Limit analysis and optimal support of reinforced three-layer circular plates of different resistant materials under non-uniform loading

Abstract


Within the model of an ideal rigid-plastic body the limit behavior of the hybrid composite circular plates is considered. The exact solution of the problem of bending is built for three-layer reinforced circular plates having different angular structure reinforcement at the top and bottom layer. The material of the middle layer and the binder in the upper and lower layers has a yield stress in compression much greater than in tension. In this case the condition of plasticity for the main moments that are based on the structural model of the reinforced layer with one-dimensional states of stress in the fibers has the form of a rectangle of type Johansen condition. The plates are hinge supported along the internal annular contour and have the rigid circular insert in the central part. The plates are under load non-uniformly distributed over the surface of the plate. It is shown that there are a few schemes of limit deformation of the plate, depending on the location of the internal support and on distribution of load. The conditions of implementation are defined for all schemes. The main moments and the velocities of the deflections of the plate are defined at different locations of the internal support. The simple analytic expressions are obtained for the limit load. The optimal location of support is determined. The optimal support is such support, at which the plate has a maximum limit load. It is shown that the optimal position of the support corresponds to the formation of plastic hinge on it. It is obtained that with increase in the applied distributed load in several times, the limit loads will be reduced in the same times and the optimal location of the support will not change. Numerical examples are given. The solution can be useful in engineering practice to evaluate the bearing capacity of three-layer reinforced concrete plates.

Full Text

Введение. Для изготовления разнообразных элементов конструкций, которые могут быть как однородными, так и композитными, широко используются анизотропные разносопротивляющиеся материалы. К таким элементам относятся и круглые многослойные армированные пластины. Зачастую в элементах конструкций предоставляется свобода выбора планировочных решений, в том числе и свобода размещения опор [1]. В работе [2] на примере неравномерно нагруженных железобетонных балок показано, что если условия проектирования допускают выбор расположения опорного контура элементов конструкций и если стоимость опоры не зависит от ее положения, то за счет рационального размещения опор можно получить эффект больший, чем от других способов оптимизации. С целью определения оптимального расположения контура в настоящей работе в рамках жесткопластической модели рассмотрено предельное деформирование круглых трехслойных армированных пластин из разносопротивляющихся материалов фаз композиции под действием неравномерной нагрузки, в общем случае при различных характеристиках углового армирования в несущих слоях и различном расположении опорного кругового контура внутри области пластины. В литературе точные решения для пластических армированных пластин, опертых по внутреннему контуру, под действием неравномерной нагрузки неизвестны. При нагрузке, равномерно распределенной по поверхности, аналогичная задача по определению несущей способности рассмотрена в [3]. В случае однородного материала в [4] методом предельного равновесия определена предельная нагрузка для круглой пластины, опертой на n точек, расположенных симметрично на окружности. В [5] найдено оптимальное положение дополнительной внутренней опоры для шарнирно опертой, защемленной и свободной на контуре круглой пластины под действием начального импульса. В [6, 7] методом предельного равновесия для квадратных и прямоугольных плит определено оптимальное размещение колонн, рассматриваемых как точечные опоры. Изгиб и вопросы оптимального выбора опор для однородных упругих, упругопластических круглых, прямоугольных и полосовых пластин с промежуточными опорами изучены в [8-11]. Оптимальное положение полигональных внутренних опор к однородным жесткопластическим круглым, одно- и двусвязным полигональным пластинам найдено в [12, 13] методом предельного равновесия. Динамическое поведение однородных криволинейных двусвязных пластин с внутренней опорой рассмотрено в [14]. Проблемы оптимального проектирования строительных конструкций с точки зрения перспектив использования найденных решений при разработке реальных объектов массового строительства обсуждаются в [15]. 1. Условие пластичности и закон пластического течения. Рассмотрим в полярных координатах (r, ϕ) круглую тонкую кирхгофовскую пластину с центральной круглой жесткой вставкой с контуром L0 , шарнирно опертую по внутреннему круговому контуру L1 , при воздействии неравномерно распределенной нагрузки, зависящей от радиуса r. Внешний контур пластины L2 свободный (рис. 1, 2; значения безразмерных параметров на рисунках приведены ниже). Окружности L0 , L1 и L2 являются концентрическими; R0 , R1 и R2 - их радиусы (0 R0 R1 R2 ). Как и в [3], пластина состоит из трех различных слоев. Верхний I1 и нижний I2 слои (несущие слои) содержат по толщине большое количество армированных слоев и связующих их изо509 Р о м а н о в а Т. П. Рис. 1. Круглая пластина с угловым армированием [Figure 1. A circular plate with corner reinforcement] Рис. 2. Круглая пластина в поперечном сечении [Figure 2. A circular plate in the cross section] тропных прослоек, описываемых моделью идеального жесткопластического материала с условием пластичности типа модифицированного условия Треска для материала, разносопротивляющегося на растяжение и сжатие. Считается, что волокна арматуры деформируются, как одномерные элементы, располагаются в виде симметричных относительно радиуса криволинейных траекторий (угловое армирование), армирование в верхнем и нижнем слое различное. Средний слой пластины выполнен из того же материала, что связующий материал в несущих слоях. ¯ 1, M ¯ 2 - радиальный и окружной изгибные моменты; m1 и m2 - Пусть M их безразмерные величины; kσ0 и σ0 - пределы текучести связующего материала на растяжение и сжатие (0 < k 1), sai - предел текучести материала арматуры в слое Ii (i = 1, 2); µi - угол армирования угловых волокон в области Ii ; ωi (x), ωi0 - плотность армирования волокон в области Ii и ее значение при x = x0 ; δ¯1 и δ¯2 - толщины верхнего и нижнего слоев; w ¯ - прогиб; t¯ - время; H - толщина пластины; κ1 , κ2 - главные скорости кривизны поверхности пластины (безразмерные); σ00 , H0 , t0 - параметры обезразмеривания: s = σ0 /σ00 , ¯ i /M 0 , mi = M 0 ωi1 = 2ωi cos2 µi , h = H/H0 , κ1 = -v˙ , v = (H0 /R2 )2 w, 510 M00 = σ00 H02 /4, ωi2 = 2ωi sin2 µi , κ2 = -v˙ /x, w = w/H ¯ 0, si = sai /σ00 , δi = δ¯i /H0 ; µi0 = µi (x0 ) (i = 1, 2); x = r/R2 , ( · ) = ∂( · )/∂x, xj = Rj /R2 ( ˙· ) = ∂( · )/∂t, (j = 0, 1); t = t¯/t0 . Предельный анализ и оптимальное опирание трехслойных армированных круглых пластин. . . Для возможных вариантов структур углового армирования плотность армирования одного семейства волокон ωi (x) (i = 1, 2) определяется как в [16]: а) спирали Архимеда: ωi (x) = ωi0 x20 + (x tg µi )2 x 1+ б) логарифмические спирали: ωi (x) = tg2 µ ωi0 x0 , x , tg µi = i x tg µi0 ; x0 µi (x) = µi0 = const; (1) в) «спицы велоколеса»: ωi (x) = ωi0 x0 cos µi0 x2 - (x0 sin µi0 )2 , sin µi = x0 sin µi0 . x (2) В работе [3] показано, что в случае, когда отношение пределов текучести связующего материала на растяжение и сжатие k мало (например, это справедливо для бетона в случае железобетонных пластин), условие пластичности, полученное на основе структурной модели армированного слоя с одномерным напряженным состоянием в волокнах [17, 18] имеет вид прямоугольника ABCD, изображенного на рис. 3: - режим AB: m2 = a2 (x), κ1 = 0, κ2 > 0; - режим BC: m1 = -a3 (x), κ2 = 0, κ1 < 0; - режим CD: m2 = -a4 (x), κ1 = 0, κ2 < 0; - режим AD: m1 = a1 (x), κ2 = 0, κ1 > 0, где a1 = 2 ksh2 + δ12 (2sω1 - s1 ω11 ) - δ2 (2h - δ2 )(2ksω2 - s2 ω21 )- - ksh + δ1 (2sω1 - s1 ω11 ) - δ2 (2ksω2 - s2 ω21 ) (k + 1)s 2 , (3) a2 = 2 ksh2 + δ12 (2sω1 - s1 ω12 ) - δ2 (2h - δ2 )(2ksω2 - s2 ω22 )- ksh + δ1 (2sω1 - s1 ω12 ) - δ2 (2ksω2 - s2 ω22 ) - (k + 1)s 2 ; (4) Рис. 3. Условие пластичности в безразмерных главных моментах m1 , m2 [Figure 3. The plasticity condition for dimensionless principal moments m1 , m2 ] 511 Р о м а н о в а Т. П. a3 = 2 sh2 + δ12 (2ksω1 - s1 ω11 ) - δ2 (2h - δ2 )(2sω2 - s2 ω21 )- sh + δ1 (2ksω1 - s1 ω11 ) - δ2 (2sω2 - s2 ω21 ) - (k + 1)s 2 , (5) a4 = 2 sh2 + δ12 (2ksω1 - s1 ω12 ) - δ2 (2h - δ2 )(2sω2 - s2 ω22 )- - sh + δ1 (2ksω1 - s1 ω12 ) - δ2 (2sω2 - s2 ω22 ) (k + 1)s 2 . (6) Считаем, что aj (x) (j = 1, 2, 3, 4) являются гладкими функциями. 2. Определение моментов, предельной нагрузки и скоростей. Уравнения равновесия круглой пластины имеют вид (xm1 ) - m2 = xq, (7) (xq) = -xp1 p2 (x), (8) ¯ 2 /M 0 ; pi = P¯i R2 /M 0 (i = 1, 2); Q ¯ - перерезывающая сила, P¯ = где q = QR 0 2 0 ¯ ¯ = P1 P2 (r) - нагрузка, распределенная по поверхности пластины. Пусть опорная окружность смещена от внешнего контура пластины немного внутрь ее (x12 x1 1; значение x12 определим ниже). Назовем возникающую при этом схему предельного деформирования схемой 1. Окружность x = x1 является промежуточным шарниром, на котором справедливо неравенство -a3 (x1 ) < m1 (x1 ) 0 и перерезывающие силы терпят разрыв. Считаем, что на отрезке x0 реализуется пластическое состояние AB1 , при котором m2 (x) = a2 (x), v˙ = 0, m1 (x1 ) а на отрезке x1 x m1 (x) x x1 0, m1 (x0 ) = a1 (x0 ), (9) 1 реализуется состояние B1 B2 , при котором m2 (x) = a2 (x), v˙ = 0, m1 (x1 ) a1 (x), m1 (x1 ) m1 (x) 0, m1 (x1 ) 0, m1 (1) = 0. (10) Из уравнения v˙ = 0 при учете равенства нулю скоростей прогибов на опорном контуре x = x1 и того, что жесткая область не деформируется, получим распределение скоростей прогибов при схеме 1 (рис. 4, a; v˙ 0 - безразмерная скорость прогиба жесткой шайбы):  v˙ 0 при 0 x x0 ;  v˙ = v˙ 0 x1 - x при x0 x 1. x1 - x0 Из (7)-(9) при x0 x x1 имеем x xq(x) = x0 q(x0 ) - p1 x0 512 x0 p2 (y)ydy; x0 q(x0 ) = -p1 p2 (y)ydy; 0 Предельный анализ и оптимальное опирание трехслойных армированных круглых пластин. . . Рис. 4. Распределение скоростей прогибов пластины: a - схема 1; b - схема 2; c - схема 3 [Figure 4. The distribution of velocities of deflections of the plate: a - the scheme 1; b - the scheme 2; c - the scheme 3] x (xm1 ) = a2 (x) - p1 p2 (y)ydy; 0 m1 (x) = При x1 x x 1 x0 a1 (x0 ) + x x x p1 x a2 (y)dy - x0 x ¯ p2 (y)ydyd¯ x. x0 (11) 0 1, учитывая q(1) = 0, из (7), (8), (10) получим x xq(x) = -p1 x (xm1 ) = a2 (x) - p1 p2 (y)ydy; 1 p2 (y)ydy; 1 m1 (x) = - 1 x 1 a2 (y)dy - x p1 x 1 1 p2 (y)ydyd¯ x. x (12) x ¯ Из равенства m1 (x1 - 0) = m1 (x1 + 0) и (11), (12) получим предельную нагрузку p01 для схемы 1: 1 p01 = a2 (x)dx × x0 a1 (x0 ) + x0 x1 x ¯ × 1 x0 -1 1 p2 (y)ydyd¯ x- p2 (y)ydyd¯ x 0 x1 . (13) x ¯ Подставляя p1 = p01 в (11), (12), получим значения радиального момента m1 (x): x xm1 (x) = x0 a1 (x0 ) + a2 (x)dx- x0 1 - x0 a1 (x0 ) + x p2 (y)ydyd¯ x× x0 x1 x ¯ × x0 1 0 0 -1 1 p2 (y)ydyd¯ x- x0 x ¯ a2 (x)dx p2 (y)ydyd¯ x x1 x ¯ при x0 x x1 ; (14) 513 Р о м а н о в а Т. П. 1 1 a2 (x)dx - x0 a1 (x0 ) + xm1 (x) = - x0 1 x x1 x ¯ × 1 x ¯ -1 1 p2 (y)ydyd¯ x x1 0 p2 (y)ydyd¯ x× x p2 (y)ydyd¯ x- x0 1 a2 (x)dx x ¯ при x1 x 1; (15) Из анализа (14), (15) следует, что m1 (x) убывает при x0 x x1 , возрастает при x1 x 1 и достигает минимального значения при x = x1 . При условии m1 (x1 ) = -a3 (x1 ) на опоре образуется пластический шарнир. Отсюда следует, что схема 1 реализуется для значений x1 в интервале x12 x1 1, где x12 определяется из уравнения m1 (x12 ) = -a3 (x12 ), которое с учетом (14), (15) имеет вид 1 a3 (x12 )x12 = 1 a2 (x)dx + x0 a1 (x0 ) + x12 1 p2 (y)ydyd¯ x× x0 x12 x ¯ × x12 1 0 x ¯ -1 1 p2 (y)ydyd¯ x- x0 1 a2 (x)dx p2 (y)ydyd¯ x x12 . (16) x ¯ При радиусе опорного контура x1 x12 на контурах L1k (k = 2, 3, L1k - окружность радиуса x1 -(-1)k ∆k , ∆k 0) образуется пластический шарнир, при этом пластина деформируется как две независимые области: внутри контура L12 (схема 2) и между контурами L13 и L2 (схема 3). При схеме 2 будет деформироваться только часть пластины внутри контура L12 как пластина с жесткой шайбой, защемленная по контуру L12 . На отрезке x0 x x1 - ∆2 (x1 x12 ) реализуется пластическое состояние AB, при котором m2 (x) = a2 (x), v˙ = 0, -a3 (x) m1 (x) a1 (x), m1 (x1 - ∆2 ) = -a3 (x1 - ∆2 ), m1 (x0 ) = a1 (x0 ). Из условия v˙ = 0 скорости прогибов в пластине при схеме 2 определяются так (рис. 4, b):   v˙ 0 при 0 x x0 ;  v˙ = x1 - ∆2 - x  при x0 x x1 - ∆2 . v˙ 0 x1 - ∆2 - x0 Радиальный момент m1 (x) определяется выражением (11). Из условия m1 (x1 - ∆2 ) = -a3 (x1 - ∆2 ) 514 Предельный анализ и оптимальное опирание трехслойных армированных круглых пластин. . . получим предельную нагрузку p02 для схемы 2: x1 -∆2 p02 = min ∆2 0 a2 (x)dx × a3 (x1 - ∆2 )(x1 - ∆2 ) + a1 (x0 )x0 + x0 x ¯ x1 -∆2 × -1 p2 (y)ydyd¯ x x0 . (17) 0 При схеме 3 будет деформироваться только часть пластины между контурами L13 и L2 как пластина, защемленная по внутреннему контуру L13 и свободная на внешнем контуре L2 . На контуре L13 образуется пластический шарнир и m2 (x1 + ∆3 ) < 0, m1 (x1 + ∆3 ) < 0. При x1 + ∆3 x 1 реализуется состояние CC1 : m2 (x) = -a4 (x), -a3 (x) v˙ = 0, m1 (x) m1 (x1 + ∆3 ) = -a3 (x1 + ∆3 ), 0, (18) m1 (1) = 0. Из условия v˙ = 0 скорости прогибов в пластине при схеме 3 определяются так (рис. 4, c): v˙ = α(x - x1 - ∆3 ) при x1 + ∆3 При x1 + ∆3 x x 1 (α = const). 1, учитывая q(1) = 0, из (7), (8), (18) получим x xq(x) = -p1 x p2 (y)ydy; (xm1 ) = -a4 (x) - p1 1 p2 (y)ydy; 1 m1 (x) = - 1 x x a4 (y)dy + 1 p1 x x 1 p2 (y)ydyd¯ x. 1 (19) x ¯ Предельную нагрузку p03 для схемы 3 определим из (19) и условия m1 (x1 + ∆3 ) = -a3 (x1 + ∆3 ) : 1 p03 = min ∆3 0 a4 (x)dx × a3 (x1 + ∆3 )(x1 + ∆3 ) + x1 +∆3 1 -1 1 × p2 (y)ydyd¯ x x1 +∆3 . (20) x ¯ Из выражения (17) видно, что предельная нагрузка p02 возрастает при x1 → x0 . Из (20) следует, что величина p03 убывает при x1 → x0 . Из равенства p02 (x1m ) = p03 (x1m ) вычисляется значение x1 = x1m > x0 , при котором схема 3 переходит в схему 2. С учетом (17), (20) и того, что ∆k = 0 (k = 2, 3), при переходе схемы 2 515 Р о м а н о в а Т. П. в схему 3, величина x1m определяется из следующего алгебраического уравнения: x1m x1m x0 p2 (y)ydyd¯ x x0 1 = -1 x ¯ a2 (x)dx a3 (x1m )x1m + a1 (x0 )x0 + 1 x1m -1 1 a4 (x)dx a3 (x1m )x1m + = 0 p2 (y)ydyd¯ x x1m . (21) x ¯ Аналогично вышеизложенному анализу можно показать, что схема, при которой в пластине реализуются режимы CC2 → C2 C1 , невозможна. Пластина будет деформироваться по схеме i, соответствующей минимальному значению p0i (i = 1, 2, 3). Предельная нагрузка p0 для рассматриваемой пластины следующая: p0 (x1 ) = min p01 (x1 ), p02 (x1 ), p03 (x1 ) . (22) Если уравнения (16), (21) имеют решения на интервале (x0 , 1), то при x12 x1 1 реализуется схема 1, при x1m x1 x12 будет схема 2 и при x0 x1 x1m - схема 3. В силу того, что в рассматриваемой задаче функция нагрузки p2 (x) является произвольной функцией и функции aj (x) (j = 1, 2, 3, 4) в соотношениях (3)-(6), определяющие армирование пластины, также зависят от радиальной координаты x, в случае, когда одно или оба уравнения (16), (21) не имеют решения на интервале (x0 , 1), при предельном деформировании некоторые рассмотренные схемы реализованы не будут, а пластина будет деформироваться только по двум или одной схеме. 3. Вычисление оптимальных опор. Оптимальной будем считать опору, при которой пластина имеет максимальную предельную нагрузку: p0m = max p0 (x1 ). x0 x1 1 Из (13), (17), (20) следует, что функции предельных нагрузок p01 (x1 ), p02 (x1 ) - убывающие по x1 , а функция p03 (x1 ) - возрастающая. Если уравнения (16), (21) имеют решения на интервале (x0 , 1) и поэтому возможны все три схемы предельного деформирования, то предельная нагрузка рассматриваемых пластин будет максимальна при переходе схемы 2 в схему 3, то есть при x1 = x1m . Таким образом, условие оптимальности опоры имеет вид p02 (x1m ) = p03 (x1m ), а равенство (21) является алгебраическим уравнением для вычисления радиуса оптимальной опорной окружности x1 = x1m . Кроме этого, видно, что на оптимальной внутренней опоре образуется пластический шарнир. На рис. 5 изображена предельная нагрузка p0 , вычисленная по (13), (17), (20), (22) для рассматриваемых слоистых пластин, в зависимости от радиуса опоры x1 для случаев разного распределения нагрузки по плоскости пластины. В расчетах использовались следующие значения параметров: k = 1/17, s = 1, s1 = 40, s2 = 50, µ10 = π/6, µ20 = π/5, ω10 = 0.25, ω20 = 0.2, h = 1, x0 = 0.1, δ1 = 0.1, δ2 = 0.07; при этом считалось, что армирование обоих слоев 516 Предельный анализ и оптимальное опирание трехслойных армированных круглых пластин. . . Рис. 5. Предельная нагрузка p0 в зависимости от радиуса опоры x1 [Figure 5. The limit load p0 depending on the radius of the support x1 ] осуществлялось в форме логарифмических спиралей, описываемых законом (1). Линия c1 c2 c3 c4 изображает p0 (x1 ) в случае равномерной нагрузки (нагрузка 1 на рис. 6): p2 (x) ≡ 1. На интервале c1 c2 реализуется схема 3, на интервале c2 c3 - схема 2, на интервале c3 c4 - схема 1. Максимум предельной нагрузки достигается на оптимальной опоре x1 = x1m = 0.727 (в точке c2 ), p0m = p0 (x1m ) = 20.75; p0m /p0 (1) = 4.3. Линия e1 e2 e3 e4 изображает p0 (x1 ) в случае выпуклой параболической нагрузки (нагрузка 2 на рис. 6): p2 (x) = 1 - x2 . На интервале e1 e2 реализуется схема 3, на интервале e2 e3 - схема 2, на интервале e3 e4 - схема 1. Максимум p0 (x1 ) достигается при x1 = x1m = 0.55 Рис. 6. Зависимости нагрузки p2 от радиальной координаты x [Figure 6. The load p2 depending on the radial coordinate x] 517 Р о м а н о в а Т. П. (в точке e2 ), p0m = p0 (x1m ) = 36.7; p0m /p0 (1) = 5.4. Линия b1 b2 b3 b4 изображает p0 (x1 ) в случае вогнутой параболической нагрузки (нагрузка 3 на рис. 6): p2 (x) = (1 - x)2 . На интервале b1 b2 реализуется схема 3, на интервале b2 b3 - схема 2, на интервале b3 b4 - схема 1. Максимум p0 (x1 ) достигается при x1 = x1m = 0.407 (в точке b2 ), p0m = p0 (x1m ) = 121; p0m /p0 (1) = 7.56. Линия r1 r2 r3 b4 изображает p0 в случае вогнутой параболической нагрузки, возрастающей от центра к контуру (нагрузка 4 на рис. 6): p2 (x) = x2 . На интервале r1 r2 реализуется схема 3, на интервале r2 r3 - схема 2, на интервале r3 b4 - схема 1. Максимум p0 достигается при x1 = x1m = 0.83 (в точке b2 ), p0m = p0 (x1m ) = 55.2; p0m /p0 (1) = 3.45. Если нагрузку p2 (x) увеличить в ap раз, то уравнение (21) для определения x1m сохранит свой вид, поэтому месторасположение оптимальной опоры не изменится. При этом из (13), (17), (20), (22) следует, что значения предельных нагрузок p0i (i = 1, 2, 3) и максимальной предельной нагрузки, соответствующей оптимальному расположению опоры, уменьшатся в ap раз. На основании этого свойства определим величины максимальных предельных нагрузок для нагрузок вида 2-4 на рис. 6 в случае, если они имеют одинаковую с нагрузкой 1 полную распределенную нагрузку: 1 p2 (x)xdx = const = 0.5. 0 Тогда для нагрузок 2, 4 коэффициент ap = 2, а p0m = 36.7/2 = 18.35 и p0m = 55.2/2 = 27.6, соответственно. Для нагрузки 3 коэффициент ap ≈ 6 и p0m = 121/6 ≈ 20.16. На рис. 5 ломаная линия с максимумом в точке 1 изображает предельную нагрузку p0 (x1 ) для слоистых пластин, рассчитанную со следующими параметрами: k = 1/17, s = 1, s1 = s2 = 60, µ10 = π/6, µ20 = π/5, ω10 = ω20 = 0.3, h = 1, x0 = 0.1, δ1 = δ2 = 0.1; при этом армирование обоих слоев осуществлялось в форме «спицы велоколеса», описываемой законом (2). Максимум p0 достигается при x1 = x1m = 0.81, p0m = p0 (x1m ) = 83; p0m /p0 (1) = 3.67. С помощью (13), (17) можно вычислить отношение p0m к предельной нагрузке p0 (1), когда пластина шарнирно оперта по внешнему контуру, по следующей формуле: p0m = p0 (1) x1m 1 x0 p2 (y)ydyd¯ x× x0 0 x1m x ¯ 1 × x ¯ a2 (x)dx a3 (x1m )x1m + a1 (x0 )x0 + x0 a1 (x0 ) + a2 (y)dy x0 -1 p2 (y)ydyd¯ x x0 , 0 где x1m определяется из (21). Из приведенных примеров видно, что при различных параметрах армирования и распределения нагрузки отношение p0m /p0 (1) может быть больше семи. 518 Предельный анализ и оптимальное опирание трехслойных армированных круглых пластин. . . Рассмотренные примеры показывают, что изменение характеристик армирования пластины и распределения нагрузки существенно влияет на ее несущую способность. Однако если есть возможность управлять размещением опорного контура, то эффект оптимизации превосходит эффекты, получаемые за счет управления указанными параметрами. Изменяя расположение опорного контура внутри области пластины, можно найти опору, при которой пластина будет наиболее прочной. Заключение. На основе модели идеального жесткопластического материала построено точное решение задачи по определению главных моментов, скоростей деформаций и предельной нагрузки при изгибе трехслойных круглых пластин, имеющих разную структуру углового армирования в верхнем и нижнем слое. Пластины шарнирно оперты по внутреннему круговому контуру, имеют в центральной части жесткую круглую вставку и находятся под действием неравномерно распределенной поверхностной нагрузки. Условие пластичности в плоскости главных моментов принято в виде прямоугольника, полученного на основе структурной модели армированного слоя с одномерным напряженным состоянием в волокнах с учетом разносопротивляемости материалов фаз композиции. Показано, что в зависимости от расположения опоры пластины могут деформироваться по нескольким схемам. Для всех схем получены условия их реализации, определены поля главных моментов и скорости деформаций. Получены простые аналитические выражения для предельной нагрузки в зависимости от расположения опоры. Получены алгебраические уравнения, которые определяют оптимальное расположение опорного контура, соответствующее наибольшему значению предельной нагрузки пластины и, следовательно, наименьшей ее повреждаемости при различном армировании. Получено, что на оптимальной внутренней опоре образуется пластический шарнир. Результаты проведенного предельного анализа представлены в простом аналитическом виде, удобном для дальнейшего использования. В качестве примеров рассмотрены несколько типов осесимметричных нагрузок. Показано, что изменение характеристик углового армирования, распределение нагрузки и расположение внутреннего опорного контура существенно влияет на несущую способность пластины. Получено, что при увеличении приложенной распределенной нагрузки в несколько раз значения предельных нагрузок уменьшатся во столько же раз, при этом месторасположение оптимальной опоры не изменится. Показано, что в случае неравномерного нагружения плоских круглых элементов конструкций, если условия проектирования допускают выбор расположения опорного контура элементов конструкций и если стоимость опоры не зависит от ее положения, то за счет рационального размещения опор можно получить эффект больший, чем от других способов оптимизации. Полученные решения могут быть использованы для оценки несущей способности трехслойных железобетонных пластин.

About the authors

Tatiana P Romanova

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: lab4nemir@gmail.com
4/1, Institutskaya st., Novosibirsk, 630090, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; lab4nemir@gmail.com), Senior Researcher, Lab. of the Physics of Fast Processes

References

  1. Дехтярь А. С. Точечное опирание пластин сложного очертания // Строительная механика и расчет сооружений, 2010. № 2. С. 56-59.
  2. Дехтярь А. С. Нерегулярные конструкции и целесообразность унификации // Строительная механика и расчет сооружений, 2009. № 5. С. 74-77.
  3. Романова Т. П. Несущая способность и оптимизация трехслойных армированных круглых пластин из разносопротивляющихся материалов, опертых по внутреннему контуру // Проблемы прочности и пластичности, 2015. № 3. С. 286-300, http://www.unn.ru/e-library/ppp.html?anum=317.
  4. Yang W. H. How to optimally support a plate // J. Appl. Mech, 1981. vol. 48, no. 1. pp. 207-209. doi: 10.1115/1.3157578.
  5. Оленев Г. М. Оптимальное расположение дополнительных опор к жесткопластическим круглым пластинкам в случае импульсного нагружения // Уч. зап. Тартуского гос. унта, 1983. № 659. С. 30-41.
  6. Дехтярь А. С. Оптимальное опирание квадратной пластины // Прикл. мех., 1991. Т. 27, № 6. С. 107-110.
  7. Дехтярь А. С. Оптимальное размещение колонн в зданиях, возводимых методом подъема // Строительная механика и расчет сооружений, 1989. № 1. С. 14-17.
  8. Коренева Е. Б., Гросман В. Р. Аналитическое решение задачи о неосесимметричной деформации круглой ортотропной пластины радиально-переменной толщины на точечных опорах // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 2015. № 11. С. 94-100.
  9. Lellep J., Polikarpus J. Optimal design of circular plates with internal supports // WSEAS Transactions on Mathematics, 2012. vol. 11, no. 3. pp. 222-232.
  10. Wang C. M., Liew K. M., Wang L., Aug K. K. Optimal locations of internal line supports for rectangular plates against buckling // Structural Optimization, 1992. vol. 4, no. 3. pp. 199-205. doi: 10.1007/BF01742745.
  11. Папковская О. Б., Козин А. Б., Камара Д. Построение и исследование решения задачи антисимметричного изгиба ортотропной полосовой пластины, подкрепленной жесткой опорой // Труды Одесского политехнического университета, 2006. № 2. С. 181-185, http://www.pratsi.opu.ua/articles/show/641.
  12. Романова Т. П. Оптимальное расположение полигональных внутренних опор к круглым жесткопластическим пластинам // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3(36). С. 94-105. doi: 10.14498/vsgtu1312.
  13. Романова Т. П. Оптимальное опирание жесткопластических одно- и двусвязных полигональных пластин // Вестник ПНиПУ. Механика, 2014. № 4. С. 152-177. doi: 10.15593/perm.mech/2014.4.06.
  14. Немировский Ю. В., Романова Т. П. Моделирование поведения двусвязной жесткопластической пластины произвольной формы с внутренней криволинейной опорой при взрывных нагрузках // Проблемы прочности и пластичности, 2014. № 2. С. 122-133, http://www.unn.ru/e-library/ppp.html?anum=258.
  15. Ляхович Л. С., Перельмутер А. В. Некоторые вопросы оптимального проектирования строительных конструкций // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 2014. № 10(2). С. 14-23.
  16. Вохмянин И. Т., Немировский Ю. В. Особенности продольно-поперечного изгиба трехслойных кольцевых пластинок с несимметричными структурами армирования / Краевые задачи и математическое моделирование: Сб. тр. 8-й Всерос. научн. Конф-ции. Т. 1 (1-3 декабря 2006 г.). Новокузнецк, 2006. С. 25-31.
  17. Немировский Ю. В., Романова Т. П. Расчет динамического деформирования трехслойных железобетонных круглых и кольцевых пластин // Бетон и железобетон, 2011. № 6. С. 26-30.
  18. Nemirovsky Ju. V., Resnikoff B. S. On limit equilibrium of reinforced slabs and effectiveness of their reinforcement // Archiwum Inżynierii Lądowej, 1975. vol. 21, no. 1. pp. 57-67.

Statistics

Views

Abstract - 27

PDF (Russian) - 4

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies