The Cauchy problem for a system of the hyperbolic differential equations of the n-th order with the nonmultiple characteristics

Abstract


In the paper the Cauchy problem is considered for the hyperbolic differential equation of the n-th order with the nonmultiple characteristics. The regular solution of the Cauchy problem for the hyperbolic differential equation of the n-th order with the nonmultiple characteristics is considered. In the paper the solution of the Cauchy problem for the system of the hyperbolic differential equations of the n-th order with the nonmultiple characteristics is considered. The existence and uniqueness theorem for the regular solution of the Cauchy problem for the system of the hyperbolic differential equations of the n-th order with the nonmultiple characteristics is considered as the result of the research.

Full Text

Введение. Исследование краевых задач для дифференциальных уравнений гиперболического типа и систем гиперболических уравнений является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес многих исследователей к данной проблеме объясняется как теоретической важностью получаемых результатов, так и их значимыми практическими приложениями [1-4]. Краевые задачи, в том числе и задачу Коши, для уравнений гиперболического типа и систем уравнений гиперболического типа с некратными характеристиками в ряде случаев можно решить не только методом Римана [5, 6], но и методом общих решений [7]. Предварительные сведения. В работе [8] рассмотрена и решена задача Коши для дифференциального уравнения гиперболического типа порядка n общего вида с некратными характеристиками n ak k=0 ∂n ∂xn-k ∂y k u(x, y) = 0, (1) где ak - действительные ненулевые постоянные. Уравнение (1) является строго гиперболическим по Петровскому [9], то есть имеет n некратных характеристик. Тогда характеристическое уравнение для уравнения (1) a0 λn + a1 λn-1 + . . . + an-1 λ + an = 0 имеет n различных действительных отличных от нуля корней λ1 , λ2 , . . . , λn таких, что λ1 + λ2 + · · · + λn = - a1 , a0 λ1 λ2 + λ1 λ3 + · · · + λn-1 λn = λ1 λ2 λ3 + λ1 λ2 λ4 + · · · + λn-2 λn-1 λn = - a3 , a0 ..., λ1 λ2 · · · λn-1 + λ2 λ3 · · · λn + · · · + λ1 λ3 · · · λn = (-1)n-1 λ1 λ2 · · · λn = (-1)n a2 , a0 an-1 , a0 an . a0 Известно [10-12], что общее решение уравнения (1) принадлежит классу n раз непрерывно дифференцируемых функций C n (R × R) и может быть представлено в виде u(x, y) = f1 (y + λ1 x) + f2 (y + λ2 x) + . . . + fn (y + λn x). Задача Коши. Найти регулярное решение u (x, y) ∈ C n (R × R) уравнения (1) в плоскости независимых переменных D = {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R}, которое на линии y = 0 удовлетворяет условиям ∂ k u(x, y) ∂lk y=0 = τn-k (x), k = 0, 1, n - 1, (2) 753 А н д р е е в А. А., Я к о в л е в а Ю. О. где τ1 (x), τ2 (x), . . . , τn (x) ∈ C n (R), l - нормаль к нехарактеристической линии y = 0. Функция u (x, y) ∈ C n (R × R), имеющая в плоскости D все непрерывные частные производные, которые входят в уравнение (1), и удовлетворяющая уравнению (1) и условиям задачи Коши (2) в обычном смысле, называется регулярным решением задачи Коши (1), (2) в плоскости независимых переменных [13]. Решением задачи (1), (2) является функция n u(x, y) = fk (y + λk x), (3) k=1 где (-1)n+k+1 an x τ1 (s)(x - s)n-2 ds+ (n - 2)! a0 0 (-1)n+k+1 an-1 x + λn-1 τ2 (s)(x - s)n-3 ds + · · · + λn-1 (-1)n+k+1 τn (x). (4) k k (n - 3)! a0 0 fk (λk x) = λn-1 k Явная формула (3) регулярного решения рассмотренной задачи Коши [8] является естественным обобщением известной формулы Даламбера [14]. Справедлива Теорема 1. Существует единственное регулярное решение задачи Коши (1), (2) u (x, y) ∈ C n (R × R), имеющее вид (3) при условии, что функции τ1 (x), τ2 (x), . . . , τn (x) ∈ C n (R). Задача Коши для системы дифференциальных уравнений гиперболического типа, не содержащей производных меньше порядка n. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений гиперболического типа порядка n с двумя независимыми переменными x, y на плоскости D, не содержащую производных порядка меньше n, n Ak k=0 ∂n ∂xn-k ∂y k U (x, y) = 0, (5) где U (x, y) = (u1 (x, y), u2 (x, y)) - двумерная вектор-функция, Ak - постоянные (2 × 2)-матрицы. Будем предполагать, что матрицы A0 , A1 , . . . , An попарно коммутируют [15]. Следовательно, существует такое преобразование подобия T , которое одновременно приводит матрицы A0 , A1 , . . . , An к диагональной форме T -1 A0 T = ΛA0 , T -1 A1 T = ΛA1 , ..., T -1 An T = ΛAn . Если матрицы A0 , A1 , . . . , An коммутирующие, то матрицы ΛA0 , ΛA1 , . . . , ΛAn , полученные преобразованием подобия [16], также попарно коммутируют. Пусть матрицы ΛA0 , ΛA1 , . . . , ΛAn таковы, что имеют различные ненулевые действительные собственные значения. 754 Задача Коши для системы дифференциальных уравнений гиперболического типа. . . Задача Коши. Найти регулярное решение U (x, y) ∈ C n (R × R) системы дифференциальных уравнений (5) в плоскости D, которое на линии y = 0 удовлетворяет условиям ∂ k U (x, y) ∂lk y=0 = Sn-k (x), k = 0, 1, n - 1, (6) где S1 (x), S2 (x), . . . , Sn (x) ∈ C n (R) - заданные вектор-функции, l - нормаль к нехарактеристической линии y = 0. Рассмотрим замену U = T V, V (x, y) = (v 1 (x, y), v 2 (x, y)) при det T = 0, которая позволит совершить переход к системе вида ΛA0 Vxxx...x + ΛA1 Vxx...xy + . . . + ΛAn-1 Vn-1 ux...yyy + ΛAn Vn uyyy...y = 0. (7) Таким образом, исследуемая система разделена на отдельные уравнения: 1 1 1 1 a10 vxxx...x + a11 vxx...xy + . . . + a1n-1 vx...yyy + a1n vyyy...y = 0, 2 2 2 2 a20 vxxx...x + a21 vxx...xy + . . . + a2n-1 vx...yyy + a2n vyyy...y = 0. Каждое характеристическое уравнение системы (7) имеет n различных ненулевых корней λ1 , λ2 , . . . , λn , µ1 , µ2 , . . . , µn соответственно. Применяя приведенные выше исследования, для каждого уравнения указанной системы решение задачи Коши может быть получено в регулярном виде: n n fk1 (y + λk x), v 1 (x, y) = k=1 где fk1 , fk2 (y + µk x), v 2 (x, y) = k=1 fk2 определяются по формуле (4). Решение матричного уравнения U = T V является решением задачи Коши (5), (6). Таким образом, существование решения задачи Коши (5), (6) доказано конструктивно. Существование и единственность решения задачи Коши для линейной системы уравнений гиперболического типа с аналитическими коэффициентами доказано Хольмгреном [17]. Приведенные исследования позволяют сформулировать следующую теорему. Теорема 2. В плоскости D существует единственное регулярное решение U (x, y) ∈ C n (R × R) задачи Коши (5), (6) при условии, что векторфункции S1 (x), S2 (x), . . . , Sn (x) ∈ C n (R). Полученный результат является обобщением результатов, полученных авторами в работах [8, 11, 12]. Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем. Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. 755

About the authors

Aleksandr A Andreev

Samara State Technical University

Email: andre01071948@yandex.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
http://orcid.org/0000-0002-6611-6685 Cand. Phys. & Math. Sci., Professor; Associate Professor; Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Julia O Yakovleva

Samara National Research University

Email: julia.yakovleva@mail.ru
34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation
http://orcid.org/0000-0002-9839-3740 Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Associate Professor; Dept. of Mathematics & Business Informatics

References

  1. Ali Raeisian S. M. Effective Solution of Riemann Problem for Fifth Order Improperly Elliptic Equation on a Rectangle // AJCM, 2012. vol. 2, no. 4. pp. 282-286. doi: 10.4236/ajcm.2012.24038.
  2. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982. 336 с.
  3. Kinoshita T. Gevrey Wellposedness of the Cauchy Problem for the Hyperbolic Equations of Third Order with Coefficients Depending Only on Time // Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, 1998. vol. 34, no. 3. pp. 249-270. doi: 10.2977/prims/1195144695.
  4. Nikolov A., Popivanov N. Singular solutions to Protter’s problem for (3+1)-D degenerate wave equation (8-13 June 2012; Sozopol, Bulgaria) / AIP Conf. Proc., 1497, 2012. pp. 233-238. doi: 10.1063/1.4766790.
  5. Rieman B. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Aus dem achten Bande der Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1860.) / Bernard Riemann’s Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass; eds. R. Dedekind, H. M. Weber. United States: BiblioLife, 2009. pp. 145-164 (In German). doi: 10.1017/cbo9781139568050.009.
  6. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское математическое общество, 2001. 226 с.
  7. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
  8. Андреев А. А., Яковлева Ю. О. Задача Коши для уравнения гиперболического типа порядка n общего вида с некратными характеристиками // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, № 2. С. 241-248. doi: 10.14498/vsgtu1490.
  9. Петровский И. Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. М.: Наука, 1986. 500 с.
  10. Корзюк В. И., Чеб Е. С., Ле Тхи Тху Решение смешанной задачи для биволнового уравнения методом характеристик // Тр. Ин-та матем., 2010. Т. 18, № 2. С. 36-54.
  11. Яковлева Ю. О. Аналог формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 1(26). С. 247-250. doi: 10.14498/vsgtu1028.
  12. Андреев А. А., Яковлева Ю. О. Задача Коши для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка общего вида с некратными характеристиками // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4(37). С. 7-15. doi: 10.14498/vsgtu1349.
  13. Андреев А. А.,Яковлева Ю. О. Характеристическая задача для одного гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка с некратными характеристиками // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2013. Т. 13, № 1(2). С. 3-6.
  14. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.
  15. Bellman R. Introduction to matrix analysis: 2nd ed., Reprint of the 1970 Orig. / Classics in Applied Mathematics. vol. 19. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. xxviii+403 pp.
  16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с.
  17. Holmgren E. Sur les systèmes linéaires aux dérivées partielles du premier ordre deux variables indépendantes à caractéristiques réelles et distinetes // Arkiv f. Mat., Astr. och Fys., 1909. vol. 5, no. 1. 13 pp. (In Swedish)

Statistics

Views

Abstract - 27

PDF (Russian) - 10

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies