On the “splitting” effect for multipoint differential operators with summable potential

Abstract


We study the differential operator of the fourth order with multipoint boundary conditions. The potential of the differential operator is summable function on a finite segment. For large values of spectral parameter the asymptotic behavior of solutions of differential equation which define the differential operator is found. The equation for eigenvalues of the studied operators is derived by studying the boundary conditions. The parameters of boundary conditions are selected in such a way that the main approach of the equation for eigenvalues has multiple roots. The author shows that for the studied operator the effect of “splitting” of multiple eigenvalues in the main approximation is observed. We derive all series of single eigenvalues of the investigated operator. The indicator diagram of the considered operator is studied. The asymptotic behavior of eigenvalues in all sectors of the indicator diagram is found. The obtained precision of the asymptotic formulas is enough for finding an asymptotics of eigenfunctions of the studied differential operator.

Full Text

1. Постановка задачи. Исследуем дифференциальный оператор четвертого порядка, задаваемый дифференциальным уравнением вида y (4) (x) + q(x)y(x) = λy(x), 0 x π, (1) с многоточечными граничными условиями y (0) = 0; y (3) (0) = 0; y(π) = α1 y π + β2 y 3 16 α1 ∈ C; β2 = - α2 , 3 y (π) = β1 y β1 = - 10 - α1 , 3 π 2π + α2 y ; 3 3 2π ; 3 (2) α2 ∈ C. В уравнении (1) функция q(x) - потенциал, число λ ∈ C - спектральный параметр. Мы изучаем дифференциальный оператор (1), (2) в предположении, что потенциал q(x) является суммируемой функцией на отрезке [0; π]: x q(x) ∈ L1 [0; π] ⇔ = q(x) q(t)dt 0 (3) x почти для всех x из отрезка [0; π]. Многоточечные дифференциальные операторы пока что полностью не изучены даже для случая гладких коэффициентов дифференциальных уравнений, задающих эти операторы. В работе [1] автором для дифференциального оператора второго порядка с кусочно-гладкими коэффициентами был изучен эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений. Цель статьи - найти примеры и изучить дифференциальные операторы четвертого порядка с суммируемым потенциалом, у которых наблюдается такой же эффект «расщепления». Дифференциальные операторы с суммируемыми коэффициентами начали бурно исследоваться в последнее время. В работах [2, 3] были исследованы спектральные свойства оператора Штурма-Лиувилля (второго порядка) с суммируемым потенциалом. В работах [4, 5] автор исследовал операторы четвертого и шестого порядков с суммируемыми коэффициентами с помощью методики, отличной от методики работ [2, 3]. Необходимо отметить, что с возрастанием порядка дифференциального оператора трудности его исследования увеличиваются многократно. И этот факт верен и для операторов с негладкими коэффициентами: фактически во всех работах этой тематики (см. [6-10]) рассматриваются операторы второго порядка. Нахождение асимптотики собственных значений необходимо при исследовании свойств собственных функций, а также для вычисления регуляризованных следов дифференциальных операторов (см. [11-13]). Заметим, что общая теория нахождения регуляризованных следов операторов с суммируемыми потенциалами пока не разработана, хотя появились работы, в которых вычислены следы операторов (опять-таки второго порядка) c потенциалом в виде δ-функции (см. [14, 15]). Для операторов четвертого и выше порядков случай, когда потенциал - δ-функция, пока не рассматривался. 250 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . 2. Асимптотика решений дифференциального √ уравнения (1) при больших значениях λ. Введем замену λ = s4 , s = 4 λ, причем для корректности дальнейших выкладок зафиксируем ту ветвь арифметического корня, √ для которой 4 1 = +1. Обозначим через wk (k = 1, 2, 3, 4) различные корни четвертой степени из единицы: wk4 = 1; k = 1, 2, 3, 4; 2πi (k - 1) , 4 w2 = i, w3 = -1, w4 = -i. wk = exp w1 = 1, (4) Для чисел wk (k = 1, 2, 3, 4) из (4) справедливы соотношения 4 4 wkp wkp = 4, p = 0, p = 4. = 0, p = 1, 2, 3; (5) k=1 k=1 Числа wk (k = 1, 2, 3, 4) из (4), (5) делят единичную окружность на четыре равные части. Методом вариации произвольных постоянных устанавливается следующее утверждение (см. [4, 5]). Лемма 1. Решение y(x, s) дифференциального уравнения (1) является решением интегрального уравнения Вольтерры: 4 Ck ewk sx - y(x, s) = k=1 1 4s3 4 x wk ewk sx q(t)e-wk st y(t, s)dt, (6) 0 k=1 где Ck - произвольные постоянные. Проверить справедливость формулы (6) можно непосредственным образом с учетом свойства (5) а также принимая во внимание, что из свойства (3) суммируемости потенциала следует формула x q(t)e-wk st y(t, s)dt 0 = q(x)e-wk sx y(x, s) x почти для всех x из отрезка [0; π]. Интегральное уравнение (6) решим методом последовательных приближений Пикара (как это сделано в работах [4] и [5]): найдем y(t, s) из (6), x подставим это выражение в q(t)e-wk st y(t, s)dt, произведем необходимые 0 вычисления и оценки, аналогичные оценкам работ [4, 5], [16, гл. 2], [17, гл. 1]. В результате получим следующее утверждение. Лемма 2. Общее решение дифференциального уравнения (1) представляется в виде 4 y(x, s) = 4 Ck yk (x, s); k=1 y (p) (p) (x, s) = Ck yk (x, s), p = 1, 2, 3, (7) k = 1, 2, 3, 4; (8) k=1 где Ck (k = 1, 2, 3, 4) - произвольные постоянные, yk (x, s) = ewk sx - e|Ims|x A3k (x, s) A6k (x, s) + + O , 4s3 16s6 s9 251 М и т р о х и н С. И. (p) yk (x, s) Ap3k (x, s) Ap6k (x, s) e|Ims|x p wk sx - , = w e + + O k sp 4s3 16s6 s9 k = 1, 2, 3, 4, p = 1, 2, 3; 4 x wn ewn sx ϕkn (x, s), A3k (x, s) = ϕkn (x, s) = q(x)e(wk -wn )st dt, 0 n=1 (9) (10) k = 1, 2, 3, 4; 4 Ap3k (x, s) wn wnp ewn sx ϕkn (x, s), = k = 1, 2, 3, 4, p = 1, 2, 3; (11) n=1 4 4 A6k (x, s) = x wm ewm sx wn n=1 x ψnmkn (x, s) = q(t)ψnmkn (x, s) , 0 m=1 t q(t)e(wn -wm )st dξ 0 q(ξ)e(wk -wn )sξ dξ dt, (12) 0 k = 1, 2, 3, 4; 4 Ap6k (x, s) = 4 p wm sx wm wm e ψnmkn (x, s) , wn n=1 m=1 k = 1, 2, 3, 4, (13) p = 1, 2, 3. При выводе асимптотических формул (8)-(13) в момент промежуточного интегрирования мы требовали выполнения следующих начальных условий: Ap3k (0, s) = Ap6k (0, s) = 0; A3k (0, s) = A6k (0, s) = 0; (p) yk (0, s) wkp sp , = k = 1, 2, 3, 4; yk (0, s) = 1; p = 1, 2, 3. (14) 3. Изучение граничных условий (2). В силу формул (7)-(14) из первых двух граничных условий (2) находим:   y (0, s)     s (2) s=0  y (3) (0, s)     s3 (7) = 0⇔ (2) s=0 4 Ck k=1 4 (7) = 0⇔ k=1 yk (0, s) (14) =0 ⇔ s 4 Ck wk = 0; k=1 (3) y (0, s) (14) Ck k 3 =0 ⇔ s 4 Ck wk3 = 0, k=1 откуда в силу соотношений (5) получаем: C3 = C1 , C4 = C2 . Поэтому при выполнении условий y (0) = y (3) (0) = 0 общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид: y(x, s) = C1 [y1 (x, s) + y3 (x, s)] + C2 [y2 (x, s) + y4 (x, s)], y 252 (p) (p) (p) (p) (p) (x, s) = C1 [y1 (x, s) + y3 (x, s)] + C2 [y2 (x, s) + y4 (x, s)], p = 1, 2, 3, (15) Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . где C1 , C2 - произвольные постоянные. Подставляя формулы (15) в последние два из граничных условий (2), получаем:  2π π (15) (2)  y(π, s) = α1 y , s + α2 y , s ⇔ C1 [y1 (π, s) + y3 (π, s)]+   3 3   π π   +C [y (π, s) + y (π, s)] = α1 C1 y1 , s + y3 , s + 2 2 4   3 3   π π   +α C y ( , s) + y ( , s) + 1 2 2 4   3 3    2π 2π   , s + y3 ,s + α2 C1 y1   3 3     2π 2π   +α2 C2 y2 , s + y4 ,s ,   3 3    (16) y (2π/3, s) (15) y1 (π, s) y3 (π, s) y (π, s) (2) y (π/3, s)  = β + β ⇔ C + +  1 2 1   s2 s2 s2 s2 s2    y (π, s) y (π/3, s) (π, s) (π/3, s) y y   +C2 2 2 + 4 2 = β1 C1 1 2 + 3 2 +    s s s s    y (π/3, s) y4 (π/3, s)   +β1 C2 2 2 + +    s s2    y (2π/3, s) y3 (2π/3, s)   + + +β2 C1 1    s2 s2    y (2π/3, s) y4 (2π/3, s)   +β2 C2 2 + .  s2 s2 Однородная система (16) (из двух уравнений с двумя неизвестными C1 , C2 ) имеет ненулевые решения (C12 + C22 = 0) только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Поэтому справедлива следующая лемма. Лемма 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1), (2) с условием (3) суммируемости потенциала q(x) имеет следующий вид : h (s) h12 (s) = 0, (17) f (s) = 11 h21 (s) h22 (s) h11 (s) = y1 (π, s) + y3 (π, s) - α1 y1 π π , s + y3 ,s 3 3 - α2 y1 h12 (s) = y2 (π, s) + y4 (π, s) - α1 y2 π π , s + y4 ,s 3 3 - α2 y2 - 2π 2π , s + y3 ,s 3 3 , - 2π 2π , s + y4 ,s 3 3 , 253 М и т р о х и н С. И. h21 (s) = h22 (s) = y (π/3, s) y3 (π/3, s) y1 (π, s) y3 (π, s) - + - β1 1 2 + 2 2 s s s s2 y (2π/3, s) y3 (2π/3, s) - β2 1 , + s2 s2 y (π/3, s) y4 (π/3, s) y2 (π, s) y4 (π, s) - + - β1 2 2 + 2 2 s s s s2 y (2π/3, s) y4 (2π/3, s) - β2 2 . + s2 s2 Подставляя формулы (8)-(13) в уравнение (17), получившийся определитель разложим на сумму определителей по столбцам, в результате получим: f (s) = f0 (s) - f3 (s) f6 (s) 1 + +O 9 3 6 4s 16s s = 0, (18) f011 (s) f012 (s) , f021 (s) f022 (s) f0 (s) = (19) π π 2π 3 + ew3 s 2π 3 , π π 2π 3 + ew4 s 2π 3 , f011 (s) = ew1 sπ + ew3 sπ - α1 ew1 s 3 + ew3 s 3 - α2 ew1 s f012 (s) = ew2 sπ + ew4 sπ - α1 ew2 s 3 + ew4 s 3 - α2 ew2 s π π f021 (s) = w12 ew1 sπ + w32 ew3 sπ - β1 w12 ew1 s 3 + w32 ew3 s 3 - - β2 w12 ew1 s π 2π 3 + w32 ew3 s 2π 3 , 2π 3 + w42 ew4 s 2π 3 , π f022 (s) = w22 ew2 sπ + w42 ew4 sπ - β1 w22 ew2 s 3 + w42 ew4 s 3 - - β2 w22 ew2 s f3 (s) = f3,1 (s) + f3,2 (s), f3,1 (s) = w12 = w32 = 1, w22 = w42 = -1, (20) f3,1,11 (s) f3,1,12 (s) , f3,1,21 (s) f3,1,22 (s) (21) π π , s + A33 , s - 3 3 2π 2π - α2 A31 , s + A33 ,s 3 3 f3,1,11 (s) = A31 (π, s) + A33 (π, s) - α1 A31 π π f3,1,12 (s) = ew2 sπ + ew4 sπ - α1 ew2 s 3 + ew4 s 3 - α2 ew2 s 254 2π 3 + ew4 s 2π 3 , , Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . π π , s + A233 , s - 3 3 2π 2π , s + A233 ,s - β2 A231 3 3 f3,1,21 (s) = A231 (π, s) + A233 (π, s) - β1 A231 π π f3,1,22 (s) = -ew2 sπ - ew4 sπ + β1 ew2 s 3 + ew4 s 3 + β2 ew2 s f3,2 (s) = 2π 3 + ew4 s 2π 3 , f3,2,11 (s) f3,2,12 (s) , f3,2,21 (s) f3,2,22 (s) π π f3,2,11 (s) = ew1 sπ + ew3 sπ - α1 ew1 s 3 + ew3 s 3 - α2 ew1 s , (22) 2π 3 2π 3 + ew3 s , π π , s + A34 , s - 3 3 2π 2π , s + A34 ,s - α2 A32 3 3 f3,2,12 (s) = A32 (π, s) + A34 (π, s) - α1 A32 π π f3,2,21 (s) = ew1 sπ + ew3 sπ - β1 ew1 s 3 + ew3 s 3 - β2 ew1 s 2π 3 + ew3 s 2π 3 , , π π , s + A234 ,s - 3 3 2π 2π - β2 A232 , s + A234 ,s 3 3 f3,2,22 (s) = A232 (π, s) + A234 (π, s) - β1 A232 , функцию f6 (s) можно вычислить аналогичным образом. Основное приближение уравнения (18)-(22) представляется в виде f0 (s)=0 и от корней этого уравнения зависит поведение корней уравнения (18)-(22). Для нахождения корней уравнения f0 (s) = 0 необходимо изучить индикаторную диаграмму этого уравнения (см. [18, гл. 12]). π Введем обозначение e 3 s = z = 0, тогда основное приближение уравнения (18)-(22) примет следующий вид: f0 (s) = m11 (s) m12 (s) = 0, m21 (s) m22 (s) (23) m11 (s) = z 3w1 - α2 z 2w1 - α1 z w1 - α1 z -w1 - α2 z -2w1 + z -3w1 , m12 (s) = z 3w2 - α2 z 2w2 - α1 z w2 - α1 z -w2 - α2 z -2w2 + z -3w2 , m21 (s) = z 3w1 - β2 z 2w1 - β1 z w1 - β1 z -w1 - β2 z -2w1 + z -3w1 , m22 (s) = -z 3w2 + β2 z 2w2 + β1 z w2 + β1 z -w2 + β2 z -2w2 - z -3w2 . Раскладывая определитель f0 (s) из (23) по столбцам на сумму определителей, получаем: f0 (s) = (-2)z 3w1 +3w2 + α2 + β2 z 3w1 +2w2 + α1 + β1 z 3w1 +w2 + + α1 + β1 z 3w1 -w2 + α2 + β2 z 3w1 -2w2 + - 2 z 3w1 -3w2 + 255 М и т р о х и н С. И. + α2 + β2 z 2w1 +3w2 - 2α2 β2 z 2w1 +2w2 + · · · + α2 + β2 z 2w1 -3w2 + + α1 + β1 z w1 +3w2 - α1 β2 + α2 β1 z w1 +2w2 + · · · + + α1 + β1 z w1 -3w2 + · · · + - 2 z -3w1 +3w2 + α2 + β2 z -3w1 +2w2 + + α1 + β1 z -3w2 +w2 + α1 + β1 z -3w1 -w2 + + α2 + β2 z -3w1 -2w2 + - 2 z -3w1 -3w2 = 0. (24) Индикаторная диаграмма уравнения (23), (24) - это выпуклая оболочка показателей экспонент, входящих в это уравнение. Учитывая формулы (4), видим, что индикаторная диаграмма уравнения (23), (24) имеет следующий вид: . (25) Индикаторная диаграмма представляет собой квадрат с вершинами в точках 3w1 + 3w2 , -3w1 + 3w2 , -3w1 - 3w2 и 3w1 - 3w2 . На стороне 3w1 - 3w2 ; 3w1 + 3w2 находятся точки (показатели экспонент) 3w1 - 2w2 , 3w1 - w2 , 3w1 + w2 , 3w1 + 2w2 , которые вместе с точкой 3w1 (не является показателем экспонент, входящих в (23), (24)) делят этот отрезок на шесть равных частей. Аналогичная ситуация с другими сторонами квадрата. Если бы точки (показатели экспонент) делили отрезки на несоизмеримые части, то корни уравнения (23), (24) и асимптотику корней уравнения (18)- (22) выписать было бы нельзя (см. [19, 20]). Корни уравнения (23), (24) (а также корни уравнения (18)-(22)) находятся в четырех секторах бесконечно малого раствора, заштрихованных на рисунке (25), биссектрисы которых являются срединными перпендикулярами к сторонам квадрата. Точки, находящиеся на сторонах квадрата (3w1 - 2w2 = 3 - 2i, 3w1 - w2 = 3 - i, 3w1 + w2 = 3 + i, . . . ), также будут оказывать влияние на поведение корней уравнений (23), (24) и (18)-(22). Точки, попадающие внутрь индикаторной диаграммы (25) (2w1 - 2w2 , 2w1 - w2 , 2w1 + w2 , 2w1 + 2w2 , w1 + 2w2 ,. . . ), на асимптотику корней уравнений (23), (24) и (18)-(22) влиять не будут. 4. Асимптотика собственных значений в секторе 1) индикаторной диаграммы (25). Изучим сектор 1) индикаторной диаграммы (25). Из 256 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . общей теории (см. [18, гл. 12], [19,20]) следует, что в секторе 1) на асимптотику корней уравнений (23), (24) и (18)-(22) влияют только точки, находящиеся на отрезке [3w1 - 3w2 ; 3w1 + 3w2 ], т. е. точки 3w1 - 3w2 , 3w1 - 2w2 , 3w1 - w2 , 3w1 + w2 , 3w1 + 2w2 и 3w1 + 3w2 . Лемма 4. Основное приближение уравнения на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) в секторе 1) индикаторной диаграммы (25) имеет следующий вид : f0,1 (s) = (-2)z 3w1 +3w2 + (α2 + β2 )z 3w1 +2w2 + (α1 + β1 )z 3w1 +w2 + + (α1 + β1 )z 3w1 -w2 + (α2 + β2 )z 3w1 -2w2 + (-2)z 3w1 -3w2 = 0. (26) В уравнении (26), поделив на (-1)z 3w1 = 0, сделаем замену z w2 = x = 0. В итоге получим уравнение шестой степени: g1 (x) = 2x6 - (α2 + β2 )x5 - (α1 + β1 )x4 - (α1 + β1 )x2 - (α2 + β2 )x + 2 = 0, которое в силу граничных условий (2) (α1 + β1 = -10/3, α2 + β2 = 16/3) принимает следующий вид: g1 (x) = 2x6 - 16 5 10 4 10 2 16 x + x + x - x + 2 = 0. 3 3 x 3 (27) Уравнение (27) легко раскладывается на множители: 2 g1 (x) = (x - 1)4 (3x2 + 4x + 3) = 0 3 и имеет следующие корни: x1 = x2 = x3 = x4 = 1 (кратность равна четырем); √ √ 2 2 5 5 iϕ i = e , x6 = x ¯5 = - - i = e-iϕ , x5 = - + 3 3 3 √3 2 5 ϕ = arccos - = π - arcsin . 3 3 (28) Формула (28) задает корни основного приближения уравнения (18)-(22) в секторе 1) индикаторной диаграммы (25) (т. е. корни уравнений (26) и (27)). Из общей теории (см. [18, гл. 12]) нахождения корней квазиполиномов вида (18)-(22) следует, что в секторе 1) надо оставить только те экспоненты, которые соответствуют правому вертикальному отрезку индикаторной диаграммы (25). Поэтому для сектора 1) уравнение (17) принимает следующий вид: f1 (s) = b11 = z 3w1 - b11 b12 = 0, b21 b22 A31 (π, s) 1 + O 6 + o¯(1), 4s3 s π z = e 3 s = 0, 257 М и т р о х и н С. И. A231 (π, s) 1 + O 6 + o¯(1), 3 4s s 2 w1 = 1, w1 = 1, A32 (2π/3, s) 1 A32 (π, s) - α2 z 2w2 - +O 6 +O b12 = z 3w2 - 4s3 s 4s3 A34 (π/3, s) A32 (π/3, s) 1 - α1 z -w2 - -α1 z w2 - +O 6 +O 3 4s s 4s3 A34 (2π/3, s) A34 (π, s) 1 -α2 z -2w2 - + z -3w2 - +O 6 +O 4s3 s 4s3 b21 = w12 z 3w1 - w2 = i, 1 s6 1 s6 1 s6 w4 = -w2 = -i, - - , (29) A232 (π, s) 1 A232 (2π/3, s) 1 2 2w2 + O - β w z - +O 6 - 2 2 4s3 s6 4s3 s 1 1 A2 (π/3, s) A2 (π/3, s) -β1 w22 z w2 - 32 3 +O 6 - β1 w42 z -w2 - 34 3 +O 6 - 4s s 4s s 2 2 1 A (2π/3, s) 1 A (2π/3, s) +O 6 + w42 z -3w2 - 34 3 +O 6 , -β2 w42 z -2w2 - 34 3 4s s 4s s b22 = w22 z 3w2 - w22 = w42 = -1. Изучая определитель f1 (s) из (29), сделаем необходимые преобразования и убедимся в справедливости следующего утверждения. Лемма 5. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) в секторе 1) индикаторной диаграммы (25) имеет следующий вид : f3,1 (s) f6,1 (s) 1 + + O 9 = 0, (30) 4s3 16s6 s z 3w2 - α2 z 2w2 - α1 z w2 - α1 z -w2 - α2 z -2w2 + z -3w2 , (31) -z 3w2 + β2 z 2w2 + β1 z w2 + β1 z -w2 + β2 z -2w2 - z -3w2 f3,1 = f3,1,1 (s) + f3,1,2 (s), (32) f1 (s) = f0,1 (s) - f0,1 (s)= f3,1,1 (s)= f3,1,2 (s)= z 3w1 z 3w1 A31 (π, s) z 3w2 -α2 z 2w2 -α1 z w2 -α1 z -w2 -α2 z -2w2 +z -3w2 , (33) A231 (π, s) -z 3w2 +β2 z 2w2 +β1 z w2 +β1 z -w2 +β2 z -2w2 -z -3w2 z 3w1 A32 (π, s)-α2 A32 2π 3 ,s -α1 A32 π3 , s -α1 A34 π3 , s - -α2 A34 2π 3 , s +A34 (π, s) z 3w1 A232 (π, s)-β2 A232 2π 3 ,s -β1 A232 π3 , s -β1 A234 π3 , s - 2 -β2 A234 2π 3 , s +A34 (π, s) . (34) Действительно, раскладывая определитель f1 (s) из (30) по столбцам на сумму определителей и упорядочивая величины по росту s, получаем (30)- (34), величины A31 (π, s), A231 (π, s), A32 (π, s), . . . , A234 (π, s) определены формулами (12), (13). 258 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . Основное приближение уравнения (30)-(34) имеет вид f0,1 (s) = 0, где f0,1 (s) определено формулой (31), и это уравнение преобразуется к виду f0,1 (s) = z 3w1 (-2)z 3w2 + α2 + β2 z 2w2 + α1 + β1 z w2 + α1 + β1 z -w2 + + α2 + β2 z -2w2 + (-2)z -3w2 = 0, z 3w1 = 0. Это уравнение при выполнении условия (2) принимает следующий вид: 3z 3w2 - 8z 2w2 + 5z w2 + 5z -w2 - 8z -2w2 + 3z -3w2 = 0, 3x6 - 8x5 + 5x4 + 5x2 - 8x + 3 = 0, π x = z w2 = ea 3 w2 s = 0, т. е. совпадает с уравнением g1 (x) = 0 из (27), которое имеет корни, описываемые формулой (28). Изучим сначала наиболее интересный случай: π x1 = x2 = x3 = x4 = 1 (кратность 4) ⇔ e 3 w2 s = 1 = e2πik , 6ki (4) k ∈ N ⇔ sk,1,осн = = 6k (кратность 4), k ∈ N. w2 (35) В формуле (35) у серии корней sk,1,осн индекс 1 показывает, что мы рассматриваем сектор 1) индикаторной диаграммы (25), «осн» означает «основное приближение». Из общей теории нахождения корней квазиполиномов вида (30)-(34) в случае условия (28) (см. [18, гл. 12], [11, 13, 20]) следует справедливость следующего утверждения. Теорема 1. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(3) в секторе 1) индикаторной диаграммы (25) имеет вид sk,1,p = 6k + d4kp d1kp d2kp d3kp 1 + 6/4 + 9/4 + 12/4 + O 15/4 , 3/4 k k k k k p = 1, 2, 3, 4. (36) Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства теоремы 1 необходимо показать, что коэффициенты d1kp , d2kp , d3kp , . . . (p = 1, 2, 3, 4) формулы (36) находятся в явном виде единственным образом. Применяя формулы Маклорена, имеем z ±w2 π sk,1,p = e±s 3 w2 Mkp = z ±2w2 sk,1,p =1± sk,1,p =1± π π2 2 π3i 3 iMkp - Mkp ∓ M + 3 9 27 kp π4 4 π5i 5 + Mkp ± M - ..., 81 243 kp d1kp d2kp d3kp d4kp 1 + 6/4 + 9/4 + 12/4 + O 15/4 , 3/4 k k k k k (37) 2π 4π 2 2 8π 3 3 iMkp - Mkp ∓ iMkp + 3 9 27 259 М и т р о х и н С. И. + z ±3w2 sk,1,p 16π 4 4 32π 5 3 Mkp ± iMkp - . . . , (38) 81 243 2 3 4 5 = 1 ± πiMkp - π 2 Mkp ∓ π 3 iMkp + π 4 Mkp ± π 5 iMkp - ..., 1 s3 sk,1,p 1 s6k,1,p = 1 63 k 3 1 = 6 6 6 k 3d1kp 1 + O 10/4 7/4 6k k 6d1kp 1 1 - 7/4 + O 10/4 6k k 1- (39) , (40) . Подставляя формулы (37)-(40) и (36) в уравнение (30)-(34), видим, что 0 , M 1 , M 2 , M 3 равны нулю в силу уравнения (27), коэффициенты при Mkp kp kp kp 4 4 равен - 160π . В итоге мы получаем коэффициент при Mkp 81 - 160π 4 4 6 5 + ···- + γ6 Mkp Mkp + 0 · Mkp 81 3d1kp 1 1 - 1 - 7/4 + O 10/4 G3 (s) 3 24k 6k k sk,1,k,p +O 1 k6 = 0, γ6 = 0, (41) π q(t)dta11 - 2 · z 3w2 + α2 + β2 z 2w2 + α1 + β1 z w2 + G3 (s) = 0 + α1 + β1 z -w2 + α2 + β2 z -2w2 - 2 · z -3w2 + G2 (s), (42) G2 (s) = (-2)w2 z 3w2 ϕ22 (π, s) - 2w4 z -3w2 ϕ24 (π, s)+ 2π 2π , s + α2 + β2 w4 z -2w2 ϕ24 ,s + + α2 + β2 w2 z 2w2 ϕ22 3 3 π π + α1 + β1 w2 z w2 ϕ22 , s + α1 + β1 w4 z -w2 ϕ24 , s + 3 3 π π w2 -w2 + α1 + β1 w2 z ϕ42 , s + α1 + β1 w4 z ϕ44 , s + 3 3 2π 2π + α2 + β2 w2 z 2w2 ϕ42 , s + α2 + β2 w4 z -2w2 ϕ44 ,s - 3 3 - 2w2 z 3w2 ϕ42 (π, s) - 2w4 z -3w2 ϕ44 (π, s), (43) где 10 (2) 16 , α2 + β2 = , 3 3 а функции ϕkn (x, s) определены формулой (10). Подставляя формулы (37)-(39) в формулу (43), имеем (4) w2 = i, G2 (s) sk,1,p (4) w4 = -i; (2) α1 + β1 = - 2 3 + O(Mkp ) ϕ22 (π, ssk,1,p )+ = (-2)w2 1 + πiMkp - π 2 Mkp 2 3 + 2w2 1 - πiMkp - π 2 Mkp + O(Mkp ) ϕ44 (π, ssk,1,p )+ 260 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . 2π 4π 2 2 3 ) ϕ22 Mkp + O(Mkp , ssk,1,p - 9 3 4π 2 2 2π 3 Mkp + O(Mkp ) ϕ44 , ssk,1,p + 9 3 + · · · + H2 (s) s , p = 1, 2, 3, 4, (44) 2π iMkp - 3 2π iMkp - - α 2 + β 2 w2 1 - 3 + α 2 + β 2 w2 1 + k,1,p H2 (s) = 2w2 z -3w2 ϕ24 π, ssk,1,p - z 3w2 ϕ42 π, ssk,1,p sk,1,p - 2π 2π , ssk,1,p - z 2w2 ϕ42 , ssk,1,p + 3 3 2π π + α1 + β1 w2 z -w2 ϕ24 , ssk,1,p - z w2 ϕ42 , ssk,1,p . (45) 3 3 - α2 + β2 w2 z -w2 ϕ24 Проведя в формуле (44) необходимые вычисления и преобразования и учитывая, что (10) π (10) ϕ22 (π, s) = ϕ42 (π, s) = q(t)dt, 0 получим G2 (s) sk,1,p 8 = w2 πi 9 π q(t)dt 0 d1kp d2kp 1 + + O 9/4 + H2 (s) k 3/4 k 6/4 k sk,1,p . (46) π Учитывая, что z = e 3 s , w2 = i, w4 = -i, и подставляя sk,1,p из (36) в формулу (45), имеем z -3w2 ϕ24 (π, s) - z 3w2 ϕ42 (π, s) (10) = sk,1,p π πi (-3) 6k + Mkp q(t) exp w2 - w4 6k + Mkp t dt- 3 0 π πi 3 6k + Mkp q(t) exp - w2 - w4 6k + Mkp t dt = - exp 3 0 = exp π q(t) sin 12kt + (2t - π)Mkp dt. (47) = 2i 0 Аналогичным образом выводятся формулы z -2w2 ϕ24 2π 2π , s - z 2w2 ϕ42 ,s 3 3 sk,1,p = 2π/3 q(t) sin 12kt + 2t - = 2i 0 z -w2 ϕ24 π π , s - z w2 ϕ42 , s 3 3 sk,1,p 2π Mkp dt; (48) 3 = π/3 q(t) sin 12kt + 2t - = 2i 0 π Mkp dt. (49) 3 261 М и т р о х и н С. И. Подставляя формулы (47)-(49) в (45), получаем π H2 (s) sk,1,p q(t) sin 12kt + (2t - π)Mkp dt+ = (-4) 0 + 2π/3 32 3 q(t) sin 12kt + 2t - 0 + 2π Mkp dt+ 3 π/3 20 3 q(t) sin 12kt + 2t - 0 π Mkp dt. (50) 3 Подставляя формулы (46), (50) в (41), (42), находим d41kp k 12/4 + 4d31kp d2kp k 15/4 = + +O 1 = k 18/4 d1kp 1 34 πiw2 3/4 (-4) 8 12/4 15 · 2 k k 20 3 π/3 π q(t)dt + 0 2π/3 32 3 q(t)dt+ 0 20 π 32 2π v1 , k + v1 , k - 4v1 (π, k) + 3 3 3 3 π 32 2π 1 , k + v3 , k - 4v4 (π, k) + O 6/4 , (51) 3 3 3 k q(t)dt + 0 d1kp 20 v2 + 3/4 3 k где введены следующие обозначения: b v1 (b, k) = q(t) sin(12kt)dt; 0 b π cos(12kt)dt; 3 0 b 2π cos(12kt)dt; v3 (b, k) = q(t) 2t - 3 0 b 3π v4 (b, k) = q(t) 2t - cos(12kt)dt. 3 0 Приравнивая в формуле (51) коэффициенты при k -12/4 , получим q(t) 2t - v2 (b, k) = 3wp d1kp = √ 2 4 15 Fk (q) = 20 3 4 Fk (q), k ∈ N, p = 1, 2, 3, 4, wp = e 2πi (p-1) 4 , (52) π/3 q(t) sin(12kt)dt+ 0 + 32 3 2π/3 π q(t) sin(12kt)dt - 4 0 q(t) sin(12kt)dt. 0 Таким образом, мы видим, что кратные в главном приближении корни (35) x1 = x2 = x3 = x4 = 1 (кратности 4) (и sk,1,осн = 6k кратности 4) «расщепляются» на четыре серии однократных собственных значений вида (36), (52). 262 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . Приравнивая в формуле (51) коэффициенты при k -15/4 и проводя необходимые преобразования и упрощения, выводим d2kp = - 1 27 2 8 20 · 2 d1kp 20 3 40 v5 3 π 20 - v6 3 3 + π/3 q(t)dt + 0 32 3 π 2π/3 q(t)dt - 4 q(t)dt + 0 0 π 64 2π , k + v5 , k - 8v5 (π, k) - 3 3 3 π 64 2π , k + v6 , k - 12v6 (π, k) , 3 3 3 k ∈ N, p = 1, 2, 3, 4, (53) где b v5 (b, k) = b tq(t) cos(12kt)dt, v6 (b, k) = 0 q(t) cos(12kt)dt, 0 а величины d1kp определены формулой (52). Получение формул (52), (53) завершает доказательство теоремы 1. Нахождение асимптотики собственных значений, соответствующих корням x5,6 = e±iϕ формулы (28) (кратности 1), происходит согласно методике, продемонстрированной автором в работах [4,21,22]. Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(3) (в секторе 1) индикаторной диаграммы (25), соответствующих однократным корням x5,6 = e±iϕ уравнения (28), имеет следующий вид : sk,1,m = 6k˜ + 1 d3km d6km + +O , k˜3 k˜6 k˜9 ϕ , k˜ = k ± 2π m = 5, 6. (54) Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, уравнение на собственные значения оператора (1)-(3) в секторе 1) имеет вид (30)-(34), основное приближение которого (уравнение (27)) имеет корни, заданные формулой (28): x1 = x2 = = x3 = x4 = 1 (кратность 4, случай уже разобран в (36), (52), (53)) и x5 = eiϕ , √ x6 = e-iϕ , ϕ = arccos(- 23 ) = π - arcsin( 35 ) ∈ ( π2 ; π), кратность равна 1, (26) π x = z w2 = e 3 is = 0. Поэтому π x5,6 = e±iϕ ⇔ e 3 w2 s = e±iϕ e2πik , k ∈ N, 3ϕ ˜ k˜ = k ± ϕ , k ∈ N, m = 5, 6. = 6k, π 2π Значит, из общей теории нахождения корней квазимногочленов вида (30)- (34) (см. [11, 13, 20]) следует, что асимптотику собственных значений необходимо искать в виде (54). Для нахождения коэффициентов d3km (m = 5, 6) в явном виде действуем аналогично выкладкам (37)-(53). Используя формулы Тейлора, имеем w2 = i ⇔ sk,1,m = 6k ± 263 М и т р о х и н С. И. z ±nw2 π sk,1,m = e±n 3 w2 s sk,1,m = π π d3km 1 = exp ±n w2 6k˜ exp ±n w2 +O 3 3 k˜3 k˜6 d nπw 1 2 3km = e±niϕ 1 ± +O , 3 k˜3 k˜6 = n = 1, 2, 3. (55) Подставляя формулы (54), (55) в уравнение (30)-(34), видим, что коэффициент при k˜0 равен нулю в силу того, что x5,6 = e±iϕ являются корнями уравнений (27) и f0,1 = 0 из (30), (31). Приравнивая коэффициенты при k˜-3 , находим √ 81 5 G3 (s) d3km = , m = 5, m = 6, (56) 3 20π · 6 · 424 z 3w1 sk,1,m,осн где функция G3 (s) определена в (41)-(43). Произведя необходимые преобразования в (56), получаем d3km √ 3 5 4 sin(3ϕ) = 160 · 424π + q(t)dt - 0 π/3 20 sin ϕ 3 32 sin(2ϕ) 3 π q(t)dt - 4 0 + - π 2π/3 q(t)dt+ 0 ˜ - 3ϕ dt+ q(t) sin 12kt 0 2π/3 32 3 20 3 0 π/3 ˜ - 2ϕ dt- q(t) sin 12kt ˜ - ϕ dt , q(t) sin 12kt m = 5, m = 6. (57) 0 Если в уравнении (30)-(34) вести вычисления с точностью формул (12), (13) (а не только (10), (11)), то можно в явном виде вычислить коэффициенты d6km формулы (54). Получение формул (57) завершает доказательство теоремы 2 (доказано, что коэффициенты d3km формулы (54) находятся единственным образом и приведены явные формулы для их вычисления). Изучая аналогичным образом сектора 2), 3), 4) индикаторной диаграммы (25), доказываем следующее утверждение. Теорема 3. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(3) в секторах 2), 3), 4) индикаторной диаграммы (25) подчиняется следующим законам: 1) πi sk,n,p = sk,1,p e 2 (n-1) , n = 2, 3, 4, p = 1, 2, 3, 4; λk,n,p = s4k,n,p , (58) sk,1,p определены формулами (36), (52), (53); 2) sk,n,m = sk,1,m e 2πi (n-1) 4 , n = 2, 3, 4, m = 5, m = 6; λk,n,m = s4k,n,m , (59) sk,1,m определены формулами (54), (57). 264 Об эффекте «расщепления» для многоточечных дифференциальных операторов . . . Формулы (36), (52)-(54), (57)-(59) позволяют вычислить асимптотику собственных функций многоточечного дифференциального оператора (1)-(3). Аналогичное поведение спектра (с эффектом «расщепления» кратных в главном приближении собственных значений) наблюдается у дифференциального оператора, задаваемого дифференциальным уравнением (1) с граничными условиями π 2π + α2 y ; 3 3 π 2π y (π) = β1 y + β2 y ; 3 3 β1 = 2 - α1 , α1 ∈ C; β2 = -α2 , α2 ∈ C, y (3) (0) = 0; y (0) = 0; y(π) = α1 y (60) с условием (3) суммируемости потенциала q(x). В этом случае уравнение (26), (27) (основное приближение уравнения (18)-(22)) принимает следующий вид: g2 (x) = 2x6 - 2x4 - 2x2 + 2 = 0, π x = z w2 = e 3 is = 0. (61) Уравнение (61) имеет следующие корни (g2 (x) = 2(x - 1)2 (x + 1)2 (x2 + 1)): x1 = x2 = 1 (кратность 2), x3 = x4 = -1 (кратность 2), x5 = i (кратность 1), x6 = -i (кратность 1). Поэтому корни уравнения (18)-(22) (в основном приближении) имеют следующий вид: π x1 = x3 = 1 ⇔ e 3 is = 1 = e2πik ⇔ sk,j,осн = 6k кратность 2, k ∈ N, j = 1, 2; π x3 = x4 = -1 ⇔ e 3 is = -1 = eπi e2πik ⇔ sk,j,осн = 6k + 3 кратность 2, k ∈ N, j = 3, 4; π π 3 x5,6 = ±i ⇔ e 3 is = e±i 2 e2πik ⇔ sk,j,осн = 6k ± кратность 1, 2 k ∈ N, j = 5, 6. Справедливы утверждения, аналогичные теоремам 1, 2, 3. Теорема 4. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1), (60), (3) в секторах 1), 2), 3), 4) индикаторной диаграммы (25) имеет следующий вид : 1) d1kj d2kj d3kj 1 + 6/2 + 9/2 + O 12/2 , 3/2 k k k k πi (n-1) k ∈ N, j = 1, 2; sk,n,j = sk,1,j e 2 , n = 1, 2, 3, 4; sk,1,j = 6k + (62) λk,n,j = s4k,n,j , j = 1, 2; n = 1, 2, 3, 4; 2) sk,1,j = 6k + 3 + d1kj d2kj + + 3/2 (6k + 3) (6k + 3)6/2 d3kj 1 + +O , 9/2 (6k + 3) (6k + 3)12/2 (63) 265 М и т р о х и н С. И. k ∈ N, j = 3, 4; λk,n,j = 3) πi sk,n,j = sk,1,j e 2 (n-1) , s4k,n,j , j = 3, 4; n = 1, 2, 3, 4; n = 1, 2, 3, 4; d2kj 1 1 ˜ d1kj ˜ sk,1,j = 6k˜ + + +O , k˜ = k + , ˜ ˜ ˜ 4 k˜3 k˜6 k˜12/2 πi j = 5, 6; sk,n,j = sk,1,j e 2 (n-1) , n = 1, 2, 3, 4; (64) λk,n,j = s4k,n,j , j = 5, 6; n = 1, 2, 3, 4. Коэффициенты разложений (62)-(64) находятся аналогично получению формул (52), (53), (57). Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Sergey I Mitrokhin

Lomonosov Moscow State University

Email: mitrokhin-sergey@yandex.ru
Vorob’evy gory, Moscow, 119899, Russian Federation
Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Senior Researcher; Research Computing Center

References

  1. Митрохин С. И. О «расщеплении» кратных в главном собственных значений многоточечных краевых задач // Изв. вузов. Матем., 1997. № 3. С. 38-43.
  2. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференц. уравнения, 1998. Т. 34, № 10. С. 1423-1426.
  3. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. матем., 2000. Т. 64, № 4. С. 47-108. doi: 10.4213/im295.
  4. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского университета. Сер. Матем., мех., 2009. № 3. С. 14-17.
  5. Митрохин С. И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, № 4. С. 95-115.
  6. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Матем. заметки, 1977. Т. 22, № 5. С. 679-698.
  7. Будаев В. Д. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения, 1987. Т. 23, № 6. С. 941-952.
  8. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения, 1986. Т. 22, № 12. С. 2059-2071.
  9. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Докл. РАН, 1997. Т. 356, № 1. С. 13-15.
  10. Гуревич А. П., Хромов А. П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией // Матем. заметки, 1994. Т. 56, № 1. С. 3-15.
  11. Лидский В. В., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функц. анализ и его прил., 1967. Т. 1, № 2. С. 52-59.
  12. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения, 1992. Т. 28, № 3. С. 530-532.
  13. Лидский В. Б., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Матем. сб., 1968. Т. 75(117), № 4. С. 558-566.
  14. Савчук А. М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с δ-потенциалом // УМН, 2000. Т. 55, № 6(336). С. 155-156. doi: 10.4213/rm352.
  15. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки, 1999. Т. 66, № 6. С. 897-912. doi: 10.4213/mzm1234.
  16. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.
  17. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1970. 672 с.
  18. Bellman R., Cooke K. L. Differential-difference equations / Mathematics in Science and Engineering. vol. 6. New York-London: Academic Press, 1963. xvi+462 pp.
  19. Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 1. С. 109-116.
  20. Садовничий В. А., Любишкин В. А., Белабасси Ю. О регуляризованных суммах корней целой функции одного класса // Докл. АН СССР, 1980. Т. 254, № 6. С. 1346-1348.
  21. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с запаздывающим аргументом // Вестник Московского университета. Сер. Матем., мех., 2013. № 4. С. 38-42.
  22. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом // Дифференц. уравнения, 2011. Т. 47, № 12. С. 1808-1811.

Statistics

Views

Abstract - 25

PDF (Russian) - 18

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies