Integro-differential equations the second boundary value problem of linear elasticity theory. Message 1. Homogeneous isotropic body

Abstract


The system of equations of the second boundary value problem of the linear theory of elasticity for homogeneous isotropic bodies is reduced to two separate integro-differential equations of Fredholm type, which allowed to apply for their research the theorem of Fredholm. The spectral radii of the corresponding operators are determined and the existence and uniqueness of the solution of the second boundary value problem are proved. It is also established that the decision of the second integro-differential equation can be found by successive approximations and presented convergent with a geometric rate close to Neumann. The method application is illustrated on the example of calculation of residual stresses in a quenched cylinder.

Full Text

Введение. Классическая теория упругости сохраняет свое почетное место в науке о поведении деформируемого твердого тела. Ее исходные определения являются общими для всех разделов этой науки, а методы постановки и решения задач служат для нее образцами. Несмотря на то, что линейная теория упругости является полностью замкнутой математической теорией, положение в этой области постоянно меняется. Это связано в первую очередь с использованием все более мощного формального аппарата. В этом случае система уравнений изучается сама по себе на принятом в математике уровне строгости, т.е. исследуются чисто Краткое сообщение cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования С т р у ж а н о в В. В. Интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи линейной теории упругости. Сообщение 1. Однородное изотропное тело // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 3. С. 496-506. doi: 10.14498/vsgtu1555. 496 Интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи линейной теории упругости математические свойства, что позволяет раскрыть все еще неизвестные возможности теории и получить новые эффективные методы решения краевых задач, в том числе и приближенных, имеющих большое значение для решения важных технических задач. В данной работе показано, что систему уравнений второй краевой задачи линейной теории упругости однородного изотропного тела можно свести к одному из двух интегро-дифференциальных уравнений, которые относятся к классу уравнений Фредгольма второго рода. Это позволило применить теоремы Фредгольма, т. е. свести задачу к проблеме собственных чисел соответствующих интегро-дифференциальных операторов. Для каждого оператора определены их спектральные радиусы, использование которых позволило привести новое доказательство существования и единственности решения второй краевой задачи. При исследовании второго интегродифференциального уравнения было установлено, что его решение (следовательно, и решение второй краевой задачи) можно найти методом последовательных приближений и представить его сходящимся рядом Неймана. Определены условия, при выполнении которых ряд Неймана возможно свернуть. В качестве примера решена задача об определении остаточных напряжений в закаленном цилиндре. 1. Первое интегро-дифференциальное уравнение второй краевой задачи теории упругости для однородного изотропного тела. Система уравнений краевой задачи линейной теории упругости, записанная в инвариантной форме, имеет вид [1, 2]: ∇ · σ + g = 0, ε = def v, σ = C · ·(ε - ε∗ ), v|Γ = v Γ . (1) Требуется найти тензоры напряжений σ и деформаций ε, вектор перемещений v внутри упругого тела V в состоянии равновесия, если известны перемещения v Γ точек его границы (кусочно-гладкой поверхности Γ). В системе (1) первая группа уравнений - это уравнения равновесия (g - вектор объемных сил, ∇ - набла-оператор Гамильтона [1], точкой обозначено скалярное произведение вектора Гамильтона на симметричный тензор второго ранга), вторая группа - соотношения Коши, третья - закон Гука (C - однородный изотропный тензор четвертого ранга модулей упругости, двумя точками обозначено двойное скалярное произведение тензоров [3], ε∗ - тензор первоначальных деформаций свободных от связей элементов тела V , возникающих при нагреве, фазовых превращениях и т. п. [4]). В уравнениях (1) произведем замену v = u + u∗ , где u - неизвестная вектор-функция, на границе равная нулю, а u∗ - известная вектор-функция, на границе равная u∗ |Γ = v Γ , например, гармоническая вектор-функция u∗ = - vΓ Γ dG dΓ, dn где G - функция Грина оператора Лапласа ∆ для области V , n - внешняя нормаль к поверхности Γ [5]. Подставляя теперь закон Гука в уравнения равновесия и заменяя деформации соотношениями Коши, получаем уравнения Навье-Ляме [6]: - µ∆u + (λ + µ) grad div u = p, u|Γ = 0, (2) 497 С т р у ж а н о в В. В. -1 -1 где λ = νE (1 + ν)(1 - 2ν) , µ = E 2(1 + ν) - постоянные Ляме; E, ν - соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона; p = g + ∇ · σ ∗ + µ∆u∗ + (λ + µ) grad div u∗ ; σ ∗ = C · ·ε∗ - формальный тензор псевдонапряжений. Уравнения (2) будем рассматривать как некоторое отображение простран2 (V ) в пространство L (V ) (u ∈ W 2 (V ), p ∈ L (V )). Здесь L (V ) - ства W2,0 2 2 2 2,0 вещественное полное сепарабельное гильбертово пространство вектор-функ2 (V ) - вещественций, компоненты которых интегрируемы с квадратом, а W2,0 ное полное сепарабельное гильбертово пространство вектор-функций, компоненты которых обращаются в нуль на Γ и принадлежат L2 (V ) вместе со своими обобщенными производными до второго порядка включительно [7, 8]. Пусть область V и граница Γ таковы, что оператор Лапласа ∆ устанавлива2 (V ) и L (V ) и существует функция ет биекцию между пространствами W2,0 2 Грина оператора Лапласа. Таким образом, оператор (-∆) имеет обратный [7, 9]: (-∆-1 X) = GX dV, 2 X ∈ L2 (V ), ∆-1 X ∈ W2,0 (V ). V 2 (V ) с дискретОператор (-∆) - положительно определенный оператор в W2,0 ным спектром, то есть его собственные числа вещественны, положительны и дискретны [10]. Следовательно, оператор (-∆-1 ) является вполне непрерывным. Применяя к обеим частям уравнения (2) оператор (-∆-1 ), получаем интегро-дифференциальное уравнение (первое интегро-дифференциальное уравнение второй краевой задачи) u= u + f. (3) Здесь u = -m∆-1 grad div u, 1 f = - ∆-1 p, µ m= λ+µ 1 = . µ 1 - 2ν 2 (V ) в W 2 (V ), f ∈ W 2 (V ). ДифференциальОператор действует из W2,0 2,0 2,0 ный оператор grad div - линейный непрерывный (ограниченный) оператор из 2 (V ) в пространство L (V ) [11,12]. Тогда оператор пространства W2,0 вполне 2 непрерывен как произведение вполне непрерывного и ограниченного операторов [13]. Таким образом, уравнение (3) - уравнение Фредгольма второго рода [14]. 2. Спектральный радиус оператора и существование решения второй краевой задачи. Для уравнения (3) справедлива альтернатива Фредгольма [14]. Поэтому вопрос существования и единственности решения сводится к проблеме собственных чисел оператора . Для определения его спектрального радиуса ρ( ) рассмотрим уравнение -(∆u + m grad div u) - k(-∆u) = 0, 498 2 u ∈ W2,0 (V ), k ∈ (-∞, +∞). (4) Интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи линейной теории упругости Выражение в первых скобках - оператор теории упругости. В случае закрепленной границы он положительно определенный с дискретным спектром [10]. Таков же и оператор (-∆) [10]. Тогда собственные числа k уравнения (4) вещественны, положительны и лежат в пределах inf A(u) = k1 k k2 = = sup A(u) [10], где A(u) = (-[∆u + m grad div u], u) (- grad div u, u) =1+m . (-∆u, u) (-∆u, u) (5) Здесь круглыми скобками обозначены скалярные произведения в L2 (V ). Далее, применяя формулу Остроградского-Гаусса и учитывая равенство [15] ∆u = grad div u - rot rot u, (6) находим (- grad div u, u) = (div u, div u) 0, (-∆u, u) = (grad u, grad u) (-∆u, u) - (- grad div u, u) = (rot rot u, u) = (rot u, rot u) 0, 0. Отсюда (-∆u, u) (- grad div u, u) 0. Тогда, используя выражение (5), находим, что собственные числа k уравнения (4) лежат в пределах 1 k 1 + m. Применяя к равенству (4) оператор (-∆-1 ), получаем эквивалентное уравнение su = u (s = 1 - k). Собственные числа s оператора лежат в отрезке [-m, 0]. Для вполне непрерывного линейного оператора спектральный радиус равен наибольшему по модулю собственному значению оператора [16]. Тогда ρ( ) = m. Если 0 ν 0.5, то m ∈ (1, ∞) и ρ( ) > 1. Отсюда оператор не является оператором сжатия [16] и решение уравнения (3) невозможно определить методом последовательных приближений. Отметим, что k = 0 не является собственным числом уравнения (4). Отсюда s = 1 также не является собственном числом оператора . Согласно теореме Фредгольма [14] решение уравнения (3) существует и единственно. Таким образом, решение второй краевой задачи теории упругости также существует и единственно при 0 < ν < 0.5. Если ν = 0.5, то m = ∞ и вопрос о существовании и единственности решения требует специального исследования. 3. Второе интегро-дифференциальное уравнение второй краевой задачи. Используя равенство (6), из уравнения (3) получаем второе интегродифференциальное уравнение u = Qu + h, (7) где Qu = -l∆-1 rot rot u, h= 1 f, 1+m l= m 1 = . 1+m 2(1 - ν) 2 (V ) в W 2 (V ) и является вполне Здесь оператор Q также действует из W2,0 2,0 непрерывным, т. е. уравнение (7) - уравнение Фредгольма второго рода. 499 С т р у ж а н о в В. В. Для отыскания спектрального радиуса оператора Q применим прием, изложенный выше. Рассмотрим уравнение -(∆u + l rot rot u) - γ(-∆u) = 0, 2 u ∈ W2,0 (V ), γ ∈ (-∞, +∞). (8) Собственные числа γ уравнения (8) вещественны, положительны и лежат в промежутке inf B(u) = γ1 γ γ2 = sup B(u), где B(u) = (-[∆u + l rot rot u], u) (- rot rot u, u) =1+l . (-∆u, u) (-∆u, u) (9) Далее имеем оценки (rot rot u, u) = (rot u, rot u) 0, (-∆u, u) + (- rot rot u, u) = (- grad div u, u) 0 (- rot rot u, u) 0, -(-∆u, u). Теперь, используя выражение (9), находим, что собственные числа γ уравнения (8) лежат в промежутке (1 - l) γ 1. Применяя оператор (-∆-1 ) к (8), получаем эквивалентное уравнение λu = = Qu (λ = 1 - γ). Собственные числа оператора Q лежат в отрезке [0, l]. Спектральный радиус ρ(Q) = l. При 0 ν < 0.5 имеем ρ(Q) < 1, то есть оператор Q является оператором сжатия. Тогда решение уравнения (7) можно найти методом последовательных приближений и представить его сходя∞ n 2 (V ) рядом Неймана u = щимся по норме пространства W2,0 n=0 Q h. Причем ряд сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем, сколь угодно близким к l [16]. Отметим, что γ = 0 (ν < 0.5) не является собственным числом уравнения (8) и λ = 1 не является собственным числом оператора Q. Отсюда из теоремы Фредгольма вытекает существование и единственность решения уравнения (7). Если ν = 0.5 (материал несжимаемый), то l = 1 и λ = 1 - собственное число оператора Q. В данном случае вопрос о существовании и единственности решения уравнения (7), а также второй краевой задачи теории упругости, требует специального исследования [14]. 4. Потенциальные и соленоидальные поля. Согласно теореме Гельмгольца, всякое непрерывное векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей [9]: w = grad ϕ + rot A. Здесь функция ϕ - скалярный потенциал, а вектор A - векторный потенци2 (V ). Рассмотрим соленоидальное ал. В нашем случае w = grad ϕ+rot A ∈ W2,0 поле w = rot A. Тогда из равенства (6) вытекает ∆ rot A = - rot rot rot A. (10) Таким образом, в соленоидальном поле ∆ = - rot rot. Возьмем теперь вектор ∆-1 rot A. Используя равенство (6), получаем grad div ∆-1 rot A - rot rot ∆-1 rot A = rot A, 500 Интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи линейной теории упругости т. е. grad div ∆-1 rot A = 0 и вектор ∆-1 rot A принадлежит соленоидальному полю. Если w = grad ϕ, то ∆ grad ϕ = grad div grad ϕ. Отсюда ∆ = grad div. Возьмем вектор ∆-1 grad ϕ. Из равенства (6) следует, что grad div ∆-1 grad ϕ - rot rot ∆-1 grad ϕ = grad ϕ, т. е. ∆-1 grad ϕ - вектор потенциального поля. Представим теперь вектор h в уравнении (7) суммой h = grad ψ + rot B. Тогда, используя равенство (10), можно свернуть ряд Неймана. В результате получаем решение 1 u = grad ψ + rot B. 1-l 5. Остаточные напряжения в закаленном цилиндре. В качестве примера определим напряжения в закаленном длинном стальном круговом цилиндре. В результате закалки часть зерен аустенита в приповерхностных слоях перешла в мартенситное состояние. Пусть P - объемное содержание мартенсита: 0, 0 r a; r-a P = , a r b, P0 b-a где b - радиус основания цилиндра, (b - a) - глубина закалки, P0 1 - объемное содержание мартенсита в поверхностном слое. Отсюда после закалки цилиндр состоит из двух однородных изотропных компонентов, каковыми являются аустенит и мартенсит. В первом приближении полагаем их свойства одинаковыми. Так как зерна мартенсита имеют несколько больший объем [17], элементарные объемы материала в приповерхностных слоях находятся в стесненном состоянии, что вызывает появление остаточных (закалочных) напряжений. Рассмотрим произвольный свободный от связей кубический элемент материала. После закалки в нем образуются равномерно распределенные по объему зерна мартенсита с объемным содержанием P . В результате объем элемента увеличится с сохранением кубической формы. В этом случае компоненты деформации ε∗ij = αP δij , i, j = 1, 2, 3. Здесь δij - символ Кронекера, α - параметр свободной структурной деформации мартенсита [17]. Деформации ε∗ij не удовлетворяют условиям совместности и не могут быть реализованы в сплошном теле. Для сохранения сплошности к деформациям ε∗ij необходимо добавить такие деформации εij , чтобы суммарные деформации εij = ε∗ij + εij уже удовлетворяли условиям совместности. Это означает, что к каждому элементу должны быть приложены усилия, определяемые напряжениями σij (собственные, остаточные напряжения). Напряжения σij и деформации εij связаны законом Гука σij = Cijαβ εαβ = Cijαβ (εαβ - ε∗αβ ), i, j, α, β = 1, 2, 3. 501 С т р у ж а н о в В. В. Здесь Cijαβ - компоненты тензора модулей упругости (суммирование по повторяющимся индексам). Стесненный компонент расположен симметрично относительно оси цилиндра. Поэтому точки поверхности получают постоянные по величине радиальные перемещения: vr r=b = vr0 = const. Таким образом, задача по определению закалочных напряжений осесимметричная и цилиндр находится в плоском деформированном состоянии. Так как ε11 = εr (r), ε22 = εθ (r), ε33 = ε12 = ε13 = ε23 = 0, ε∗11 = ε∗22 = ε∗33 = αP (r), ε∗12 = ε∗13 = ε∗23 = 0, уравнения закона Гука имеют вид σr = 2µεr + λ(εr + εθ ) - α(3λ + 2µ)P, σθ = 2µεθ + λ(εr + εθ ) - α(3λ + 2µ)P, σz = λ(εr + εθ ) - α(3λ + 2µ)P. Подставляя сюда соотношения Коши dvr vr , εθ = dr r и затем полученное выражение в уравнение равновесия εr = σ - σθ dσr + r = 0, dr r после известных преобразований получаем уравнение ∆v + l rot rot v = α 3λ + 2µ grad P, λ + 2µ v = vr (r). Затем, делая замену v = u + u∗ , имеем ∆u + l rot rot u = α u∗ = vr0 r , b u = ur (r), 3λ + 2µ grad P, λ + 2µ ur r=b = 0. Данное уравнение эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению u = -l∆-1 rot rot u + 3λ + 2µ α∆-1 grad P. λ + 2µ Здесь оператор (-∆-1 ) определен с использованием функции Грина для круга [18]. Как следует из рассуждений, приведенных выше, решение интегро-дифференциального уравнения определяет ряд Неймана. Так как вектор 502 Интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи линейной теории упругости ∆-1 grad P принадлежит потенциальному полю, ряд Неймана имеет только один первый член: 3λ + 2µ -1 ur = α ∆ grad P. λ + 2µ Тогда 3λ + 2µ -1 r ∆ grad P. vr = u∗r + ur = vr0 + α b λ + 2µ Здесь  P br ar a3 r   - 0 - + 2 , 0 r a, b-a 3 3 6b ∆-1 grad P = 3   - P0 r (b - r) - a (b2 - r2 ) , a r b. b-a 3 6b2 r Подставляя vr в соотношения Коши и полученные деформации в закон Гука, вспоминая, что цилиндр не нагружен, то есть σr |r=b = 0, вычисляем значение перемещения точек границы vr0 . Переходя снова к напряжениям, получаем выражения для закалочных напряжений:  b3 b2 a a3 αP0 E   - + , 0 r a,  2 3 (1 - ν)(b - a)b 2 6 σr = αP0 E 1 a3 1 1    (b - r) + - 2 , a r b; 2 (1 - ν)(b - a) 3 6 b r  αP0 E b3 b2 a a3   - + , 0 r a,  (1 - ν)(b - a)b2 3 2 6 σθ = αP0 E 1 a3 1 1    (b - 2r) + - , a r b. (1 - ν)(b - a) 3 6 b2 r2 Напряжение вдоль оси цилиндра определим по формуле, которая является следствием равенства нулю деформации εz : σz = ν(σr + σθ ), 0 ν(σr + σθ ) - Eε∗z , a r r a, b. (11) Напряжение (11) возникает в том случае, когда торцевые поверхности закреплены от осевого перемещения. Если они свободны, то на напряжение (11) следует наложить равномерное напряжение Eεz (εz = const). При этом деформация εz подбирается так, чтобы равнодействующая напряжений, распределенных по торцевой поверхности, обращалась в нуль: εz = 2αP0 b a a3 - + 2 . b - a 3 2 6b В результате получаем выражение для σz , при котором граничные условия на торцах удовлетворяются в смысле принципа Сен-Венана:  2αP0 E b a a3   - + 2 , 0 r a,  (b - a)(1 - ν) 3 2 6b σz = -Eεz + σz = 2αP0 E b r a3    - + 2 , a r b. (b - a)(1 - ν) 3 2 6b 503 С т р у ж а н о в В. В. Заключение. Приведенные результаты показывают, что применение нетрадиционного для теории упругости формального аппарата функционального анализа позволяет не только исследовать чисто математические свойства второй краевой задачи, но и разработать оригинальный метод последовательных приближений для нахождения ее решения. Конкурирующие интересы. У меня нет конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование не имело финансирования.

About the authors

Valery V Struzhanov

Institute of Engineering Science, Ural Branch of RAS

Email: stru@imach.uran.ru
34, Komsomolskaya st., Ekaterinburg, 620049, Russian Federation
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Chief Researcher; Lab. of Material Micromechanics

References

  1. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.
  2. Елисеев В. В. Механика упругих тел. СПб.: СПбГПУ, 2002. 341 с.
  3. Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. М.: Высш. шк., 2001. 575 с.
  4. Timoshenko S. P., Goodier J. N. Theory of elasticity / Engineering Societies Monographs. International Student Edition. New York: McGraw-Hill Book Comp., 1970. xxiv+567 pp.
  5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 с.
  6. Hahn H. G. Elastizitätstheorie. Grundlagen der linearen Theorie und Anwendungen auf eindimensionale, ebene und räumliche Probleme / Leitfäden der Angewandten Mathematik und Mechanik. vol. 62. Stuttgart: B. G. Teubner, 1985. 332 pp.
  7. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
  8. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 334 с.
  9. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. шк., 1970. 712 с.
  10. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.
  11. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.
  12. Функциональный анализ / Справочная математическая библиотека / ред. С. Г. Крейн. М.: Наука, 1972. 544 с.
  13. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.
  14. Кантарович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 741 с.
  15. Коренев Г. В. Тензорное исчисление. М.: МФТИ, 2000. 240 с.
  16. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Высш. шк., 1969. 455 с.
  17. Юрьев С. Ф. Удельные объемы фаз в мартенситном превращении аустенита. М.: Металлургиздат, 1950. 48 с.
  18. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

Statistics

Views

Abstract - 43

PDF (Russian) - 5

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies