The oscillator's model with broken symmetry

Abstract


The equations of the oscillator motion are considered. The exact solutions are given in the form of exponents with an additional parameter that characterizes the asymmetry of the oscillations. It is shown that these equations are the special case of the Hill’s equation. The equations for the three types of exponents, including having the property of unitarity are obtained. Lagrangians and Hamiltonians are found for these equations. It is proved that all the equations are associated by canonical transformations and essentially are the same single equation, expressed in different generalized coordinates and momenta. Moreover, the solutions of linear homogeneous equations of the same type are both solutions of inhomogeneous linear equations of another one. A quantization possibility of such systems is discussed.

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного автором на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). Введение. В ряде задач важную роль играют уравнения Хилла [2-6] 2 ∂0 x + Ω2 (t) x = 0, 2 где ∂0 x - вторая производная по времени t от координаты x, Ω2 (t) - некоторая периодическая функция. В частности, к уравнению такого вида приводит рассмотрение системы, движение которой задано функциями x1 = A1 , e-s1 ωt + α x2 = A2 , e-s2 ωt + α √ где A1 , A2 - амплитуды колебаний, ω - частота, s1 = a + a2 - 1, s2 = a - √ - a2 - 1, a ∈ C, α 1. Все экспоненты с таким включением параметра α называются битриальными [7]. Известно [7, 8], что данное решение имеет линейное уравнение второго порядка 2 p(t)∂0 x - ωq(t)∂0 x + ω 2 x = 0, (1) в котором функции p(t) и q(t) связаны следующими соотношениями: p(t) r(t) = s2 (1 + α exp (s1 ωt)) - s1 (1 + α exp (s2 ωt)) , q(t) r(t) = s2 (1 + α exp (s1 ωt)) 2 (1 - α exp (s2 ωt)) - (1 + α exp (s2 ωt)) - s2 (1 + α exp (s2 ωt)) 1 r(t) = s2 (1 - α exp (s1 ωt)) , (1 + α exp (s1 ωt)) (1 - α exp (s2 ωt)) (1 - α exp (s1 ωt)) - s1 . (1 + α exp (s2 ωt)) (1 + α exp (s1 ωt)) Уравнение (1) сводится к уравнению Хилла. Данная система совершает ангармонические колебания вокруг положения равновесия, смещенного относительно нуля. Такую систему мы будем называть m-гармоническим осциллятором. Здесь нас будут интересовать незатухающие колебания m-гармонического осциллятора: a = 0 (s1 = i, s2 = -i). 1. Отыскание лагранжианов и гамильтонианов к уравнениям движения подобного типа. Сначала опишем прием, который будет использоваться нами при отыскании лагранжианов к уравнениям движения такого типа на протяжении всей работы. Исходя из того, что лагранжиан L = e-2aωt x2 x2 ˙ - ω2 2 2 приводит к уравнению движения 2 (∂0 - 2aω∂0 + ω 2 )x = x - 2aω x + ω 2 x = 0 ¨ ˙ с частными решениями x1 = A1 es1 ωt и x2 = A2 es2 ωt , лагранжиан к (1) ищется в форме 1 x2 x2 ˙ L = e-2a(t)ωt - ω2 . 2 p(t) 2 Тогда искомый лагранжиан имеет вид L = exp -ω q(t) dt + C0 p(t) x2 ˙ 1 x2 - ω2 . 2 p(t) 2 Константу C0 можно без потери общности принять равной нулю. Производные по времени для краткости также будем обозначать точками над соответствующими величинами. ˙ По определению, p = ∂L/∂ x - обобщенный импульс, а H = pX - L - ˙ гамильтониан. 625 В о л о в Д. Б. 2. Три вида уравнений движения. 2.1. Нецентрированная (неунитарная) битриальная экспонента в решении. При a = 0 уравнение (1) существенно упрощается: 2 ∂0 x - αω 3 - α2 sin ωt + α sin(2ωt) ω 2 1 - α2 ∂0 x + x = 0, p (t) p (t) (2) p (t) = 1 + α 3 + α2 cos ωt + α2 (2 + cos(2ωt)) . Его частными решениями будут так называемые нецентрированные битриальные экспоненты [8]: x 1 = A1 1 - α2 , e-iωt + α x2 = A2 1 - α2 . eiωt + α Применяя формулы предыдущего раздела, находим лагранжиан к уравнению (2): Lx = 1 + 2α cos ωt + α2 1 + α cos ωt 2 1 - α 2 ω 2 x2 x2 ˙ - . 2 p (t) 2 (3) Для обозначения величин, относящихся к нецентрированным экспонентам, здесь и далее будем пользоваться индексом “x”. Пренебрегая членами второго порядка малости по α, из (3) получим L ≈ (1 + α cos ωt)2 1 ω 2 x2 x2 ˙ - , 2 1 + 3α cos ωt 2 и тогда (2) переходит в уравнение Матье [9]: 2 ∂0 x - 3αω sin ωt∂0 x + ω 2 [1 - 3α cos ωt] x ≈ 0. Действительно, заменой Q(t) = exp 1 2 t 0 q(τ ) dτ x(t) p(τ ) уравнение (2) сводится к уравнению Хилла, которое, в свою очередь, ввиду малости параметра α приближенно соответствует уравнению Матье [9] 2 2 ∂0 Q + ωn [1 + f0 sin ωp t] Q = 0, (4) где f0 = const, ωn - собственная частота, ωp - частота изменения параметра системы. Уравнение (4) хорошо изучено [9, 10]. В частности, известно, что главный параметрический резонанс наблюдается на частоте, близкой к удвоенной собственной частоте колебаний системы ωp ≈ 2ωn . Все последующие резонансы происходят на частотах, близких к ωp ≈ 2ωn /n, n = 2, 3, . . . , с резким снижением ширины резонанса ∆ωp и амплитуды колебаний при увеличении n [10]. В случае уравнения (2) резонанс наблюдается на ωp ≈ ωn и приводит к незатухающим колебаниям в линейной системе, описываемой 626 Модель осциллятора с нарушением симметрии этим уравнением. Роль «вязких» членов при ∂0 в уравнении (2) сводится к «подпитке» энергией системы на первом полупериоде и диссипации ее на втором, так что в итоге колебания не затухают. Отыскивая гамильтониан и обобщенный импульс к уравнению (2), имеем 1 - α2 p2 x Hx = + (1 + 2α cos ωt + α2 )2 2 1 + 2α cos ωt + α2 p (t) 1 + α cos ωt 2 ω 2 x2 , 2 где px = 1 + 2α cos ωt + α2 1 + α cos ωt 2 x. ˙ В квантовом случае ([x, px ] = i) для операторов рождения и уничтожения a, a† , полагая [a, a] = a† , a† = 0 и учитывая, что 1 + 2α cos ωt + α2 = eiωt + α e-iωt + α , после ряда громоздких преобразований находим, что a, a† = 1/ 2ω 1 - α2 2 = f (t). Эта величина не зависит от времени и будет отличаться от соответствующего выражения для обычных экспонент (без α в решениях) только лишь 2 множителем 1 - α2 . Данное свойство при соответствующей нормировке делает возможным интерпретацию квантовых уровней нецентрированного mгармонического осциллятора в терминах частиц. Но здесь мы ограничимся рассмотрением классического варианта. 2.2. Центрированная (унитарная) битриальная экспонента в решении. Для центрированных решений y1 = A1 1 + αe-iωt iωt e , 1 + αeiωt y2 = A2 1 + αeiωt -iωt e 1 + αe-iωt (5) уравнения 2 ∂0 y - 2αω sin ωt 1 - α2 ∂ y+ 2 0 1 + 2α cos ωt + α 1 + 2α cos ωt + α2 2 ω 2 y = 0, (6) получаемых из (2) заменой y = α + x, лагранжиан имеет вид Ly = 1 + 2α cos ωt + α2 y2 ˙ 1 - α2 - 2 1 + 2α cos ωt + α2 2 ω2y2 2 , а гамильтониан - Hy = p2 1 ω2y2 y + (1 - α2 )2 , 1 + 2α cos ωt + α2 2 2 где py = 1 + 2α cos ωt + α2 y. ˙ 627 В о л о в Д. Б. В работе [8] приводится общее доказательство унитарности центрированных экспонент. Для величин, связанных с ними, будем использовать индекс “y”. В квантовом случае после ряда трудоемких выкладок находим, что a, a† = 1/ -2ω 1 - α2 = f (t). Эта величина опять не зависит от времени, так что представление в терминах частиц может быть проведено и в унитарном случае. 2.3. «Экспонента Хилла» в решении. Известно [9], что уравнение (6) как уравнение вида 2 ∂0 y + p1 (t)∂0 y + p2 (t)y = 0 приводится заменой z = y exp 1 2 p1 (t)dt к уравнению Хилла 2 ∂0 z + P (t)z = 0, (7) где 1 1 P (t) = p2 (t) - ∂0 (p1 (t)) - p2 (t). 2 4 1 Тогда в нашем случае z=y и P (t) = ω 2 1 - 1 + 2α cos ωt + α2 3α α + 1 + α2 cos ωt + α cos2 ωt (1 + 2α cos ωt + α2 )2 (8) . В соответствии с (8) и (5) получаем, что решения уравнения Хилла (7) здесь даются выражениями z 1 = A1 1 + αe-iωt iωt e +α , 1 + αeiωt z2 = A2 1 + αeiωt e-iωt + α , 1 + αe-iωt которые мы будем называть «экспонентами Хилла». Для величин, связанных экспонентой Хилла, будем использовать индекс “z”. Поскольку уравнение (7) не содержит первых производных по времени, лагранжиан и гамильтониан к нему записываются наиболее просто (pz = z): ˙ z2 ω2z2 ˙ - P (t), 2 2 p2 ω 2 z 2 Hz = z + P (t). 2 2 Lz = В квантовом случае, проводя необходимые преобразования, находим, что a, a† = 1/2ω 1 - α2 = f (t). 628 Модель осциллятора с нарушением симметрии Так что трактовка в терминах частиц будет возможна и в случае диагонализированных уравнений (7). 3. Канонические преобразования. В механике при изучении уравнения вида (6) его сначала приводят (путем рассмотренного выше преобразования) к виду, не содержащему первой производной по времени, то есть к уравнению Хилла. По сути, уравнения (6) и (7) являются одним и тем же уравнением, выраженным в разных обобщенных координатах и импульсах. Поэтому такие уравнения должны быть связаны каноническим преобразованием. Однако прямое нахождение производящей функции F приводит к громозд∂F ким малоинформативным выражениям = Hz - Hy . К счастью, для ∂t подтверждения того факта, что преобразования являются каноническими, достаточно удостовериться в выполнении правил для скобок Пуассона [10] в каждом из трех случаев, а затем учесть, что все три вида координат связаны явными выражениями. Таким образом, убеждаемся, что для всех трех уравнений (2), (6), (7) и их гамильтонианов справедливо каноническое преобразование {x, px } → {y, py } → {z, pz } . В первом из этих уравнений координата x совпадает с декартовой, во втором (y = α+x) - решения выражаются в унитарной форме, в третьем уравнении импульс pz = z и гамильтониан с лагранжианом выражаются в наиболее ˙ простом виде. Преимущества использования того или иного вида обобщенных координат и импульсов проявляются в решении данной конкретной задачи, но всегда можно выполнить каноническое преобразование от одних координат к другим. При α = 0 различие в этих трех случаях вообще исчезает, а mгармонический осциллятор превращается в обычный гармонический. Поскольку теперь ясно, что уравнение одно и то же, представление его в той или иной форме не затрагивает свойств коммутации и в квантовом случае, что и следовало ожидать. 4. Полная ортонормированная система решений и уравнения к ней. Итак, все три рассмотренных уравнения оказались связанными каноническими преобразованиями. Однако, если иметь в виду их приближения к уравнениям Матье типа (4), можно заметить, что найденные уравнения и их точные решения соответствуют лишь одному резонансному значению ωp ≈ ωn в диаграмме Айнса-Стретта [9]. Чтобы найти решения для любого собственного значения n системы, нужно несколько модифицировать полученные ранее уравнения. Воспользуемся тем, что битриальные экспоненты вида y1 = A1 (n) 1 + αe-iω0 t iω0 t e 1 + αeiω0 t n , y2 = A2 (n) 1 + αeiω0 t -iω0 t e 1 + αe-iω0 t n , (9) где n ∈ Z, образуют полную ортонормированную систему функций [7]. Восстанавливая через вронскиан уравнения движения к этим функциям, как это делалось в [8], получим уравнение, отличающееся от (6) только множителем n2 перед третьим членом: 2 ∂0 y - 2αω0 sin ω0 t 1 - α2 2 ∂ 0 y + n 2 ω0 1 + 2α cos ω0 t + α2 1 + 2α cos ω0 t + α2 2 y = 0. (10) 629 В о л о в Д. Б. Теперь, ввиду того, что мы расширили область решений до n = 1, нам пришлось заменить ω из уравнения (6) на ω0 и принять n = ω/ω0 . Анализ решений (9) уравнения (10) в рядах Фурье показывает, что оно имеет непрерывные периодические решения при значениях n ∈ Q. При α = 0 экспоненты (9) переходят в обычные ∼ e±iωt = e±iω0 nt . Несмотря на простоту включения параметра n в (10), для нас более важна диагональная форма уравнения, переходящая в (7) при n = 1. Действуя аналогичным [8] образом, получаем 2 ∂0 z + 2 ω0 n2 1 - α 2 2 + α cos ω0 t · 1 + α cos ω0 t + α2 + α2 (1 + 2α cos ω0 t + α2 )2 z = 0. (11) Его решениями будут функции 1 + αe-iω0 t iω0 t n e 1 + 2α cos ω0 t + α2 , 1 + αeiω0 t 1 + αeiω0 t -iω0 t n e 1 + 2α cos ω0 t + α2 , z2 = A2 (n) 1 + αe-iω0 t z1 = A1 (n) (12) в чем легко убедиться прямой подстановкой. Важно, что при n = 1/2 уравнение (11) и, соответственно, его решения (12) перестают зависеть от α, что на первый взгляд неочевидно. Однако это свойство легко доказывается подстановкой условия n = 1/2 в уравнения (11) или решения (12). Для дальнейших исследований представляют интерес многомерные аналоги рассмотренных уравнений. Так, например, в трехмерном евклидовом случае уравнение (11) соответствует стационарному уравнению Шредингера для задачи о движении электрона в периодическом поле решетки твердого тела [11]. Однако в данной работе мы не будем касаться этих вопросов. 5. Линейные однородные и неоднородные уравнения с решениями в битриальных экспонентах. Вернемся к уравнениям при n = 1. Линейная комбинация y = A1 y1 + A2 y2 центрированных битриальных экспонент y1 = α + 1 - α2 , e-iωt + α y2 = α + 1 - α2 eiωt + α одновременно является решением однородного уравнения 2 ∂0 y - 2αω sin ωt 1 - α2 ∂ y+ 2 0 1 + 2α cos ωt + α 1 + 2α cos ωt + α2 2 ω2y = 0 и неоднородного уравнения 2 ∂0 y - αω 3 - α2 sin ωt + α sin(2ωt) ω 2 1 - α2 ∂0 y + y= p (t) p (t) = (A1 + A2 ) p (t) = 1 + α 3 + α2 cos ωt + α2 2 + cos(2ωt) . 630 αω 2 1 - α2 , p (t) Модель осциллятора с нарушением симметрии Линейная комбинация x = A1 x1 + A2 x2 нецентрированных битриальных экспонент 1 - α2 1 - α2 x1 = -iωt , x2 = iωt e +α e +α одновременно является решением однородного уравнения 2 ∂0 x - αω 3 - α2 sin ωt + α sin(2ωt) ω 2 1 - α2 ∂0 x + x=0 p (t) p (t) и неоднородного уравнения 2 ∂0 x - 1 - α2 2αω sin ωt ∂0 x + 1 + 2α cos ωt + α2 1 + 2α cos ωt + α2 2 = - (A1 + A2 ) αω 2 ω2x = 1 - α2 1 + 2α cos ωt + α2 2 . В этом нет ничего удивительного, поскольку решение неоднородного уравнения есть сумма решений однородного и неоднородного, а y1 = x1 + α, y2 = x2 + α. Тогда лагранжиан взаимодействующего нецентрированного осциллятора Lint = Ln + yJ равен лагранжиану свободного центрированного осциллятора L, где J - источник. 6. Выводы. Таким образом, при построении модели колебаний ангармонического осциллятора специального вида найдены уравнения движения и их точные решения, а также лагранжианы и гамильтонианы к ним. Поскольку уравнения линейные, их полная ортонормированная система решений может быть использована в качестве базиса пространства функций.

About the authors

Dmitry B Volov

Samara State Transport University

Email: volovdm@mail.ru
18, First Bezimyanniy per., Samara, 443066, Russian Federation
(Dr. Tech. Sci.; volovdm@mail.ru), Professor, Dept. of Physics and Chemistry

References

  1. Волов Д. Б. Модель осциллятора с нарушением симметрии / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 110-111.
  2. Magnus W., Winkler S. Hill’s Equation / Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. vol. 20. New York, London, Sydney: Interscience Publ., 1966. viii+127 pp.
  3. Varrió S. A new class of exact solutions of the Klein-Gordon equation of a charged particle interacting with an electromagnetic plane wave in a medium // Laser Phys. Lett., 2014. vol. 11, no. 1, 016001. doi: 10.1088/1612-2011/11/1/016001.
  4. Takara M., Toyoshima M., Seto H., Hoshino Y., Miura Y. Polymer-modified gold nanoparticles via RAFT polymerization: a detailed study for a biosensing application // Polym. Chem., 2014. vol. 5, no. 3. pp. 931-939. doi: 10.1039/c3py01001e.
  5. Vázquez C., Collado J., Fridman L. Super twisting control of a parametrically excited a overhead crane // Journal of the Franklin Institute, 2014. vol. 351, no. 4. pp. 2283-2298. doi: 10.1016/j.jfranklin.2013.02.011.
  6. Lei H., Xu B. High-order analytical solutions around triangular libration points in the circular restricted three-body problem // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2013. vol. 434, no. 2. pp. 1376-1386. doi: 10.1093/mnras/stt1099.
  7. Волов Д. Б. Некоторые уравнения на основе одномерных хаотических динамик // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 1(30). С. 334-342. doi: 10.14498/vsgtu1175.
  8. Волов Д. Б. Об унитарности битриальных операторов в явном виде обобщенного уравнения // Вестник СамГУПС, 2013. № 4. С. 107-112.
  9. Magnus K., Popp K., Sextro W. Schwingungen. Physikalische Grundlagen und mathematische Behandlung von Schwingungen [Oscillations. Physical foundations and mathematical treatment of oscillations]. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2013, xi+298 pp. doi: 10.1007/978-3-8348-2575-9.
  10. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Глава 5. Малые колебания / Теоретическая физика. Т. 1, Механика. М.: Наука, 1988. С. 78-125.
  11. Давыдов А. С. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976. 639 с.

Statistics

Views

Abstract - 14

PDF (Russian) - 1

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies