The problem with Saigo operators for a hyperbolic equation that degenerates inside the domain

Abstract


A nonlocal problem is investigated for a degenerate hyperbolic equation $$ |y|^{m} u_{xx}-u_{yy}+a |y|^{\frac{m}{2}-1} u_{x}=0 $$ in a domain bounded by the characteristics of this equation. The boundary condition for this problem contains a linear combination of generalized fractional integro-differentiation operators with a hypergeometric Gauss function in the kernel. The uniqueness of the solution is proved using the Tricomi method. The existence of a solution is equivalent to the solvability of a singular integral equation with a Cauchy kernel.

Full Text

. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение m |y|m uxx - uyy + a|y| 2 -1 ux = 0, (1) где m 2, a = 0 - вещественная постоянная, причем |a| m/2, в конечной области Ω, ограниченной характеристиками уравнения (1): AC : x - AD : x - m+2 2 y 2 = 0, m+2 m+2 2 (-y) 2 = 0, m+2 m+2 2 y 2 = 1, m+2 m+2 2 BD : x + (-y) 2 = 1. m+2 BC : x + Краткое сообщение cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования Р е п и н О. А. Задача с операторами Сайго для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 3. С. 473-480. doi: 10.14498/vsgtu1556. Сведения об авторе 473 Р е п и н О. А. Введем обозначения Ω1 = Ω ∩ (y > 0), Ω2 = Ω ∩ (y < 0), I - интервал 0 < x < 1 прямой y = 0. Уравнение (1), как отмечено в монографии М. М. Смирнова [1, с. 14], интересно тем, что известное условие М. Проттера [1, с. 13] для него не выполняется, но задача Коши поставлена корректно. Для уравнения (1) изучим нелокальную краевую задачу со смещением (по терминологии А. М. Нахушева [2]). Задача. Найти решение u(x, y) = (x, y) ∈ Ω1 , (x, y) ∈ Ω2 u1 (x, y), u2 (x, y), уравнения (1) из класса C(Ω) ∩ C 1 (Ω1 ∪ I) ∩ C 1 (Ω2 ∪ I) ∩ C 2 (Ω1 ∪ Ω2 ), удовлетворяющее краевым условиям (i) (i) α1 ,β1 ,η1 α2 ,β2 ,η2 Ai (x)I0+ u[Θ0 (x)] + Bi (x)I1- u[Θ1 (x)]+ + Ci (x)u(x, 0) + di (x)uy (x, 0) = gi (x), i = 1, 2, (2) и условию сопряжения lim uy (x, y) = α(x) lim uy (x, y) + β(x), y→0+ (3) y→0- α,β,η α,β,η - операторы обобщенного дробного интегро-дифференцирои I1- где I0+ вания с гипергеометрической функцией Гаусса F (a, b; c; z), введенные М. Сайго [3], которые при действительных α, β, η, и x > 0 имеют следующий вид :   x-α-β x t   (x - t)α-1 F α + β, -η; α; 1 - f (t) dt, α > 0, α,β,η Γ(α) x 0 (I0+ f )(x) =  dn α+n,β-n,η-n   f )(x), α 0, n = [-α] + 1; (I n 0+  dx (1 - x)-α-β 1 t-x   (t - x)α-1 F α + β, -η; α; f (t) dt,   Γ(α) 1-x x α,β,η (I1- f )(x) = α > 0,   n  α+n,β-n,η-n  -d (I1- f )(x), α 0, n = [-α] + 1, dx в частности 0,0,η 0,0,η (I0+ f )(x) = f (x), (I1- f )(x) = f (x). (i) (i) Здесь αi , βi , ηi (i = 1, 2) - заданные вещественные числа, Θ0 (x), Θ1 (x) - точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I, с характеристиками AC, AD и BC, BD соответственно; Ai (x), Bi (x), Ci (x), di (x), gi (x), α(x), β(x) - заданные непрерывные функции, принадлежащие классу C 1 (I) ∩ C 2 (I), причем A2i (x) + Bi2 (x) + Ci2 (x) + d2i (x) = 0, i = 1, 2. Данная работа продолжает цикл исследований [4-6 и др.] краевых задач, в которых условия содержат операторы М. Сайго [3]. 474 Задача с операторами Сайго для вырождающегося внутри области . . . 2. Единственность решения задачи (1)-(3). Теорема 1. В области Ω не может существовать более одного решения задачи (1)-(3), если α(x) ≡ 1, β(x) ≡ 0, α1 = β - 1, α2 = α - 1, β1 = β2 = 1 - α - β, η1 = η2 = 0, (4) и выполняются условия Ei (x) = Γ(2 - αi - βi ) Ai (x) E(x) 0, Ai (1) = 0, 2 m+2 m+2 4 Bi (x) E(x) Bi (0) = 0, Ai (x) Bi (x) + + di (x) = 0, Γ(1 - αi ) Γ(1 - βi ) Ci (x) 0, i = 1, 2, E(x) m - 2a m + 2a αi = , βi = . 2(m + 2) 2(m + 2) 0, Д о к а з а т е л ь с т в о. При выполнении условий (4) нетрудно получить соотношения между функциями τ (x) и νi (x): 1-α1 -β1 1-α1 -β1 τ (x) = -A1 (x)(I0+ ν1 )(x) - B1 (x)(I1- ν1 )(x)- - D1 (x)ν1 (x) + g1 (x) , E1 (x) 1-α2 -β2 1-α2 -β2 τ (x) = A2 (x)(I0+ ν2 )(x) + B2 (x)(I1- ν2 )(x)- - D2 (x)ν2 (x) + g2 (x) , E2 (x) α , I α - операторы дробного интегрирования Римана-Лиувилля, где I0+ 1- Ai (x) = γ2 Ai (x) , Ei (x) Bi (x) = γ2 Bi (x) , Ei (x) Di (x) = 1 Γ(1 - 2β0 ) γ2 = (2 - 4β0 )2β0 , 2 Γ(1 - β0 ) τ (x) = u(x, 0), β0 = ν1 (x) = lim uy (x, y), di (x) , Ei (x) i = 1, 2, m + 2a , 2m + 4 ν2 (x) = lim uy (x, y). y→0+ y→0- Далее, проводя аналогичные [7] рассуждения и вычисления, при gi (x) = 0, i = 1, 2, получим 1 I1∗ = τ (x)ν1 (x)dx 0 0, 1 I2∗ = τ (x)ν2 (x)dx 0. 0 Полученные неравенства позволяют сделать вывод, что νi (x) = 0, i = 1, 2, и τ (x) = 0, а следовательно, и ui (x, y) = 0, i = 1, 2, как решения задачи Коши с нулевыми данными. 475 Р е п и н О. А. 3. Существование решения задачи (1)-(3). Не нарушая общности, для упрощения изложения положим Di (x) = 0, i = 1, 2. Полагая A2 (x) = 0, на основании условия сопряжения (3) будем иметь 1-α2 -β2 1-α2 -β2 I0+ ν2 (x) + B3 (x)I1- ν2 (x)+ 1-α1 -β1 1-α1 -β1 α(x)ν2 (x) = f (x), (5) α(x)ν2 (x) + B5 (x)I1- + B4 (x)I0+ где A2 (x) = 0, g1 (x) f (x) = B3 (x) = - E1 (x)A2 (x) B2 (x) , B4 (x) = A2 (x) g2 (x) - E2 (x)A2 (x) A1 (x) A2 (x) A1 (x) , B5 (x) = A2 (x) 1-α1 -β1 I0+ β(x) - B1 (x) A2 (x) B1 (x) , A2 (x) 1-α2 -β2 I1- β(x). 1-α2 -β2 Подействуем на обе части (5) оператором D0+ : 1-α2 -β2 1-α2 -β2 ν2 (x) + D0+ B3 (x)I1- ν2 (x)+ 1-α2 -β2 1-α1 -β1 + D0+ B4 (x)I0+ α(x)ν2 (x)+ 1-α2 -β2 1-α1 -β1 1-α2 -β2 + D0+ B5 (x)I1- α(x)ν2 (x) = D0+ f (x). (6) Исследуем разрешимость уравнения (6). Для этого преобразуем выражения, входящие в его левую часть. Здесь, как и в работе [8], справедливо равенство 1-α2 -β2 1-α2 -β2 D0+ B3 (x)I1- ν2 (x) = cos π(α2 + β2 ) B3 (x)ν2 (x)+ + x 1 sin π(α2 + β2 ) π 1 K1 (x, ξ)ν2 (ξ)dξ + 0 K2 (x, ξ)ν2 (ξ)dξ , x где K1 (x, ξ) = K2 (x, ξ) = d dx d dx ξ 0 (x - B3 (t)dt 1-α t) 2 -β2 (ξ - t)α2 +β2 (x - B3 (t)dt 1-α t) 2 -β2 (ξ - t)α2 +β2 x 0 1-α2 -β2 1-α1 -β1 D0+ B4 (x)I0+ α(x)ν2 (x) = K3 (x, ξ) = × 476 d dx ; x K3 (x, ξ)ν2 (ξ)dξ + α(x)ν2 (x); 0 α(ξ) × Γ(α2 + β2 )Γ(1 - α1 - β1 ) x 0 , B4 (t)dt d 1-α -β α +β (x - t) 2 2 (t - ξ) 1 1 dx ξ 0 (x - B4 (t)dt 1-α t) 2 -β2 (ξ - t)α1 +β1 ; Задача с операторами Сайго для вырождающегося внутри области . . . 1-α2 -β2 1-α1 -β1 D0+ B5 (x)I1- α(x)ν2 (x) = = 1 sin π(α2 + β2 ) π 1 x K5 (x, ξ)ν2 (ξ)dξ + K4 (x, ξ)ν2 (ξ)dξ + x 0 + cos π(α2 + β2 ) α(x)B5 (x)ν2 (x); K4 (x, ξ) = α(ξ) K5 (x, ξ) = α(ξ) x d dx 0 B5 (t)dt , (x - t)1-α2 -β2 (ξ - t)α1 +β1 ξ d dx 0 (x - B5 (t)dt 1-α t) 2 -β2 (ξ - t)α1 +β1 . Установим свойства ядер Ki (x, ξ), i = 1, 2, . . . , 5. Запишем K1 (x, ξ) в виде K1 (x, ξ) = B3 (ξ) d dx ξ 0 dt - (x - t)1-α2 -β2 (ξ - t)α2 +β2 - d dx ξ 0 B3 (ξ) - B3 (t) dt . (x - t)1-α2 -β2 (ξ - t)α2 +β2 Очевидно, что гладкость ядра K1 (x, ξ) определяется гладкостью первого слагаемого правой части этого равенства. Поэтому ограничимся изучением свойств интеграла ξ dt d = 1-α -β 2 2 (ξ - t)α2 +β2 dx 0 (x - t) d ξ 1-α2 -β2 B3 (ξ) ξ = = F 1 - α2 - β2 , 1; 2 - α2 - β2 ; 1 - α2 - β2 dx x x ξ 1-α2 -β2 B3 (ξ) . =- x x-ξ I1 (x, ξ) = B3 (ξ) Аналогично исследуется ядро K2 (x, ξ). Таким образом, ядра K1 (x, ξ) и K2 (x, ξ) допускают оценки K1 (x, ξ) = O(1)(x - ξ)-1 , K2 (x, ξ) = O(1)(ξ - x)-1 , где O(1) означает ограниченную в I × I величину. После несложных вычислений для остальных ядер получим оценки K3 (x, ξ) = O(1)|x - ξ|(α2 -α1 )+(β2 -β1 )-1 , K4 (x, ξ) = O(1)(ξ - x)(α2 -α1 )+(β2 -β1 )-1 , K5 (x, ξ) = O(1)(x - ξ)(α2 -α1 )+(β2 -β1 )-1 . Таким образом, уравнение (6) принимает вид уравнения, которое исследовано в работе [9]: 1 A(x)ν2 (x) + 0 K(x, ξ)ν2 (ξ)dξ = F (x), ξ-x (7) 477 Р е п и н О. А. где K(x, ξ) = K6 (x, ξ)(ξ - x), 1-α2 -β2 f (x). K6 (x, ξ) и A(x) - известные функции, F (x) = D0+ Уравнение (7) при A(x) = 0 является сингулярным интегральным уравнением с ядром Коши, решение которого строится согласно общей теории интегральных уравнений [10]. Отсюда и из единственности искомого решения следует существование решения поставленной задачи. Конкурирующие интересы. У меня нет конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без грантовой поддержки.

About the authors

Oleg A Repin

Samara State Economic University

Email: matstat@mail.ru
141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Department; Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics

References

  1. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Высш. шк., 1977.
  2. Нахушев А. М. Задача со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.
  3. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. College General Educ., Kyushu Univ., 1978. vol. 11, no. 2. pp. 135-143.
  4. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Изв. вузов. Матем., 2013. № 8. С. 57-65.
  5. Репин О. А., Кумыкова С. К. Внутреннекраевая задача с операторами Сайго для уравнения Геллерстедта // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, № 10. С. 1340-1349.
  6. Репин О. А. Об одной краевой задаче с операторами Сайго для уравнения смешанного типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 2. С. 271-277. doi: 10.14498/vsgtu1540.
  7. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 4(25). С. 25-36. doi: 10.14498/vsgtu1014.
  8. Кумыкова С. К. Краевая задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения, 1980. Т. 16, № 1. С. 93-104.
  9. Репин О. А., Кумыкова С. К. Об одной задаче с обобщёнными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения, 2017. Т. 53, № 8. С. 1074-1082. doi: 10.1134/S037406411708009X.
  10. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М.: Наука, 1968. 511 с.

Statistics

Views

Abstract - 18

PDF (Russian) - 2

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies