Yang-Mills equations on conformally connected torsion-free 4-manifolds with different signatures

Abstract


In this paper we study spaces of conformal torsion-free connection of dimension 4 whose connection matrix satisfies the Yang-Mills equations. Here we generalize and strengthen the results obtained by us in previous articles, where the angular metric of these spaces had Minkowski signature. The generalization is that here we investigate the spaces of all possible metric signatures, and the enhancement is due to the fact that additional attention is paid to calculating the curvature matrix and establishing the properties of its components. It is shown that the Yang-Mills equations on 4-manifolds of conformal torsion-free connection for an arbitrary signature of the angular metric are reduced to Einstein's equations, Maxwell's equations and the equality of the Bach tensor of the angular metric and the energy-momentum tensor of the skew-symmetric charge tensor. It is proved that if the Weyl tensor is zero, the Yang-Mills equations have only self-dual or anti-self-dual solutions, i.e the curvature matrix of a conformal connection consists of self-dual or anti-self-dual external 2-forms. With the Minkowski signature (anti)self-dual external 2-forms can only be zero. The components of the curvature matrix are calculated in the case when the angular metric of an arbitrary signature is Einstein, and the connection satisfies the Yang-Mills equations. In the Euclidean and pseudo-Euclidean 4-spaces we give some particular self-dual and anti-self-dual solutions of the Maxwell equations, to which all the Yang-Mills equations are reduced in this case.

Full Text

Введение. Исследуются уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности с нулевым кручением. Такие многообразия задаются матрицей 6 × 6 конформной связности  0  ω0 ωi 0 Ω =  ωj ηik ωjk + ηjk ωik = 0 (1) ωij -η jk ωk  , k 0 0 -ηik ω -ω0 на каждой карте некоторого атласа. Элементы этой матрицы являются пфаффовыми формами от координат карты. Индексы i, j, k, l, p, q, m, n будут в дальнейшем принимать значения 1, 2, 3, 4; ηij = 0 при i = j, а ηii = ±1. Квадратичная форма ψ = ηij ω i ω j называется угловой метрикой. Сигнатура s угловой метрики есть разность между числом положительных и отрицательных ηii . На пересекающихся картах Uα ∩ Uβ = ∅ должна быть задана матрица перехода hαβ , которая связывает матрицы конформной связности Ωα и Ωβ следующей формулой: Ωβ = (hαβ )-1 dhαβ + (hαβ )-1 Ωα hαβ . (2) Переходные матрицы h принадлежат 11-параметрической группе H4,s , которая является подгруппой стационарности конформной группы C4,s . Группа H4,s называется калибровочной группой. На каждой карте Uα матрица связности задается с точностью до калибровочного преобразования h и изменяется по закону, аналогичному (2): Ωα = h-1 dh + h-1 Ωα h. (3) С помощью калибровочного преобразования нормализации на каждой карте можно добиться ω00 = 0, что мы и будем всегда далее предполагать. Матрица конформной связности (1) порождает матрицу конформной кривизны def Φ = dΩ + Ω ∧ Ω. (4) Алгебраическая структура матрицы Φ такая же, как у Ω:  0  Φ0 Φi 0 Φ =  Φj ηik Φkj + ηjk Φki = 0. Φji -η jk Φk  , k 0 0 -ηik Φ -Φ0 (5) Из (4) и (1) с учетом ω00 = 0 имеем Φ00 = ωk ∧ ω k , Φi = dωi + ωk ∧ ωik = ∇ωi , Φj = dω j + ωkj ∧ ω k = ∇ω j , Φji = dωij + ωkj ∧ ωik + ω j ∧ ωi + η jm ηik ωm ∧ ω k = = Rij + ω j ∧ ωi + η jm ηik ωm ∧ ω k , 634 (6) Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . j ω k ∧ ω l - тензор кривизны квадратичной формы ηij ω i ω j , где Rij = 12 Rikl j а Rikl - тензор Римана. Внешнее дифференцирование (4) приводит к тождествам Бианки dΦ + Ω ∧ Φ - Φ ∧ Ω ≡ 0. (7) Внешнее дифференцирование (3) дает закон преобразования матрицы конформной кривизны на карте Uα относительно калибровочных преобразований h: Φα = h-1 Φα h. (8) Из ηik можно сконструировать величину def klpq εkl ij = δ1234 ηpi ηqj , (9) klpq - символ Кронекера. Оператор Ходжа обозначается ∗ и действует где δ1234 на внешнюю 2-форму θ = aij ω i ∧ ω j по правилу 1 k l ∗θ = aij εij kl ω ∧ ω . 2 Матрицы компонент ηij = η ij для сигнатур вид    1 0 0 0 -1 0  0 1 0 0   0 1 (ηij ) = ±  , ± 0 0 1 0  0 0 0 0 0 1 0 0 (10) ±4, ±2, 0 имеют, соответственно, 0 0 1 0  0 0  , 0  1  -1 0 0 0  0 -1 0 0  .  0 0 1 0  0 0 0 1  Ненулевые компоненты εkl ij (9) имеют вид: для s = ±2 - 24 ε34 ε23 12 = -1, ε13 = 1, 14 = -1, 14 13 ε23 = 1, ε24 = -1, ε12 34 = 1; для s = ±4 - ε34 12 = 1, ε14 23 = 1, для s = 0 - 23 ε24 13 = -1, ε14 = 1, 13 12 ε24 = -1, ε34 = 1; ε34 ε24 12 = 1, 13 = 1, 14 ε23 = -1, ε13 24 = 1, ε23 14 = -1, ε12 34 = 1. (11) (12) 2-форма θ называется автодуальной (антиавтодуальной), если ∗θ = θ (∗θ = -θ). Для s = ±2 имеем ∗2 = -id, а для s = ±4; 0 будет ∗2 = id. Это различие приводит к тому, что в случаях s = ±4; 0 существуют ненулевые автодуальные и антиавтодуальные 2-формы, а в случае s = ±2 их нет. Уравнением Янга-Миллса на 4-многообразии называется уравнение, аналогичное тождеству Бианки (7): d ∗ Φ + Ω ∧ ∗Φ - ∗Φ ∧ Ω = 0. (13) 2-формы Φj , компоненты матрицы (5), образуют геометрический объект, так как при преобразованиях (8) 2-формы Φj выражаются только через Φj . 635 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. Он называется кручением [1, стр. 169]. Мы изучаем уравнения Янга-Миллса только при нулевом кручении Φj = 0, (14) так как при ненулевом кручении они слишком сложные. При нулевом кручении 2-форма Φ00 также становится геометрическим объектом, который мы называем зарядом. В работе [2] уравнения Янга-Миллса изучались только при сигнатуре s = 2. При s = -2 все результаты идентичны. Но при сигнатурах s = ±4; 0 ввиду наличия автодуальных (антиавтодуальных) 2-форм некоторые результаты оказываются существенно другими. В частности, в [2] было доказано, что когда тензор Вейля угловой метрики ηij ω i ω j равен нулю или когда угловая метрика эйнштейнова, электромагнитное поле (то есть заряд Φ00 = 21 b[ij] ω j ∧ ω i ) при s = 2 равно нулю. В настоящей статье мы эти результаты усиливаем, вычислив всю матрицу кривизны. При нулевом тензоре Вейля уравнения Янга-Миллса (13) выполняются только в случае нулевой матрицы кривизны, Φ = 0. А в случае эйнштейновой метрики матрица кривизны вычисляется только через тензор Вейля, подтверждая тем самым, что электромагнитное поле равно нулю. При s = ±4; 0 уравнения Янга-Миллса в случае нулевого тензора Вейля или эйнштейновой угловой метрики имеют решения с ненулевым тензором заряда b[ij] . В случае нулевого тензора Вейля вся матрица кривизны вычисляется через заряд, причем она автодуальна или антиавтодуальна, а уравнения Янга-Миллса сводятся к уравнениям Максвелла на компоненты тензора заряда b[ij] . В случае эйнштейновой метрики матрица Φ вычисляется через тензор заряда и тензор Вейля. При этом 2-формы Φ00 и Φi автодуальны или антиавтодуальны. Но вся матрица кривизны этим условиям не удовлетворяет. Отметим, что (анти)автодуальность на римановых 4-многообразиях изучалась многими авторами с разных точек зрения [3-5]. 1. Уравнения Янга-Миллса. Подробная запись уравнений Янга-Миллса (13) в пространстве без кручения, при Φj = 0, такова: d ∗ Φ00 - ∗Φk ∧ ω k = 0, ∗Φ00 ∧ ω i - ∗Φik ∧ ω k = 0, ∇ ∗ Φi + ωk ∧ ∗Φki - ∗Φ00 ∧ ωi = 0, ∇ ∗ Φji + ω j ∧ ∗Φi - ηin η jm ∗ Φm ∧ ω n = 0. (15) В [2] была доказана главная формула пространства Янга-Миллса (многообразия конформной связности без кручения, в котором выполнены уравнения Янга-Миллса) при s = 2: 1 Φq . (16) ∗Φji = εjp 2 iq p Эта формула верна и для всех остальных сигнатур, доказательство аналогичное. Как и в статье [2], с помощью (16) можно показать, что система (15) при любой сигнатуре эквивалентна dΦ00 = 0, ∧ ω - ∗Φjk ∧ ω k = 0, Φi + ωk ∧ ∗Φki - ∗Φ00 ∧ ωi = ∗Φ00 ∇∗ 636 d ∗ Φ00 = 0, (17) j (18) 0. (19) Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . Компонентная запись уравнений (18) имеет вид [2, стр. 438] Φij + b[ij] = 0, (20) где def Φij = Φkijk , def Φji = 1 j k Φ ω ∧ ωl , 2 ikl def ωi = bik ω k , def b[ij] = bij - bji . (21) Из (6)4 и (21) следует Φij = Rij - 2bij - bηij , def k - тензор Риччи квадратичной формы угловой метрики ψ = где Rij = Rijk def = ηij ω i ω j , b = η ij bij , поэтому равенство (20) можно переписать в виде Rij = b(ij) + bηij , def b(ij) = bij + bji , (22) что представляет собой уравнения Эйнштейна. Свертка (22)1 с η ij дает R = = 6b. Таким образом, (18) - уравнения Эйнштейна, а (17) - уравнения Максвелла. Пространства конформной связности без кручения, где Φ00 = 0 и выполняется условие (20), Картан назвал нормальными [1, стр. 178]. Для уравнений (19) в [2, стр. 444] была получена компонентная запись p η mn -b(ij)|mn + b(pm) R(ij)n + 2b[im] b[jn] - 2bb(ij) + b|(ij) - 2Qηij = 0, def где Q = η ij η mn bim bjn . Эта формула также верна для любых сигнатур. Так как в силу (22) величины b(ij) выражаются только через тензор Риччи квадратичной формы угловой метрики ψ, для физических применений эту формулу целесообразно переписать, оставив слева только слагаемые, выражающиеся через ψ: 1 p η mn b(mp) R(ij)n - b(ij)|mn + b|(ij) - 2bb(ij) - η pq η mn b(pm) b(qn) ηij = 2 1 pq mn = ηij η η b[pm] b[qn] - 2η mn b[im] b[jn] . (23) 2 Здесь слева стоит тензор Баха Bij квадратичной формы угловой метрики ψ, а справа - тензор энергии-импульса внешней 2-формы Φ00 = 21 b[ij] ω j ∧ ω i , который мы определили по аналогии с тензором энергии-импульса для электромагнитного поля [6, формула 33,1]. Другая форма записи для тензора Баха: Bij = 2 ∇k ∇k Pij - ∇k ∇i Pkj + 2P kl Cikjl , (24) где Cikjl - тензор Вейля, def Pij = 1 1 1 Rηij - Rij = - b(ij) 12 2 2 (25) (использовали (22) и R = 6b). Если тензор энергии-импульса обозначить через Tij , то уравнение (23) (то же, что и (19)) запишется в виде Bij = Tij . (26) 637 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. 2. Уравнения Янга-Миллса при нулевом тензоре Вейля. Всякий кососимметрический тензор Fij в псевдоевклидовом пространстве с метрическим тензором ηij может быть записан в виде  0 E1 E2 E3 0 -H3 H2   -E1 . (Fij ) =  -E2 H3 0 -H1  -E3 -H2 H1 0  (27) По аналогии с электромагнитным полем тензором энергии-импульса кососимметрического тензора Fij назовем def Tij = 1 ηij F pq Fpq - 2η pq Fip Fjq . 2 (28) При сигнатуре s = ±2 элемент T11 имеет, соответственно, вид T11 = ∓ (E1 )2 + (E2 )2 + (E3 )2 + (H1 )2 + (H2 )2 + (H3 )2 . Отсюда ясно, что из Tij = 0 (при всех i, j) следует Fij = 0. Но для других сигнатур это не так. Рассмотрим 2-форму 1 F = Fij dxi ∧ dxj , 2 где x1 , x2 , x3 , x4 - координаты псевдоевклидова пространства, а Fij задаются формулой (27). Лемма. Для сигнатур s = ±4; 0 тензор Tij обращается в нуль тогда и только тогда, когда 2-форма F = 21 Fij dxi ∧ dxj автодуальна или антиавтодуальна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Выпишем все Tij (28) при s = 4 (ηii = η ii = 1): T11 T22 T33 T44 T12 T14 T24 = - (E1 )2 - (E2 )2 - (E3 )2 + (H1 )2 + (H2 )2 + (H3 )2 , = - (E1 )2 + (E2 )2 + (E3 )2 + (H1 )2 - (H2 )2 - (H3 )2 , = (E1 )2 - (E2 )2 + (E3 )2 - (H1 )2 + (H2 )2 - (H3 )2 , = (E1 )2 + (E2 )2 - (E3 )2 - (H1 )2 - (H2 )2 + (H3 )2 , = 2 (E2 H3 - E3 H2 ) , T13 = 2 (E3 H1 - E1 H3 ) , = (E1 H2 - E2 H1 ) , T23 = 2 (H1 H2 - E1 E2 ) , = 2 (H1 H3 - E1 E3 ) , T34 = 2 (H2 H3 - E2 E3 ) . Отсюда нетрудно убедиться, что равенство Tij = 0 при всех i, j возможно только при E1 = H1 , E2 = H2 , E3 = H3 , = ±1. С помощью (10) и (11) убеждаемся, что ∗F = ±F. При s = -4 вычисления идентичные, т. к. компоненты Tij отличаются лишь знаком. 638 Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . При s = 0 (η11 = η22 = -1, а η33 = η44 = 1) будем иметь T11 T22 T33 T44 T12 T14 T24 = (E1 )2 - (E2 )2 - (E3 )2 - (H1 )2 + (H2 )2 + (H3 )2 , = (E1 )2 + (E2 )2 + (E3 )2 - (H1 )2 - (H2 )2 - (H3 )2 , = (E1 )2 + (E2 )2 - (E3 )2 - (H1 )2 - (H2 )2 + (H3 )2 , = (E1 )2 - (E2 )2 + (E3 )2 - (H1 )2 + (H2 )2 - (H3 )2 , = 2 (E2 H3 - E3 H2 ) , T13 = 2 (E3 H1 + E1 H3 ) , = -2 (E1 H2 + E2 H1 ) , T23 = 2 (H1 H2 + E1 E2 ) , = 2 (H1 H3 + E1 E3 ) , T34 = 2 (E2 E3 - H2 H3 ) . Если все Tij = 0, то E1 = H1 , E2 = - H2 , E3 = - H3 , = ±1. С помощью (10) и (12) снова убеждаемся, что ∗F = ±F, что и доказывает лемму. Применим этот результат для решений уравнений Янга-Миллса (17)-(19) на 4-многообразии конформной связности при равенстве нулю тензора Вейля Cikjl = 0. В этом случае квадратичная форма ψ = ηij ω i ω j угловой метрики конформно евклидова. Путем калибровочного преобразования перенормировки она может быть преобразована в евклидову квадратичную форму. Следовательно, ее тензор Римана Rikjl станет нулевым. Значит, нулевым будет и тензор Баха (24). Поэтому уравнение Янга-Миллса (26) сведется к Tij = 0, где Tij - тензор энергии-импульса тензора b[ij] , компонент 2-формы (6)1 Φ00 = ωi ∧ ω i = 21 b[ij] ω j ∧ ω i . (29) Отсюда в случае сигнатуры s = ±2, как мы показали в начале этого раздела, следует, что b[ij] = 0, т. е. Φ00 = 0. Так как Rij = 0, в силу (22) b(ij) = 0. Поэтому все bij = 0, следовательно, ωi = bik ω k = 0. Из (6)2,4 с учетом j Rij = 12 Rikl ω k ∧ ω l = 0 следует, что Φi = Φji = 0. Поэтому все элементы матрицы кривизны (5) равны нулю, и уравнения (17)-(19) удовлетворяются тривиальным образом. Итак, доказана Теорема 1. В случае равенства нулю тензора Вейля Cikjl = 0 и при сигнатурах s = ±2 уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности выполняются только при нулевой матрице кривизны. Теперь исследуем пространства Янга-Миллса при нулевом тензоре Вейля для остальных сигнатур s = ±4; 0. В этих случаях тензор Баха снова будет нулевым, и поэтому уравнение (23) сведется к Tij = 0, где Tij - тензор энергии-импульса тензора b[ij] , компонент 2-формы Φ00 = 21 b[ij] ω j ∧ ω i . Но теперь из Tij = 0 не вытекает равенство Φ00 = 0, а, согласно лемме, следует лишь, что ∗Φ00 = ±Φ00 . (30) Величины bij уже не нулевые, а лишь кососимметричные, т. е. b(ij) = 0, bij = 12 b[ij] . Из (6)4 с учетом Rij = 0 получим Φji = ω j ∧ ωi + η jm ηik ωm ∧ ω k = bik ω j ∧ ω k + η jm ηik bmp ω p ∧ ω k . 639 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. Таким образом, все элементы матрицы Φ (5) конформной кривизны выражаются через компоненты bij = 21 b[ij] 2-формы заряда Φ00 : Φ00 = bij ω j ∧ ω i , Φji = bik ω j ∧ ω k + η jm ηik bmp ω p ∧ ω k , Φ i = ωi = bij ω j = bij|k ω k ∧ ω j . (31) Последнее равенство следует из (6)3 и (14). Покажем, что из равенства (30) вытекает такое же равенство и для всей матрицы кривизны ∗Φ = ±Φ. (32) Доказательство одинаковое как для сигнатур s = ±4, так и для сигнатуры s = 0. Из (31)1 и b(ij) = 0 следует Φ00 = -2 b12 ω 1 ∧ ω 2 + b13 ω 1 ∧ ω 3 + b14 ω 1 ∧ ω 4 + + b23 ω 2 ∧ ω 3 + b24 ω 2 ∧ ω 4 + b34 ω 3 ∧ ω 4 . Будем для определенности считать, что s = ±4 и ∗Φ00 = Φ00 . Тогда, согласно (11), ∗ Φ00 = -2 b12 ω 3 ∧ ω 4 - b13 ω 2 ∧ ω 4 + b14 ω 2 ∧ ω 3 + + b23 ω 1 ∧ ω 4 - b24 ω 1 ∧ ω 3 + b34 ω 1 ∧ ω 2 . В компонентах ∗Φ00 = Φ00 означает, что b23 = b14 , b34 = b12 , b24 = -b13 , (33) тогда Φ00 = -2 b12 ω 1 ∧ ω 2 + b13 ω 1 ∧ ω 3 + b14 ω 1 ∧ ω 4 + + b14 ω 2 ∧ ω 3 - b13 ω 2 ∧ ω 4 + b12 ω 3 ∧ ω 4 . (34) Так как выполняются уравнения Максвелла (17) dΦ00 = 0, это приводит к следующим соотношениям на компоненты b12 , b13 и b14 : b12|3 - b13|2 + b14|1 = 0, b13|4 - b14|3 + b12|1 = 0, b12|4 - b14|2 - b13|1 = 0, b14|4 + b13|3 + b12|2 = 0. (35) Покажем, например, что ∗Φ1 = Φ1 . В силу (31)3 Φ1 = b12|1 ω 1 ∧ ω 2 + b13|1 ω 1 ∧ ω 3 + b14|1 ω 1 ∧ ω 4 + b13|2 - b12|3 ω 2 ∧ ω 3 + + b14|2 - b12|4 ω 2 ∧ ω 4 + b14|3 - b13|4 ω 3 ∧ ω 4 . Из (10) и (11) имеем ∗ Φ1 = b12|1 ω 3 ∧ ω 4 - b13|1 ω 2 ∧ ω 4 + b14|1 ω 2 ∧ ω 3 + b13|2 - b12|3 ω 1 ∧ ω 4 - - b14|2 - b12|4 ω 1 ∧ ω 3 + b14|3 - b13|4 ω 1 ∧ ω 2 . 640 Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . В силу равенств (35) получаем ∗Φ1 = Φ1 . Аналогично доказывается ∗Φi = Φi для любых i. Докажем теперь, что ∗Φji = Φji . Формула (16) в подробной записи дает ∗Φ21 = Φ43 , ∗Φ31 = -Φ42 , ∗Φ41 = Φ32 , ∗Φ32 = Φ41 , ∗Φ42 = -Φ31 , ∗Φ43 = Φ21 . (36) Из (31)2 и (33) имеем Φ21 = b13 ω 2 ∧ ω 3 + b14 ω 2 ∧ ω 4 - b14 ω 1 ∧ ω 3 + b13 ω 1 ∧ ω 4 , Φ43 = b13 ω 1 ∧ ω 4 + b14 ω 2 ∧ ω 4 - b14 ω 1 ∧ ω 3 + b13 ω 2 ∧ ω 3 , т. е. Φ21 = Φ43 . Отсюда в силу (36) получим ∗Φ21 = Φ21 и ∗Φ43 = Φ43 . Аналогично проверяются все остальные равенства ∗Φji = Φji . Итак, доказана формула (32) и Теорема 2. В случае равенства нулю тензора Вейля Cikjl = 0 и при сигнатурах s = ±4; 0 уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности имеют только автодуальные или антиавтодуальные решения, ∗Φ = ±Φ, причем вся матрица кривизны Φ вычисляется только через компоненты b[ij] 2-формы заряда Φ00 = 21 b[ij] ω j ∧ ω i . Уравнения Янга-Миллса (13) при условии (32) выполняются автоматически вследствие тождеств Бианки (7), поэтому уравнения Янга-Миллса сводятся к условиям дуальности, имеющим вид (33) и (35), на шесть кососимметричных функций bij (при сигнатуре s = 0 или антиавтодуальности матрицы Φ уравнения (33) и (35) заменяются аналогичными, получить которые не составляет никакого труда; мы их не записываем). 3. Автодуальные и антиавтодуальные решения уравнений Максвелла в евклидовом и псевдоевклидовом (сигнатура 0) 4-мерном пространстве. В предыдущем разделе мы доказали, что система уравнений Янга-Миллса (17)-(19) при сигнатуре угловой метрики s = ±4 и нулевом тензоре Вейля сводится к уравнениям (35) на три коэффициента 2-формы заряда Φ00 , заданной (34). Мы откалибровали квадратичную форму ψ = ηij ω i ω j угловой метрики на каждой карте так, чтобы она стала евклидовой на любой карте. Далее, уже локально, в окрестности фиксированной точки можно выбрать такие координаты u1 , u2 , u3 , u4 , чтобы формы Кристоффеля ωij стали нулевыми и ω i = dui . Тогда в уравнениях (35) ковариантные производные заменятся обычными частными производными по координатам. Полагая b12 = E1 , b13 = E2 , b14 = E3 , перепишем эти уравнения в виде ∂E1 ∂E2 ∂E3 - + = 0, ∂u3 ∂u2 ∂u1 ∂E1 ∂E2 ∂E3 - - = 0, ∂u4 ∂u1 ∂u2 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + - = 0, ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + + = 0. ∂u2 ∂u3 ∂u4 (37) Напомним, что (37) является просто компонентной записью уравнения Максвелла (17) dΦ00 = 0, где 2-форма Φ00 - автодуальная, ∗Φ00 = Φ00 , поэтому второе уравнение (17) совпадает с первым. Таким образом, решения уравнений (37) дают нам все автодуальные решения уравнений Максвелла в евклидовом 4-мерном пространстве. Система (37) переопределенная, поэтому 641 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. в первую очередь надо убедиться в ее разрешимости. Удобнее исходить из уравнения dΦ00 = 0, которое в подробной записи исходя из (34) имеет вид dE1 ∧ du1 ∧ du2 + du3 ∧ du4 + dE2 ∧ du1 ∧ du3 - du2 ∧ du4 + + dE3 ∧ du1 ∧ du4 + du2 ∧ du3 = 0. (38) Имеем одно внешнее уравнение 3-го порядка на три искомые функции. Согласно стандартной схеме исследования внешних систем уравнений (см. [7]), обозначая за si число внешних уравнений порядка i, где i = 1, 2, 3, 4, для числа Картана Q получаем Q = s1 + 2s2 + 3s3 + 4s4 = 3. Число N всех параметров также равно 3. Поэтому Q = N, следовательно, уравнение (38) в инволюции, и решения уравнения (38) существуют с произволом в одну функцию трех аргументов. Система (37) аналогична системе уравнений Коши-Римана для голоморфной функции одной комплексной переменной. Аналогия, во-первых, состоит в том, что как у голоморфной функции вещественная и мнимая части гармоничны, так и функции E1 , E2 , E3 , удовлетворяющие (37), также гармоничны. Действительно, дифференцируя первое уравнение по u3 , второе - по u1 , третье - по u4 , четвертое - по u2 и складывая, получим ∂ 2 E1 (∂u1 )2 + ∂ 2 E1 (∂u2 )2 + ∂ 2 E1 (∂u3 )2 + ∂ 2 E1 (∂u4 )2 = 0. Аналогично доказывается гармоничность функций E2 и E3 . Во-вторых, голоморфную функцию можно восстановить с точностью до константы, зная вещественную и мнимую части. Это же верно и для системы (37). Зная одну из функций E1 , E2 , E3 , остальные две определяются через нее с некоторым произволом, который мы оценим. Покажем, как восстановить функции E1 и E2 , зная гармоническую функцию E3 . В этом случае уравнение (38) не будет в инволюции, так как Q = 3, N = 2, поэтому уравнение (38) надо продолжать. Но короче получится, если исходить из системы (37). Умножим первое уравнение на du3 , второе - на du1 , третье - на du4 , четвертое - на du2 и сложим: dE1 - ∂E2 3 ∂E2 4 ∂E2 1 ∂E2 2 du - du + du + du + ∂u2 ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂E3 3 ∂E3 4 ∂E3 1 ∂E3 2 + du - du - du + du = 0. (39) ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u4 Дифференцируя это уравнение внешне и приравнивая к нулю коэффициенты перед dui ∧ duj , получим пять дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка на функцию E2 . Но в силу предположенной 642 Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . гармоничности функции E3 из них независимых только четыре: ∂ 2 E3 ∂ 2 E2 ∂ 2 E3 ∂ 2 E2 + , = - + ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u4 (∂u1 )2 (∂u3 )2 ∂ 2 E2 ∂ 2 E2 ∂ 2 E3 ∂ 2 E3 = - + + , (∂u2 )2 (∂u3 )2 ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u4 ∂ 2 E2 ∂ 2 E3 ∂ 2 E3 ∂ 2 E2 = - - + , (∂u1 )2 (∂u4 )2 ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u4 ∂ 2 E2 ∂ 2 E2 ∂ 2 E3 ∂ 2 E3 = - + + . ∂u4 ∂u2 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂u2 (40) Легко проверить, что равенства ∂ 2 E2 ∂ ∂u2 ∂u1 ∂u2 ∂ 2 E2 ∂ ∂u4 ∂u1 ∂u2 ∂ ∂ 2 E2 , ∂u1 (∂u2 )2 ∂ ∂ 2 E2 = , ∂u1 ∂u4 ∂u2 = ∂ 2 E2 ∂ ∂ 2 E2 ∂ = , ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 (∂u1 )2 ∂ ∂ 2 E2 ∂ 2 E2 ∂ = ∂u4 (∂u2 )2 ∂u2 ∂u4 ∂u2 совпадают, соответственно, с производной ∂u∂ 3 от 4-го уравнения (40), ∂u∂ 4 от 4-го уравнения, ∂u∂ 3 от 3-го уравнения и ∂u∂ 3 от 1-го уравнения. Следовательно, система (40) пассивная. Согласно принципу экономии начальных условий (см. [7]), параметрическая часть функции E2 получается из ее разложения в степенной ряд по степеням ui - ui0 , i = 1, 2, 3, 4, путем вычеркивания членов, делящихся на (u1 - u10 )2 , (u2 - u20 )2 , (u1 - u10 )(u2 - u20 ), (u2 - u20 )(u4 - u40 ), и имеет вид f1 (u3 , u4 ) + (u1 - u10 ) · f2 (u3 , u4 ) + (u2 - u20 ) · f3 (u3 ), где f1 , f2 , f3 - произвольные аналитические функции своих аргументов. Итак, система (40) имеет единственное решение E2 (u1 , u2 , u3 , u4 ) при следующих начальных условиях: E2 (u10 , u20 , u3 , u4 ) = f1 (u3 , u4 ), ∂E2 1 2 3 4 (u , u , u , u ) = f2 (u3 , u4 ), ∂u1 0 0 ∂E2 1 2 3 4 (u , u , u , u ) = f3 (u3 ). ∂u2 0 0 Найдя функцию E2 , из уравнения (39) находим функцию E1 с точностью до константы. Тот факт, что одну из функций E1 , E2 , E3 можно взять произвольной гармонической, позволяет получить большое число конкретных решений системы (37). Например, положим E3 = const. Тогда система (37) примет вид ∂E1 ∂E2 - = 0, ∂u3 ∂u2 ∂E1 ∂E2 + = 0, ∂u1 ∂u4 ∂E1 ∂E2 - = 0, ∂u4 ∂u1 ∂E1 ∂E2 + = 0. (41) ∂u2 ∂u3 Функции E1 и E2 удовлетворяют условиям Коши-Римана как по переменным u4 , u1 , так и по переменным u3 , u2 . Отсюда следует, что для любых 643 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. голоморфных функций f (u3 + i · u2 ) и g(u4 + i · u1 ), где i - мнимая единица, система (41) будет иметь решение E1 (u1 , u2 , u3 , u4 ) = Re f + Re g, E2 (u1 , u2 , u3 , u4 ) = Im f + Im g. (42) Понятно, что формулы (42) не дают общего решения системы (41), это просто пример. Если 2-форма Φ00 - антиавтодуальная и s = ±4, то уравнение Максвелла 0 dΦ0 = 0 сводится к следующей системе дифференциальных уравнений ∂E1 ∂E2 ∂E3 - - = 0, ∂u3 ∂u2 ∂u1 ∂E1 ∂E2 ∂E3 - + = 0, ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + - = 0, ∂u4 ∂u1 ∂u2 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + + = 0. ∂u2 ∂u3 ∂u4 (43) У этой системы все три функции E1 , E2 , E3 гармонические. Другие свойства такие же, как у системы (37) для автодуальной формы Φ00 . Обратимся теперь к сигнатуре s = 0. Если ∗Φ00 = Φ00 , то Φ00 = -2 E1 ω 1 ∧ ω 2 + E2 ω 1 ∧ ω 3 + E3 ω 1 ∧ ω 4 - - E3 ω 2 ∧ ω 3 + E2 ω 2 ∧ ω 4 + E1 ω 3 ∧ ω 4 . Уравнение dΦ00 = 0 проводит к системе ∂E1 ∂E2 ∂E3 - - = 0, ∂u3 ∂u2 ∂u1 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + - = 0, ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂E1 ∂E2 ∂E3 - - = 0, ∂u4 ∂u1 ∂u2 ∂E1 ∂E2 ∂E3 + - = 0. ∂u2 ∂u3 ∂u4 (44) Дифференцируя первое уравнение по u3 , второе - по u4 , третье - по u1 , четвертое - по u2 и складывая первое с четвертым и вычитая второе и третье, получим ∂ 2 E1 ∂ 2 E1 ∂ 2 E1 ∂ 2 E1 + - - = 0. (∂u3 )2 (∂u2 )2 (∂u1 )2 (∂u4 )2 Этому же уравнению удовлетворяют и функции E2 и E3 . Обратим внимание, что квадратичная форма псевдометрики имеет другие знаки: ψ = - du1 2 - du2 2 + du3 2 + du4 2 . (45) Как и система (37), система уравнений (44) совместна и допускает решение с произволом в одну функцию трех аргументов. Отметим, что каждая из систем (37) и (43) симметрична относительно перестановок функций E1 , E2 , E3 , а система (44) - нет. Например, если положить E3 = const, то система (44) совпадет с (41), а поэтому будет иметь место и решение (42). Но если положить E2 = const, то получится совсем другая система дифференциальных уравнений в частных производных: ∂E1 ∂E3 - = 0, ∂u3 ∂u1 644 ∂E1 ∂E3 - = 0, ∂u4 ∂u2 ∂E1 ∂E3 - = 0, ∂u1 ∂u3 ∂E1 ∂E3 - = 0. ∂u2 ∂u4 Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . Примером ее решения может служить следующая пара функций: E1 (u1 , u2 , u3 , u4 ) = f (u1 + u3 )+ + g(u1 - u3 ) + h(u2 + u4 ) + p(u2 - u4 ), E3 (u1 , u2 , u3 , u4 ) = f (u1 + u3 )- - g(u1 - u3 ) + h(u2 + u4 ) - p(u2 - u4 ), (46) где f, g, h, p - произвольные дифференцируемые функции от одной переменной. Такого решения не может иметь система (41). Наконец, при условии антиавтодуальности ∗Φ00 = -Φ00 система (44) заменится на ∂E1 ∂E2 ∂E3 ∂E1 ∂E2 ∂E3 - + = 0, - - = 0, 3 2 1 ∂u ∂u ∂u ∂u4 ∂u1 ∂u2 (47) ∂E1 ∂E2 ∂E3 ∂E1 ∂E2 ∂E3 - + = 0, - - = 0. ∂u1 ∂u4 ∂u3 ∂u2 ∂u3 ∂u4 На этот раз каждая из функций Ei удовлетворяет уравнению - ∂ 2 Ei (∂u1 )2 - ∂ 2 Ei (∂u2 )2 + ∂ 2 Ei (∂u3 )2 + ∂ 2 Ei (∂u4 )2 = 0. У этого уравнения знаки слагаемых такие же, как у псевдометрики (45). При E3 = const система (47) имеет решения, аналогичные (46), а при E2 = const - аналогичные (41) (с точностью до нумерации координат и искомых функций). 4. Уравнения Янга-Миллса для случая угловой метрики, конформной метрике Эйнштейна. Пусть теперь квадратичная форма ηij ω i ω j угловой метрики конформна метрике Эйнштейна. Калибровочным преобразованием перенормировки мы добьемся, чтобы угловая метрика удовлетворяла уравнению Эйнштейна Rij = κηij . (48) Из уравнения (22) с учетом R = 6b найдем 1 b(ij) = κηij . 3 (49) 1 Pij = - κηij . 6 (50) Из формулы (25) получаем Учитывая свойство тензора Вейля η mn Cimjn = 0, из формул (50) и (24) получаем для тензора Баха Bij = 0. Отсюда в силу (26) для тензора энергииимпульса заряда Φ00 получаем Tij = 0. Как мы уже показали, при сигнатуре s = ±2 и сам заряд равен нулю: Φ00 = 0, (51) ∗Φ00 = ±Φ00 . (52) а при сигнатурах s = ±4; 0 будет 645 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. В случае s = ±2 из (51) и (29) следует b[ij] = 0 и (49) превращается в 1 bij = κηij . 6 (53) Как известно, из (48) следует, что κ = const, поэтому из (31)3 , (53) и (14) имеем 1 1 Φi = bij ω j = κηij ω j = κηij Φj = 0. 6 6 Структурная формула для основного тензора 1 Φijmn = Cijmn + ηij ◦ b[mn] , 2 (54) доказанная в [8, cтр. 400], в силу b[ij] = 0 сводится к равенству Φijmn = Cijmn . Итак, при s = ±2 и условии (48) уравнения Янга-Миллса (17)-(19) равносильны (51) и (53). Следовательно, в матрице кривизны Φ не равны нулю лишь внешние 2-формы Φji , которые выражаются только через тензор Вейля. Иначе говоря, это нормальное пространство Картана с нулевым тензором Баха. Равенство нулю тензора Баха есть критерий выполнимости в нормальном пространстве Картана уравнений Янга-Миллса при любой сигнатуре метрики. Но из равенства нулю тензора Баха не следует конформности угловой метрики ψ метрике Эйнштейна (см. [9]). Совсем другая ситуация возникает при сигнатурах s = ±4; 0. В этих случаях вместо (51) выполняется (52). Заряд Φ00 уже может быть ненулевым. Основной тензор выражается через тензор Вейля и заряд по формуле (54). Имеем также c помощью (49) 1 1 1 1 def ωi = bij ω j = b(ij) ω j + b[ij] ω j = κηij ω j + b[ij] ω j . 2 2 6 2 Первое слагаемое при внешнем ковариантном дифференцировании дает нуль, поэтому для внешних 2-форм Φi из (31) получаем Φi = ωi = 1 2 1 b[ij] ω j = b[ij]|k ω k ∧ ω j . 2 Теми же вычислениями, что и в разделе 2, убеждаемся, что из (52) следует ∗Φi = ±Φi . Однако для 2-форм Φji равенства ∗Φji = ±Φji не выполняются. В самом деле, если мы в соответствии с формулой (54) введем 2-формы 1 σij = Cijmn ω m ∧ ω n , 2 1 βij = ηij ◦ b[mn] ω m ∧ ω n , 4 то легко показать, что ∗βij = ±βij (знак ± один и тот же для всех индексов i, j). Но для выполнения равенства ∗σij = ±σij нет никаких оснований, так как уравнения Янга-Миллса не меняют алгебраическую структуру тензора Вейля. При выполнении уравнений Янга-Миллса тензор Вейля имеет 646 Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях конформной связности без кручения. . . то же число существенных компонент, 10, что и без уравнений Янга-Миллса. Но автодуальные (антиавтодуальные) решения уравнений Янга-Миллса приводят к существенному ограничению на тензор Вейля, т. к. останется только 5 существенных компонент. Итак, для сигнатур s = ±4; 0 и угловой метрики, конформной метрике Эйнштейна, уравнения Янга-Миллса выполняются, только если: 1) ∗Φ00 = ±Φ00 ; 2) Φi выражаются через Φ00 и тоже удовлетворяют условиям ∗Φi = ±Φi ; 3) Φji выражаются через тензор Вейля и заряд по формуле (54). Выводы. Уравнения Янга-Миллса (13) на 4-многообразиях конформной связности без кручения независимо от сигнатуры угловой метрики ηij ω i ω j распадаются на три группы уравнений. Первые две группы уравнений - это уравнения Эйнштейна (22) и уравнения Максвелла (17). Третья группа уравнений (26) представляет собой равенство тензора Баха (24) квадратичной формы ηij ω i ω j и тензора энергии-импульса (28) кососимметричного тензора заряда b[ij] . Если пространство конформной связности имеет кручение, то не возникает никаких отдельных групп уравнений, и уравнения Янга-Миллса представляют собой очень сложную систему из 60 дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных на 60 неизвестных функций от 4 локальных координат. Авторам пока неизвестно ни одно частное решение уравнений Янга-Миллса в пространстве конформной связности с кручением. Напротив, в пространстве без кручения при наличии определенных упрощающих условий можно привести некоторые решения уравнений Янга-Миллса в явном виде. Одним из таких упрощающих условий является требование (анти)автодуальности ∗Φ = ±Φ. Если при сигнатуре Минковского s = ±2 у уравнений Янга-Миллса имеются только тривиальные (анти)автодуальные решения, соответствующие нулевой матрице кривизны Φ = 0, то при других сигнатурах существуют и нетривиальные решения, когда Φ = 0. В данной статье доказывается (анти)автодуальность матрицы кривизны Φ в случае равенства нулю тензора Вейля (теорема 2), а также устанавливается связь между (анти)автодуальностью некоторых компонент матрицы кривизны Φ и эйнштейновостью метрики ηij ω i ω j . Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Leonid N Krivonosov

Nizhny Novgorod State Technical University

Email: l.n.krivonosov@gmail.com
24, Minina st., Nizhnii Novgorod, 603600, Russian Federation
http://orcid.org/0000-0002-3533-9595 Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics

Vyacheslav A Luk’yanov

Nizhny Novgorod State Technical University

Email: oxyzt@ya.ru
24, Minina st., Nizhnii Novgorod, 603600, Russian Federation
http://orcid.org/0000-0002-7294-0232 Cand. Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics

References

  1. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань: Казан. ун-т, 1962. 210 с.
  2. Кривоносов Л. Н., Лукьянов В. А. Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна и Максвелла // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2009. Т. 2, № 4. С. 432-448.
  3. Atiyah M. F., Hitchin N. J., Singer I. M. Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry // Proc. Roy. Soc. London. Series A, 1978. vol. 362, no. 1711. pp. 425-461.doi: 10.1098/rspa.1978.0143.
  4. Singerland I. M., Thorpe J. A. The curvature of 4-dimensional Einstein spaces / Global Analysis: Papers in Honor of K. Kodaira (PMS-29). Princeton: Princeton University Press, 2015. pp. 355-365. doi: 10.1515/9781400871230-021.
  5. Sucheta Koshti, Naresh Dadhich The General Self-dual solution of the Einstein Equations, 1994, arXiv: gr-qc/9409046.
  6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1973. 504 с.
  7. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.: ГИТТЛ, 1948. 432 с.
  8. Кривоносов Л. Н., Лукьянов В. А. Уравнения Эйнштейна на четырехмерном многообразии конформной связности без кручения // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2012. Т. 5, № 3. С. 393-408.
  9. Korzyjński M., Levandowski J. The Normal Conformal Cartan Connection and the Bach Tensor // Class. Quant. Grav., 2003. vol. 20, no. 16. pp. 3745-3764, arXiv: gr-qc/0301096v3. doi: 10.1088/0264-9381/20/16/314.

Statistics

Views

Abstract - 34

PDF (Russian) - 18

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies