Dual plane problems for creeping flow of power-law incompressible medium

Abstract


In this paper, we consider the class of solutions for a creeping plane flow of incompressible medium with power-law rheology, which are written in the form of the product of arbitrary power of the radial coordinate by arbitrary function of the angular coordinate of the polar coordinate system covering the plane. This class of solutions represents the asymptotics of fields in the vicinity of singular points in the domain occupied by the examined medium. We have ascertained the duality of two problems for a plane with wedge-shaped notch, at which boundaries in one of the problems the vector components of the surface force vanish, while in the other-the vanishing components are the vector components of velocity, We have investigated the asymptotics and eigensolutions of the dual nonlinear eigenvalue problems in relation to the rheological exponent and opening angle of the notch for the branch associated with the eigenvalue of the Hutchinson-Rice-Rosengren problem learned from the problem of stress distribution over a notched plane for a power law medium. In the context of the dual problem we have determined the velocity distribution in the flow of power-law medium at the vertex of a rigid wedge, We have also found another two eigenvalues, one of which was determined by V. V. Sokolovsky for the problem of power-law fluid flow in a convergent channel.

Full Text

Введение. В работе изучается класс инвариантных решений плоских уравнений равновесия несжимаемой среды со степенным реологическим законом, допускающий естественную запись в полярных координатах. Рассматриваемые уравнения в равной степени применимы для описания квазистатических течений вязкой степенной жидкости либо пластического твердого тела со степенным упрочнением вблизи геометрической особенности области. Подобные решения представляют ценность для определения расходно-напорных характеристик ползущих течений неньютоновских жидкостей в каналах, энергосиловых параметров процессов обработки металлов давлением [1-3], концентрации напряжений в задачах механики трещин в условиях ползучести [4-6], распределения полей вблизи вершины жесткого клина, обтекаемого ползущей средой либо внедряемого в ползущую среду со степенной реологией. Продвижение в понимании указанного выше класса решений и их приложений может быть достигнуто анализом решений некоторой нелинейной задачи на собственные значения. Двойственные задачи в случае произвольной реологии. Рассматриваются плоские ползущие течения несжимаемой обобщенно-вязкой среды, подчиняющиеся обезразмеренным уравнениям: ∂x σxx + ∂y σxy = 0, ∂x σxy + ∂y σyy = 0, ∂x vx + ∂y vy = 0, 2σxx + p = -2σyy - p = τ (ξ)ξ -1 ∂x vx , 4σxy = τ (ξ)ξ -1 (∂y vx + ∂x vy ) , ξ= (1) (∂x vx )2 + 14 (∂y vx + ∂x vy )2 , где σxx , σyy , σxy - компоненты тензора напряжений, p = -(σxx + σyy ) - удвоенное гидростатическое давление, vx и vy - компоненты вектора скорости, x и y - декартовы ортогональные координаты, а ∂x , ∂y - частные производные по ним. Функция τ (ξ) в уравнениях (1) полагается обратимой, а в остальном произвольной. Из (1) следует, что τ= 2 , (σxx - σyy )2 + 4σxy а величина ξτ равна скорости диссипации энергии. Из уравнений (1) удобно исключить радикал. С этой целью для компонент тензоров напряжений и деформаций скорости записываются выражениями [7]: 2σxx = -p - τ sin φ, 2σyy = -p + τ sin φ, 2σxy = τ cos φ, ∂x vx = -ξ sin φ, ∂y vy = ξ sin φ, ∂y vx + ∂x vy = 2ξ cos φ, (2) (3) гарантирующими пропорциональность этих тензоров и несжимаемость среды. Здесь φ - удвоенный угол между одной из линий максимальных касательных напряжений и осью x. Зависимости (2) подставляются в уравнения 497 П е т у х о в Д. С., К е л л е р И. Э. равновесия, а соотношения (3) совместно с выражением для вихря скорости q= 1 (∂x vy - ∂y vx ) 2 (4) разрешаются в виде ∂x vy = q + ξ cos φ, ∂y vx = -q + ξ cos φ и трансформируются с помощью соотношений ∂y (∂x vx ) = ∂x (∂y vx ) , ∂x (∂y vy ) = ∂y (∂x vy ) в уравнения совместности деформации скорости. В итоге уравнения (1) с учетом (2)-(4) записываются в виде системы однородных квазилинейных уравнений первого порядка ∂x p + sin φ∂x τ + τ cos φ∂x φ - cos φ∂y τ + τ sin φ∂y φ = 0, ∂y p - cos φ∂x τ + τ sin φ∂x φ - sin φ∂y τ - τ cos φ∂y φ = 0, ∂x q - cos φ∂x ξ + ξ sin φ∂x φ - sin φ∂y ξ - ξ cos φ∂y φ = 0, ∂y q - sin φ∂x ξ - ξ cos φ∂x φ + cos φ∂y ξ - ξ sin φ∂y φ = 0. (5) Если граница y = 0 свободна от усилий, то на ней должны выполняться соотношения 2σyy = -p + τ sin φ = 0, 2σxy = τ cos φ = 0. (6) Если же граница y = 0 непроницаема для движения сквозь нее среды и на ней имеет место прилипание, то на ней должны выполняться соотношения ∂x vy = q + ξ cos φ = 0, ∂x vx = -ξ sin φ = 0. (7) Система (5) инвариантна относительно точечного преобразования ξ = τ¯, ¯ τ = ξ, q = p¯, p = -¯ q, φ = φ¯ - π/2. Данное преобразование трансформирует граничные условия (6) и (7) друг в друга. Это означает, что решение задачи (5), (6) (или (5), (7)) с реологической функцией τ (ξ) является решением задачи (5), (7) (или соответственно (5), (6)) с реологической функцией, обратной к τ (ξ). Если условия исчезновения поверхностной силы или исчезновения скоростей перемещений выполняются на луче ϕ = ϕ∗ , записанном в терминах полярной системы координат r, ϕ, то равенства (6) и (7) принимают соответствующий вид: 2σϕϕ = -p + τ sin w = 0, 2σrϕ = τ cos w = 0, ∂r vϕ = q + ξ cos w = 0, ∂r vr = -ξ sin w = 0, (8) (9) где w = φ-2ϕ. Установленное выше свойство взаимности граничных условий (8) и (9) остается в силе. 498 Двойственные задачи плоских ползущих течений степенной несжимаемой среды Следует отметить, что задачи на основе полевых уравнений (5) с граничными условиями (6) либо (7) являются однородными. Двойственные решения с разделяющимися переменными для степенной реологии. Будем полагать, что реологическая функция имеет степенной вид τ = ξ m . Значения показателя степени m = 0 соответствуют идеально пластическому твердому телу, m = 1 - линейно вязкой (ньютоновской) жидкости, между ними располагаются значения, соответствующие реологии некоторых жидкостей, полимеров, а также металлов в установившейся стадии ползучести при повышенных температурах. Уравнения (5) с τ = ξ m принимают вид ∂x p + mξ m-1 sin φ∂x ξ + ξ m cos φ∂x φ - mξ m-1 cos φ∂y ξ + ξ m sin φ∂y φ = 0, ∂y p - mξ m-1 cos φ∂x ξ + ξ m sin φ∂x φ - mξ m-1 sin φ∂y ξ - ξ m cos φ∂y φ = 0, (10) ∂x q - cos φ∂x ξ + ξ sin φ∂x φ - sin φ∂y ξ - ξ cos φ∂y φ = 0, ∂y q - sin φ∂x ξ - ξ cos φ∂x φ + cos φ∂y ξ - ξ sin φ∂y φ = 0. ¯ Система (10) инвариантна относительно точечного преобразования ξ = aξ, m ¯ q = a¯ q , p = a p¯, φ = φ с параметром a > 0, а также поворотов и растяжений в плоскости независимых переменных. Произвольной комбинации таких преобразований соответствует инфинитезимальный оператор X = βr∂r + α∂ϕ + 2α∂φ + ξ∂ξ + q∂q + mp∂p , (11) где r, ϕ - полярные координаты; α, β - произвольные параметры. Оператор (11) при заданных α, β генерирует определенную подалгебру - элемент оптимальной системы одномерных подалгебр алгебры Ли инфинитезимальных операторов преобразований, допускаемых системой (10) [8-10]. Для случая β = 0 набор базисных инвариантов преобразования с инфинитезимальным оператором (11) выглядит следующим образом: α z = ln r - ϕ, f = r-1/β ξ, h = r-1/β q, g = r-m/β p, w = φ - 2ϕ. β В настоящей работе ограничимся случаем α = 0, отвечающим за разделение радиальной и угловой независимых переменных. Неособое инвариантное решение ξ = r1/β f (z), q = r1/β h(z), p = rm/β g(z), w = w(z), z = -ϕ удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений (факторсистеме) βf m w - (2β + m)f m - βg cos w - mg sin w = 0, βmf m-1 f + mg cos w - βg sin w = 0, βf w - (2β + 1)f + h cos w - βh sin w = 0, (12) βf + βh cos w + h sin w = 0. Данная система преобразуется к паре уравнений для функций f , w: β2 m β β β (f cos w) + 2 + 1 (f m sin w) - 2 + 1 f m cos w = 0, 2 m m m m β 2 (f sin w) - 2β(β + 1) (f cos w) - (2β + 1)f sin w = 0 (13) 499 П е т у х о в Д. С., К е л л е р И. Э. и выражениям для функций g, h: β β m (f cos w) + (2 + 1)f m sin w, m m h = β(f sin w) - (2β + 1)f cos w. g= (14) Для численного решения удобна запись системы (12) в нормальной форме Коши: f = ∆-1 (1 - m)f sin w cos w - mf 1-m g cos w - h sin w , w = ∆-1 m f -1 cos w - f -m g sin w - (2 + β -1 m), m g = m(1 - m)(f m cos w + g sin w) - f m-1 g, 2 1-m h = (1 - m)(f - h cos w) sin w - mf g, (15) где ∆ = β(m cos2 w + sin2 w) = 0. Граничные условия (8) и (9) в рамках рассматриваемого класса решений с учетом z = ±ϕ∗ , |ϕ∗ | < π примут соответственно вид g - f m sin w = 0, f m cos w = 0. (16) f sin w = 0. (17) и h + f cos w = 0, Можно убедиться, что система (13), (14) инвариантна при точечном преобразовании ¯ f = f¯m , h = g¯, ¯ g = -h, w=w ¯ - π/2, m = 1/m, ¯ ¯ m, β = β/ ¯ (18) а граничные условия (16), (17) при этом переходят друг в друга. Система (15) также является инвариантной относительно указанных преобразований. Поэтому решение задачи (13), (14) при определенном значении m и граничных условиях (16) (или (17)) на z = ±ϕ∗ посредством (18) преобразуется в решение задачи, соответствующей граничным условиям (17) (или (16)) и значению показателя степени реологического уравнения, равному 1/m. Задача об асимптотическом распределении напряжений у вершины выреза. Уравнения (15) с граничными условиями (16) при ϕ∗ = π представляют собой известную задачу об асимптотическом распределении напряжений у кончика трещины (разреза) в рамках плоского деформированного состояния. Строгие результаты о разрешимости этой задачи отсутствуют, однако одно собственное значение β = -(m + 1) (специализация Хатчинсона-Райса-Розенгрена) установлено в [4, 5]. Здесь данная задача решалась методом Рунге-Кутты в сочетании с методом пристрелки,1 для чего решалась начальная задача с условиями (16) в точке z = -π, условием нормировки f (-π) = 1 и условием h(-π) = λ для значений параметров λ ∈ [-10, 10] и β из окрестности точки -(m + 1). Отрезок изменения λ разбивался на 20 000 точек. Было установлено, что нулевые значения невязки достигаются в некоторых точках сечения β = -(m + 1) заданной области параметров. 1 500 Использовались стандартные функции пакета Wolfram Mathematica 10. Двойственные задачи плоских ползущих течений степенной несжимаемой среды На рис. 1 приведена невязка δ = r-m/β 2 + σ2 σϕϕ rϕ граничных условий (16) в точке z = π как функция параметра λ для m = 0.2. Нули невязки позволяют установить два собственных решения: с симметричными и антисимметричными угловыми распределениями компонент напряжений σrr и σϕϕ относительно линии разреза (и соответственно антисимметричным и симметричным распределениями компоненты σrϕ ) (рис. 2). Первый случай условно назовем «нормальной», а второй - «сдвиговой» собственными формами. Этот результат воспроизводится для любого показателя степени из интервала 0 < m < 1; это означает, что ни при каких нагружениях тела со степенной реологией 0 < m < 1 напряженное состояние вблизи кончика трещины не может иметь смешанный характер и не соответствует общепринятой точке зрения [11-14]. Зависимость невязки от λ для m = 5 (рис. 3) обнаруживает четыре решения, два из которых соответствуют нормальной и сдвиговой собственным формам, а два оставшиеся - смешанной форме (рис. 4) и ее инверсии. Рис. 1. Зависимость невязки граничных условий от параметра λ в сечении β = -(m + 1) для m = 0.2 [Figure 1. The dependence of the discrepancy of the boundary conditions from the parameter λ in section β = -(m + 1) for m = 0.2] Рис. 2. Распределения напряжений для нормальной (cлева) и сдвиговой (справа) собственных форм при m = 0.2. Сплошная линия - радиальное, пунктирная - окружное, штрихпунктирная - сдвиговое напряжения. Специализация Хатчинсона-Райса-Розенгрена [Figure 2. Stress distributions for the normal (left) and shear (right) eigenforms at m = 0.2. Solid line is radial normal stress, dashed one is circumferential normal stress, dot-dashed one is shear stress. The Hutchinson-Rice-Rosengren specialization] 501 П е т у х о в Д. С., К е л л е р И. Э. Этот результат воспроизводится для любого показателя степени из интервала m > 1. На рис. 5 представлены зависимости показателя степени радиальной координаты в компонентах напряжений от угла раствора ϕ∗ , ограничивающего вырез, для нормальной и сдвиговой собственных форм и m = 0.2. На рис. 6 помещены аналогичные зависимости для m = 5; смешанные собственные формы для ϕ∗ = π не найдены. Отметим, что для ϕ∗ = π также β = -(m + 1). Стоит обратить внимание на то, что при увеличении угла выреза асимптотика напряжений у его вершины перестает быть сингулярной для сдвиго- Рис. 3. Зависимость невязки граничных условий от параметра λ в сечении β = -(m + 1) для m = 5 [Figure 3. The dependence of the discrepancy of the boundary conditions from the parameter λ in section β = -(m + 1) for m = 5] Рис. 4. Распределения напряжений для нормальной (слева), сдвиговой (справа) и смешанной (снизу) собственных форм при m = 5. Сплошная линия - радиальное, пунктирная - окружное, штрихпунктирная - сдвиговое напряжения. Специализация Хатчинсона-Райса-Розенгрена [Figure 4. Stress distribution for the normal (left), shear (right) и смешанной (bottom) eigenforms at m = 5. Solid line is radial normal stress, dashed one is circumferential normal stress, dot-dashed one is shear stress. The Hutchinson-Rice-Rosengren specialization] 502 Двойственные задачи плоских ползущих течений степенной несжимаемой среды Рис. 5. Зависимость показателя степени радиальной координаты в компонентах напряжений от угла выреза для m = 0.2. Слева - нормальная, справа - сдвиговая собственные формы. Специализация Хатчинсона-Райса-Розенгрена [Figure 5. The dependence of the power law exponent of the radial coordinate in stress components from the angle of the cut for m = 0.2. The normal eigenform on the left side and the shear eigenform on the right side. The Hutchinson-Rice-Rosengren specialization] Рис. 6. Зависимость показателя степени радиальной координаты в компонентах напряжений от угла выреза для m = 5. Слева - нормальная, справа - сдвиговая собственные формы. Специализация Хатчинсона-Райса-Розенгрена [Figure 6. The dependence of the power law exponent of the radial coordinate in stress components from the angle of the cut for m = 5. The normal eigenform on the left side and the shear eigenform on the right side. The Hutchinson-Rice-Rosengren specialization] вой собственной формы, оставаясь сингулярной для нормальной собственной формы. Для ϕ∗ < π/2 подобные решения не найдены. Полученные выше результаты после известной трансформации могут представлять решение двойственной задачи о распределении скоростей вблизи вершины жесткого клина с условиями исчезновения поля скоростей перемещений на границах. Из рис. 5, 6 можно увидеть, что асимптотика компонент скоростей, пропорциональных rγ , при r → 0 для двойственной задачи не имеет сингулярности в вершине угла, так как γ = m/b + 1 = 1/(m + 1) > 0. Это необходимо принимать во внимание при интерпретации решений, отвечающих нормальной, сдвиговой и смешанной собственным формам задачи в скоростях. О задачах, соответствующих некоторым другим собственным значениям. Численный эксперимент для задачи с клиновидным вырезом со свободными границами и произвольным m выявил собственное число β = -m/2. Несложно показать аналитически, что этот случай соответствует исчезновению поля тангенциальной компоненты тензора напряжений: σϕϕ ≡ 0. При этом перво503 П е т у х о в Д. С., К е л л е р И. Э. му уравнению в системе (13) (уравнению равновесия) можно удовлетворить подстановкой f m sin w = u (z), f m cos w = 2u(z). Двойственной задачей к рассмотренной является задача о распределении скоростей вблизи вершины жесткого клина, на границах которого исчезают компоненты вектора скорости, соответствующая специализации β = -1/2. Двойственность данной задачи ведет к отсутствию тангенциальной компоненты вектора скорости (vϕ ≡ 0) и следующему представлению радиальной компоненты вектора скорости: vr = v(z)/r. В этом случае второе уравнение системы (13) удовлетворяется тождественно при f cos w = 0.5v (z), f sin w = v(z). Данный класс решений, исследованный В. В. Соколовским [1, 2], в отличие от специализации β = -(m + 1), имеет сингулярность (источник или сток) в начале системы координат и потому может быть интерпретирован как течение в сходящемся канале. Анализ спектра собственных форм (течений) в зависимости от угла раствора и m будет опубликован отдельно. Численные эксперименты для задачи со свободными границами разреза выявили еще ряд собственных значений. Одно из таких значений β = -m соответствует исчезновению полей тангенциальной σϕϕ и сдвиговой σrϕ компонент тензора напряжений. Анализ спектра рассматриваемых задач представляется предметом отдельного исследования. Заключение. Степенная реология среды при m = 0 и m = 1 допускает существование инвариантных решений уравнений равновесия и совместности (в частности, в рамках условий несжимаемости и плоской деформации), которые не очень хорошо изучены. Определенным препятствием для этого служит статическая и кинематическая неопределимость практически любой краевой задачи на базе данных уравнений в сочетании с радикалом, вносящим существенную техническую сложность в уравнения. Авторам известно немного работ (в частности [15]), в которых из этого факта была бы извлечена польза для более глубокого понимания механики движения таких сред. Основным результатом представленной работы является обнаружение связи двух задач на собственные значения, одна из которых естественным образом записывается в функциях, непосредственно связанных с напряжениями, а другая - в функциях, непосредственно связанных со скоростями перемещений. Оба класса задач имеют практическое применение и известны в литературе в областях нелинейной механики трещин и ползущих течений нелинейных сред в сходящихся каналах. Точечные преобразования (18), трансформирующие одну из задач и ее решения в двойственные, действуют иначе, чем точечные преобразования, обнаруженные в работе [16] для системы (5) с другой реологией τ (ξ). Результаты, представленные в работе, несколько расширяют известный класс течений В. В. Соколовского, характеризующийся очень ограниченной кинематикой движения среды и ее асимптотикой вблизи вершины угла или канала. Связь двух задач позволила найти пару новых собственных значений для механики трещин в дополнение к собственному значению Хатчинсона-Райса-Розенгрена, что позволяет надеяться на скорое решение проблемы разрешимости задачи механики трещин в теле со степенными определяющими соотношениями. 504 Двойственные задачи плоских ползущих течений степенной несжимаемой среды Декларация о финансовых и других взаимоотношениях.

About the authors

Dmitriy S Petukhov

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of RAS

Email: petuhovds@mail.ru
1, Akad. Korolyova st., Perm, 614013, Russian Federation
Postgraduate Student, Lab. of Nonlinear Mechanics of Deformable Solids.

Ilya E Keller

Institute of Continuous Media Mechanics, Ural Branch of RAS

Email: kie@icmm.ru
1, Akad. Korolyova st., Perm, 614013, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.; kie@icmm.ru; Corresponding Author), Researcher, Lab. of Nonlinear Mechanics of Deformable Solids.

References

  1. Соколовский В. В. Плоское и осесимметричное равновесие пластической массы между жесткими стенками // ПММ, 1950. Т. 14, № 1. С. 75-92.
  2. Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высш. шк., 1969. 608 с.
  3. Малинин Н. Н. Технологические задачи пластичности и ползучести. М.: Высш. шк., 1979. 119 с.
  4. Rice J. R., Rosengren G. F. Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material // J. Mech. Phys. Solids, 1968. vol. 16, no. 1. pp. 1-12. doi: 10.1016/0022-5096(68)90013-6.
  5. Hutchinson J. W. Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material // J. Mech. Phys. Solids, 1968. vol. 16, no. 1. pp. 13-31. doi: 10.1016/0022-5096(68)90014-8.
  6. Hutchinson J. W. Plastic stress and strain fields at a crack tip // J. Mech. Phys. Solids, 1968. vol. 16, no. 5. pp. 337-342. doi: 10.1016/0022-5096(68)90021-5.
  7. Фрейденталь А., Гейрингер Х. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физ.-мат. лит., 1962. 432 с.
  8. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
  9. Головин С. В., Чесноков А. А. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосибирск. ун-т, 2008. 113 с.
  10. Bluman G. W., Cheviakov A. F., Anco S. C. Applications of symmetry methods to partial differential equations / Applied Mathematical Sciences. vol. 168. Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 2010. 414 pp. doi: 10.1007/978-0-387-68028-6.
  11. Shih C. F. Elastic-plastic analysis of combined mode crack problems: Ph. D. Thesis. Cambridge, M.A.: Harvard University, 1973.
  12. Shlyannikov V. N. Elastic-plastic mixed-mode fracture criteria and parameters / Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. vol. 7. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2003. 234 pp. doi: 10.1007/978-3-540-45836-4.
  13. Астафьев В. И., Крутов А. Н. Распределение напряжений вблизи вершины наклонной трещины в нелинейной механике разрушения // Изв. РАН. МТТ, 2001. № 5. С. 125-133.
  14. Степанова Л. В., Яковлева Е. М. О смешанном нагружении элементов конструкции с дефектом // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 19, № 2. С. 358-381. doi: 10.14498/vsgtu1432.
  15. Душин В. Р. Инвариантные решения уравнений движения «степенных» жидкостей // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика, механика, 1988. № 2. С. 91-95.
  16. Келлер И. Э. Интегрируемость уравнений равновесия и совместности вязкопластической среды с отрицательной чувствительностью к скорости деформации // Докл. РАН, 2013. Т. 451, № 6. С. 643-646.

Statistics

Views

Abstract - 16

PDF (Russian) - 16

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies