s, ε)dyds, (6) i=1 139 Ю л д а ш е в Т. К. где µ2 (ε)φ1n + φ3n µ4 (ε)φ1n - φ3n n exp -µ2 (ε)t + n2 cos µn (ε)t+ n µ2 (ε) + µ4 (ε) µn (ε) + µ4 (ε) n n n µ2 (ε)φ1n + (1 + µ2 (ε))φ2n + φ3n n sin µn (ε)t, + n µ3 (ε) + µ5 (ε) n n ψn (t, ε) = Gn (t, s, ε) = exp -µ2 (ε)(t - s) + µn (ε) sin µn (ε)(t - s) - cos µn (ε)(t - s), n ωn (ε) = ρ2 (ε)µ2 (ε)(1 + µ2 (ε)), n n n µ2 (ε) = n λ4 n , ρn (ε) ρn (ε) = 1 + µ2 (ε), n начальные данные φjn подбирались из (2) так, что ∞ φjn (x) = φjn bn (x), φjn (x) ∈ L2 (Dl ), j = 1, 2, 3. n=1 Действительно, из определения обобщенного решения имеем T l ∞ an (t)bn (y) - 0 0 n=1 ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 3 w(t, y) + 2ε - ε2 + 3 3 ∂y 2 ∂t ∂t ∂t3 ∂y 4 ∂ 6 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) + -ε - +ε + - ∂t2 ∂y 4 ∂t2 ∂y 6 ∂t∂y 4 ∂t∂y 6 ∂y 8 ∞ - f t, y, l ai (t)bi (y), p(t) w(t, y) i=1 ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) dydt = ∂ 6 w(t, y) + ∂t2 ∂t2 ∂y 2 ∂t2 ∂y 4 0 ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) + -ε - +ε dy+ 4 6 4 ∂t∂y ∂t∂y ∂y ∂y 6 t=0 l ∂ 5 w(t, y) ∂w(t, y) ∂ 3 w(t, y) + - 2ε + ε2 - φ2 (y) ∂t ∂t∂y 2 ∂t∂y 4 0 ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) - +ε dy+ ∂y 4 ∂y 6 t=0 l ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) - ε2 + φ3 (y) -w(t, y) + 2ε 2 ∂y ∂y 4 0 = φ1 (y) - + 2ε - ε2 t=0 dy. 3 Пусть w = wm (t, x) = g(t)bm (x) ∈ W2 (D), g(t) ∈ C 3 (DT ). Тогда из последнего соотношения следует, что t l ∞ an (s)bn (y) -(1 + λ2 ε + λ4 ε2 )g (s)bm (y)+ m m 0 0 + 140 n=1 λ4 (1 m + λ2 ε)g (s)bm (y) - λ4 (1 + λ2 ε)g (s)bm (y) + λ8 g(s)bm (y) - m m m m Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка ∞ - f s, y, ai (s)bi (y), p(s) g(s) dyds = 0. (7) i=1 Так как функции bn (x) ортонормированы в L2 (Dl ), путем интегрирования по частям из (7) можно получить: T g(t) (1 + λ2 ε + λ4 ε2 )an (t)+ n n 0 + λ4 (1 + λ2 ε)an (t) + λ4 (1 + λ2 ε)an (t) + λ8 an (t)- n n n n n ∞ l - f t, y, 0 ai (t)bi (y), p(t) bn (y)dy dt = 0. i=1 Отсюда следует счетная система нелинейных дифференциальных уравнений (1 + λ2 ε + λ4 ε2 )an (t) + λ4 (1 + λ2 ε)an (t) + λ4 (1 + λ2 ε)an (t)+ n n n n n n ∞ l + λ8 an (t) = n f t, y, 0 ai (t)bi (y), p(t) bn (y)dy. (8) i=1 Система (8) решается методом вариации произвольных постоянных: an (t) = C1n exp -µ2 (ε)t + C2n cos µn (ε)t + C3n sin µn (ε)t+ n 1 + ωn (ε) t ∞ l f s, y, 0 0 ai (s)bi (y), p(s) bn (y)Gn (t, s, ε)dyds, (9) i=1 где Gn (t, s, ε) = exp -µ2 (ε)(t - s) + µn (ε) sin µn (ε)(t - s) - cos µn (ε)(t - s), n ωn (ε) = ρ2 (ε)µ2 (ε)(1 + µ2 (ε)), n n n µ2 (ε) = n λ4 n , ρn (ε) ρn (ε) = 1 + µ2 (ε). n Для определения коэффициентов C1n , C2n , C3n в (9) используются условия an (0) = φ1n , an (0) = φ2n , an (0) = φ3n . Тогда из (9) следует ССНИУ (6). Рассмотрим укороченную систему нелинейных интегральных уравнений (УСНИУ): N aN (t) = ψn (t, ε)+ n + 1 N ωn (ε) t N l aN (s)bN (y), p(s) bN (y)GN (t, s, ε)dyds, (10) i i n n f s, y, 0 0 i=1 где 141 Ю л д а ш е в Т. К. N ψn (t, ε) = µ2N (ε)φN + φN µ4N (ε)φN - φN n 1n 3n 1n 3n exp -µ2N (ε)t + n cos µN (ε)t+ n n µ2N (ε) + µ4N (ε) µ2N (ε) + µ4N (ε) n n n n µ2N (ε)φN + (1 + µ2N (ε))φN + φN n 1n 2n 3n + n sin µN (ε)t, n µ3N (ε) + µ5N (ε) n n GN (t, s, ε) = exp -µ2N (ε)(t - s) + µN (ε) sin µN (ε)(t - s) - cos µN (ε)(t - s), n n n n n N ωn (ε) = ρ2N (ε)µ2N (ε)(1 + µ2N (ε)), n n n µ2N (ε) = n λ4N n , ρN (ε) n ρN (ε) = 1 + µ2N (ε). n n 3. Однозначная разрешимость УСНИУ. Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: N T aN (t)bN (y), p(t) i i f t, y, 1) 0 t 2) f (t, x, u, p) ∈ Lip H(t, x) N ψn (t, ε) 3) N B2 (T ) ∆ < ∞; dt L2 (Dl ) i=1 u , где 0 < H(s, x) 0 L2 (Dl ) ds < ∞; < ∞. Тогда УСНИУ (10) при фиксированном значении p(t) имеет единственN ное решение в пространстве B2 (T ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом последовательных приближений. Рассмотрим следующий итерационный процесс: N aN 0 (t) = ψn (t, ε), n N an k+1 (t) = aN 0 (t) + n 1 N (ε) ωn t t ∈ DT , N l aN k (s)bN (y), p(s) × j j f s, y, 0 0 (11) j=1 ×bN (y)GN (t, s, ε)dyds, n n t ∈ DT , k = 0, 1, 2, . . . . Согласно условиям теоремы для первой разности, из (11) следует: aN 1 (t) - aN 0 (t) N n=1 t 1 N (ε) ωn N B2 (T ) N l 0 0 j=1 1/2 N n=1 N t 0 2 × 2 0 · bN (y)GN (t, s, ε) dyds n n j=1 t N l M 1 M2 M3 aN 0 (s)bN (y), p(s) j j f s, y, 0 142 N ωn (s) aN 0 (s)bN (y), p(s) j j f s, y, n=1 1 N l × · bN (y)GN (t, s, ε) dyds n n aN 0 (s)bN (y), p(s) j j f s, y, 0 j=1 dyds 1/2 Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка N t M1 M2 M3 max t∈DT 0 1/2 l 12 dy aN 0 (s)bN (y), p(s) j j f s, y, ds 0 L2 (Dl ) j=1 √ M1 M2 M3 l∆, (12) где N 1/2 1 M1 = n=1 M2 = bN (x) , 2 N ωn (ε) N B2 (l) M3 = GN (t, s) , N B2 (t) . Второе условие теоремы при учете (12) дает оценку для второй разности: aN 2 (t) - aN 1 (t) N B2 (t) t N l M1 M 2 M3 aN 1 (s) - aN 0 (s) · bN (y) dyds j j j H(s, y) 0 0 j=1 t l 2 M 1 M2 M3 H(s, y) aN 1 (s) - aN 0 (s) 0 √ 2 M1 M 2 M 3 l N B2 (s) 0 t 1/2 l aN 1 (s) - aN 0 (s) H 2 (s, y)dy 0 dyds N B2 (s) 0 √ (M1 M3 l)2 (M2 )3 ∆ ds t H(s, x) 0 L2 (Dl ) ds, (13) 1/2 где N 2 · B N (t) = . n=1 | · | 2 Подобно (13), для любого натурального k > 1 справедлива оценка aN k+1 (t) - aN k (t) N B2 (t) t l 2 M1 M 2 M 3 H(s, y) aN k (s) - aN k-1 (s) 0 0 √ N B2 (s) dyds k t k+1 (M1 M3 l) 2k+1 (M2 ) H(s, x) 0 L2 (Dl ) ds ∆ . (14) k! Существование решения УСНИУ (10) следует из справедливости оценок ∞ (12) и (14), так как при k → ∞ последовательность функций aN k (t) k=1 N сходится равномерно по t к функции aN (t) ∈ B2 (T ). N Для доказательства единственности решения в пространстве B2 (T ) предN (t) ∈ B N (T ) и ϑN (t) ∈ положим, что УСНИУ (10) имеет два решения: a 2 N B2 (T ). Тогда для их разности справедлива оценка aN (t) - ϑN (t) N B2 (t) √ 2 M 1 M2 M3 l t H(s, x) 0 L2 (Dl ) aN (s) - ϑN (s) N B2 (t) ds. 143 Ю л д а ш е в Т. К. Отсюда после применения неравенства Гронуолла-Беллмана к последней оценке получаем aN (t) - ϑN (t) B N (T ) ≡ 0 для всех t ∈ DT . Это и доказы2 N вает единственность решения УСНИУ (10) в пространстве B2 (T ). Теорема доказана. 4. Разрешимость смешанной задачи. Подстановка решения СCНИУ (6) в (5) дает формальное решение смешанной задачи (1)-(3): ∞ u(t, x) = ψn (t, ε)+ n=1 + 1 ωn (ε) t ∞ l f s, y, 0 0 ai (s)bi (y), p(s) bn (y)Gn (t, s, ε)dyds bn (x). (15) i=1 Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и ψn (t, ε) B (T ) <∞. 2 N Если aN (t) ∈ B2 (T ) - решение УСНИУ (10), то (15) дает единственное обобщенное решение смешанной задачи (1)-(3). Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим, что limN →∞ PN = 0, где T PN = l ∂ 3 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) + 2ε - ε2 + ∂t3 ∂t3 ∂y 2 ∂t3 ∂y 4 0 0 ∂ 6 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) + -ε - +ε + - ∂t2 ∂y 4 ∂t2 ∂y 6 ∂t∂y 4 ∂t∂y 6 ∂y 8 uN (t, y) - - f t, y, uN (t, y), p(t) w(t, y) dydt- l ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) + 2ε - ε2 + ∂t2 ∂t2 ∂y 2 ∂t2 ∂y 4 0 ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) + -ε - +ε dy- ∂t∂y 4 ∂t∂y 6 ∂y 4 ∂y 6 t=0 l ∂ 3 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) ∂w(t, y) - - 2ε + ε2 - φ2 (y) ∂t ∂t∂y 2 ∂t∂y 4 0 ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) - +ε dy- ∂y 4 ∂y 6 t=0 l ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) - - ε2 dy. (16) φ3 (y) -w(t, y) + 2ε ∂y 2 ∂y 4 t=0 0 - φ1 (y) - С учетом начальных условий an (0) = φ1n , an (0) = φ2n , an (0) = φ3n после интегрирования по частям отдельных слагаемых в (16) и с учетом условий теоремы получаем следующий функционал: 144 Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка N l φN bN (y) 1n n φ1 (y) - PN = 0 + n=1 5 w(t, y) ∂ -ε ∂t∂y 4 0 n=1 - ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) +ε ∂y 4 ∂y 6 N l φN bN (y) 3n n φ3 (y) - + 0 -w(t, y) + 2ε n=1 T t=0 dy+ ∂ 5 w(t, y) ∂w(t, y) ∂ 3 w(t, y) + ε2 - - 2ε ∂t ∂t∂y 2 ∂t∂y 4 φN bN (y) 2n n φ2 (y) - ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) ∂ 2 w(t, y) + 2ε - ε2 + ∂t2 ∂t2 ∂y 2 ∂t2 ∂y 4 ∂ 7 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) - +ε ∂t∂y 6 ∂y 4 ∂y 6 N l + - t=0 dy+ ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) - ε2 ∂y 2 ∂y 4 t=0 dy+ l w(t, y) f (t, y, u(t, y), p(t)) - + 0 0 N l f t, z, uN (t, z), p(t) bN (z)dz bn (y)dydt. (17) n - n=1 0 Поскольку φ1 (x), φ2 (x), φ3 (x) ∈ L2 (Dl ), первые три интеграла в (17) стремятся к нулю при N → ∞. Сходимость разности при N → ∞ в последнем интеграле (17) следует из условия теоремы, т. е. limN →∞ PN = 0, что и требовалось. 5. Устойчивость по начальным данным решения смешанной задачи. Следует отметить, что УСНИУ (10) при N → ∞ является счетной системой нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ). Из доказанных выше двух теорем, в частности, следует однозначная разрешимость ССНИУ (6) в пространстве B2 (T ). Поэтому (15) можно переписать в виде интегрального уравнения Вольтерра второго рода: t l H(t, s, x, y, ε)f (s, y, u(s, y), p(s))dyds, u(t, x) = u0 (t, x) + 0 где u0 (t, x) = (18) 0 ∞ n=1 ψn (t, ε)bn (x), H(t, s, x, y, ε) = ∞ n=1 Gn (t, s, ε)bn (y)bn (x). Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2. Если a(t) ∈ B2 (T ) является решением ССНИУ (6), то решение смешанной задачи (1)-(3) непрерывно зависит от начальных данных (2). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u1 (t, x) и u2 (t, x) - два различные решения смешанной задачи (1)-(3), соответствующие двум различным начальным данным φk1 (x) и φk2 (x), k = 1, 2, 3, соответственно. Положим, что φk1 (x) - φk2 (x) C(Dl ) < δk , αk 0 < δk = const, k = 1, 2, 3, 145 Ю л д а ш е в Т. К. где α1 = 1 + µ(ε) + µ3 (ε) µ(ε) + µ3 (ε) 1 + µ2 (ε) µ3 (ε) + µ5 (ε) , α2 = 2 , α3 = 2 1 + 2µ(ε) + µ5 (ε) µ3 (ε) . 2 Тогда в силу условий теоремы из уравнения (18) следует справедливость оценок u01 (t, x) - u02 (t, x) ∞ n=1 C(Dl ) 1 + µn (ε) + µ3 (ε) n φ11n bn (x) - φ12n bn (x) + µn (ε) + µ3 (ε) n 1 + µ2 (ε) n φ b (x) - φ22n bn (x) + 3 (ε) + µ5 (ε) 21n n µn n 1 + 2µn (ε) + 3 φ31n bn (x) - φ32n bn (x) µn (ε) + µ5 (ε) n C(Dl ) + 3 αk φk1 (x) - φk2 (x) C(Dl ) < δ, (19) k=1 u1 (t, x) - u2 (t, x) u01 (t, x) - u02 (t, x) C(Dl ) t 2 M 1 M 2 M 3 max t∈DT l + C(Dl ) + l H(s, y) u1 (t, y) - u2 (t, y) 0 0 C(Dl ) dyds, (20) где δ = 3 δk , M k = limN →∞ Mk,N , k = 1, 2, 3. k=1 Так как по условию теоремы t l H(s, y)dyds < ∞, 0 0 можно применять неравенства Гронуолла-Беллмана к (20). Тогда с учетом (19) из (20) получаем u1 (t, x) - u2 (t, x) C(Dl ) < ε0 , если положим δ = ε0 exp - 2 M 1 M 2 M 3 max t∈DT l t l H(s, y)dyds , 0 0 где ε0 > 0 - заданное малое число. 6. Однозначная разрешимость обратной задачи. Воспользуемся условием (4). Тогда интегральное уравнение (18) приобретет вид t h(t) = K(t, s)u0 (s, x0 )ds+ 0 146 Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка t + s l K(t, s) H(s, ξ, x0 , y, ε)f (ξ, y, u(ξ, y), p(ξ))dydξds, (21) 0 0 0 где u0 (t, x0 ) = ∞ ψn (t, ε)bn (x0 ), H(t, s, x0 , y, ε) = ∞ Gn (t, s, ε)bn (y)bn (x0 ). n=1 n=1 Уравнение (21) - нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода относительно пары неизвестных функций {u(t, x); p(t)}. Запишем его в следующем виде: t s l K(t, s) 0 H(s, ξ, x0 , y, ε)f (ξ, y, u(ξ, y), p(ξ))dydξds = h(s), 0 (22) 0 где t h(s) = h(t) - K(t, s)u0 (s, x0 )ds. 0 Здесь очевидно, что h(0) = 0. Интегральные уравнения (18) и (22) составляют систему интегральных уравнений относительно пары неизвестных функций {u(t, x); p(t)}: t l u(t, x) = u0 (t, x) + t s l K(t, s) 0 H(t, s, x, y, ε)f (s, y, u(s, y), p(s))dyds, 0 0 (23) H(s, ξ, x0 , y, ε)f (ξ, y, u(ξ, y), p(ξ))dydξds = h(s). 0 0 Для разрешимости системы (23) методом последовательных приближений относительно неизвестной функции p(t) преобразуем уравнение (22). Запишем его в виде t p(t) + F (s)p(s)ds = H1 (t, s, u(s, x), p(s)), 0 где F (t) > 0 - произвольная функция такая, что t exp -η(t) 1, η(t) = F (s)ds 0 и t F (s)p(s)ds + h(t)- H1 (t, s, u(s, y), p(s)) = p(t) + 0 t - s l K(t, s) 0 H(s, ξ, x0 , y, ε)f ξ, y, u(ξ, y), p(ξ) dydξds. 0 0 Отсюда имеем (см. [26]) p(t) = H1 (t, s, u(s, y), p(s)) exp -η(t) + t F (s) exp -η(t - s) H1 t, s, u(s, y), p(s) - H1 s, ξ, u(ξ, y), p(ξ) ds + 0 147 Ю л д а ш е в Т. К. или s t t F (s)p(s)ds + h(t) - p(t) = p(t) + l K(t, s) H(s, ξ, x0 , y, ε)× 0 0 0 0 × f ξ, y, u(ξ, y), p(ξ) dydξds exp -η(t) + t t F (s) exp -η(t - s) p(t) + + t - F (s)p(s)ds + h(t)- 0 0 s l K(t, s) H(s, ξ, x0 , y, ε)f (ξ, y, u(ξ, y), p(ξ))dydξds- 0 0 0 s - p(s) - s F (ξ)p(ξ)dξ - h(s) + ξ l K(s, ξ) 0 H(ξ, ζ, x0 , y, ε)× 0 0 0 × f (ζ, y, u(ζ, y), p(ζ))dydζdξ ds, (24) t где η(t - s) = F (ξ)dξ. s Отсюда вместо (23) получается новая система нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно пары неизвестных функций {u(t, x); p(t)}: u(t, x) = Θ1 (t, x; u, p), (25) p(t) = Θ2 (t; u, p), где через Θ1 (t, x; u, p) обозначен оператор в правой части (18), а через Θ2 (t; u, p) - оператор в правой части (24). Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 3 и условия t t∈DT s l H(s, ξ, x0 , y, ε) · f (ξ, y, u(ξ, y), p(ξ)) dydξds K(t, s) 1) max 0 0 ∆ < ∞; 0 t 2) f (t, x, u, p) ∈ Lip L0 (t, x) u,p t∈DT L0 (s, y)dyds < ∞; 0 t F (s) h(t) - h(s) exp -η(t - s) ds 3) max l , где 0 < 0 β < ∞; 0 4) ρ = 2 max max N1 (t); max N2 (t) < 1, где t∈DT t∈DT t N1 (t) = s l H(s, ξ, x0 , y, ε) · L0 (ξ, y)dydξds, K(t, s) 0 N2 (t) = 0 (26) 0 t F (s)ds + N1 (t) · N0 (t), 1+ 0 t N0 (t) = exp -η(t) + 2 F (s) exp -η(t - s) ds. 0 148 (27) Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка Тогда обратная задача (1)-(4) имеет единственное обобщенное решение {u(t, x); p в области D. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом последовательных приближений в сочетании с методом сжимающих отображений: u0 (t, x) = u0 (t, x), uk+1 (t, x) = Θ1 (t, x; uk , pk ), p0 (t) = h(t) exp -η(t) , pk+1 (t) = Θ2 (t; uk , pk ), k = 0, 1, 2, 3, . . . . (28) В силу условий теоремы из (28) следуют оценки u1 (t, x) - u0 (t, x) p1 (t) - p0 (t) ∆, C (29) β+ C t + h(t) exp -η(t) + F (s)h(s) exp -η(t - s) ds + ∆ N0 (t), (30) 0 uk+1 (t, x) - uk (t, x) C × pk+1 (t) - pk (t) C N1 (t)× uk (t, x) - uk-1 (t, x) C + pk (t) - pk-1 (t) C , (31) C + pk (t) - pk-1 (t) C . (32) N2 (t)× × uk (t, x) - uk-1 (t, x) Так как по условию теоремы ρ = 2 max max N1 (t); max N2 (t) < 1, t∈DT t∈DT в силу (29) и (30) из (31) и (32) следует, что операторы Θ1 и Θ2 в правой части системы (25) являются сжимающими. Следовательно, обратная задача (1)-(4) имеет единственное решение {u(t, x); p(t)} в области D. 7. Устойчивость решения обратной задачи. Рассмотрим вопрос об устойчивости решения обратной задачи по отношению к функции h(t), заданной в правой части (4). Теорема 5. Пусть выполняются условия теоремы 4. Тогда решение обратной задачи (1)-(4) устойчиво относительно заданной функции h(t). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {u1 (t, x); p1 (t)} и {u2 (t, x); p2 (t)} - две различные пары решений обратной задачи (1)-(4), соответствующие двум различным значениям функции h1 (t) и h2 (t), соответственно. Если h1 (t) - h2 (t) δ, 0 < δ = const, (33) то из системы (25) следуют оценки 149 Ю л д а ш е в Т. К. u1 (t, x) - u2 (t, x) C N1 (t)× × p1 (t) - p2 (t) C N2 (t) u1 (t, x) - u2 (t, x) u1 (t, x) - u2 (t, x) C C + p1 (t) - p2 (t) + p1 (t) - p2 (t) C C , , (34) (35) где функции N0 (t), N1 (t), N2 (t) определяются из (26)-(27). Так как по условию теоремы ρ = 2 max max N1 (t); max N2 (t) < 1, t∈DT t∈DT из (34) и (35) получаем V0 < h1 (t) - h2 (t) + ρV0 , (36) где V0 = u1 (t, x) - u2 (t, x) C + p1 (t) - p2 (t) C . В силу (33) из (36) следует V0 < δ/(1 - ρ). Отсюда получаем V0 < ε, если положим δ = ε(1 - ρ). Это и доказывает теорему.

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; tursunbay@rambler.ru), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.
  2. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 248 с.
  3. Сенашов С. И. О законах сохранения уравнений пластичности // Докл. Акад. наук СССР, 1991. Т. 320, № 3. С. 606-608.
  4. Джураев Т. Д., Логинов Б. В., Малюгина И. А. Вычисления собственных значений и собственных функций некоторых дифференциальных операторов третьего и четвертого порядков / Дифференциальные уравнения математической физики и их приложения. Ташкент: Фан, 1989. С. 24-36.
  5. Корпусов М. О. Разрушение в параболических и псевдопараболических уравнениях с двойными нелинейностями. М.: Либроком, 2012. 186 с.
  6. Мукминов Ф. Х, Биккулов И. М. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб., 2004. Т. 195, № 3. С. 115-142. doi: 10.4213/sm810.
  7. Смирнов М. М. Модельные уравнения смешанного типа четвертого порядка. Л.: ЛГУ, 1972. 125 с.
  8. Юлдашев Т. К. О смешанной задаче для нелинейного уравнения в частных производных четвертого порядка с отражающим отклонением // Вестник ЮУрГУ. Серия Математика. Механика. Физика, 2011. № 10 (277) Вып. 4. С. 40-48.
  9. Юлдашев Т.К. О смешанной задаче для нелинейного дифференциального уравнения, содержащего квадрат гиперболического оператора и нелинейное отражающее отклонение // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2011. № 2(14). С. 59-69.
  10. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения, содержащего куб параболического оператора // Вестник СибГАУ, 2011. № 2 (35). С. 96-100.
  11. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для нелинейного дифференциального уравнения четвертого порядка с малым параметром при параболическом операторе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2011. Т. 51, № 9. С. 1703-1711.
  12. Юлдашев Т. К. О смешанной задаче для одного нелинейного интегродифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка // Журнал СВМО, 2012. Т. 14, № 2. С. 137-142.
  13. Кошелев А. И., Челкак С. И. О регулярности решений систем высших порядков // Докл. Акад. наук СССР, 1983. Т. 272, № 2. С. 297-300.
  14. Похожаев С. И. О квазилинейных эллиптических уравнениях высокого порядка // Диффер. уравн., 1981. Т. 17, № 1. С. 115-128.
  15. Скрыпник И. В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев: Наукова думка, 1973. 220 с.
  16. Тодоров Т. Г. О непрерывности ограниченных обобщенных решений квазилинейных эллиптических уравнений высокого порядка // Вестн. Ленингр. унив., 1975. Т. 19, № 3. С. 56-63.
  17. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для нелинейного интегродифференциального уравнения с параболическим оператором высокой степени // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2012. Т. 52, № 1. С. 112-123.
  18. Юлдашев Т. К. О слабой разрешимости смешанной задачи для нелинейного уравнения с псевдопараболическим оператором высокой степени // Вестник СибГАУ, 2012. № 5. С. 110-113.
  19. Юлдашев T. K. Об обобщенной разрешимости смешанной задачи для нелинейного уравнения с псевдопараболическим оператором высокой степени // Вестник СибГАУ, 2013. № 2. С. 116-121.
  20. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для нелинейного уравнения с псевдопараболическим оператором высокой степени // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика, 2013. № 1. С. 277-295.
  21. Юлдашев Т. К. Задача Коши для нелинейных уравнений с гиперболическим оператором высокой степени // Таврический вестник информатики и математики, 2013. № 1. С. 89-98.
  22. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений высшего порядка // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика, математика, 2014. № 1. С. 153-163.
  23. Юлдашев Т. К. Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения с гиперболическим оператором высокой степени // Вестник ЮУрГУ. Серия Математика. Механика. Физика, 2013. Т. 5, № 1. С. 69-75.
  24. Юлдашев Т. К. Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1(34). С. 56-65. doi: 10.14498/vsgtu1299.
  25. Юлдашев Т. К., Шабадиков К. Х. Обратная задача для гиперболического интегродифференциального уравнения Фредгольма // Таврический вестник информатики и математики, 2014. Т. 24, № 1. С. 73-81.
  26. Юлдашев Т. К. Неявное эволюционное интегральное уравнение Вольтерра первого рода с нелинейным интегральным отклонением // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. № 2(19). С. 38-44. doi: 10.14498/vsgtu672.

Statistics

Views

Abstract - 23

PDF (Russian) - 1

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies