On differential operators an differential equations on torus

Abstract


In this paper, we consider periodic boundary value problems for a differential equation whose coefficients are trigonometric polynomials. The spaces of generalized functions are constructed, in which the problems considered have solutions, in particular, the solvability space of a periodic analogue of the Mizohata equation is constructed. A periodic analogue and a generalization of the construction of a nonstandard analysis are constructed, containing not only functions, but also functional spaces. As an illustration of the statement that not all constructions on a torus lead to simplification compared to a plane, a periodic analogue of the concept of a hypoelliptic differential operator is considered, where number-theoretic properties are significant. In particular, it turns out that if a polynomial with integer coefficients is irreducible in the rational field, then the corresponding differential operator is hypoelliptic on the torus.

Full Text

1. О разрешимости дифференциальных уравнений на торе. Периодическая граничная задача для дифференциального уравнения - популярный объект и в математическом образовании, и в исследовательской деятельности (см., напр., [1-3]). Как отметил Лакс [4], в периодической теории дифференциальных уравнений отсутствуют некоторые технические трудности, поэтому возможно построение особо красивой теории. Рассматривая периодическую граничную задачу для линейного дифференциального уравнения, мы попадаем в удивительный мир функций на торе, когда представление тора в виде произведения окружностей позволяет нам отслеживать поведение функций нескольких переменных по каждой переменной в отдельности, когда базисные элементы являются собственными для операторов дифференцирования и для любого линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами, а кроме того, компактность многообразия без края позволяет нам забыть о границе и о поведении на бесконечности, и единственная бесконечность, с которой мы здесь сталкиваемся, - это бесконечность по размерности, что дает нам возможность сосредоточить свое внимание единственно на ней. 1.1. Пространства периодических функций. Количество переменных для наших целей несущественно, поэтому будем вести изложение для случая двух переменных. Хорошо известно, что каждый ряд Фурье (или, иначе, тригонометрический ряд) ∑︁

About the authors

Vladimir P Burskii

Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Email: bvp30@mail.ru
9, Inststitutskii per., Dolgoprudny, Moscow region, 141700, Russian Federation
Dr. Phys. & Math. Sci.; Professor; Dept. of Higher Mathematics

References

  1. Bers L., John F., Schechter M. Partial differential equations / Lectures in Applied Mathematics. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1979. xiii+343 pp.
  2. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980. 208 с.
  3. Пташник Б. Й. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Киев: Наук. думка, 1984. 264 с.
  4. Lax P. D. On Cauchy’s problem for hyperbolic equations and the differentiability of elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math., 1955. vol. 8, no. 4. pp. 615-633. doi: 10.1002/cpa.3160080411.
  5. Bourbaki N. Elements of mathematics. Topological vector spaces. Berlin: Springer Verlag, 1987. vii+364 pp.
  6. Hörmander L. The analysis of linear partial differential operators. II: Differential operators with constant coefficients / Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 257. Berlin: Springer Verlag, 1983. viii+391 pp.
  7. Lewy H. An example ol a smooth linear partial differential equation without solution // Ann. Math., 1957. vol. 66, no. 1. pp. 155-158. doi: 10.2307/1970121.
  8. Грушин В. В. Об одном примере дифференциального уравнения без решений // Матем. заметки, 1971. Т. 10, № 2. С. 125-128.
  9. Garabedian P. R. An unsolvable equation // Proc. Amer. Math. Soc., 1970. vol. 25, no. 1. pp. 207-208. doi: 10.1090/s0002-9939-1970-0252809-6.
  10. Mizohata S. Solutions nulles et solution non analytiques // J. Math. Kyoto Univ., 1962. vol. 1, no. 2 pp. 271-302. doi: 10.1215/kjm/1250525061.
  11. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.
  12. Hörmander L. Linear partial differential operators / Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 116. Berlin: Springer Verlag, 1963. vii+285 pp.
  13. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 384 с.
  14. Davis M. Applied nonstandard analysis / Pure and Applied Mathematics. New York: John Wiley & Sons, 1977. xii+181 pp.

Statistics

Views

Abstract - 42

PDF (Russian) - 28

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies