On the uniqueness of kernel determination in the integro-differential equation of parabolic type

Full Text

Рассматривается задача Коши для одномерного интегро-дифференциального уравнения теплопроводности ∂u ∂ 2 u - 2 = ∂t ∂x t k(x, t - τ )u(x, y, τ )dτ, x ∈ R, t ∈ (0, T ], (1) 0 u(x, y, 0) = ϕ(x, y), (2) где T - фиксированная положительная постоянная, а y ∈ R является параметром задачи. Рассмотрим следующую задачу: найти ядро k(x, t) интегрального члена уравнения (1), если решение задачи (1), (2) известно для x = y: u(y, y, t) = ψ(y, t). (3) Здесь ψ(y, t) - заданная функция при всех y ∈ R и t ∈ [0, T ]. В настоящее время интерес к подобным задачам велик и опубликовано значительное число работ, посвященных этой тематике. Среди публикаций, близких к изученной здесь задаче, отметим статьи [1-6]. В работах [2-6] получены теоремы однозначной разрешимости определения ядра, зависящего лишь от одной переменной. Обратным задачам определения правой части либо одного из коэффициентов параболического уравнения с дополнительной информацией разных видов посвящены работы [7-12] (см. также библиографический список книги [7]). Характерная особенность постановок обратных задач в работах [1, 11, 12] заключается в том, что дополнительное условие задается на плоскости, ортогональной той переменной, от которой ядро интегрального члена в [1] и неизвестные коэффициенты уравнений в [11, 12] не зависят. Это специальное задание дополнительной информации позволяет получить для искомых функций и решения замкнутую систему интегральных уравнений второго рода, которая является удобной для дальнейшего исследования. Предметом исследования настоящей работы является вопрос однозначного определения функции k(x, t) информацией (3). Нужно отметить, что в отличие от вышеупомянутых работ здесь искомое ядро зависит от всех переменных. При этом мы будем предполагать, что функция k(x, t) и производные kxx , kt принадлежат классу B(D(T ))1 , D(T ) := {(x, t) : x ∈ R, 0 t T } при любом T > 0, а функция ϕ(x, y) - классу B 4 R2 2 . Основным содержанием настоящей работы является следующая теорема единственности. Теорема. Пусть выполнены предположения о функции ϕ(x, y), сделанные выше. Кроме того, пусть функция ψ(y, t) вместе с производными ψt , ψtt , ψtyy принадлежит классу B (D(T )) при любом конечном T > 0 и inf (y,t)∈D(T ) | ψ(y, t) | µ0 > 0, (4) где µ0 - известное число. Тогда функция k(x, t), представимая в виде N k(x, t) = ai (x)bi (t), ai (x) ∈ B 2 (R), bi (t) ∈ C 1 (R)3 , (5) i=0 однозначно определяется в области D(T ). Схема рассуждений для доказательства теоремы основывается на схеме исследования обратных задач, изложенной в работе [13]. Здесь мы не будем останавливаться на вопросах, связанных с существованием решения поставленной задачи (1)-(3). Отметим только условия согласования, которым должна удовлетворять функция ψ(y, t): ψ(y, 0) = ϕ(y, y), 1 Класс B(D(T )) - класс непрерывных по всем переменным и ограниченных по x в области D(T ) функций. 2 Класс B 4 R2 - класс четырежды непрерывно-дифференцируемых по всем переменным и ограниченных по x вместе с производными в области R2 функций. 3 Класс C 1 (R) - класс непрерывно-дифференцируемых в области R функций. 659 Д у р д и е в Д. К. ψtyy (y, 0) - ψtt (y, 0) = ϕxxyy (y, y) + 2ϕxxxy (y, y) - k(y, 0)ϕ(y, y). С целью доказательства теоремы с помощью дифференцирования исходного уравнения (1) и условия (2) получим дополнительные соотношения для вспомогательных функций. Для этого введем в рассмотрение следующие вспомогательные функции: ω := uty , ϑ := 2ωx + ωy . Для функции ω, дифференцируя (1) сначала по t, а затем по y, мы получим уравнение t ωt -ωxx -k(x, t)ϕy (x, y)- k(x, τ )ω(x, y, t-τ )dτ = 0, x ∈ R, t ∈ (0, T ]. (6) 0 Условие при t = 0 для ω находится из (1). Положив в уравнении (1) t = 0 и используя условие (2), а затем дифференцируя полученное соотношение по y, находим ω t=0 = ϕxxy (x, y). (7) ∂ ∂ Применяя дифференциальные операторы 2 ∂x и ∂y поочередно к уравнению (6) и складывая результаты, получим уравнение для ϑ: t k(x, t)ϑ(x, y, t - τ )dτ = ϑt - ϑxx - k(x, t)(2ϕxy + ϕyy ) - 0 t kx (x, τ )ω(x, y, t - τ )dτ. (8) = 2kx ϕy + 2 0 Подобным путем из (7) находим условие ϑ t=0 = ϕxxyy + 2ϕxxxy . (9) Соотношение (3) в терминах функции ϑ можно записать в виде t ϑ x=y = ψtyy (y, t) - ψtt (y, t) + k(y, t)ϕ(y, y) + k(y, τ )ψt (y, t - τ )dτ. (10) 0 Заметим, что при найденной из (6), (7) функции ω функция ϑ может быть найдена из (8), (9). Предположим теперь, что существуют два решения поставленной задачи k1 , k2 , отвечающие им решения задач (1), (2) обозначим через u1 , u2 соответственно. Введем также функции ω1 , ω2 , ϑ1 , ϑ2 , аналогичные функциям ω, ϑ. Дополнительно обозначим ˜ k = k1 - k2 , ω = ω1 - ω2 , ϑ = ϑ1 - ϑ2 . Тогда для ω, ϑ из равенств (6)-(9) находим 660 О единственности определения ядра. . . t ωt - ωxx - ˜ k1 (x, τ )ω(x, y, t - τ )dτ = k(x, t)ϕy (x, y)+ 0 t + ˜ k(x, τ )ω2 (x, y, t - τ )dτ, (11) 0 ω t=0 = 0; (12) t ˜ ϑt - ϑxx - k(x, t)(2ϕxy + ϕyy ) - k1 (x, τ )ϑ(x, y, t - τ )dτ = 0 t = t ˜ k(x, τ )ϑ2 (x, y, t - τ )dτ + 2 0 ˜ kx (x, τ )ω2 (x, y, t - τ )dτ + 0 t +2 ˜ k1x (x, τ )ω(x, y, t - τ )dτ + 2kx (x, t)ϕy (x, y), (13) 0 ϑ t=0 = 0. (14) Из равенства (10) следует ϑ x=y t ˜ = k(y, t)ϕ(y, y) + ˜ k(y, τ )ψt (y, t - τ )dτ. (15) 0 Система равенств (11)-(15) представляет собой систему однородных ин˜ тегральных уравнений относительно функций ω, ϑ, k. Требуется показать, что эта система определяет в области D(T ) только нулевое решение. Для доказательства этого факта нам нужны оценки функций ω, ϑ через функцию ˜ k. При получении этих оценок мы используем следующую лемму. Лемма. Для решения p(x, t) задачи t pt - pxx - k(x, τ )p(x, t - τ )dτ = f (x, t), 0 p t=0 = λ(x) (16) в области D(T ) имеет место оценка t |p(x, t)| ΦeT k Tt F (τ )eT + k T (t-τ ) dτ, (17) 0 где введены обозначения k T := |k(x, t)|, sup (x,t)∈D(T ) Φ := sup |λ(x)|, F (t) := sup |f (x, t)|. x∈R x∈R Для доказательства этой леммы заметим, что решение задачи Коши (16) удовлетворяет интегральному уравнению 1 p(x, t) = √ 2 πt ∞ e -∞ -(x-ξ)2 4t 1 λ(ξ)dξ + √ 2 π t 0 ∞ -∞ -(x-ξ)2 e 4(t-τ ) √ f (ξ, τ )dξdτ + t-τ 661 Д у р д и е в Д. К. 1 + √ 2 π t -(x-ξ)2 ∞ -∞ 0 τ e 4(t-τ ) √ t-τ k(ξ, τ - α)p(ξ, α)dαdξdτ. 0 С помощью стандартного приема оценок интегралов находим t t F (τ )dτ + k U (t) = Φ + U (α)dαdτ T 0 0 τ 0 t t F (τ )dτ + k Φ+ U (τ )dτ, TT 0 0 где U (t) := supx∈R |u(x, t)|. Отсюда следует оценка (17). Введем обозначение ˜ K(t) := sup |k(x, t)| x∈R и следующие нормы: - h1 := sup |h1 (x, y)| для функций, зависящих от переменных (x, y); (x,y)∈R2 - h2 := T sup |h2 (x, t)| для функций, зависящих от переменных (x,t)∈D(T ) (x, t); - h3 T := |h3 (x, y, t)| для функций, зависящих от перемен- sup (x,y)∈R2 ,t∈[0,T ] ных (x, y, t). Ниже будут использоваться введенные выше соответствующие нормы функций ϕ, ϕy , ϕyy , ϕxy , ψt , ω2 , ϑ2 , зависящих от разных переменных. Используя лемму, для ω из (11), (12) получим оценку t |ω(x, y, t)| τ ϕy K(τ ) + ω2 T k1 K(α)dα e T T (t-τ ) dτ 0 0 t ( ϕy + T ω2 T ) K(τ )e k1 T T (t-τ ) dτ. (18) 0 Аналогично из равенств (13), (14), согласно (17), получим оценку для ϑ: t |ϑ(x, y, t)| sup ˜ ˜ k(x, τ )(2ϕxy (x, y) + ϕyy (x, y)) + 2kx (x, τ )ϕy (x, y)+ 0 (x,y)∈R2 τ + τ ˜ k(x, γ)ϑ2 (x, y, τ - γ)dγ + 2 0 ˜ kx (x, γ)ω(x, y, τ - γ)dγ+ 0 τ k1x (x, γ)ω(x, y, τ - γ)dγ eT + k1 T (t-τ ) dτ 0 t ϕyy + 2 ϕxy + T ϑ2 t + sup T ˜ 2kx (x, τ )ϕy (x, y) + 2 0 (x,y)∈R2 K(τ )e 0 τ k1 T T (t-τ ) dτ + ˜ kx (x, γ)ω2 (x, y, τ - γ)dγ+ 0 τ k1x (x, τ - γ)ω(x, y, τ - γ)dγ e +2 0 662 k1 T T (t-τ ) dτ. (19) О единственности определения ядра. . . Согласно лемме 2 из работы [9], для любой функции k(x, t), представимой в виде (5), существует такая постоянная K0 > 0 (вообще говоря, своя для каждой функции k), что имеет место неравенство |kx (x, t)| K(t) := sup |k(x, t)|. K0 K(t), (20) x∈R Доказательство этой леммы в [14] основано на предположении, что систему функций ai , i = 1, 2, . . . , N , можно считать линейно независимой в R (в противном случае можно в (5) произвести перегруппировку членов, оставив только линейно независимую систему функций ai ), и на проведении очевидных оценок. Так как функции k1 , k2 , по предположению, представимы в виде N k(x, t) = ai (x)bi (t), i=0 ˜ функция k также представима в этом виде. Поэтому для нее существует своя аналогичная постоянная K00 и выполняется неравенство ˜ |kx (x, t)| K00 K(t). ˜ Для оценки функций k1x (x, t), kx (x, t) в (19) воспользуемся (20) и последним неравенством. С учетом этого и оценки (18) оценке (19) можно придать вид t |ϑ(x, y, t)| N (T, K0 , K00 ) K(τ )dτ , (21) 0 где N (T, K0 , K00 ) := ϕyy + 2 ϕxy + T ϑ2 + 2K0 k1 T T + 2K00 ϕy + T ω2 ϕy + T ω2 T e k1 TT 2 T e + k1 TT 2 . Из равенства (15) с учетом (4), (21) получаем t ˜ sup |k(y, t)ϕ(y, y) + y∈R ˜ k(y, τ )ψt (y, t - τ )dτ | t N (T, K0 , K00 ) 0 K(τ )dτ . 0 Отсюда K(t) 1 [N (T, K0 , K00 ) + ψt µ0 t T] K(τ )dτ. 0 ˜ Из последнего неравенства вытекает, что k ≡ 0, т. е. k1 (x, t) = k2 (x, t) для (x, t) ∈ D(T ). Теорема доказана. ORCID Дурдимурод Каландарович Дурдиев: http://orcid.org/0000-0002-6054-2827

About the authors

Durdimurod K Durdiev

Bukhara State University

Email: durdiev65@mail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci. durdiev65@mail.ru), Professor, Dept. of Differential Equations and Analysis; Vice-Rector for Academic Affairs 11, Muhammad Igbol st, Bukhara, 200100, Uzbekistan

References

Supplementary files