Integro-differential equations the second boundary value problem of linear elasticity theory. Message 1. Homogeneous isotropic body

Full Text

Введение. Классическая теория упругости сохраняет свое почетное место в науке о поведении деформируемого твердого тела. Ее исходные определения являются общими для всех разделов этой науки, а методы постановки и решения задач служат для нее образцами. Несмотря на то, что линейная теория упругости является полностью замкнутой математической теорией, положение в этой области постоянно меняется. Это связано в первую очередь с использованием все более мощного формального аппарата. В этом случае система уравнений изучается сама по себе на принятом в математике уровне строгости, т.е. исследуются чисто Краткое сообщение cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования С т р у ж а н о в В. В. Интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи линейной теории упругости. Сообщение 1. Однородное изотропное тело // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 3. С. 496-506. doi: 10.14498/vsgtu1555. 496 Интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи линейной теории упругости математические свойства, что позволяет раскрыть все еще неизвестные возможности теории и получить новые эффективные методы решения краевых задач, в том числе и приближенных, имеющих большое значение для решения важных технических задач. В данной работе показано, что систему уравнений второй краевой задачи линейной теории упругости однородного изотропного тела можно свести к одному из двух интегро-дифференциальных уравнений, которые относятся к классу уравнений Фредгольма второго рода. Это позволило применить теоремы Фредгольма, т. е. свести задачу к проблеме собственных чисел соответствующих интегро-дифференциальных операторов. Для каждого оператора определены их спектральные радиусы, использование которых позволило привести новое доказательство существования и единственности решения второй краевой задачи. При исследовании второго интегродифференциального уравнения было установлено, что его решение (следовательно, и решение второй краевой задачи) можно найти методом последовательных приближений и представить его сходящимся рядом Неймана. Определены условия, при выполнении которых ряд Неймана возможно свернуть. В качестве примера решена задача об определении остаточных напряжений в закаленном цилиндре. 1. Первое интегро-дифференциальное уравнение второй краевой задачи теории упругости для однородного изотропного тела. Система уравнений краевой задачи линейной теории упругости, записанная в инвариантной форме, имеет вид [1, 2]: ∇ · σ + g = 0, ε = def v, σ = C · ·(ε - ε∗ ), v|Γ = v Γ . (1) Требуется найти тензоры напряжений σ и деформаций ε, вектор перемещений v внутри упругого тела V в состоянии равновесия, если известны перемещения v Γ точек его границы (кусочно-гладкой поверхности Γ). В системе (1) первая группа уравнений - это уравнения равновесия (g - вектор объемных сил, ∇ - набла-оператор Гамильтона [1], точкой обозначено скалярное произведение вектора Гамильтона на симметричный тензор второго ранга), вторая группа - соотношения Коши, третья - закон Гука (C - однородный изотропный тензор четвертого ранга модулей упругости, двумя точками обозначено двойное скалярное произведение тензоров [3], ε∗ - тензор первоначальных деформаций свободных от связей элементов тела V , возникающих при нагреве, фазовых превращениях и т. п. [4]). В уравнениях (1) произведем замену v = u + u∗ , где u - неизвестная вектор-функция, на границе равная нулю, а u∗ - известная вектор-функция, на границе равная u∗ |Γ = v Γ , например, гармоническая вектор-функция u∗ = - vΓ Γ dG dΓ, dn где G - функция Грина оператора Лапласа ∆ для области V , n - внешняя нормаль к поверхности Γ [5]. Подставляя теперь закон Гука в уравнения равновесия и заменяя деформации соотношениями Коши, получаем уравнения Навье-Ляме [6]: - µ∆u + (λ + µ) grad div u = p, u|Γ = 0, (2) 497 С т р у ж а н о в В. В. -1 -1 где λ = νE (1 + ν)(1 - 2ν) , µ = E 2(1 + ν) - постоянные Ляме; E, ν - соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона; p = g + ∇ · σ ∗ + µ∆u∗ + (λ + µ) grad div u∗ ; σ ∗ = C · ·ε∗ - формальный тензор псевдонапряжений. Уравнения (2) будем рассматривать как некоторое отображение простран2 (V ) в пространство L (V ) (u ∈ W 2 (V ), p ∈ L (V )). Здесь L (V ) - ства W2,0 2 2 2 2,0 вещественное полное сепарабельное гильбертово пространство вектор-функ2 (V ) - вещественций, компоненты которых интегрируемы с квадратом, а W2,0 ное полное сепарабельное гильбертово пространство вектор-функций, компоненты которых обращаются в нуль на Γ и принадлежат L2 (V ) вместе со своими обобщенными производными до второго порядка включительно [7, 8]. Пусть область V и граница Γ таковы, что оператор Лапласа ∆ устанавлива2 (V ) и L (V ) и существует функция ет биекцию между пространствами W2,0 2 Грина оператора Лапласа. Таким образом, оператор (-∆) имеет обратный [7, 9]: (-∆-1 X) = GX dV, 2 X ∈ L2 (V ), ∆-1 X ∈ W2,0 (V ). V 2 (V ) с дискретОператор (-∆) - положительно определенный оператор в W2,0 ным спектром, то есть его собственные числа вещественны, положительны и дискретны [10]. Следовательно, оператор (-∆-1 ) является вполне непрерывным. Применяя к обеим частям уравнения (2) оператор (-∆-1 ), получаем интегро-дифференциальное уравнение (первое интегро-дифференциальное уравнение второй краевой задачи) u= u + f. (3) Здесь u = -m∆-1 grad div u, 1 f = - ∆-1 p, µ m= λ+µ 1 = . µ 1 - 2ν 2 (V ) в W 2 (V ), f ∈ W 2 (V ). ДифференциальОператор действует из W2,0 2,0 2,0 ный оператор grad div - линейный непрерывный (ограниченный) оператор из 2 (V ) в пространство L (V ) [11, 12]. Тогда оператор пространства W2,0 вполне 2 непрерывен как произведение вполне непрерывного и ограниченного операторов [13]. Таким образом, уравнение (3) - уравнение Фредгольма второго рода [14]. 2. Спектральный радиус оператора и существование решения второй краевой задачи. Для уравнения (3) справедлива альтернатива Фредгольма [14]. Поэтому вопрос существования и единственности решения сводится к проблеме собственных чисел оператора . Для определения его спектрального радиуса ρ( ) рассмотрим уравнение -(∆u + m grad div u) - k(-∆u) = 0, 498 2 u ∈ W2,0 (V ), k ∈ (-∞, +∞). (4) Интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи линейной теории упругости Выражение в первых скобках - оператор теории упругости. В случае закрепленной границы он положительно определенный с дискретным спектром [10]. Таков же и оператор (-∆) [10]. Тогда собственные числа k уравнения (4) вещественны, положительны и лежат в пределах inf A(u) = k1 k k2 = = sup A(u) [10], где A(u) = (-[∆u + m grad div u], u) (- grad div u, u) =1+m . (-∆u, u) (-∆u, u) (5) Здесь круглыми скобками обозначены скалярные произведения в L2 (V ). Далее, применяя формулу Остроградского-Гаусса и учитывая равенство [15] ∆u = grad div u - rot rot u, (6) находим (- grad div u, u) = (div u, div u) 0, (-∆u, u) = (grad u, grad u) (-∆u, u) - (- grad div u, u) = (rot rot u, u) = (rot u, rot u) 0, 0. Отсюда (-∆u, u) (- grad div u, u) 0. Тогда, используя выражение (5), находим, что собственные числа k уравнения (4) лежат в пределах 1 k 1 + m. Применяя к равенству (4) оператор (-∆-1 ), получаем эквивалентное уравнение su = u (s = 1 - k). Собственные числа s оператора лежат в отрезке [-m, 0]. Для вполне непрерывного линейного оператора спектральный радиус равен наибольшему по модулю собственному значению оператора [16]. Тогда ρ( ) = m. Если 0 ν 0.5, то m ∈ (1, ∞) и ρ( ) > 1. Отсюда оператор не является оператором сжатия [16] и решение уравнения (3) невозможно определить методом последовательных приближений. Отметим, что k = 0 не является собственным числом уравнения (4). Отсюда s = 1 также не является собственном числом оператора . Согласно теореме Фредгольма [14] решение уравнения (3) существует и единственно. Таким образом, решение второй краевой задачи теории упругости также существует и единственно при 0 < ν < 0.5. Если ν = 0.5, то m = ∞ и вопрос о существовании и единственности решения требует специального исследования. 3. Второе интегро-дифференциальное уравнение второй краевой задачи. Используя равенство (6), из уравнения (3) получаем второе интегродифференциальное уравнение u = Qu + h, (7) где Qu = -l∆-1 rot rot u, h= 1 f, 1+m l= m 1 = . 1+m 2(1 - ν) 2 (V ) в W 2 (V ) и является вполне Здесь оператор Q также действует из W2,0 2,0 непрерывным, т. е. уравнение (7) - уравнение Фредгольма второго рода. 499 С т р у ж а н о в В. В. Для отыскания спектрального радиуса оператора Q применим прием, изложенный выше. Рассмотрим уравнение -(∆u + l rot rot u) - γ(-∆u) = 0, 2 u ∈ W2,0 (V ), γ ∈ (-∞, +∞). (8) Собственные числа γ уравнения (8) вещественны, положительны и лежат в промежутке inf B(u) = γ1 γ γ2 = sup B(u), где B(u) = (-[∆u + l rot rot u], u) (- rot rot u, u) =1+l . (-∆u, u) (-∆u, u) (9) Далее имеем оценки (rot rot u, u) = (rot u, rot u) 0, (-∆u, u) + (- rot rot u, u) = (- grad div u, u) 0 (- rot rot u, u) 0, -(-∆u, u). Теперь, используя выражение (9), находим, что собственные числа γ уравнения (8) лежат в промежутке (1 - l) γ 1. Применяя оператор (-∆-1 ) к (8), получаем эквивалентное уравнение λu = = Qu (λ = 1 - γ). Собственные числа оператора Q лежат в отрезке [0, l]. Спектральный радиус ρ(Q) = l. При 0 ν < 0.5 имеем ρ(Q) < 1, то есть оператор Q является оператором сжатия. Тогда решение уравнения (7) можно найти методом последовательных приближений и представить его сходя∞ n 2 (V ) рядом Неймана u = щимся по норме пространства W2,0 n=0 Q h. Причем ряд сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем, сколь угодно близким к l [16]. Отметим, что γ = 0 (ν < 0.5) не является собственным числом уравнения (8) и λ = 1 не является собственным числом оператора Q. Отсюда из теоремы Фредгольма вытекает существование и единственность решения уравнения (7). Если ν = 0.5 (материал несжимаемый), то l = 1 и λ = 1 - собственное число оператора Q. В данном случае вопрос о существовании и единственности решения уравнения (7), а также второй краевой задачи теории упругости, требует специального исследования [14]. 4. Потенциальные и соленоидальные поля. Согласно теореме Гельмгольца, всякое непрерывное векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей [9]: w = grad ϕ + rot A. Здесь функция ϕ - скалярный потенциал, а вектор A - векторный потенци2 (V ). Рассмотрим соленоидальное ал. В нашем случае w = grad ϕ+rot A ∈ W2,0 поле w = rot A. Тогда из равенства (6) вытекает ∆ rot A = - rot rot rot A. (10) Таким образом, в соленоидальном поле ∆ = - rot rot. Возьмем теперь вектор ∆-1 rot A. Используя равенство (6), получаем grad div ∆-1 rot A - rot rot ∆-1 rot A = rot A, 500 Интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи линейной теории упругости т. е. grad div ∆-1 rot A = 0 и вектор ∆-1 rot A принадлежит соленоидальному полю. Если w = grad ϕ, то ∆ grad ϕ = grad div grad ϕ. Отсюда ∆ = grad div. Возьмем вектор ∆-1 grad ϕ. Из равенства (6) следует, что grad div ∆-1 grad ϕ - rot rot ∆-1 grad ϕ = grad ϕ, т. е. ∆-1 grad ϕ - вектор потенциального поля. Представим теперь вектор h в уравнении (7) суммой h = grad ψ + rot B. Тогда, используя равенство (10), можно свернуть ряд Неймана. В результате получаем решение 1 u = grad ψ + rot B. 1-l 5. Остаточные напряжения в закаленном цилиндре. В качестве примера определим напряжения в закаленном длинном стальном круговом цилиндре. В результате закалки часть зерен аустенита в приповерхностных слоях перешла в мартенситное состояние. Пусть P - объемное содержание мартенсита: 0, 0 r a; r-a P = , a r b, P0 b-a где b - радиус основания цилиндра, (b - a) - глубина закалки, P0 1 - объемное содержание мартенсита в поверхностном слое. Отсюда после закалки цилиндр состоит из двух однородных изотропных компонентов, каковыми являются аустенит и мартенсит. В первом приближении полагаем их свойства одинаковыми. Так как зерна мартенсита имеют несколько больший объем [17], элементарные объемы материала в приповерхностных слоях находятся в стесненном состоянии, что вызывает появление остаточных (закалочных) напряжений. Рассмотрим произвольный свободный от связей кубический элемент материала. После закалки в нем образуются равномерно распределенные по объему зерна мартенсита с объемным содержанием P . В результате объем элемента увеличится с сохранением кубической формы. В этом случае компоненты деформации ε∗ij = αP δij , i, j = 1, 2, 3. Здесь δij - символ Кронекера, α - параметр свободной структурной деформации мартенсита [17]. Деформации ε∗ij не удовлетворяют условиям совместности и не могут быть реализованы в сплошном теле. Для сохранения сплошности к деформациям ε∗ij необходимо добавить такие деформации εij , чтобы суммарные деформации εij = ε∗ij + εij уже удовлетворяли условиям совместности. Это означает, что к каждому элементу должны быть приложены усилия, определяемые напряжениями σij (собственные, остаточные напряжения). Напряжения σij и деформации εij связаны законом Гука σij = Cijαβ εαβ = Cijαβ (εαβ - ε∗αβ ), i, j, α, β = 1, 2, 3. 501 С т р у ж а н о в В. В. Здесь Cijαβ - компоненты тензора модулей упругости (суммирование по повторяющимся индексам). Стесненный компонент расположен симметрично относительно оси цилиндра. Поэтому точки поверхности получают постоянные по величине радиальные перемещения: vr r=b = vr0 = const. Таким образом, задача по определению закалочных напряжений осесимметричная и цилиндр находится в плоском деформированном состоянии. Так как ε11 = εr (r), ε22 = εθ (r), ε33 = ε12 = ε13 = ε23 = 0, ε∗11 = ε∗22 = ε∗33 = αP (r), ε∗12 = ε∗13 = ε∗23 = 0, уравнения закона Гука имеют вид σr = 2µεr + λ(εr + εθ ) - α(3λ + 2µ)P, σθ = 2µεθ + λ(εr + εθ ) - α(3λ + 2µ)P, σz = λ(εr + εθ ) - α(3λ + 2µ)P. Подставляя сюда соотношения Коши dvr vr , εθ = dr r и затем полученное выражение в уравнение равновесия εr = σ - σθ dσr + r = 0, dr r после известных преобразований получаем уравнение ∆v + l rot rot v = α 3λ + 2µ grad P, λ + 2µ v = vr (r). Затем, делая замену v = u + u∗ , имеем ∆u + l rot rot u = α u∗ = vr0 r , b u = ur (r), 3λ + 2µ grad P, λ + 2µ ur r=b = 0. Данное уравнение эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению u = -l∆-1 rot rot u + 3λ + 2µ α∆-1 grad P. λ + 2µ Здесь оператор (-∆-1 ) определен с использованием функции Грина для круга [18]. Как следует из рассуждений, приведенных выше, решение интегро-дифференциального уравнения определяет ряд Неймана. Так как вектор 502 Интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи линейной теории упругости ∆-1 grad P принадлежит потенциальному полю, ряд Неймана имеет только один первый член: 3λ + 2µ -1 ur = α ∆ grad P. λ + 2µ Тогда 3λ + 2µ -1 r ∆ grad P. vr = u∗r + ur = vr0 + α b λ + 2µ Здесь  P br ar a3 r   - 0 - + 2 , 0 r a, b-a 3 3 6b ∆-1 grad P = 3   - P0 r (b - r) - a (b2 - r2 ) , a r b. b-a 3 6b2 r Подставляя vr в соотношения Коши и полученные деформации в закон Гука, вспоминая, что цилиндр не нагружен, то есть σr |r=b = 0, вычисляем значение перемещения точек границы vr0 . Переходя снова к напряжениям, получаем выражения для закалочных напряжений:  b3 b2 a a3 αP0 E   - + , 0 r a,  2 3 (1 - ν)(b - a)b 2 6 σr = αP0 E 1 a3 1 1    (b - r) + - 2 , a r b; 2 (1 - ν)(b - a) 3 6 b r  αP0 E b3 b2 a a3   - + , 0 r a,  (1 - ν)(b - a)b2 3 2 6 σθ = αP0 E 1 a3 1 1    (b - 2r) + - , a r b. (1 - ν)(b - a) 3 6 b2 r2 Напряжение вдоль оси цилиндра определим по формуле, которая является следствием равенства нулю деформации εz : σz = ν(σr + σθ ), 0 ν(σr + σθ ) - Eε∗z , a r r a, b. (11) Напряжение (11) возникает в том случае, когда торцевые поверхности закреплены от осевого перемещения. Если они свободны, то на напряжение (11) следует наложить равномерное напряжение Eεz (εz = const). При этом деформация εz подбирается так, чтобы равнодействующая напряжений, распределенных по торцевой поверхности, обращалась в нуль: εz = 2αP0 b a a3 - + 2 . b - a 3 2 6b В результате получаем выражение для σz , при котором граничные условия на торцах удовлетворяются в смысле принципа Сен-Венана:  2αP0 E b a a3   - + 2 , 0 r a,  (b - a)(1 - ν) 3 2 6b σz = -Eεz + σz = 2αP0 E b r a3    - + 2 , a r b. (b - a)(1 - ν) 3 2 6b 503 С т р у ж а н о в В. В. Заключение. Приведенные результаты показывают, что применение нетрадиционного для теории упругости формального аппарата функционального анализа позволяет не только исследовать чисто математические свойства второй краевой задачи, но и разработать оригинальный метод последовательных приближений для нахождения ее решения. Конкурирующие интересы. У меня нет конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование не имело финансирования.

About the authors

Valery V Struzhanov

Institute of Engineering Science, Ural Branch of RAS

Email: stru@imach.uran.ru
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Chief Researcher; Lab. of Material Micromechanics 34, Komsomolskaya st., Ekaterinburg, 620049, Russian Federation

References

Supplementary files