Spectral characteristics of a nonlocal problem for two linear systems of partial differential equations

Abstract


We study the boundary-value problem for a linear system of differential equations written in the form of differential-operator equations $$ aD_t u(t)+bBu(t)=f(t) $$ with nonlocal boundary conditions at $t$. Such a boundary value problem for a linear system of differential equations (including partial derivatives), we shall call nonlocal. The purpose of the article is to study the spectral characteristics of differential operators generated by the nonlocal task for the two linear systems of differential equations considered in a bounded region of finite-dimensional Euclidean space.

Full Text

Рассмотрим системы уравнений в частных производных вида Dt u1 - Dx u2 - εu2 = f 1 , Dt u2 + Dx u1 + εu1 = f 2 ; (1) -Dt u1 + Dx u2 + εu2 = f 1 , Dt u2 + Dx u1 + εu1 = f 2 , (2) где ui = ui (x, t), f i = f i (x, t), i = 1, 2; ε ∈ R; Dt - оператор дифференцирования по аргументу t; Dx - оператор дифференцирования по аргументу x. Системы (1) и (2) будем называть эллиптическими системами первого и второго типа соответственно. Пусть t ∈ Vt ≡ [0, T ], x ∈ Vx ≡ [a0 , b0 ] ⊂ R; Ht = L2 (Vt ), Hx = L2 (Vx ), H = Ht ⊗ Hx2 - гильбертовы пространства. В гильбертовом пространстве H вектор-функций u = u1 e1 + u2 e2 аргументов t и x системам (1) и (2) поставим в соответствие следующие дифференциально-операторные уравнения: aDt u(t) + bBu(t) = f (t) при a= 1 0 , 0 1 aDt u(t) + bBu(t) = f (t) при a= -1 0 , 0 1 b= b= 0 -1 , 1 0 (3) 0 1 . 1 0 (4) Здесь и далее аргумент x для удобства записи опущен. B : Hx → Hx - линейный замкнутый неограниченный оператор с плотной в Hx областью определения D(B), не зависящей от t ∈ Vt , для которого все элементы базиса Рисса {ϕs }, s ∈ S, пространства Hx являются собственным элементами оператора B: Bϕs = B(s)ϕs при любом s ∈ S (собственному значению B(s) соответствует собственный элемент ϕs ). Здесь и далее S - некоторое счетное множество индексов s, которыми нумеруются элементы ϕs базиса пространства Hx . Оператор, для которого существует полная система собственных элементов, образующая базис Рисса в Hx , принято называть M -оператором [1,2]. В нашем случае оператор B = B(x, Dx ) - обыкновенный дифференциальный оператор на Vx , порождаемый сильно регулярными краевыми условиями [3]. Будем предполагать, что оператор B(x, Dx ) не имеет присоединенных функций. Положим B(S) = {B(s) : s ∈ S} и будем считать, что точечный спектр оператора B : Hx → Hx представим в виде P σ B = B(S). В дальнейшем системы (3) и (4) будем называть квазиэллиптическими (КЭ) системами первого и второго типа соответственно. К операторным уравнениям (3), (4) присоединим нелокальные краевые условия по t вида Γt u ≡ µu(0) - u(T ) = 0, µ = 0 ∈ C. (5) Пусть оператор L(Dt , B) ≡ aDt +bB определен на достаточно гладких вектор-функциях u : R → Hx2 , u = u(t), u(t) = (u1 (t), u2 (t)) ∈ Hx2 , ui (t) ∈ Hx , 424 Спектральные характеристики нелокальной задачи для двух линейных систем. . . i = 1, 2, принадлежащих для каждого t ∈ Vt области определения D(B) оператора B. Элемент u(t) ∈ H будем называть решением задачи (3)-(5), если найдется последовательность таких гладких и удовлетворяющих условиям (5) вектор-функций un (t) ∈ D(B), что lim un (t) = u(t), n→∞ lim L(Dt , B)un (t) = f (t). n→∞ Другими словами, мы имеем дело с задачей (3)-(5), понятие решения которой, как легко заметить, использует стандартную процедуру замыкания (расширения) оператора L(Dt , B) при условиях (5). Оператор L : H → H, определяемый как замыкание в H оператора L(Dt , B), первоначально заданного на гладких вектор-функциях, удовлетворяющих краевым условиям (5), называют сильным расширением оператора L(Dt , B) при условиях (5). В этом случае решение u = u(t) называют сильным решением задачи (3)-(5). Исследованию свойств задачи Дирихле для эллиптических (2×2)-систем посвящены работы А. В. Бицадзе [4, 5]; сильно и усиленно эллиптические системы изучали М. И. Вишик [6], А. П. Солдатов [7, 8]. В настоящей работе проводится сравнительное изучение спектральных свойств краевых задач (3), (5) и (4), (5). Говоря о спектре оператора, мы будем следовать терминологии, принятой в монографии [1]. Резольвентное множество, спектр, точечный (дискретный) спектр и непрерывный спектр оператора L будем обозначать соответственно через ρ L, σ L, P σ L и Cσ L. Обозначим s-проекцию [1, 2] оператора L через Ls . Исследуем свойства операторов Ls , s ∈ S. Имеет место следующая лемма. Лемма 1. Если 0 ∈ P σ B, то есть B(s) = 0, то спектр σ Ls оператора Ls : Ht2 → Ht2 совпадает с его точечным спектром P σ Ls . Точечный спектр оператора Ls дается формулой λk = 1 ln |µ| + i arg µ + i2πk , T k ∈ Z. Собственному значению λk оператора Ls соответствуют две собственные вектор-функции: um,k (t) = v(t)ekm (t), m = 1, 2, где v(t) = exp t 1 i2πkt (ln |µ| + i arg µ) , ekm (t) = ek (t)em , ek (t) = √ exp . T T T Система собственных вектор-функций {um,k (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} (6) оператора Ls в пространстве Ht2 образует а) ортонормированный базис, если µ = 1; б ) базис Рисса, если µ = 1. m δk , Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть µ = 1. Из равенства (um,k , um ,k )Ht2 = δm k где δkk - функция Кронекера, следует ортонормированность в Ht2 системы собственных вектор-функций (6) оператора Ls . 425 К о р н и е н к о Д. В. Предположим, что множество (6) неполно в Ht2 . Тогда существует векторфункция f ∈ Ht2 , f = f 1 (t)e1 + f 2 (t)e2 , f = 0 в Ht2 , ортогональная всем вектор-функциям (6). Так как {ek (t) : k ∈ Z} - полная ортонормированная в Ht система, из равенства (f, ekm )Ht2 = (f m , ek )Ht2 следует противоречие: f = 0 в Ht2 и, следовательно, полнота в Ht2 системы (6). Пусть теперь µ = 0. Оператор T : Ht2 → Ht2 - оператор умножения на непрерывную функцию v(t) является ограниченным и ограниченно обратимым в Ht2 , то есть 0 ∈ ρ T -1 ∩ ρ T . Из равенств um,k (t) = T ekm (t) следует, что система (6) образует базис Рисса в Ht2 , а оператор L является M -оператором в Hx2 . Аналогично доказывается следующая лемма. Лемма 2. Спектр σ Ls оператора Ls : Ht2 → Ht2 совпадает c его точечным спектром P σ Ls . Точечный спектр оператора Ls дается формулой λm,k,s = 1 (ln |µ| + i arg µ + i2πk) + i(-1)m B(s), T m = 1, 2; k ∈ Z. Собственному значению λm,k,s соответствует собственная вектор-функция e1 + i(-1)m+1 e2 √ (7) um,k (t) = v(t)ek (t) 2 оператора Ls . Система {um,k (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} собственных векторфункций оператора Ls образует в пространстве Ht2 а) ортонормированный базис, если µ = 1; б ) базис Рисса, если µ = 1. Теперь мы можем сформулировать свойства нелокальной задачи для КЭ системы первого типа. Теорема 1. Спектр σ L оператора L : H → H состоит из замыкания на комплексной плоскости точечного спектра P σ L оператора L. Множество Cσ L = σ L\P σ L образует непрерывный спектр оператора L. Точечный спектр оператора L дается формулой: λm,k,s = vk + i(-1)m B(s), m = 1, 2; k ∈ Z; s ∈ S, где 1 (ln |µ| + i arg µ + i2πk). T Собственному значению λm,k,s соответствует собственная вектор-функция оператора L: vk = ϕs um,k (t), где um,k (t) = exp(vk t) e1 + i(-1)m+1 + e2 √ . 2 Система {ϕs um,k (t) : m = 1, 2; k ∈ Z; s ∈ S} (8) собственных вектор-функций оператора L образуют базис Рисса в пространстве H. 426 Спектральные характеристики нелокальной задачи для двух линейных систем. . . Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 2 система вектор-функций (7) является базисом в Ht2 . Следовательно, система вектор-функций (8) является базисом в H. Поэтому достаточно доказать, что базис (8) является базисом Рисса в H. Любая вектор-функция f ∈ H единственным образом раскладывается в ряд f= fm,k,s ϕs um,k , где fm,k,s ∈ C. s m k Так как система {ϕs : s ∈ S} образует базис Рисса в Hx , справедливо неравенство C12 fm,k,s um,k s m 2 Ht2 f 2 H C22 fm,k,s um,k s k m 2 Ht2 , k в котором константы 0 < C1 C2 < +∞ не зависят от выбора векторфункции f ∈ H. Осталось заметить, что T -1 -1 um,k Ht2 T , и воспользоваться определением базиса Рисса. Исследуем свойства задачи (4), (5). Аналогично лемме 1 доказывается лемма 3. Отметим различия в структуре спектра сравниваемых задач. Лемма 3. Если 0 ∈ P σ B, то есть B(s) = 0, то спектр σ Ls оператора Ls : Ht2 → Ht2 совпадает с его точечным спектром P σ Ls . Точечный спектр оператора Ls дается формулой 1 λm,k = (-1)m (ln |µ| + i arg µ + i2πk), T m = 1, 2; k ∈ Z. Собственному значению λm,k оператора Ls соответствует собственная вектор-функция um,k (t) = v(t)ekm (t), где v(t) = exp t (ln |µ| + i arg µ) , T ekm (t) = ek (t)em , 1 i2πkt ek (t) = √ exp . T T Система {um,k (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} собственных вектор-функций оператора Ls образует в пространстве Ht2 а) ортонормированный базис, если µ = 1; б ) базис Рисса, если µ = 1. Наиболее существенно отличия соответствующих задач проявляются при внимательном сопоставлении результатов леммы 2 и результатов нижеследующих лемм 4, 5. Лемма 4. Пусть 0 ∈ P σ B. Спектр σ Ls оператора Ls : Ht2 → Ht2 совпадает с его точечным спектром P σ Ls . Точечный спектр оператора Ls дается формулой λm,k,s = (-1)m vk2 + B 2 (s), m = 1, 2; k ∈ Z, (9) 427 К о р н и е н к о Д. В. где vk = 1 (ln |µ| + i arg µ + i2πk), T причем в (9) по определению λm,k,s = (-1)m B(s) при µ = 1 и k = 0. Собственному значению λm,k,s оператора Ls соответствует собственная вектор-функция um,k,s (t) = u1k (t)e1 + u2m,k,s (t)e2 , (10) где u1k (t) = v(t)ek (t), u2m,k,s (t) λm,k,s + vk v(t)ek (t), B(s) причем в (10) по определению u2m,k,s (t) = i(-1)(m+1) v(t)ek (t), при B(s) = i(-1)m v(k) и λm,k,s = 0, то есть собственному значению λm,k,s = 0 соответствует одна собственная вектор-функция независимо от значения m. Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость формулы (9), описывающей распределение собственных значений оператора Ls на комплексной плоскости C, и представлений (10) соответствующих им собственных функций проверяется достаточно просто. Если λ ∈ / P σ Ls , то решение us = us (t) уравнения Ls u = λu + f для f = f (t) ∈ C(Vt ) дается формулой T Rλ f (t) = Gs (t, τ, λ)f (τ )dτ, 0 где матрица Грина Gs (t, τ, λ) принадлежит классу L2 (Wt ), Wt = Vt × Vt . Аналогично доказательству теоремы 3 в работе [11] получаем включение λ ∈ σ Ls . Определим последовательность {ˆ u1k (t)}∞ k=0 по правилу u ˆ12k (t) = u1k (t), k = 0, 1, 2, . . . ; u ˆ12k-1 (t) = u1-k (t), k = 1, 2, 3, . . . . (11) Точно так же построим последовательность {ˆ u2m,k,s (t)}∞ k=0 . Выясним базисные свойства этих последовательностей. Лемма 5. Последовательность {ˆ u1k (t)}∞ k=0 образует в пространстве Ht а) ортонормированный базис, если µ = 1; б ) базис Рисса, если µ = 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ортонормированность в Ht элементов упорядоченного множества {ˆ ek (t)}∞ k=0 проверяется непосредственно. Полнота этого множества в Ht вытекает, например, из [9]. Следовательно, {ˆ u1k (t)}∞ k=0 образует ортонормированный базис в пространстве Ht , если µ = 1. При µ = 1 в обозначениях леммы 1 мы имеем u ˆ1k (t) = T eˆk (t). Осталось заметить, что в Ht оператор T является ограниченным и ограниченно обратимым. Доказательство закончено. 428 Спектральные характеристики нелокальной задачи для двух линейных систем. . . Базис Рисса является безусловным базисом. В дальнейшем считаем, что 1 система {u∗1 k (t) : k ∈ Z} биортогональна системе {uk (t) : k ∈ Z} и, следовательно, в силу теоремы Банаха [10] является базисом Рисса гильбертова пространства Ht . Лемма 6. Пусть 0 ∈ / P σ B. При фиксированных значениях m, s последовательность {ˆ u2m,k,s (t)}∞ k=0 образует базис в пространстве Ht ; этот базис не является базисом Рисса гильбертова пространства Ht для любого µ = 0 ∈ C. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим u∗2 m,k,s (t) = λm,k,s - vk B(s) v -1 (t) ek (t), k ∈ Z. Отметим, что собственному значению λm,k,s = 0 соответствует одна собственная вектор-функция - либо u1,k,s (t), либо u2,k,s (t). Поэтому, если λm,k,s = 0, то m+1 -1 v (t) ek (t), u∗2 m,k,s (t) = i(-1) причем либо m = 1, либо m = 2. Последовательность {ˆ u2m,k,s (t)}∞ k=0 , построенная из элементов множества ∗2 {um,k,s (t) : k ∈ Z} по правилу (11), биортогональна последовательности k u2m,k,s , u {ˆ u2m,k,s (t)}∞ ˆ∗2 k=0 , то есть (ˆ m,k ,s )Ht = δk для любых k, k = 0, 1, 2, . . . . Составим для u ∈ Ht формальный ряд ∞ ˆ2m,k,s . (u, u ˆ∗2 m,k,s )Ht u u∼ (12) k=0 Выпишем частичную сумму n (u, u ˆ∗2 ˆ2m,k,s m,k,s )Ht u Sn u = un = k=0 ряда (12) и покажем его сходимость в Ht : lim un - u n→∞ Ht = 0. Так как множество {u2m,k,s (t) : k ∈ Z} полно в Ht , для произвольного числа ε > 0 линейную комбинацию N cˆk u ˆ2m,k,s aN = k=0 выберем так, чтобы u - aN Ht < ε/2. Для любого n ∈ N имеем n Sn u 2 Ht T |(T -1 u, eˆk )Ht |2 2 u 2 Ht , k=0 429 К о р н и е н к о Д. В. а при n > N очевидно Sn aN = aN . Следовательно, u - un Ht u - aN Ht + aN - Sn u Ht <ε и коэффициенты ряда (12) определены однозначно. Если последовательность {ˆ u2m,k,s (t)}∞ k=0 является базисом Рисса, то существуют такие константы Cq , q = 1, 2, что +∞ > C2 C1 > 0 и для любой функции u(t) = v(t)ˆ e2k (t), k = 0, 1, 2, . . . , независимо от значения k имеем C1 |(u, u ˆ∗2 m,k,s )Ht | u C2 |(u, u ˆ∗2 m,k,s )Ht |. Ht (13) Так как |(u, u ˆ∗2 m,k,s )Ht | = λ2,k,s - vk λ1,k,s - vk λm,k,s - vk , lim = 0, lim = +∞, k→∞ k→∞ B(s) B(s) B(s) в силу (13) неизбежно Cq = Cq (k) и, следовательно, lim C2 (k) = +∞, k→∞ lim C1 (k) = 0. k→∞ Полученное противоречие доказывает требуемое. Таким образом, при фиксированных значениях m, s выделенные нами множества {u1k (t) : k ∈ Z} и {u2m,k,s (t) : k ∈ Z} полны в Ht . Вместе с тем имеет место следующее утверждение. Лемма 7. Пусть 0 ∈ / P σ B. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. При фиксированных значениях m, s множество {um,k,s (t) : k ∈ Z} собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 неполно в Ht2 для любого µ = 0 ∈ C. 2. Для любого фиксированного s множество {um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 полно в Ht2 тогда и только тогда, когда 0 ∈ / P σ Ls . Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Вектор-функция fm (t) = ek (t) v -1 (t) e1 + vk - λm,k,s B(s) e2 = 0 в Ht2 и ортогональна всем элементам множества {um,k,s (t) : k ∈ Z} при любом фиксированном значении s и для любого µ = 0 ∈ C. В силу критерия полноты получаем требуемое. 2. Пусть вектор-функция f (t) = f 1 (t)e1 + f 2 (t)e2 ортогональна всем элементам множества {um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 . Предположим, что 0 ∈ / P σ Ls и f (t) = 0 в Ht2 . Из представлений +∞ f (t) = l=-∞ 430 +∞ fl1 u∗1 l (t), 1 fl2 u∗1 l (t) 2 f (t) = l=-∞ (14) Спектральные характеристики нелокальной задачи для двух линейных систем. . . и из условия ортогональности получаем условия согласования fk1 + λm,k,s + vk B(s) fk2 = 0, k∈Z (15) коэффициентов fk1 , fk2 разложения скалярных функций f 1 (t), f 2 (t) в ряды по биортогональным в Ht системам функций {u1k (t) : k ∈ Z}, справедливые при m = 1, 2. Из (15) в силу (14) получаем f 2 (t) = 0 и, следовательно, в силу (15) f (t) = 0 в Ht2 . Противоречие. Положив f (t) = u∗1 k (t), получим вектор-функцию, ортогональную всем элементам множества {um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z}. Таким образом, в силу доказанной леммы 7 из системы (10) собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 может быть выделен базис пространства Ht2 только в случае, когда 0 ∈ / P σ Ls . Лемма 8. Пусть 0 ∈ / P σ B. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Система (10) собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 минимальна в гильбертовом пространстве Ht2 . 2. Если 0 ∈ / P σ Ls , то система (10) собственных вектор-функций оператора Ls : Ht2 → Ht2 образует базис в пространстве Ht2 ; этот базис не является базисом Рисса в гильбертовом пространстве Ht2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства первого утверждения леммы положим λm,k,s + vk u∗m,k,s (t) = Cm,k,s v -1 (t) ek (t) e1 + e2 , B(s)  2  B(s)  m 2 2 , B(s) = i(-1) vk , Cm,k,s = λm,k,s + vk + B(s)   1/2, B(s) = i(-1)m vk , где m = 1, 2; k ∈ Z. Система {u∗m,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z} биортогональна m δ k для системе {um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z}, то есть (um,k,s , u∗m ,k ,s )Ht2 = δm k любых m, m = 1, 2; k, k = 0, ±1, ±2, . . . . Осталось воспользоваться критерием минимальности [9, 10]. Рассмотрим вопрос о базисности. Составим для u ∈ Ht2 формальный ряд 2 +∞ (u, u∗m,k,s )Ht2 um,k,s u∼ (16) m=1 k=-∞ и выпишем частичную сумму 2 n (u, u∗m,k,s )Ht2 um,k,s Sn u = un = m=1 k=-n ряда (16). Повторяя рассуждения, использованные при доказательстве леммы 6, получаем lim un - u Ht2 = 0. n→∞ 431 К о р н и е н к о Д. В. Так как коэффициенты ряда (16) определены однозначно, упорядоченная методом суммирования система (10) является базисом Ht2 . Предположим, что построенный базис является базисом Рисса. Тогда найдутся такие константы C2 , C1 , что +∞ > C2 C1 > 0 и для любой векторфункции u = u(t) ∈ Ht2 справедливо неравенство 2 +∞ 2 |(u, u∗m,k,s )Ht2 |2 C12 2 Ht2 u +∞ |(u, u∗m,k,s )Ht2 |2 . C22 m=1 k=-∞ (17) m=1 k=-∞ Если положим u = uk = uk (t) = v(t)ek (t) e1 + λ2,k,s + vk e2 , B(s) то получим вполне очевидное противоречие неравенству (17): 2 lim uk k→∞ Ht2 +∞ |(u, u∗m,k,s )Ht2 |2 = 1. =∞и m=1 k=-∞ Теперь мы можем сформулировать свойства нелокальной задачи для КЭ системы второго типа. Начнем со свойств упорядоченных и неупорядоченных подмножеств, составленных из координат собственных вектор-функций соответствующего ей оператора L : H → H. Лемма 9. Система {u1k (t)ϕs : k ∈ Z; s ∈ S} является базисом Рисса в гильбертовом пространстве Htx = Ht ⊗ Hx для любого µ = 0 ∈ C. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {ek : k ∈ N} и {es : s ∈ S} - ортонормированные базисы пространств Ht и Hx соответственно и A : Ht → Ht - линейные ограниченные обратимые операторы, для которых 0 ∈ ρ A∩ρ B; Aek = u1k , k ∈ N; Bes = ϕs , s ∈ S. Тогда {ek ⊗ es : k ∈ N, s ∈ S} - ортонормированный базис в Htx , оператор A ⊗ B : Htx → Htx является линейным ограниченным оператором, (A ⊗ B)(ek ⊗ es ) = u1k ⊗ ϕs , причем 0 ∈ ρ(A ⊗ B). Тем самым требуемое доказано. В силу лемм 6-8 получаем нижеследующие свойства нелокальной задачи для КЭ системы второго типа. Лемма 10. Для m = 1, 2 и для любого µ ∈ C последовательность {u2m,k,s (t)ϕs : k ∈ Z; s ∈ S} (18) (при любом упорядочении по индексу s; по индексу k - см. (11)) является базисом в гильбертовом пространстве Htx = Ht ⊗Hx ; этот базис не является базисом Рисса в пространстве Htx . Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы 3 и леммы 6 последовательность (18) - базис в Htx . При u ˜ = uϕs , u = v(t)ˆ e2k , из неравенств C1 |(u, u ˆ∗2 m,2k,s )Ht | u ˜ Htx C2 |(u, u ˆ∗2 m,2k,s )Ht | следует, что система (18) заведомо не является базисом Рисса в Htx . 432 Спектральные характеристики нелокальной задачи для двух линейных систем. . . Теперь мы можем сформулировать основной результат о базисных свойствах системы собственных вектор-функций нелокальной задачи для квазиэллиптической системы второго типа. Положим 1 N = i(-1)m (ln |µ| + i arg µ + i2πk) : m = 1, 2; k ∈ Z \{0}. T Теорема 2. Зависимость свойств системы собственных вектор-функций оператора L : H → H от параметров задачи (4), (5) следующая. 1. Система собственных вектор-функций оператора L минимальна в гильбертовом пространстве H. 2. Система собственных вектор-функций оператора L полна в гильбертовом пространстве H тогда и только тогда, когда множество N ∩ P σ B пусто, то есть 0 ∈ / P σ L. 3. Если множество N ∩ P σ B пусто, то система собственных векторфункций оператора L образует базис в гильбертовом пространстве H; этот базис не является базисом Рисса в H. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Так как система {ϕs : s ∈ S} биортогональна системе {ψ s : s ∈ S}, система {ϕs um,k,s (t), ψ s u∗m,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z; s ∈ S} является биортонормированной системой в H на основании результатов леммы 8. В силу критерия минимальности получаем требуемое. 2. Если множество N ∩ P σ B непусто, то B(s) = i(-1)m vk = 0 и, следовательно, λm,k,s = 0 ∈ P σ L при некоторых m, k, s. В этом случае вектор-1 s функция f (t) = u∗1 k (t)(e1 - B(s)vk e2 )ψ ортогональна системе {ϕs um,k,s (t) : m = 1, 2; k ∈ Z; s ∈ S} (19) собственных вектор-функций оператора L, то есть (19) не является полной в H. Если множество N ∩P σ B пусто, то из условия B(s) = 0 следует λm,k,s = 0. В этом случае в силу леммы 3 и леммы 7 система собственных вектор-функций оператора Ls полна в Ht2 для любого s ∈ S. Таким образом, используя результаты [11, 12], получаем полноту системы (19). 3. Доказательство этого предложения проводится как в лемме 10 на основе работ [11, 12] и леммы 8. Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Dmitriy V Kornienko

I. A. Bunin Elets State University

Email: dmkornienko@mail.ru
28, Kommunarov st., Elets, Lipetskaya obl., 399770, Russian Federation
Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

References

  1. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980. 208 с.
  2. Дезин А. А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач / Тр. МИАН. Т. 229 / ред. В. С. Владимиров, Е. Ф. Мищенко. М.: Наука, 2000. 176 с.
  3. Михайлов В. П. О базисах Рисса в L2 (0, 1) // Докл. АН СССР, 1962. Т. 144, № 5. С. 981-984.
  4. Бицадзе А. В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // УМН, 1948. Т. 3, № 6(28). С. 211-212.
  5. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. 203 с.
  6. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений // Матем. сб., 1951. Т. 29(71), № 3. С. 615-676.
  7. Солдатов А. П., Митин С. П. Об одном классе сильно эллиптических систем // Дифференц. уравнения, 1997. Т. 33, № 8. С. 1118-1122.
  8. Солдатов А. П. О первой и второй краевых задачах для эллиптических систем на плоскости // Дифференц. уравнения, 2003. Т. 39, № 5. С. 674-686.
  9. Kaczmarz S., Steinhaus H. Theorie der Orthogonalreihen / Monografie Matematyczne. vol. 6. New York: Chelsea Publ., 1951. viii+296 pp.
  10. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999. 368 с.
  11. Корниенко Д. В. Об одной спектральной задаче для двух гиперболических систем уравнений // Дифференц. уравнения, 2006. Т. 42, № 1. С. 91-100.
  12. Корниенко Д. В. О спектре задачи Дирихле для систем дифференциально-операторных уравнений // Дифференц. уравнения, 2006. Т. 42, № 8. С. 1063-1071.

Statistics

Views

Abstract - 29

PDF (Russian) - 7

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies