Inverse problem for a nonlinear partial differential equation of the eighth order

Full Text

Введение. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению прямых и обратных задач математической физики. Теория начальных, смешанных и краевых задач для уравнений в частных производных в силу ее прикладной важности является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. © 2015 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования Ю л д а ш е в Т. К. Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 1. С. 136-154. doi: 10.14498/vsgtu1335. 136 Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка Смешанные задачи в теории упругости возникают при расчете различных деталей машин и элементов конструкций, находящихся во взаимодействии, при расчете фундаментов и оснований сооружений [1]. К смешанным задачами также относятся задачи о концентрации напряжений в окрестности всевозможных трещин, инородных включений, подкрепляющих стрингеров и накладок. Смешанные задачи часто встречаются в гидродинамике: это и нелинейные задачи теории крыла и глиссирования, теория струйных течений, теории качки корабля и удара тел о поверхность жидкости, фильтрации, теории взрыва, ряд задач гидроупругости. Дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков [2] представляют интерес с точки зрения физических приложений. Изучение многих задач газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков. Дифференциальные уравнения высоких порядков используют и при построении инвариантных решений дифференциальных уравнений с использованием высшей симметрии и законов сохранения [3]. Изучению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков посвящено немало работ. Дифференциальные уравнения в частных производных четвертого и шестого порядков изучались во многих работах, в частности [4-12]. Однако дифференциальные уравнения в частных производных более высоких порядков [13-22] остаются сравнительно мало изученными. Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление современной теории дифференциальных уравнений. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено необходимостью разработки математических методов решения обширного класса важных прикладных проблем. Обратную задачу назовем нелинейной, если функция восстановления входит в данное уравнение нелинейно. Нелинейные обратные задачи рассматривались в [23-25]. В данной работе используются следующие известные понятия. Линейное множество aN (t) | aN (t) = a1 (t), a2 (t), . . . , aN (t) ∈ C(DT ) введением нормы N aN (t) N B2 (T ) max |an (t)| = n=1 2 1/2 t∈DT N становится банаховым пространством и обозначается через B2 (T ), где DT ≡ [0; T ]. Наряду с этим пространством также рассматривается банахово пространство B2 (T ) с нормой ∞ a(t) B2 (T ) max |an (t)| = n=1 t∈DT 2 1/2 . Для произвольной функции g(x), x ∈ Dl ≡ [0; l] в пространстве L2 (Dl ) 137 Ю л д а ш е в Т. К. вводится норма 1/2 l g(x) L2 (Dl ) 2 |g(y)| dy = . 0 Для числовой последовательности ϕn в пространстве ∞ ϕ 2 |ϕn |2 = 2 используется норма 1/2 . n=1 3 ˆ3 Рассмотрим пространство Cоболева W2 (D). Обозначим через W2 (D), где 3 (D) таких, что D ≡ DT × Dl , множество функций w(t, x) ∈ W2 w(t, x), ∂2 ∂6 w(t, x), . . . , w(t, x) ∂x2 ∂x6 при фиксированном t ∈ DT принадлежат области определения оператора ∂ 6 /∂x6 с достаточно гладкими функциями из L2 (D), имеют обобщенные производные третьего порядка по t, принадлежащие L2 (D), и обращаются в нуль при t T - δ (величина δ > 0 зависит от w(t, x)). 1. Постановка задачи. В области D рассмотрим уравнение ∂3 ∂4 ∂ -ε + 4 ∂t ∂t∂x2 ∂x ∂2 ∂3 ∂4 -ε 2 2 + 4 ∂t2 ∂t ∂x ∂x u(t, x) = = f (t, x, u(t, x), p(t)) (1) со смешанными u(0, x) = φ1 (x), u(t, 0) = u(t, l) = ut (0, x) = φ2 (x), utt (0, x) = φ3 (x), x ∈ Dl , (2) ∂2 ∂2 u(t, 0) = u(t, l) = 2 ∂x ∂x2 ∂4 ∂4 ∂6 ∂6 = u(t, 0) = u(t, l) = u(t, 0) = u(t, l) = 0 (3) 4 4 6 ∂x ∂x ∂x ∂x6 и интегральным t K(t, s)u(s, x0 )ds = h(t), t ∈ DT , 0 < x0 < l (4) 0 условиями, где f (t, x, u, p) ∈ C(D × R2 ); φ1 (x), φ2 (x), φ3 (x) ∈ C 9 (Dl ); p(t) - 2 функция восстановления; K(t, s) ∈ C(DT ), h(t) ∈ C(DT ); h(0) = 0; D ≡ DT × Dl , DT ≡ [0; T ], Dl ≡ [0; l], 0 < T < ∞, 0 < l < ∞; R2 ≡ R × R; ε > 0 - малый параметр. При ε = 0 левая часть уравнения (1) состоит из суперпозиции двух известных операторов математической физики (параболический и гиперболический 138 Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка операторы четвертого порядка). Правая часть уравнения состоит из функции, нелинейно включающей в себе неизвестную функцию u(t, x) и функцию восстановления p(t). В данной работе решение смешанной задачи (1)-(3) разыскивается в виде ряда [9, 10]: ∞ u(t, x) = an (t)bn (x), (5) n=1 где bn (x) = 2/l sin λn x, λn = nπ/l. 3 Определение. Если функция u(t, x) ∈ W2 (D) удовлетворяет интегральному тождеству T l ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 3 w(t, y) + 2ε - ε2 + ∂t3 ∂t3 ∂y 2 ∂t3 ∂y 4 0 ∂ 6 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) + -ε - +ε + - ∂t2 ∂y 4 ∂t2 ∂y 6 ∂t∂y 4 ∂t∂y 6 ∂y 8 u(t, y) - 0 - f (t, x, u(t, x), p(t)) w(t, y) dydt = l ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) + 2ε - ε2 + ∂t2 ∂t2 ∂y 2 ∂t2 ∂y 4 0 ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) + -ε - +ε dy+ ∂t∂y 4 ∂t∂y 6 ∂y 4 ∂y 6 t=0 l ∂w(t, y) ∂ 3 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) + φ2 (y) - 2ε + ε2 - ∂t ∂t∂y 2 ∂t∂y 4 0 ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) - +ε dy+ ∂y 4 ∂y 6 t=0 l ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) + φ3 (y) -w(t, y) + 2ε - ε2 ∂y 2 ∂y 4 0 = φ1 (y) - t=0 dy ˆ3 для любого w(t, x) ∈ W2 (D), то она называется обобщенным решением смешанной задачи (1)-(3). Применение метода разделения переменных в виде (5) и использование интегрального тождества для определения обобщенного решения позволяет отказаться от непрерывной дифференцируемости правой части уравнения (1). Кроме того, такой подход дает возможность свести смешанную задачу к счетной системе нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ). Для восстановления второй неизвестной функции воспользуемся неклассическим интегральным преобразованием. 2. Сведение решения смешанной задачи к ССНИУ. Покажем, что коэффициенты разложения an (t) обобщенного решения смешанной задачи (1)-(3) удовлетворяют следующей ССНИУ: an (t) = ψn (t, ε)+ 1 + ωn (ε) t ∞ l f s, y, 0 0 ai (s)bi (y), p(s) bn (y)Gn (t, s, ε)dyds, (6) i=1 139 Ю л д а ш е в Т. К. где µ2 (ε)φ1n + φ3n µ4 (ε)φ1n - φ3n n exp -µ2 (ε)t + n2 cos µn (ε)t+ n µ2 (ε) + µ4 (ε) µn (ε) + µ4 (ε) n n n µ2 (ε)φ1n + (1 + µ2 (ε))φ2n + φ3n n sin µn (ε)t, + n µ3 (ε) + µ5 (ε) n n ψn (t, ε) = Gn (t, s, ε) = exp -µ2 (ε)(t - s) + µn (ε) sin µn (ε)(t - s) - cos µn (ε)(t - s), n ωn (ε) = ρ2 (ε)µ2 (ε)(1 + µ2 (ε)), n n n µ2 (ε) = n λ4 n , ρn (ε) ρn (ε) = 1 + µ2 (ε), n начальные данные φjn подбирались из (2) так, что ∞ φjn (x) = φjn bn (x), φjn (x) ∈ L2 (Dl ), j = 1, 2, 3. n=1 Действительно, из определения обобщенного решения имеем T l ∞ an (t)bn (y) - 0 0 n=1 ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 3 w(t, y) + 2ε - ε2 + 3 3 ∂y 2 ∂t ∂t ∂t3 ∂y 4 ∂ 6 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) + -ε - +ε + - ∂t2 ∂y 4 ∂t2 ∂y 6 ∂t∂y 4 ∂t∂y 6 ∂y 8 ∞ - f t, y, l ai (t)bi (y), p(t) w(t, y) i=1 ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) dydt = ∂ 6 w(t, y) + ∂t2 ∂t2 ∂y 2 ∂t2 ∂y 4 0 ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) + -ε - +ε dy+ 4 6 4 ∂t∂y ∂t∂y ∂y ∂y 6 t=0 l ∂ 5 w(t, y) ∂w(t, y) ∂ 3 w(t, y) + - 2ε + ε2 - φ2 (y) ∂t ∂t∂y 2 ∂t∂y 4 0 ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) - +ε dy+ ∂y 4 ∂y 6 t=0 l ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) - ε2 + φ3 (y) -w(t, y) + 2ε 2 ∂y ∂y 4 0 = φ1 (y) - + 2ε - ε2 t=0 dy. 3 Пусть w = wm (t, x) = g(t)bm (x) ∈ W2 (D), g(t) ∈ C 3 (DT ). Тогда из последнего соотношения следует, что t l ∞ an (s)bn (y) -(1 + λ2 ε + λ4 ε2 )g (s)bm (y)+ m m 0 0 + 140 n=1 λ4 (1 m + λ2 ε)g (s)bm (y) - λ4 (1 + λ2 ε)g (s)bm (y) + λ8 g(s)bm (y) - m m m m Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка ∞ - f s, y, ai (s)bi (y), p(s) g(s) dyds = 0. (7) i=1 Так как функции bn (x) ортонормированы в L2 (Dl ), путем интегрирования по частям из (7) можно получить: T g(t) (1 + λ2 ε + λ4 ε2 )an (t)+ n n 0 + λ4 (1 + λ2 ε)an (t) + λ4 (1 + λ2 ε)an (t) + λ8 an (t)- n n n n n ∞ l - f t, y, 0 ai (t)bi (y), p(t) bn (y)dy dt = 0. i=1 Отсюда следует счетная система нелинейных дифференциальных уравнений (1 + λ2 ε + λ4 ε2 )an (t) + λ4 (1 + λ2 ε)an (t) + λ4 (1 + λ2 ε)an (t)+ n n n n n n ∞ l + λ8 an (t) = n f t, y, 0 ai (t)bi (y), p(t) bn (y)dy. (8) i=1 Система (8) решается методом вариации произвольных постоянных: an (t) = C1n exp -µ2 (ε)t + C2n cos µn (ε)t + C3n sin µn (ε)t+ n 1 + ωn (ε) t ∞ l f s, y, 0 0 ai (s)bi (y), p(s) bn (y)Gn (t, s, ε)dyds, (9) i=1 где Gn (t, s, ε) = exp -µ2 (ε)(t - s) + µn (ε) sin µn (ε)(t - s) - cos µn (ε)(t - s), n ωn (ε) = ρ2 (ε)µ2 (ε)(1 + µ2 (ε)), n n n µ2 (ε) = n λ4 n , ρn (ε) ρn (ε) = 1 + µ2 (ε). n Для определения коэффициентов C1n , C2n , C3n в (9) используются условия an (0) = φ1n , an (0) = φ2n , an (0) = φ3n . Тогда из (9) следует ССНИУ (6). Рассмотрим укороченную систему нелинейных интегральных уравнений (УСНИУ): N aN (t) = ψn (t, ε)+ n + 1 N ωn (ε) t N l aN (s)bN (y), p(s) bN (y)GN (t, s, ε)dyds, (10) i i n n f s, y, 0 0 i=1 где 141 Ю л д а ш е в Т. К. N ψn (t, ε) = µ2N (ε)φN + φN µ4N (ε)φN - φN n 1n 3n 1n 3n exp -µ2N (ε)t + n cos µN (ε)t+ n n µ2N (ε) + µ4N (ε) µ2N (ε) + µ4N (ε) n n n n µ2N (ε)φN + (1 + µ2N (ε))φN + φN n 1n 2n 3n + n sin µN (ε)t, n µ3N (ε) + µ5N (ε) n n GN (t, s, ε) = exp -µ2N (ε)(t - s) + µN (ε) sin µN (ε)(t - s) - cos µN (ε)(t - s), n n n n n N ωn (ε) = ρ2N (ε)µ2N (ε)(1 + µ2N (ε)), n n n µ2N (ε) = n λ4N n , ρN (ε) n ρN (ε) = 1 + µ2N (ε). n n 3. Однозначная разрешимость УСНИУ. Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: N T aN (t)bN (y), p(t) i i f t, y, 1) 0 t 2) f (t, x, u, p) ∈ Lip H(t, x) N ψn (t, ε) 3) N B2 (T ) ∆ < ∞; dt L2 (Dl ) i=1 u , где 0 < H(s, x) 0 L2 (Dl ) ds < ∞; < ∞. Тогда УСНИУ (10) при фиксированном значении p(t) имеет единственN ное решение в пространстве B2 (T ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом последовательных приближений. Рассмотрим следующий итерационный процесс: N aN 0 (t) = ψn (t, ε), n N an k+1 (t) = aN 0 (t) + n 1 N (ε) ωn t t ∈ DT , N l aN k (s)bN (y), p(s) × j j f s, y, 0 0 (11) j=1 ×bN (y)GN (t, s, ε)dyds, n n t ∈ DT , k = 0, 1, 2, . . . . Согласно условиям теоремы для первой разности, из (11) следует: aN 1 (t) - aN 0 (t) N n=1 t 1 N (ε) ωn N B2 (T ) N l 0 0 j=1 1/2 N n=1 N t 0 2 × 2 0 · bN (y)GN (t, s, ε) dyds n n j=1 t N l M 1 M2 M3 aN 0 (s)bN (y), p(s) j j f s, y, 0 142 N ωn (s) aN 0 (s)bN (y), p(s) j j f s, y, n=1 1 N l × · bN (y)GN (t, s, ε) dyds n n aN 0 (s)bN (y), p(s) j j f s, y, 0 j=1 dyds 1/2 Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка N t M1 M2 M3 max t∈DT 0 1/2 l 12 dy aN 0 (s)bN (y), p(s) j j f s, y, ds 0 L2 (Dl ) j=1 √ M1 M2 M3 l∆, (12) где N 1/2 1 M1 = n=1 M2 = bN (x) , 2 N ωn (ε) N B2 (l) M3 = GN (t, s) , N B2 (t) . Второе условие теоремы при учете (12) дает оценку для второй разности: aN 2 (t) - aN 1 (t) N B2 (t) t N l M1 M 2 M3 aN 1 (s) - aN 0 (s) · bN (y) dyds j j j H(s, y) 0 0 j=1 t l 2 M 1 M2 M3 H(s, y) aN 1 (s) - aN 0 (s) 0 √ 2 M1 M 2 M 3 l N B2 (s) 0 t 1/2 l aN 1 (s) - aN 0 (s) H 2 (s, y)dy 0 dyds N B2 (s) 0 √ (M1 M3 l)2 (M2 )3 ∆ ds t H(s, x) 0 L2 (Dl ) ds, (13) 1/2 где N 2 · B N (t) = . n=1 | · | 2 Подобно (13), для любого натурального k > 1 справедлива оценка aN k+1 (t) - aN k (t) N B2 (t) t l 2 M1 M 2 M 3 H(s, y) aN k (s) - aN k-1 (s) 0 0 √ N B2 (s) dyds k t k+1 (M1 M3 l) 2k+1 (M2 ) H(s, x) 0 L2 (Dl ) ds ∆ . (14) k! Существование решения УСНИУ (10) следует из справедливости оценок ∞ (12) и (14), так как при k → ∞ последовательность функций aN k (t) k=1 N сходится равномерно по t к функции aN (t) ∈ B2 (T ). N Для доказательства единственности решения в пространстве B2 (T ) предN (t) ∈ B N (T ) и ϑN (t) ∈ положим, что УСНИУ (10) имеет два решения: a 2 N B2 (T ). Тогда для их разности справедлива оценка aN (t) - ϑN (t) N B2 (t) √ 2 M 1 M2 M3 l t H(s, x) 0 L2 (Dl ) aN (s) - ϑN (s) N B2 (t) ds. 143 Ю л д а ш е в Т. К. Отсюда после применения неравенства Гронуолла-Беллмана к последней оценке получаем aN (t) - ϑN (t) B N (T ) ≡ 0 для всех t ∈ DT . Это и доказы2 N вает единственность решения УСНИУ (10) в пространстве B2 (T ). Теорема доказана. 4. Разрешимость смешанной задачи. Подстановка решения СCНИУ (6) в (5) дает формальное решение смешанной задачи (1)-(3): ∞ u(t, x) = ψn (t, ε)+ n=1 + 1 ωn (ε) t ∞ l f s, y, 0 0 ai (s)bi (y), p(s) bn (y)Gn (t, s, ε)dyds bn (x). (15) i=1 Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и ψn (t, ε) B (T ) <∞. 2 N Если aN (t) ∈ B2 (T ) - решение УСНИУ (10), то (15) дает единственное обобщенное решение смешанной задачи (1)-(3). Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим, что limN →∞ PN = 0, где T PN = l ∂ 3 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) + 2ε - ε2 + ∂t3 ∂t3 ∂y 2 ∂t3 ∂y 4 0 0 ∂ 6 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 8 w(t, y) + -ε - +ε + - ∂t2 ∂y 4 ∂t2 ∂y 6 ∂t∂y 4 ∂t∂y 6 ∂y 8 uN (t, y) - - f t, y, uN (t, y), p(t) w(t, y) dydt- l ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) + 2ε - ε2 + ∂t2 ∂t2 ∂y 2 ∂t2 ∂y 4 0 ∂ 5 w(t, y) ∂ 7 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) + -ε - +ε dy- ∂t∂y 4 ∂t∂y 6 ∂y 4 ∂y 6 t=0 l ∂ 3 w(t, y) ∂ 5 w(t, y) ∂w(t, y) - - 2ε + ε2 - φ2 (y) ∂t ∂t∂y 2 ∂t∂y 4 0 ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) - +ε dy- ∂y 4 ∂y 6 t=0 l ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) - - ε2 dy. (16) φ3 (y) -w(t, y) + 2ε ∂y 2 ∂y 4 t=0 0 - φ1 (y) - С учетом начальных условий an (0) = φ1n , an (0) = φ2n , an (0) = φ3n после интегрирования по частям отдельных слагаемых в (16) и с учетом условий теоремы получаем следующий функционал: 144 Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка N l φN bN (y) 1n n φ1 (y) - PN = 0 + n=1 5 w(t, y) ∂ -ε ∂t∂y 4 0 n=1 - ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) +ε ∂y 4 ∂y 6 N l φN bN (y) 3n n φ3 (y) - + 0 -w(t, y) + 2ε n=1 T t=0 dy+ ∂ 5 w(t, y) ∂w(t, y) ∂ 3 w(t, y) + ε2 - - 2ε ∂t ∂t∂y 2 ∂t∂y 4 φN bN (y) 2n n φ2 (y) - ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) ∂ 2 w(t, y) + 2ε - ε2 + ∂t2 ∂t2 ∂y 2 ∂t2 ∂y 4 ∂ 7 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) ∂ 6 w(t, y) - +ε ∂t∂y 6 ∂y 4 ∂y 6 N l + - t=0 dy+ ∂ 2 w(t, y) ∂ 4 w(t, y) - ε2 ∂y 2 ∂y 4 t=0 dy+ l w(t, y) f (t, y, u(t, y), p(t)) - + 0 0 N l f t, z, uN (t, z), p(t) bN (z)dz bn (y)dydt. (17) n - n=1 0 Поскольку φ1 (x), φ2 (x), φ3 (x) ∈ L2 (Dl ), первые три интеграла в (17) стремятся к нулю при N → ∞. Сходимость разности при N → ∞ в последнем интеграле (17) следует из условия теоремы, т. е. limN →∞ PN = 0, что и требовалось. 5. Устойчивость по начальным данным решения смешанной задачи. Следует отметить, что УСНИУ (10) при N → ∞ является счетной системой нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ). Из доказанных выше двух теорем, в частности, следует однозначная разрешимость ССНИУ (6) в пространстве B2 (T ). Поэтому (15) можно переписать в виде интегрального уравнения Вольтерра второго рода: t l H(t, s, x, y, ε)f (s, y, u(s, y), p(s))dyds, u(t, x) = u0 (t, x) + 0 где u0 (t, x) = (18) 0 ∞ n=1 ψn (t, ε)bn (x), H(t, s, x, y, ε) = ∞ n=1 Gn (t, s, ε)bn (y)bn (x). Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2. Если a(t) ∈ B2 (T ) является решением ССНИУ (6), то решение смешанной задачи (1)-(3) непрерывно зависит от начальных данных (2). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u1 (t, x) и u2 (t, x) - два различные решения смешанной задачи (1)-(3), соответствующие двум различным начальным данным φk1 (x) и φk2 (x), k = 1, 2, 3, соответственно. Положим, что φk1 (x) - φk2 (x) C(Dl ) < δk , αk 0 < δk = const, k = 1, 2, 3, 145 Ю л д а ш е в Т. К. где α1 = 1 + µ(ε) + µ3 (ε) µ(ε) + µ3 (ε) 1 + µ2 (ε) µ3 (ε) + µ5 (ε) , α2 = 2 , α3 = 2 1 + 2µ(ε) + µ5 (ε) µ3 (ε) . 2 Тогда в силу условий теоремы из уравнения (18) следует справедливость оценок u01 (t, x) - u02 (t, x) ∞ n=1 C(Dl ) 1 + µn (ε) + µ3 (ε) n φ11n bn (x) - φ12n bn (x) + µn (ε) + µ3 (ε) n 1 + µ2 (ε) n φ b (x) - φ22n bn (x) + 3 (ε) + µ5 (ε) 21n n µn n 1 + 2µn (ε) + 3 φ31n bn (x) - φ32n bn (x) µn (ε) + µ5 (ε) n C(Dl ) + 3 αk φk1 (x) - φk2 (x) C(Dl ) < δ, (19) k=1 u1 (t, x) - u2 (t, x) u01 (t, x) - u02 (t, x) C(Dl ) t 2 M 1 M 2 M 3 max t∈DT l + C(Dl ) + l H(s, y) u1 (t, y) - u2 (t, y) 0 0 C(Dl ) dyds, (20) где δ = 3 δk , M k = limN →∞ Mk,N , k = 1, 2, 3. k=1 Так как по условию теоремы t l H(s, y)dyds < ∞, 0 0 можно применять неравенства Гронуолла-Беллмана к (20). Тогда с учетом (19) из (20) получаем u1 (t, x) - u2 (t, x) C(Dl ) < ε0 , если положим δ = ε0 exp - 2 M 1 M 2 M 3 max t∈DT l t l H(s, y)dyds , 0 0 где ε0 > 0 - заданное малое число. 6. Однозначная разрешимость обратной задачи. Воспользуемся условием (4). Тогда интегральное уравнение (18) приобретет вид t h(t) = K(t, s)u0 (s, x0 )ds+ 0 146 Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка t + s l K(t, s) H(s, ξ, x0 , y, ε)f (ξ, y, u(ξ, y), p(ξ))dydξds, (21) 0 0 0 где u0 (t, x0 ) = ∞ ψn (t, ε)bn (x0 ), H(t, s, x0 , y, ε) = ∞ Gn (t, s, ε)bn (y)bn (x0 ). n=1 n=1 Уравнение (21) - нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода относительно пары неизвестных функций {u(t, x); p(t)}. Запишем его в следующем виде: t s l K(t, s) 0 H(s, ξ, x0 , y, ε)f (ξ, y, u(ξ, y), p(ξ))dydξds = h(s), 0 (22) 0 где t h(s) = h(t) - K(t, s)u0 (s, x0 )ds. 0 Здесь очевидно, что h(0) = 0. Интегральные уравнения (18) и (22) составляют систему интегральных уравнений относительно пары неизвестных функций {u(t, x); p(t)}: t l u(t, x) = u0 (t, x) + t s l K(t, s) 0 H(t, s, x, y, ε)f (s, y, u(s, y), p(s))dyds, 0 0 (23) H(s, ξ, x0 , y, ε)f (ξ, y, u(ξ, y), p(ξ))dydξds = h(s). 0 0 Для разрешимости системы (23) методом последовательных приближений относительно неизвестной функции p(t) преобразуем уравнение (22). Запишем его в виде t p(t) + F (s)p(s)ds = H1 (t, s, u(s, x), p(s)), 0 где F (t) > 0 - произвольная функция такая, что t exp -η(t) 1, η(t) = F (s)ds 0 и t F (s)p(s)ds + h(t)- H1 (t, s, u(s, y), p(s)) = p(t) + 0 t - s l K(t, s) 0 H(s, ξ, x0 , y, ε)f ξ, y, u(ξ, y), p(ξ) dydξds. 0 0 Отсюда имеем (см. [26]) p(t) = H1 (t, s, u(s, y), p(s)) exp -η(t) + t F (s) exp -η(t - s) H1 t, s, u(s, y), p(s) - H1 s, ξ, u(ξ, y), p(ξ) ds + 0 147 Ю л д а ш е в Т. К. или s t t F (s)p(s)ds + h(t) - p(t) = p(t) + l K(t, s) H(s, ξ, x0 , y, ε)× 0 0 0 0 × f ξ, y, u(ξ, y), p(ξ) dydξds exp -η(t) + t t F (s) exp -η(t - s) p(t) + + t - F (s)p(s)ds + h(t)- 0 0 s l K(t, s) H(s, ξ, x0 , y, ε)f (ξ, y, u(ξ, y), p(ξ))dydξds- 0 0 0 s - p(s) - s F (ξ)p(ξ)dξ - h(s) + ξ l K(s, ξ) 0 H(ξ, ζ, x0 , y, ε)× 0 0 0 × f (ζ, y, u(ζ, y), p(ζ))dydζdξ ds, (24) t где η(t - s) = F (ξ)dξ. s Отсюда вместо (23) получается новая система нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно пары неизвестных функций {u(t, x); p(t)}: u(t, x) = Θ1 (t, x; u, p), (25) p(t) = Θ2 (t; u, p), где через Θ1 (t, x; u, p) обозначен оператор в правой части (18), а через Θ2 (t; u, p) - оператор в правой части (24). Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 3 и условия t t∈DT s l H(s, ξ, x0 , y, ε) · f (ξ, y, u(ξ, y), p(ξ)) dydξds K(t, s) 1) max 0 0 ∆ < ∞; 0 t 2) f (t, x, u, p) ∈ Lip L0 (t, x) u,p t∈DT L0 (s, y)dyds < ∞; 0 t F (s) h(t) - h(s) exp -η(t - s) ds 3) max l , где 0 < 0 β < ∞; 0 4) ρ = 2 max max N1 (t); max N2 (t) < 1, где t∈DT t∈DT t N1 (t) = s l H(s, ξ, x0 , y, ε) · L0 (ξ, y)dydξds, K(t, s) 0 N2 (t) = 0 (26) 0 t F (s)ds + N1 (t) · N0 (t), 1+ 0 t N0 (t) = exp -η(t) + 2 F (s) exp -η(t - s) ds. 0 148 (27) Обратная задача для одного нелинейного уравнения в частных производных восьмого порядка Тогда обратная задача (1)-(4) имеет единственное обобщенное решение {u(t, x); p в области D. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом последовательных приближений в сочетании с методом сжимающих отображений: u0 (t, x) = u0 (t, x), uk+1 (t, x) = Θ1 (t, x; uk , pk ), p0 (t) = h(t) exp -η(t) , pk+1 (t) = Θ2 (t; uk , pk ), k = 0, 1, 2, 3, . . . . (28) В силу условий теоремы из (28) следуют оценки u1 (t, x) - u0 (t, x) p1 (t) - p0 (t) ∆, C (29) β+ C t + h(t) exp -η(t) + F (s)h(s) exp -η(t - s) ds + ∆ N0 (t), (30) 0 uk+1 (t, x) - uk (t, x) C × pk+1 (t) - pk (t) C N1 (t)× uk (t, x) - uk-1 (t, x) C + pk (t) - pk-1 (t) C , (31) C + pk (t) - pk-1 (t) C . (32) N2 (t)× × uk (t, x) - uk-1 (t, x) Так как по условию теоремы ρ = 2 max max N1 (t); max N2 (t) < 1, t∈DT t∈DT в силу (29) и (30) из (31) и (32) следует, что операторы Θ1 и Θ2 в правой части системы (25) являются сжимающими. Следовательно, обратная задача (1)-(4) имеет единственное решение {u(t, x); p(t)} в области D. 7. Устойчивость решения обратной задачи. Рассмотрим вопрос об устойчивости решения обратной задачи по отношению к функции h(t), заданной в правой части (4). Теорема 5. Пусть выполняются условия теоремы 4. Тогда решение обратной задачи (1)-(4) устойчиво относительно заданной функции h(t). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {u1 (t, x); p1 (t)} и {u2 (t, x); p2 (t)} - две различные пары решений обратной задачи (1)-(4), соответствующие двум различным значениям функции h1 (t) и h2 (t), соответственно. Если h1 (t) - h2 (t) δ, 0 < δ = const, (33) то из системы (25) следуют оценки 149 Ю л д а ш е в Т. К. u1 (t, x) - u2 (t, x) C N1 (t)× × p1 (t) - p2 (t) C N2 (t) u1 (t, x) - u2 (t, x) u1 (t, x) - u2 (t, x) C C + p1 (t) - p2 (t) + p1 (t) - p2 (t) C C , , (34) (35) где функции N0 (t), N1 (t), N2 (t) определяются из (26)-(27). Так как по условию теоремы ρ = 2 max max N1 (t); max N2 (t) < 1, t∈DT t∈DT из (34) и (35) получаем V0 < h1 (t) - h2 (t) + ρV0 , (36) где V0 = u1 (t, x) - u2 (t, x) C + p1 (t) - p2 (t) C . В силу (33) из (36) следует V0 < δ/(1 - ρ). Отсюда получаем V0 < ε, если положим δ = ε(1 - ρ). Это и доказывает теорему.

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; tursunbay@rambler.ru), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics 31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation

References

Supplementary files