A large-scale layered stationary convection of a incompressible viscous fluid under the action of shear stresses at the upper boundary. Temperature and presure field investigation

Abstract


In this paper a new exact solution of an overdetermined system of Oberbeck-Boussinesq equations that describes a stationary shear flow of a viscous incompressible fluid in an infinite layer is under study. The given exact solution is a generalization of the Ostroumov-Birich class for a layered unidirectional flow. In the proposed solution, the horizontal velocities depend only on the transverse coordinate z. The temperature field and the pressure field are three-dimensional. In contradistinction to the Ostroumov-Birich solution, in the solution presented in the paper the horizontal temperature gradients are linear functions of the z coordinate. This structure of the exact solution allows us to find a nontrivial solution of the Oberbeck-Boussinesq equations by means of the identity zero of the incompressibility equation. This exact solution is suitable for investigating large-scale flows of a viscous incompressible fluid by quasi-two-dimensional equations. Convective fluid motion is caused by the setting of tangential stresses on the free boundary of the layer. Inhomogeneous thermal sources are given on both boundaries. The pressure in the fluid at the upper boundary coincides with the atmospheric pressure. The paper focuses on the study of temperature and pressure fields, which are described by polynomials of three variables. The features of the distribution of the temperature and pressure profiles, which are polynomials of the seventh and eighth degree, respectively, are discussed in detail. To analyze the properties of temperature and pressure, algebraic methods are used to study the number of roots on a segment. It is shown that the background temperature and the background pressure are nonmonotonic functions. The temperature field is stratified into zones that form the thermocline and the thermal boundary layer near the boundaries of the fluid layer. Investigation of the properties of the pressure field showed that it is stratified into one, two or three zones relative to the reference value (atmospheric pressure).

Full Text

Научная статья cb Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования Б у р м а ш е в а Н. В., П р о с в и р я к о в Е. Ю. Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости под действием касательных напряжений на верхней границе. Исследование полей температуры и давления // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 4. С. 736-751. doi: 10.14498/vsgtu1568. 736 Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости. . . Введение. Изучение конвективных течений вязкой несжимаемой жидкости является одной из главных проблем при описании природных явлений и конструировании технических устройств. Нелинейность процессов перемешивания, протекающих в жидкости или газе, требует повышенного внимания к методам, позволяющим изучить распределение гидродинамических полей в расчетной области. Понятно, что для описания потоков несжимаемых сред необходимо иметь определенный запас точных решений уравнений движения. При описании неизотермических течений вязкой несжимаемой жидкости в условиях нормальной гравитации наибольшее распространение получила конвекция, описываемая уравнениями Обербека-Буссинеска [1-3]. Несмотря на приближенность уравнений Обербека-Буссинеска, в которых пренебрегают сжимаемостью вязкой жидкости, они очень сложно поддаются аналитическому исследованию. Первый класс точных решений был предложен Г. А. Остроумовым [4] и Р. В. Бирихом [5]. Характерной особенностью семейства точных решений Остроумова-Бириха является равенство нулю вертикальной скорости и одной из горизонтальных скоростей. Таким образом, точное решение Остроумова-Бириха описывает однонаправленное конвективное течение (Vx ; 0; 0) вязкой несжимаемой жидкости. Данное точное решение было получено повторно независимо от представителей пермской гидродинамической школы в статьях [6, 7]. К настоящему времени течение Остроумова-Бириха многократно обобщалось, использовалось при решении задач устойчивости и для описания гидрологических и технологических процессов [8-18]. Другим направлением, обобщающим класс течений типа Остроумова-Бириха, является представление поля скоростей суперпозицией однонаправленных горизонтальных течений. В этом случае слоистое движение жидкости (Vx ; Vy ; 0) имеет сдвиговый 737 Б у р м а ш е в а Н. В., П р о с в и р я к о в Е. Ю. характер [19-33]. Понятно, что указанное обобщение оказалось востребованным для решения задач геофизической гидродинамики. О новых свойствах конвективных течений вращающейся вязкой несжимаемой жидкости можно узнать из библиографических источников [34-37]. Точные решения типа Бириха-Остроумова и их модификации оказались эффективными для описания противотечений в вязкой несжимаемой жидкости. Известно, что при крупномасштабных течениях несжимаемых сред противотечения в жидкости могут иметь термическое происхождение, обусловленное нелинейным взаимодействием жидких частиц [10-17, 20-27, 29, 30, 34, 38]. Для моделирования геофизических течений вязкой несжимаемой жидкости в качестве граничных условий задаются касательные напряжения на границе атмосферы и океана. Очевидно, что тангенциальные силы могут быть вызваны различными факторами. Существенную роль играет и термокапиллярный эффект, влияние которого на противотечение было изучено в статьях [22-24, 29, 30]. Обобщение результатов, анонсированных в [22-24, 29, 30], осуществлено в статье [25]. Было показано, что поле скоростей может иметь две застойные точки, что является принципиальным отличием от слоистой конвекции Марангони. Учитывая нахождение новых физических эффектов при учете касательных напряжений при течении жидкости в бесконечном слое, в данной статье достаточно подробно изучаются поля температуры и давления. 1. Постановка задачи. Система уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска [2] в случае стационарных сдвиговых течений (Vx ; Vy ; 0) принимает вид ∂Vx ∂P ∂Vx + Vy =- + ν Vx , ∂x ∂y ∂x ∂Vy ∂Vy ∂P Vx + Vy =- + ν Vy , ∂x ∂y ∂y ∂P = gβT, ∂z ∂T ∂T Vx + Vy = χ T, ∂x ∂y ∂Vx ∂Vy + = 0. ∂x ∂y Vx (1) Здесь P (x, y, z) - отклонение давления от гидростатического, деленное на постоянную среднюю плотность ρ жидкости; T (x, y, z) - отклонение от отсчетного значения температуры; ν, χ - коэффициенты кинематической вязкости ∂2 ∂2 ∂2 и температуропроводности жидкости соответственно; = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 - оператор Лапласа. Система (1) переопределена, поскольку из пяти уравнений в частных производных необходимо вычислить четыре функции. В [25-30,34] показано, что эта система разрешима в классе Vx = u(z), Vy = v(z). (2) Поле скоростей (2) тождественно удовлетворяет уравнению несжимаемости системы (1), что позволяет исключить «лишнее» уравнение. 738 Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости. . . Поля давления и температуры в этом случае линейны по горизонтальным (продольным) координатам x и y: T = T0 (z) + T1 (z)x + T2 (z)y, P = P0 (z) + P1 (z)x + P2 (z)y. (3) Подстановка разложения (2), (3) в первое уравнение системы (1) приводит к уравнению 0=- ∂2 ∂2 ∂2 ∂ P0 (z) + P1 (z)x + P2 (z)y + ν + + u(z). ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Совершая очевидные преобразования и пользуясь методом неопределенных коэффициентов, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее баланс вязких сил и градиента давления νu = P1 . Здесь и далее штрих обозначает дифференцирование по координате z. Аналогичным образом система уравнений тепловой конвекции может быть приведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида T1 = 0, P1 = gβT1 , νu = P1 , T2 = 0, P2 = gβT2 , νv = P2 , (4) χT0 = uT1 + vT2 , P0 = gβT0 . Более подробно получение системы (4) изложено в [25]. Система уравнений (4) имеет общее решение, которое является полиномиальным [21-29]. Далее сформулируем граничные условия, определяющие конвективное течение вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном слое. Полагаем, что нижняя граница бесконечного слоя жидкости является абсолютно твердой и неподвижной, а верхняя - свободной. Будем считать, что свободная поверхность является недеформируемой. В качестве краевых условий рассмотрим следующие граничные возмущения полей скорости, температуры и давления [25]: - на нижней термоизолированной (T (x, y, 0) = 0) границе (z = 0) слоя жидкости выполняется условие прилипания: Vx (0) = Vy (0) = 0; - на верхней границе (z = h) действует постоянное давление P (x, y, h) = S, а температура задается линейной функцией (нагрев или охлаждение) T (x, y, h) = ϑ + Cx + Dy; 739 Б у р м а ш е в а Н. В., П р о с в и р я к о в Е. Ю. - кроме того, на свободной поверхности z = h заданы касательные напряжения dVy dVx η = ξ1 , η = ξ2 . dz dz Учитывая структуру класса точных решений (2), (3), сформулированные выше граничные условия записываются следующим образом: u(0) = v(0) = 0, T0 (0) = 0, T1 (0) = 0, T2 (0) = 0, T0 (h) = ϑ, T1 (h) = C, T2 (h) = D, P0 (h) = S, P1 (h) = 0, P2 (h) = 0, dv du η (h) = ξ1 , η (h) = ξ2 . dz dz Без ограничения общности полагаем S = 0. Другими словами, будем вести отсчет приведенного давления от уровня, задаваемого на верхней границе слоя жидкости. 2. Решение системы уравнений. Интегрирование системы (4) в силу краевых условий дает точное решение [25]: z T1 = C , h T0 (z) = z -h3 (Cξ1 + Dξ2 ) + 12χηϑ + (Cξ1 + Dξ2 )z 3 + 12χηh CDgβz -16h6 + 21h2 z 4 - 5z 6 + , 840χh2 ν P1 = gβC P0 (z) = z T2 = D , h z 2 - h2 , 2h P2 = gβD z 2 - h2 , 2h βg (Cξ1 + Dξ2 ) 3h5 - 5h3 z 2 + 2z 5 - 60χηϑ h2 - z 2 + 120χηh β 2 CDg 2 41h8 - 64h6 z 2 + 28h2 z 6 - 5z 8 + . 6720χh2 ν Далее решение, описывающее температуру T и давление P, будем рассматривать в безразмерном виде: T1 = Z, T2 = KZ, δPe T0 = Z(Z 3 - 1)α + Zγ + Z(-16 + 21Z 4 - 5Z 6 ), 840 δ δ P1 = (Z 2 - 1) , P2 = K Z 2 - 1 , 2 2 740 Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости. . . P0 = (ξ1 + Kξ2 ) h4 ϑ δ 3 - 5Z 2 + 2Z 5 + Z2 - 1 + 2 120χηl Cl 2 gβDh6 41 - 64Z 2 + 28Z 6 - 5Z 8 . + 6720χνl2 Здесь K = D/C, δ = h/l, Pe = Pr Gr - число Пекле, Pr = ν/χ - число Прандтля, Gr = Dhgβh3 /ν 2 - число Грасгофа, h - толщина слоя жидкости, l - характерный размер вдоль горизонтальных координат. В формулах для безразмерных точных решений сохранены обозначения такие же, как и для размерных полей температуры и давления. Отметим, что коэффициенты δPe 840 , (ξ1 +Kξ2 )h4 gβDh6 ϑδ , 6720χνl , 2Cl 2 120χηl2 2 Gr Pr , стоящие в разложении функции T0 и P0 , = δ 6720 являются безразмерными. Процедура перехода к безразмерным гидродинамическим полям подробно изложена в работах [25-28]. 3. Исследование стратификации температурного поля. Поскольку поле температуры T является полиномиальным, следовательно, непрерывным, то исследование его структуры можно свести к изучению нулей функции T0 . Многочлен T0 в силу граничных условий можно представить в мультипликативном виде: δPe Zf (Z), T0 (Z) = 840 где f (Z) = aZ 3 - 5Z 6 + 21Z 4 - 16 + b, a= 840α , δPe b= 840γ - a. δPe (5) Заметим, что f (0) = b - 16, f (1) = a + b. Поскольку введенная выше переменная Z определена на отрезке [0, 1], для определения количества нулей многочлена f (Z) можно воспользоваться теоремой Декарта [39]. Согласно этой теореме, число положительных корней многочлена с вещественными коэффициентами равно количеству перемен знаков в ряду его коэффициентов или на четное число меньше этого количества. Представим многочлен f (Z) в стандартном виде f (Z) = -5Z 6 + 21Z 4 + aZ 3 + (b - 16) и посчитаем число перемен знаков в получившемся ряду коэффициентов {-5; 21; a; (b - 16)}, которое зависит от значений параметров a и b. Несложно убедиться, что перемен знаков (следовательно, и число положительных корней многочлена f (Z)) может быть равно 1, 2 или 3. И, следовательно, число положительных корней многочлена f (Z) может быть равно 0, 1, 2 или 3. Таким образом, на положительной полуоси (Z > 0) у функции T0 может быть не более трех нулевых значений. Данное условие является необходимым для существования стратификации температурного поля относительно поперечной координаты Z. Для того чтобы получить достаточное условие для оценки числа нулей многочлена f (Z) на интервале (0, 1), исследуем функцию f (Z) на наличие 741 Б у р м а ш е в а Н. В., П р о с в и р я к о в Е. Ю. экстремумов. Очевидно, что внутри интервала (0, 1) их не более трех. Известно, что число экстремумов функции одной переменной определяется числом нулей ее производной: f (Z) = -30Z 5 + 84Z 3 + 3aZ 2 = Z 2 -30Z 3 + 84Z + 3a . Здесь в выражении для f (Z) в круглых скобках стоит полином третьей степени, следовательно, число его действительных нулей не превосходит трех. При исследовании многочлена на экстремум в зависимости от значений параметров возможны различные случаи. Если у функции f нет экстремумов на интервале (0, 1) (строго монотонна), то все определяется значениями функции на концах отрезка [0, 1]: - если f (0)f (1) 0, то расслоений не возникает; - если f (0)f (1) < 0, то имеет место одна точка расслоения. Аналогичным образом могут быть проанализированы ситуации, когда у функции f (Z) есть один, два или три экстремума. Как отмечено выше, число экстремумов функции определяется числом нулей ее производной: f (Z) = -30Z 5 + 84Z 3 + 3aZ 2 = 3Z 2 (-10Z 3 + 28Z + a) = 0; Z = 0 или 10Z 3 - 28Z - a = 0. Если при некоторых условиях на a последнее соотношение выполняется хотя бы в одной точке на интервале (0, 1), то у функции f на интервале (0, 1) есть экстремумы (столько, сколько точек, в которых выполняется условие 10Z 3 - 28Z - a = 0), иначе функция f на этом интервале строго монотонна. Рассмотрим семейство функций ga (Z) = 10Z 3 -28Z -a и обозначим через g(Z) функцию этого семейства при a = 0. Все функции семейства ga (Z) имеют на интервале (0, 1) единственный экстремум в точке Zextr = 14/15. Зная число экстремумов функций семейства ga (Z), можно, согласно приведенным выше рассуждениям, определить число нулей функций ga (Z) на интервале (0, 1). А каждый такой нуль есть суть экстремум функции f (Z) на этом интервале: 14 - если a < g(Zextr ) = - 56 3 15 , то ga (Z) = 0 на интервале (0, 1), а функция f (Z) - строго монотонна на интервале (0, 1); - если a = g(Zextr ), то ga (Z) обращается в нуль в единственной точке, а функция f (Z) в этой точке имеет экстремум; - если g(Zextr ) < a < g(1) = -18, то ga (Z) имеет 2 нуля на интервале (0, 1), а f (Z) в этих двух точках имеет экстремумы; - если g(1) a g(0) = 0, то ga (Z) обращается в нуль в единственной точке, а f (Z) в этой точке имеет экстремум; - если g(0) < a, то ga (Z) = 0 на интервале (0, 1), а функция f (Z) - строго монотонна на интервале (0, 1). Теперь, зная число экстремумов у функции f (Z), можно выписать условия, при которых эта функция имеет нули на интервале (0, 1). Эти нули, в свою очередь, определяют точки расслоения фоновой температуры. В качестве наглядной иллюстрации на рис. 1 приведены ситуации, соответствующие различным значениям параметров a и b, при которых функция температуры допускает различное число расслоений. 742 Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости. . . 4. Исследование расслоений для поля давления. Исследуем теперь расслоение поля давления. Поле давления P перепишем в виде P (Z) = δ 2 Pe (Z - 1)q(Z), 6720 где q(Z) = -5Z 7 - 5Z 6 + 23Z 5 + 23Z 4 + 23Z 2 - 41Z - 41+ + φ 2Z 4 + 2Z 3 + 2Z 2 - 3Z - 3 + ψ (Z + 1) = = -5Z 7 - 5Z 6 + 23Z 5 + (23 + 2φ)Z 4 + (23 + 2φ)Z 3 + + (23 + 2φ)Z 2 + (-41 + ψ - 3φ)Z + (-41 + ψ - 3φ), 3360γ 672α , ψ= . Pe δPe Согласно теореме Декарта [39], число нулей полинома q(Z) не превосходит трех, так как именно столько перемен знаков может быть в этом ряду при различных сочетаниях значений выражений (23 + 2φ) и (-41 + ψ - 3φ). На рис. 2 представлено геометрическое место точек, в которых функция q(Z) обращается в нуль. Получившаяся поверхность седловая. На рис. 3 представлено поведение функций q1 (Z) = -5Z 7 -5Z 6 +23Z 5 , q2 (Z) = Z 4 +Z 3 +Z 2 , q3 (Z) = Z + 1, входящих в состав функции q(Z): φ= q(Z) = q1 (Z) + (23 + 2φ)q2 (Z) + (-41 + ψ - 3φ)q3 (Z). Отметим, что все три функции положительны и строго возрастают на отрезке [0, 1]. Поэтому выражения (3+2φ) и (-41+ψ-3φ) не могут быть одновременно положительными, иначе у функции q(Z) на интересующем отрезке не будет нулей (она будет строго положительна). На рис. 4 приведены различные случаи распределения фонового давления. Каждая из приведенный кривых иллюстрирует локализацию давления на верхней и нижней границах. Давление заметно отличается от гидростатического, что говорит о стратификации поля давления, обусловленной нелинейными механизмами переноса импульса в жидкости при конвективном перемешивании. Заключение. В статье получено новое точное решение уравнений Обербека-Буссинеска, описывающее конвективное сдвиговое течение вязкой несжимаемой жидкости. Конвекция в жидкости индуцируется заданием теплового источника и касательных напряжений на верхней (свободной) границе бесконечного слоя вязкой несжимаемой жидкости. Приведенное в статье точное решение позволяет автоматически разрешить переопределенную систему уравнений переноса импульсов в теплопроводящей несжимаемой жидкости. Анализ полей температуры и давления, которые являются полиномиальными, показывает, что в вязкой несжимаемой жидкости происходит стратификация этих полей. Другими словами, характер распределения фоновой температуры не является монотонным, она может принимать одно или два нулевых значения, принятых за отсчетную конфигурацию. При определенных значениях граничных условий при течении жидкости могут наблюдаться локализованные решения, описывающие термоклин и пикноклин в несжимаемой жидкости. 743 Б у р м а ш е в а Н. В., П р о с в и р я к о в Е. Ю. Рис. 1. Поведение функции T0 (Z): нет расслоений (a = -20, b = 30; линия 1), одно расслоение (a = -20, b = 17; линия 2), два расслоения (a = -14, b = 16.5; линия 3); a и b см. в (5) [Figure 1. The behavior of the function T0 (Z): no stratifications (a = -20, b = 30; line 1), one stratification (a = -20, b = 17; line 2), and two stratifications (a = -14, b = 16.5; line 3); a and b see in Eq. (5)] Рис. 2. Геометрическое место точек, удовлетворяющих условию q(Z) = 0 [Figure 2. The geometric locus of points satisfying condition q(Z) = 0] 744 Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости. . . Рис. 3. Графики функций q1 (Z) = -5Z 7 - 5Z 6 + 23Z 5 (линия 1), q2 (Z) = Z 4 + Z 3 + Z 2 (линия 2), q3 (Z) = Z + 1 (линия 3) [Figure 3. The graphs of functions q1 (Z) = -5Z 7 - 5Z 6 + 23Z 5 (line 1), q2 (Z) = Z 4 + Z 3 + Z 2 (line 2), and q3 (Z) = Z + 1 (line 3)] Рис. 4. Поведение функции P0 (Z): нет расслоений (линия 1), одно расслоение (линия 2), два расслоения (линия 3) [Figure 4. The behavior of the function P0 (Z): no stratifications (line 1), one stratification (line 2), and two stratifications (line 3)] Конкурирующие интересы. Мы заявляем, что у нас нет конфликта интересов в отношении авторства и публикации этой статьи. Авторский вклад и ответственность. Мы несем полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Каждый из нас одобрил окончательную версию рукописи.

About the authors

Natalya V Burmasheva

Ural Federal University named after the First President of Russia B. N. Yeltsin; Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences

Email: nat_burm@mail.ru
19, Mira st., Ekaterinburg, 620002, Russian Federation; 34, Komsomolskaya st., Ekaterinburg, 620049, Russian Federation
http://orcid.org/0000-0003-4711-1894 Cand. Techn. Sci.; Associate Professor; Institute of Mathematics and Computer Science, Dept. of Applied Mathematics and Mechanics; Researcher; Sector of Nonlinear Vortex Hydrodynamics

Evgeny Yu Prosviryakov

Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences

Email: evgen_pros@mail.ru
34, Komsomolskaya st., Ekaterinburg, 620049, Russian Federation
http://orcid.org/0000-0002-2349-7801 Dr. Phys. & Math. Sci.; Head of Sector; Sector of Nonlinear Vortex Hydrodynamics

References

  1. Joseph D. D. Stability of fluid motions. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1976. 282 pp.
  2. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.
  3. Пухначёв В. В. Иерархия моделей в теории конвекции / Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 32 / Зап. научн. сем. ПОМИ, Т. 288. СПб.: ПОМИ, 2002. С. 152-177.
  4. Остроумов Г. А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М.: Гостехиздат, 1952. 256 с.
  5. Бирих Р. В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ПМТФ, 1966. Т. 7, № 3. С. 69-72.
  6. Smith M. K., Davis S. H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. Pt. 1. Convective instabilities // J. Fluid Mech., 1983. vol. 132. pp. 119-144. doi: 10.1017/S0022112083001512.
  7. Ortiz-Pérez A. S., Dávalos-Orozco L. A. Convection in a horizontal fluid layer under an inclined temperature gradient // Phys. Fluids, 2011. vol. 23, no. 8. pp. 084107-084111.doi: 10.1063/1.3626009.
  8. Андреев В. К. Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2010. 68 с.
  9. Андреев В. К., Бекежанова В. Б. Устойчивость неизотермических жидкостей (обзор) // ПМТФ, 2013. Т. 54, № 2. С. 3-20.
  10. Андреев В. К., Степанова И. В. Однонаправленные течения бинарных смесей в модели Обербека-Буссинеска // Изв. РАН. МЖГ, 2016. Т. 51, № 2. С. 13-24.
  11. Бекежанова В. Б., Гончарова О. Н., Резанова Е. В., Шефер И. А. Устойчивость двухслойных течений жидкости с испарением на границе раздела // Изв. РАН. МЖГ, 2017. № 2 С. 23-35. doi: 10.7868/S0568528117020062.
  12. Бирих Р. В., Денисова М. О., Костарев К. Г. Возникновение конвекции Марангони, вызванной локальным внесением поверхностно активного вещества // Изв. РАН. МЖГ, 2011. № 6. С. 56-68.
  13. Бирих Р. В., Денисова М. О., Костарев К. Г. Развитие концентрационно-капиллярной конвекции на межфазной поверхности // Изв. РАН. МЖГ, 2015. № 3. С. 56-67.
  14. Бирих Р. В., Пухначёв В. В. Осевое конвективное течение во вращающейся трубе с продольным градиентом температуры // Докл. РАН, 2011. Т. 436, № 3. С. 323-327.
  15. Бирих Р. В., Пухначёв В. В. Конвективное течение в горизонтальном канале с неньютоновской реологией поверхности при нестационарном продольном градиенте температуры // Изв. РАН. МЖГ, 2015. № 1. С. 192-198.
  16. Гончарова О. Н., Кабов О. А. Гравитационно-термокапиллярная конвекция в горизонтальном слое при спутном потоке газа // Докл. РАН, 2009. Т. 426, № 2. С. 183-188.
  17. Гончарова О. Н., Резанова Е. В. Пример точного решения стационарной задачи о двухслойных течениях с испарением на границе раздела // ПМТФ, 2014. № 2. С. 68-79.
  18. Пухначёв В.В. Нестационарные аналоги решения Бириха // Известия АлтГУ, 2011. № 1-2. С. 62-69.
  19. Аристов С. Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости: Автореф. дис.. докт. физ.-мат. наук: 01.02.05. Владивосток: ИАПУ, 1990. 32 с.
  20. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Неоднородное конвективное течение Куэтта // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа, 2016. № 5. С. 3-9. doi: 10.7868/S0568528116050030.
  21. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Нестационарные слоистые течения завихренной жидкости // Изв. РАН. МЖГ, 2016. № 2. С. 25-31.
  22. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. О слоистых течениях плоской свободной конвекции // Нелинейная динам., 2013. Т. 9, № 4. С. 651-657. doi: 10.20537/nd1304004.
  23. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю., Спевак Л. Ф. Нестационарная конвекция Бенара-Марангони слоистых течений вязкой несжимаемой жидкости // Теоретические основы химической технологии, 2016. Т. 50, № 2. С. 137-146. doi: 10.7868/S0040357116020019.
  24. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю., Спевак Л. Ф. Нестационарная слоистая тепловая и концентрационная конвекция Марангони вязкой несжимаемой жидкости // Вычислительная механика сплошных сред, 2015. Т. 8, № 4. С. 445-456. doi: 10.7242/1999-6691/2015.8.4.38.
  25. Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Крупномасштабная слоистая стационарная конвекция вязкой несжимаемой жидкости под действием касательных напряжений на верхней границе. Исследование поля скоростей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 1. С. 180-196. doi: 10.14498/vsgtu1527.
  26. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Exact solutions for layered large-scale convection induced by tangential stresses specified on the free boundary of a fluid layer // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2017. vol. 208, 012010. doi: 10.1088/1757-899X/208/1/012010.
  27. Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Точные решения для естественной конвекции слоистых течений вязкой несжимаемой жидкости при задании тангенциальных сил и линейного распределения температуры на границах слоя // Diagnostics, Resource and Mechanics of Materials and Structures, 2017. № 4. С. 16-31. doi: 10.17804/2410-9908.2017.4.016-031.
  28. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Exact solution for the layered convection of a viscous incompressible fluid at specified temperature gradients and tangential forces on the free boundary // AIP Conference Proceedings, 2017. vol. 1915, 040005. doi: 10.1063/1.5017353.
  29. Горшков А. В., Просвиряков Е. Ю. Слоистая конвекция Бенара-Марангони при теплообмене по закону Ньютона-Рихмана // Компьютерные исследования и моделирование, 2016. Т. 8, № 6. С. 927-940.
  30. Горшков А. В., Просвиряков Е. Ю. Аналитические решения стационарной сложной конвекции, описывающие поле касательных напряжений разного знака / Тр. ИММ УрО РАН, Т. 23, 2017. С. 32-41. doi: 10.21538/0134-4889-2017-23-2-32-41.
  31. Князев Д. В. Плоские течения вязкой бинарной жидкости между подвижными твердыми границами // ПМТФ, 2011. Т. 52, № 2. С. 66-72.
  32. Сидоров А. Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // ПМТФ, 1989. Т. 30, № 2. С. 34-40.
  33. Шварц К. Г. Плоскопараллельное адвективное течение в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твердыми границами // Изв. РАН. МЖГ, 2014. № 4. С. 26-30.
  34. Аристов С. Н., Шварц К. Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости. Пермь: Перм. гос. ун-т, 2006. 155 с.
  35. Аристов С. Н., Шварц К. Г. Адвективное течение во вращающейся жидкой пленке // ПМТФ, 2016. Т. 57, № 1. С. 216-223. doi: 10.15372/PMTF20160121.
  36. Шварц К. Г. Влияние вращения на устойчивость адвективного течения в горизонтальном слое жидкости при малом значении числа Прандтля // Изв. РАН. МЖГ, 2005. № 2. С. 29-38.
  37. Шварц К. Г. Моделирование крупномасштабных и мезомасштабных процессов в бароклинной атмосфере и океане // Географический вестник, 2013. № 1(24). С. 72-77.
  38. Shtern V. Counterflows. Paradoxical Fluid Mechanics Phenomena. Cambridge: Cambridge University Press, 2012. 469 pp. doi: 10.1017/CBO9781139226516.
  39. Descartes R. La géométrie. Nouvelle éd. Avec le portrait de Descartes d’après Frans Hals. Paris: J. Hermann, 1927. 91 pp. (In French)

Statistics

Views

Abstract - 30

PDF (Russian) - 5

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies