A boundary value problem for a third order hyperbolic equation with degeneration of order inside the domain

Abstract


In this paper we study the boundary value problem for a degenerating third order equation of hyperbolic type in a mixed domain. The equation under consideration in the positive part of the domain coincides with the Hallaire equation, which is a pseudoparabolic type equation. Moreover, in the negative part of the domain it coincides with a degenerating hyperbolic equation of the first kind, the particular case of the Bitsadze-Lykov equation. The existence and uniqueness theorem for the solution is proved. The uniqueness of the solution to the problem is proved with the Tricomi method. Using the functional relationships of the positive and negative parts of the domain on the degeneration line, we arrive at the convolution type Volterra integral equation of the 2nd kind with respect to the desired solution by a derivative trace. With the Laplace transform method, we obtain the solution of the integral equation in its explicit form. At last, the solution to the problem under study is written out explicitly as the solution of the second boundary-value problem in the positive part of the domain for the Hallaire equation and as the solution to the Cauchy problem in the negative part of the domain for a degenerate hyperbolic equation of the first kind.

Full Text

Введение. В евклидовой плоскости точек (x, y) рассматривается уравнение вида uy - auxx - buxxy , y > 0, 0= (1) (-y)m uxx - uyy - c(-y)(m-2)/2 ux , y < 0, где a, b, m - заданные положительные числа; |c| m/2; u = u(x, y) - искомая действительная функция независимых переменных x и y. Уравнение (1) при y > 0 совпадает с уравнением Аллера [1]: ∂ ∂u ∂2u ∂u = a +b , ∂y ∂x ∂x ∂x∂y (2) а при y < 0 - с вырождающимся гиперболическим уравнением первого рода [2]: (-y)m uxx - uyy - c(-y)(m-2)/2 ux = 0. (3) Уравнение (2) относят к уравнениям псевдопарабролического типа [3], хотя оно является уравнением гиперболического типа. При определенных допущениях уравнение (2) описывает движение влаги в капиллярно-пористых средах [4] и его решение «интерпретируется как влажность почвы с коэффициентом диффузии a и коэффициентом влагопроводности b в точке x почвенного слоя 0 x r в момент времени y ∈ [0, T ]» [5]. Изучению краевых задач для уравнений третьего порядка псевдопараболического типа, в частности для уравнения Аллера, посвящены такие работы, как [6-12]. Уравнение (3) является уравнением гиперболического типа и при m = 2 его называют уравнением Бицадзе-Лыкова [13-15]. При c = 0 уравнение (3) переходит в уравнение Геллерстедта, которое находит применение к отыскании оптимальной формы плотины прорези [16]. В работах [17, 18] были изучены первая и вторая задачи Дарбу для уравнения (3). Исследованию различных краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений посвящены работы [2, 19-22]. Постановка задачи и полученный результат. Пусть Ω+ = {(x, y) : 0 < x < r, 0 < y < T }. Через Ω- обозначим область, ограниченную характеристиками уравнения (3): A0 C : x - 2 (-y)(m+2)/2 = 0, m+2 Ar C : x + 2 (-y)(m+2)/2 = r, m+2 выходящими из точек A0 = (0, 0), Ar = (r, 0) и пересекающимися в точке C = r/2, -[(m + 2)r/4]2/(m+2) , и отрезком A0 Ar = {(x, 0) : 0 < x < r}. Пусть B0 = (0, T ), Br = (r, T ) и A0 B0 = {(0, y) : 0 < y < T }, Ar Br = {(r, y) : 0 < y < T }; Ω = Ω+ ∪ Ω- ∪ (A0 Ar ). 652 Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка. . . Определение. Регулярным в области Ω решением уравнения (1) назовем функцию u = u(x, y) такую, что u ∈ C(Ω)∩C 1 (Ω)∩C 2 (Ω- ), uxx , uxxy ∈ C(Ω+ ), uxx (x, 0), uxxy (x, 0) ∈ L1 (A0 Ar ), и удовлетворяющую уравнению (1). Исследуется следующая Задача. Найти регулярное в области Ω решение уравнения (1) из класса ux ∈ C(A0 B0 ∪ Ar Br ), удовлетворяющее следующим условиям: ux (0, y) = ν(y), 0 y T, ux (r, y) = νr (y), 0 y T, u|CAr = hr (x), r/2 x r, (4) (5) (6) где ν(y), νr (y) ∈ C 1 [0, T ], hr (x) ∈ C 3 [0, r]. Имеет место следующая Теорема. Регулярное решение задачи (4)-(6) для уравнения (1) существует и оно единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Единственность решения. Положим u(x, 0) = ϕ(x), 0 x uy (x, 0) = ψ(x), 0 < x r, r. (7) (8) Из (2), переходя к пределу при y → +0 с учетом (7) и (8), находим функциональное соотношение между функциями ϕ(x) и ψ(x), принесенное из области Ω+ на линию y = 0, в виде ψ(x) - aϕ (x) - bψ (x) = 0. (9) Проинтегрировав равенство (9) дважды в пределах от x до r, получим x aϕ(x)+bψ(x)- (x-ξ)ψ(ξ)dξ = aϕ(r)+bψ(r)-(r-x) aϕ (r) + bψ (r) . (10) r Пользуясь формулой нахождения производной по заданному направлению [23, п. 184], запишем следующую формулу для функции hr (x): hr (x) = uy (x, y)yx + ux (x, y), ∀(x, y) ∈ CAr . (11) Для любых точек (x, y) ∈ CAr из (11) получаем uy (x, y) = hr (x) - ux (x, y) m+2 (r - x) 2 m/(m+2) . (12) Так как uy (x, 0) ∈ L1 (A0 Ar ), из формулы (12) верно, что uy (r, 0) = ψ(r) = 0. Тогда с учетом условий согласования ϕ(r) = hr (r), ϕ (r) = νr (0), ψ (r) = νr (0) равенство (10) можно переписать в виде ϕ(x) = 1 -2 b b D ψ(ξ) - ψ(x) + hr (r) - (r - x) νr (0) + νr (0) . a rx a a (13) 653 М а к а о в а Р. Х. γ Через Drx обозначим оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля по переменной x порядка γ с началом в точке r и с концом в точке x, определяемый следующим образом [16]: sign(x - r) Γ(-γ) γ Drx v(ξ) = x r v(ξ)dξ , |x - ξ|γ+1 γ Drx v(ξ) = v(x), dn γ-n D v(ξ), dxn rx где Γ(z) - гамма-функция Эйлера. Рассмотрим интеграл n γ Drx v(ξ) = sign(x - r) γ = 0; γ ∈]n - 1, n], n = 1, 2, . . . , r I= γ < 0; r u(x, 0)uy (x, 0)dx = ϕ(x)ψ(x)dx. 0 (14) 0 Из (13) и (14) при однородных краевых условиях (4)-(6) получим I= r 1 a -2 ψ(x)Drx ψ(ξ)dx - 0 b ψ(x) 20 , a (15) r где f 2 0 f 2 (x)dx - норма в L2 [0, r]. = 0 Интеграл, стоящий в правой части равенства (15), перепишем в виде r -2 (ψ, Drx ψ)0 = r (ξ - x)ψ(ξ)dξdx = ψ(x) 0 x r = ξ ψ(ξ)dξ 0 0 -2 ψ)0 , (ξ - x)ψ(x)dx = (ψ, D0x откуда находим r -2 (ψ, D0x ψ)0 = r (r - x)ψ(x)dx 0 r 0 2 x ψ(x)dx - ψ(ξ)dξ 0 dx, (16) 0 r где (f, g)0 = f (x)g(x)dx - скалярное произведение в пространстве L2 [0, r]. 0 Далее проинтегрируем уравнение (2) по переменной x в пределах от 0 до r. С учетом (4) и (5) имеем r r uy (x, y)dx = 0 0 ∂ ∂u ∂2u a +b dx = aνr (y) + bνr (y) - aν(y) - bν (y). ∂x ∂x ∂x∂y Отсюда, когда условия (4) и (5) однородные, находим r uy (x, y)dx = 0, 0 654 0 y T. (17) Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка. . . Следовательно, из (16) с учетом условия (17) получаем оценку -2 ψ, Drx ψ 0 -2 = ψ, D0x ψ 2 x =- 0 ψ(ξ)dξ 0 0, 0 при использовании которой из (15) следует неравенство I=- b ψ(x) a 2 0 - 2 x 1 a ψ(ξ)dξ 0 0. (18) 0 Для того чтобы получить соотношение между ϕ(x) и ψ(x), принесенное из области Ω- на линию y = 0, выпишем решение задачи Коши (7), (8) для уравнения (3) [2]: u(x, y) = 1 2 (-y)(m+2)/2 (2t - 1) tβ-1 (1 - t)α-1 dt+ m + 2 0 1 y 2 + ψ x+ (-y)(m+2)/2 (2t - 1) × B(1 - α, 1 - β) 0 m+2 m × t-α (1 - t)-β dt, |c| < ; (19) 2 1 B(α, β) ϕ x+ 2 (-y)(m+2)/2 + m+2 1 2y 2 + ψ x+ (-y)(m+2)/2 (2t - 1) (1 - t)-β dt, m+2 0 m+2 u(x, y) = ϕ x + 2 (-y)(m+2)/2 + m+2 1 2y 2 + ψ x+ (-y)(m+2)/2 (1 - 2t) (1 - t)-α dt, m+2 0 m+2 c= m ; (20) 2 c=- m , (21) 2 |c| < m ; (22) 2 u(x, y) = ϕ x - где α= m - 2c , 2(m + 2) β= m + 2c , 2(m + 2) а B(γ, z) - бета-функция. Учитывая условие (6), перепишем (19)-(21) в виде hr r+x (r - x)1-α-β Γ(β) -β = Drx (r - ξ)α-1 ϕ(ξ) - 2 B(α, β) Γ(1 - α) m + 2 2/(m+2) α-1 - Drx (r - ξ)-β ψ(ξ) , B(1 - α, 1 - β) 4 hr r+x 1 m+2 = ϕ(r) - 2 2 4 -β -1 Drx (r - ξ)-β ψ(ξ) , c= m ; 2 (23) 655 М а к а о в а Р. Х. hr r+x Γ(1 - α) m + 2 = ϕ(x) - 2 2 4 -α α-1 Drx ψ(ξ), c=- m . 2 (24) Для любой функции v(x) ∈ L1 [0, r] справедливы следующие свойства дробного интегро-дифференцирования с одинаковыми началами [13]: α1 -β1 α1 -β1 v(ξ), Drx Drξ v(s) = Drx 0 < α1 β1 ; β1 α1 +β1 α1 v(s) = |x - r|β1 Drx |ξ - r|α1 v(ξ), Drx |ξ - r|α1 +β1 Drξ β1 < 0, 0 α1 < 1, с применением которых из (22)-(24) функция ψ(x) выражается следующим образом: d2 1-α-β (r - x)β 1-α r+ξ m Drx ϕ(ξ) - Drx hr , |c| < ; d1 d1 2 2 β (r - x) m r+x ψ(x) = - , c= ; hr 2d3 2 2 1 1-α r+ξ m 1 1-α , c=- , ψ(x) = Drx ϕ(ξ) - Drx hr d4 d4 2 2 ψ(x) = (25) (26) (27) где m+2 4 d1 = - α - β) , Γ(1 - β) 2/(m+2) Γ(2 d2 = Γ(α + β) , Γ(α) 1 m + 2 -β 1 m + 2 -α , d4 = Γ(1 - α). 2 4 2 4 Подставляя найденные значения (25)-(27) функции ψ(x) при hr (x) = 0, из (14) имеем: d3 = I= d2 d1 r 1-α-β ϕ(x)Drx ϕ(ξ)dx, 0 I = 0, I= 1 d4 c= r |c| < m ; 2 m ; 2 1-α ϕ(x)Drx ϕ(ξ)dx, (28) (29) c=- 0 m . 2 (30) Известно [24], что для любой абсолютно непрерывной на [0, r] функции v(x) при v(r) = 0 справедливо неравенство γ v(x)Drx v(ξ) 1 γ 2 D v (ξ), 2 rx 0<γ 1. Тогда с учетом (31) и представления γ 2 Drx v (ξ) = - из (28) и (30) имеем 656 1 Γ(1 - γ) r x 2v(ξ)v (ξ) dξ (ξ - x)γ (31) Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка. . . I r d2 2d1 1-α-β 2 Drx ϕ (ξ)dx = 0 = I 1 2d4 d2 2d1 Γ(α + β) r 1-α 2 Drx ϕ (ξ)dx = 0 r xα+β-1 ϕ2 (x)dx 0, |c| < 0 r 1 2d4 Γ(α) xα-1 ϕ2 (x)dx c=- 0, 0 m ; (32) 2 m . 2 (33) Таким образом, из (32) и (33) получаем, что I 0. С другой стороны, из (18) имеем, что I 0. Следовательно, I = 0 при -m/2 c < m/2 , которое имеет место тогда и только тогда, когда ϕ(x) = 0. Тогда, как видно из (25) и (27), функция ψ(x) = 0. При c = m/2 из (18) и (29) следует, что ψ(x) = 0, и тогда из (13) получаем, что и ϕ(x) = 0. При этом из формул (19)-(21) имеем u(x, y) ≡ 0 в области Ω- . В области Ω+ задача для уравнения (1) совпадает со второй краевой задачей для уравнения Аллера, решение которого выписывается в виде [25]: r ϕ(ξ) - bϕ (ξ) G(x, y; ξ, 0)dξ+ u(x, y) = 0 y + G(x, y; r, η) aνr (η) + bνr (η) dη- 0 y - G(x, y; 0, η) aν(η) + bν (η) dη, (34) 0 где G(x, y; ξ, η) = 1 2 + r r ∞ n=1 1 aµn exp - (y - η) × 1 + bµn 1 + bµn πn √ √ × cos ( µn ξ) cos ( µn x) , µn = r 2 . При однородных условиях (4), (5) и (7) из представления (34) находим, что u(x, y) ≡ 0 в области Ω+ . Таким образом, однородная задача соответствующая задаче (4)-(6) для уравнения (1), имеет только тривиальное решение, откуда следует единственность регулярного решения исследуемой задачи. Существование решения. Перейдем к доказательству существования решения исследуемой задачи. Из (22)-(24) верно, что ϕ(x) = d1 α+β-1 D ψ(ξ)+ d2 rx (r - x)1-α β r+ξ + Drx (r - ξ)α+β-1 hr d2 2 -1 ϕ(r) = d3 Drx (r - ξ)-β ψ(ξ) + hr r+x , 2 , c= |c| < m ; 2 m ; (35) 2 (36) 657 М а к а о в а Р. Х. α-1 ϕ(x) = d4 Drx ψ(ξ) + hr r+x , 2 c=- m . 2 (37) Исключая функцию ϕ(x) из (13) и соотношений (35)-(37), относительно функции ψ(x) получим следующие равенства: 1 -2 m ad1 α+β-1 Drx ψ(ξ) - Drx ψ(ξ) = fβ (x), |c| < ; bd2 b 2 r+x (r - x)β m hr ψ(x) = - , c= ; 2d3 2 2 1 -2 m a α-1 Drx ψ(ξ) - Drx ψ(ξ) = f0 (x), c = - , ψ(x) + bd4 b 2 ψ(x) + (38) (39) (40) где fβ (x) = a a hr (r) - (r - x) νr (0) + νr (0) - b b a(r - x)1-α β r+ξ - Drx (r - ξ)α+β-1 hr bd2 2 . С учетом равенства γ Drγ r-x ψ(ξ) = D0x ψ(r - ξ), γ<0 после замены x на (r - x), когда ψ(r - x) = q(x) и fβ (r - x) = w(x), из (38) получим ad1 α+β-1 1 -2 q(x) + q(ξ) - D0x q(ξ) = w(x). (41) D bd2 0x b Уравнение (41) представляет собой уравнение Вольтерра второго рода типа свертки. Следовательно, при w(x) ∈ L1 [0, r] оно имеет единственное решение. В силу представления оператора дробного интегрирования перепишем уравнение (41) в виде q(x) + ad1 1 q(x) ∗ x-α-β - q(x) ∗ x = x ∗ W (x) . bd2 b (42) x Здесь f (x)∗g(x) = f (x-ξ)g(ξ)dξ - свертка функций f (x) и g(x); W (x) = 0 2 w(ξ). = D0x Пусть Q(p) и W ∗ (p) являются изображениями функций q(x) и W (x) по Лапласу: q(x) Q(p), W (x) W ∗ (p). Применяя преобразование Лапласа, из (42) находим Q(p) = W ∗ (p) , ∆(p)p2 где ∆(p) = 1 + 658 ad1 1 - 2. 1-α-β bp bd2 p (43) Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка. . . Так как при достаточно больших значениях p имеет место равенство ∞ 1 , ∆(p) e-∆(p)t dt = 0 равенство (43) можно переписать в виде ∞ e-∆(p)t ∗ W (p)dt. p2 Q(p) = 0 (44) Найдем обратное преобразование Лапласа к уравнению (44). Для этого -γ воспользуемся известной формулой xk-1 φ(γ, k; zxγ ) p-k ezp [26]: ∞ q(x) = e-t W (x) ∗ φ 1 - α - β; 1; - 0 где ∞ φ(γ, k; t) = n=0 ad1 1-α-β 1 ∗ φ 2; 1; tx2 tx bd2 b dt, (45) tn n!Γ(nγ + k) - функция Райта. Воспользовавшись обозначениями, введенными в работе [27]: ∞ Gkn ≡ Gkn (x; λ1 , . . . , λn ; γ1 , . . . , γn ) = 0 k Sn (x; λ1 t, . . . , λn t; γ1 , . . . , γn ) e-t Snk (x; λ1 t, . . . , λn t; γ1 , . . . , γn )dt, = (h1 ∗ h2 ∗ · · · ∗ hn )(x), n hi = hi (x) = xki -1 φ(γi , ki ; λi txγi ), i = 1, 2, . . . , n; k= ki , i=1 решение (45) можно переписать в виде ∞ ψ(r - x) = q(x) = ad1 1 t, t; 1 - α - β, 2 dt = bd2 b x ad1 1 , ; 1 - α - β, 2 dξ. = W (ξ)G22 x - ξ; - bd2 b 0 e-t W (x) ∗ S22 x; - 0 Таким образом, переобозначив в последнем равенстве (r - x) через x и выполнив подстановку t = r - ξ под знаком интеграла, получим r-x ad1 1 , ; 1 - α - β, 2 dξ = bd2 b r ad1 1 = fβ (t)G22 t - x; - , ; 1 - α - β, 2 dt. (46) bd2 b x w (ξ)G22 r - x - ξ; - ψ(x) = 0 При β = 0 из (46) получаем решение уравнения (40) в виде x f0 (t)G22 t - x; - ψ(x) = r ad1 1 , ; 1 - α, 2 dt. b b (47) 659 М а к а о в а Р. Х. Из (13), (35) и (37) при подстановке формул (39), (46) и (47) функция ϕ(x) находится однозначно. Следовательно, после нахождения функций ϕ(x) и ψ(x) решение задачи (4)-(6) для уравнения (2) в области Ω+ находится по формуле (34), а в области Ω- решение задачи Коши для уравнения (3) выписывается по одной из формул (19)-(21). Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена. Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.

About the authors

Ruzanna Kh Makaova

Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Centre of RAS

Email: makaova.ruzanna@mail.ru
89 a, Shortanova st., Nal’chik, 360000, Russian Federation
http://orcid.org/0000-0003-4095-2332 Junior Researcher; Dept. of Mixed Type Equations

References

  1. Hallaire M. Potential efficace de l’eau dans le sol en régime de dessèchement / Assemblée générale de Berkeley=General Assembly of Berkeley, Publ. no. 62 (August 1963). Gentbrugge, 1963. pp. 114-122, http://hydrologie.org/redbooks/a062/iahs_062_0114.pdf.
  2. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977. 158 с.
  3. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal., 1970. vol. 1, no. 1. pp. 1-26. doi: 10.1137/0501001.
  4. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.
  5. Нахушев А. М. Об одном классе нагруженных уравнений в частных производных дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2012. Т. 14, № 1. С. 51-57.
  6. Баренблатт Г. И., Желтов И. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // ПММ, 1960. Т. 24, № 5. С. 852-864.
  7. Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J. IInstability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation $u_t = u_{xx} - u_{xtx}$ on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal., 1965. vol. 19, no. 2. pp. 100-116. doi: 10.1007/BF00282277.
  8. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Differ. Equations, 1972. vol. 12, no. 3. pp. 559-565. doi: 10.1016/0022-0396(72)90025-3.
  9. Янгарбер В. А. О смешанной задаче для модифицированного уравнения влагопереноса // ПМТФ, 1967. № 1. С. 91-96.
  10. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 4. С. 689-699.
  11. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 2. С. 280-285.
  12. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, № 6. С. 763-774.
  13. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
  14. Репин О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Дифференц. уравнения, 2002. Т. 38, № 10. С. 1412-1417.
  15. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения Бицадзе-Лыкова // Изв. вузов. Матем., 2010. № 3. С. 28-35.
  16. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  17. Кальменов Т. Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения, 1971. Т. 7, № 1. С. 178-181.
  18. Кальменов Т. Ш. О задаче Дарбу для одного вырождающегося уравнения // Дифференц. уравнения, 1974. Т. 10, № 1. С. 59-68.
  19. Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Матем. заметки, 1992. Т. 51, № 3. С. 91-96.
  20. Репин О. А., Кумыкова С. К. Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1(34). С. 37-47. doi: 10.14498/vsgtu1280.
  21. Балкизов Ж. А. Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Владикавк. матем. журн., 2016. Т. 18, № 2. С. 19-30.
  22. Балкизов Ж. А. Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки, 2016. № 1. С. 5-10. doi: 10.18522/0321-3005-2016-1-5-10.
  23. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Физматлит, 2003. 680 с.
  24. Балкизов Ж. А. Первая краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с вырождением типа и порядка в области гиперболичности // Уфимск. матем. журн., 2017. Т. 9, № 2. С. 25-39.
  25. Макаова Р.Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2015. Т. 17, № 3. С. 35-38.
  26. Wright E. M. The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math. Oxford Ser., 1940. vol. os-11, no. 1. pp. 36-48. doi: 10.1093/qmath/os-11.1.36.
  27. Псху А. В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Матем. сб., 2011. Т. 202, № 4. С. 111-122. doi: 10.4213/sm7645.

Statistics

Views

Abstract - 37

PDF (Russian) - 4

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies