# Abstract

In this paper, the intervals of change in the exponent of the degree of degeneration of a mixed-type equation with characteristic degeneration are established. The first boundary problem and the modified boundary problem (analogue of the Keldysh problem) with the conditions of periodicity are correctly set. In the case of the first problem, a criterion for the uniqueness of its solution is manifested. It is shown that the solution of the analogue of the Keldysh problem is unique up to a term of a linear function. Solutions are constructed as the sum of series of eigenfunctions of the corresponding one-dimensional spectral problem. In justifying the convergence of a series representing the solution of the first boundary-value problem, the problem of small denominators of a more complex structure arises in the class of regular solutions of this equation than in previously known works. The estimate on separation from zero is established with the corresponding asymptotic. Based on this estimate, sufficient conditions are found for the boundary functions to substantiate the uniform convergence of the series and their derivatives up to the second order inclusive.

# Full Text

1. Постановка задач. Краткий обзор результатов Рассмотрим уравнение смешанного типа второго рода u xx + (sgn y)|y| s u yy = 0, 0 <s< 2 (1) в прямоугольной области D = {(x, y) | 0 < x < l, < y < }. Для урав- нения (1) в зависимости от значений параметра s предлагается постановка следующих краевых задач. Задача 1. Пусть 0 < s 6 1. Найти в области D функцию u(x, y), удов- летворяющую следующим условиям: ( ) u(x, y) C 1 D C 2 (D + D ) ; (2) Lu 0, (x, y) D + D ; (3) u(0, y) = u(1, y), u x (0, y) = u x (1, y), 6 y 6 ; (4) u(x, ) = f (x), 0 6 x 6 l; (5) u(x, ) = g(x), 0 6 x 6 l, (6) где f (x), g(x) - заданные достаточно гладкие функции, для которых f (0) = f (l), g(0) = g(l), f (0) = f (l), g (0) = g (l). Задача 2 (аналог задачи Келдыша) Пусть 1 < s < 2. Найти в области D функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям (2)-(5). В этой задаче в силу результатов работы М. В. Келдыша [1] в классе функций (2) условие (6) излишне. Первые исследования для более общего эллиптического уравнения вто- рого порядка от двух переменных с характеристическим вырождением, чем уравнение (1) при y > 0, провел М. В. Келдыш в работе [1], где он показал, что корректность первой граничной задачи существенным образом зависит от показателя степени вырождения и коэффициента при младшей производной u y . На основе этой работы И. Л. Кароль [2] для уравнения (1) в классической области G, ограниченной простой жордановой кривой , лежащей в полу- плоскости y > 0 с концами в точках O(0, 0) и A(1, 0), характеристиками OC и AC уравнения (1) при y < 0 поставил задачу Трикоми с данными на кривой и характеристике OC. В случае, когда контур совпадает с «нормальной» кривой, определяемой уравнением ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 2s 1 + y = , 0 6 x 6 1, x 2 2 s 4 И. Л. Кароль доказал существование и единственность решения такой задачи при 0 < s < 1 методом интегральных уравнений. Ф. И. Франкль [3] свел задачу определения течения внутри плоскопа- раллельного симметричного сопла Лаваля заданной формы (прямую задачу теории сопла Лаваля) к новой граничной задаче для уравнения (1) с пока- зателем s = 1/2, которая отличается от задачи Трикоми тем, что на линии изменения типа вместо обычного требования непрерывности производной по нормали к прямой y = 0: u y (x, 0 + 0) = u y (x, 0 0), 0 < x < 1, 431 задается разрывное условие u y (x, 0 + 0) = u y (x, 0 0), 0 < x < 1. В этой же работе он доказал однозначную разрешимость этой задачи при 0 < s < 1. В работе [4] К. Б. Сабитов доказал единственность решения задачи Три- коми и Франкля для уравнения (1) при 0 < s < 1 при любой кривой из класса Ляпунова методом вспомогательных функций. В следующих работах [5, 6] им было показано, что задача Трикоми для уравнения (1) при s > 2 в области G поставлена некорректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения x s u xx + (sgn y)u yy = 0 при всех s > 0. Новый интерес к задаче Дирихле для уравнений в частных производных возник после известных работ Ф. И. Франкля [7, 8], в которых впервые об- ращено внимание на то, что к этой задаче сводится ряд задач трансзвуковой динамики. Так, например, если рассматривать задачу перехода через зву- ковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверзвуковые волны примыкают к стенкам сопла вбли- зи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа. В. Б. Шабат [9] исследовал задачу Дирихле для уравнения Лаврентьева- Бицадзе u xx + (sgn y)u yy = 0 (*) в области y > h, 0 < h < 1/2, гиперболическая часть которой лежит цели- ком внутри характеристического треугольника 0 6 x + y < x y 6 1. На некорректность задачи Дирихле для уравнения (*) в смешанной об- ласти, гиперболическая часть границы которой лежит в характеристическом треугольнике 0 6 x + y < x y 6 1, впервые обратил внимание А. В. Би- цадзе [10]. Этот факт привлек внимание исследователей к вопросу поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно по- ставленной. А. М. Нахушев [11] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа первого рода в цилиндрической области. В работах А. П. Солдатова [12, 13] доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа Дирихле для уравнения Лаврентьева- Бицадзе в смешанной области, ограниченной при y > 0 и y < 0 соответствен- но гладкими дугами с общими концами в точках (0, 0) и (0, 1), при этом дуга при y < 0 лежит внутри характеристического треугольника. Следующие авторы методом разделения переменных изучали задачу Ди- рихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области. В работе J. R. Cannon [14] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лав- рентьева-Бицадзе в прямоугольной области при условии, когда отношение сторон прямоугольника в гиперболической части является натуральным чис- лом. М. М. Хачев в работах [15, 16] исследовал задачу Дирихле для уравнений смешанного типа [ ] (sgn y) a(x)u xx + b(x)u x + c(x)u + u yy = 0, 432 yu xx + u yy = 0, и построил решение в виде суммы ряда Фурье. В работе Р. И. Сохадзе [17] для уравнения u xx + yu yy + au y = 0, a = const > 0, исследуется вопрос о существовании хотя бы одного решения задачи Дирих- ле. В работе К .Б. Сабитова [18] на основании работы Е. И. Моисеева [19] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа первого рода (sgn y)|y| m u xx + u yy b 2 (sgn y)|y| m u = 0, m > 0, b > 0, (**) в прямоугольной области D = {(x, y) | 0 < x < 1, < y < }, где , - заданные действительные числа. Методом спектрального анализа уста- новлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье. В этой работе при обосновании сходимости ряда впервые бы- ла обнаружена проблема малых знаменателей при обосновании сходимости построенного ряда Фурье, на что предшествующие авторы не обратили вни- мания при построении решения в виде суммы ряда. В работе [20] изучена задача Дирихле для уравнения (1) в прямоугольной области D. В этой работе при 0 < s < 1 установлены критерий единственно- сти и существование решения задачи (2)-(6). Если 1 6 s < 2, то производная u y (x, y) решения уравнения (1), вообще говоря, при y > 0 обращается в бес- конечность. В этом случае задача (2)-(6) переопределена, т. е. для выделения единственности решения аналога этой задачи достаточно задать лишь одно граничное условие на верхнем (5) или нижнем (6) основании прямоугольни- ка D. В работе [21] с использованием метода спектрального анализа [18] изу- чена краевая задача с условиями периодичности для уравнения (**) в пря- моугольной области D. Здесь установлен критерий единственности решения. При этом решение задачи построено в виде суммы ряда по системе собствен- ных функций соответствующей одномерной спектральной задачи при всех m > 0. В данной работе, следуя [20, 21], установлены классы корректности крае- вых задач с условиями периодичности для уравнения смешанного типа вто- рого рода (1) в прямоугольной области D. В этом состоит существенное отли- чие от работы [21]. В каждом из этих классов в зависимости от параметра s установлены теоремы единственности и решения задач построены в виде сум- мы ряда по собственным функциям одномерной спектральной задачи с соот- ветствующим обоснованием сходимости рядов в указанных классах решений данного уравнения. При 0 < s 6 1 установлен критерий единственности ре- шения задачи 1, т.е. задачи (2)-(6). В случае, когда 1 < s < 2, установлен неожиданный новый факт, т.е. доказано, что решение задачи 2 определяется с точностью до слагаемого линейной функции по переменной y. 433 2. Исследование задачи 1 2.1. Критерий единственности. Пусть u(x, y) - решение задачи (6). Следуя [18, 20, 21], рассмотрим функции v l 2 2k u(x, y) cos k x dx, k = u k (y) = , k = 1, 2, . . . , l 0 l l 1 u 0 (y) = v u(x, y) dx, l v l 0 2 u(x, y) sin k x dx. v k (y) = l 0 (2)- (7) (8) (9) На основании уравнения (1) для функций (7) получим обыкновенное диффе- ренциальное уравнение u k (y) (sgn y)|y| s 2 k u k (y) = 0, y (, 0) (0, ). (10) В силу того что функция u(x, y) принадлежит классу гладкости (2), для функции u k (y) должны выполняться условия склейки u k (0 + 0) = u k (0 0), u k (0 + 0) = u k (0 0). (11) Из граничных условий (5), (6) получим еще два условия для функции u k (y): v l v 1 2 2 u(x, ) cos k x dx = f (x) cos k x dx = f k , (12) u k () = l 0 l 0 v l v l 2 2 u k () = u(x, ) cos k x dx = g(x) cos k x dx = g k . (13) l 0 l 0 Таким образом, для функций (7) получена краевая задача (10)-(13). В работах [20, 22] построено общее решение уравнения (10): { v v y > 0, a k yI 1 (p k y q ) + b k yK 1 (p k y q ), 2q 2q ( ) ( ) v v (14) u k (y) = c k y J 1 p k (y) q + d k y Y 1 p k (y) q , y < 0, 2q где J 1 p k (y) ( 2q ) q и Y 1 2q ( 2q ) p k (y) q - цилиндрические функции первого и второ- го рода соответственно; I 1 (p k y q ) и K 1 (p k y q ) - модифицированные цилин- 2q 2q дрические функции; a k , b k , c k и d k - произвольные постоянные; p k = k /q, q = (2 s)/2, 1/2 < q < 1 при 0 < s < 1. В (14) постоянные a k , b k , c k , d k подберем так, чтобы выполнялись условия сопряжения (11). Первое из равенств (11) выполнено, если ( d k = ) b k /2 при любых a k и c k , а второе равенство - при c k = (b k /2) ctg /(4q) a k и d k = = b k /2. Тогда функции (14) примут вид { v v a k yI 1 (p k y q ) + b k yK 1 (p k y q ), y > 0, 2q ( ) 2q v ( ) v u k (y) = (15) q q a k y J 1 p k (y) + b k y Y 1 p k (y) , y 6 0, 2q 434 2q где ( ) . 2 sin /(2q) Для нахождения постоянных a k и b k воспользуемся граничными условия- ми (12) и (13). Удовлетворяя функции (15) граничным условиям (12) и (13), получим систему для нахождения a k и b k : 1 a k I 1 (p k q ) + b k K 1 (p k q ) = f k 2 , 2q 2q (16) a k J 1 (p k q ) + b k Y 1 (p k q ) = g k 12 . Y 1 2q ( [ ( ) ) ( )] p k (y q ) = C q J 1 p k (y) q + J 1 p k (y) q , 2q C q = 2q 2q 2q Если при всех k N определитель системы (16) k (, ) = J 1 (p k q )K 1 (p k q ) + Y 2q 2q 1 2q (p k q )I 1 (p k q ) = 0, 2q (17) то она имеет единственное решение: [ v ] v 1 v f k Y 1 (p k q ) 2g k K 1 (p k q ) , 2q 2q 2 k (, ) ] [ v v 1 v b k = f k J 1 (p k q ) 2g k I 1 (p k q ) . 2q 2q 2 k (, ) a k = (18) (19) Подставляя найденные значения a k и b k , представленные формулами (18) и (19), в формулу (15), найдем окончательный вид функций [ v ] v 1 f y/ (, y) + g y/ E (y, ) , y > 0, k k k k (, ) k (20) u k (y) = [ v ] v 1 f k y/ F k (, y) + g k y/ k (y, ) , y 6 0, k (, ) где k (, y) = J 1 (p k q )K 1 (p k y q ) + Y 2q 2q 1 2q (p k q )I 1 (p k y q ), 2q E k (y, ) = I 1 (p k q )K 1 (p k y q ) I 1 (p k y q )K 1 (p k q ), 2q 2q 2q 2q ( ) ( ) F k (, y) = Y 1 p k (y) q J 1 (p k q ) Y 1 (p k q )J 1 p k (y) q , 2q 2q 2q 2q ( ) ( ) q q k (y, ) = J 1 p k (y) K 1 (p k ) + Y 1 p k (y) q I 1 (p k q ). 2q 2q 2q 2q (21) (22) (23) (24) Аналогично получим краевую задачу для функции v k (y): v k (y) (sgn y)|y| m 2 k v k (y) = 0, y (, 0) (0, ), v k (0 + 0) = v k (0 0), v k (0 + 0) = v k (0 0), k N, v l v l 2 2 v k () = u(x, ) sin k x dx = f (x) sin k x dx = f k , l 0 l 0 (25) (26) (27) 435 v l v l 2 2 u(x, ) sin k x dx = g(x) sin k x dx = g k . (28) v k () = l 0 l 0 Однозначное решение задачи (25)-(28) определяется по формуле [ v ] v 1 f k y/ k (, y) + g k y/ E k (y, ) , y > 0, ) [ ] v k (y) = k (, (29) v v 1 f k y/ F k (, y) + g k y/ k (y, ) , y 6 0, k (, ) где k (, y), E k (y, ), F k (, y), k (y, ) определяются соответственно по формулам (21)-(24). Найдем теперь функцию u 0 (y). Дифференцируя равенство (8) дважды, учитывая уравнение (1) и граничные условия (4), получим, что функция u 0 (y) является решением следующей задачи: u 0 (y) = 0, y (, 0) (0, ), u 0 (0 + 0) = u 0 (0 0), u 0 (0 + 0) = u 0 (0 0), l l 1 1 u(x, ) dx = v f (x) dx = f 0 , u 0 () = v l 0 l 0 l l 1 1 u 0 () = v u(x, ) dx = v g(x) dx = g 0 . l 0 l 0 (30) (31) (32) (33) Единственное решение задачи (30)-(33) имеет вид u 0 (y) = f 0 g 0 f 0 + g 0 y + , + + 6 y 6 . (34) Поскольку нами найдены явные формулы для функций (7)-(9), на осно- вании полноты тригонометрической системы v { 1 v 2 2kx 2 2kx } v , cos , sin (35) l l l l l в пространстве L 2 [0, l] мы можем доказать единственность решения зада- чи (2)-(6). Действительно, пусть выполнены условия (17) при всех n N и f (x) = g(x) = 0. Тогда из формул (20), (29) и (34) следует, что u k (y) 0, u 0 (y) 0, v k (y) 0 для k N на [, ]. Тогда из (7)-(9) имеем l u(x, y) cos k x dx = 0, 0 l u(x, y) dx = 0, 0 l u(x, y) sin k x dx = 0. 0 Отсюда в силу полноты системы функций (35) в пространстве L 2 [0, l] сле- дует, что u(x, y) = 0 почти для всех x [0, l] и при любом y [, ]. В силу (2) функция u(x, y) C(D), следовательно, u(x, y) 0 в D. 436 Пусть при некотором k = n N нарушено условие (17), т. е. n (, ) = 0. Тогда однородная задача (2)-(6) (где f (x) = g(x) 0) имеет нетривиальное решение: v n (, y) y X (x), y > 0, J 1 (p n q ) n 2q v u n (x, y) = n (y, ) y X n (x), y 6 0, I 1 (p n q ) 2q где X n (x) = 1 + 2 cos( n x) + 3 sin( n x), i - произвольные постоянные, i = 1, 2, 3. Теперь возникает вопрос о существовании нулей выражения k (, ). Для этого представим его в виде (36) k (, ) = I 1 (p k q ) k (, ), 2q где q k (, ) = J 1 (p k ) 2q K 1 (p k q ) 2q I 1 (p k q ) + Y 1 2q (p k q ). (37) 2q Поскольку при больших k и любом > 0 выражение K 1 (p k q ) 2q I 1 (p k q ) q = O(e 2p k ), 2q т.е. первое слагаемое из правой части последнего выражения является беско- нечно малым более высокого порядка по сравнению со вторым слагаемым, то нули k (, ) при больших k на малую величину будут отличаться от нулей Y 1 (p k q ). Существование нулей функции Y 1 (p k z), где z = q , следует из 2q 2q того факта, что функции Y 1 (p k z) и J 1 (p k z) являются линейно независимы- 2q 2q ми решениями уравнения Бесселя ) ( ( 1 ) 2 ) d ( d z z y(z) + p 2 k z 2 y(z) = 0. (38) dz dz 2q Из общей теории линейных дифференциальных уравнений известно, что нули двух линейно независимых решений уравнения (38) строго чередуют- ся, т. е. на интервале между любыми последовательными нулями любого из этих решений содержится ровно один нуль другого решения. Функция J 1 (p k z) имеет счетное множество положительных нулей. Тогда функция 2q Y 1 2q (p k z) также имеет счетное множество положительных нулей относительно z = q . Следовательно, k (, ) имеет счетное множество нулей относительно q независимо от > 0. Таким образом, нами установлен следующий критерий единственности решения задачи (2)-(6). Теорема 1. Если существует решение u(x, y) задачи (2)-(6), то оно един- ственно тогда и только тогда, когда k (, ) = 0 при всех k N. 437 2.2. Существование решения задачи 1. Поскольку q - любое поло- жительное число, оно может принимать значения, близкие к нулям k (, ). Поэтому при больших k выражение k (, ) может стать достаточно малым, т. е. возникает проблема малых знаменателей более сложной структуры, чем в известных работах [20, 23]. Лемма 1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) ql = q /(ql) - любое натуральное число; 2) ql = n/m - любое дробное число, где n и m - взаимно простые нату- ральные числа и m = 4, то существуют постоянные C 0 > 0, k 0 > 0 (k 0 N) такие, что при всех k > k 0 справедлива оценка v | k k (, )| > C 0 > 0. (39) Д о к а з а т е л ь с т в о. В правой части равенства (37) величина q J 1 (p k ) 2q K 1 (p k q ) 2q I 1 (p k q ) 2q есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Y k, поэтому достаточно рассмотреть слагаемое k ( ql ) = J 1 (2k ql ) + J 2q 1 2ql (2k ql ) , 1 2q (p k q ) при больших ql = q . ql В силу асимптотической формулы функции J (z) [24, §7.13.1] при z > : v J (z) = ( 3 ) 2 cos z + O(z 2 ) z 2 4 существует достаточно большое натуральное число k 0 такое, что при всех k > k 0 имеем v ( ) ( ( ) ) 2 cos cos 2k ql = A cos 2k ql . k k ( ql ) = v ql 4q 4 4 1 Отсюда видно что, если ql = N, т. е. = (q) q , то при k > k 0 ( v ) k k ( ql ) = A cos 2k = A cos > C 1 = const > 0. 4 4 (40) Пусть теперь ql = n/m - рациональное число, где n и m - взаимно про- стые числа, m > 2. Тогда ( v n ) k k ( ql ) = A cos 2k . m 4 438 Разделим 2kn на m с остатком: 2kn = sm + r, s, r N {0}, 0 6 r < m. Если r = 0, то этот случай сводится к рассмотренному выше. Пусть r > 0, тогда последнее выражение примет вид ( r v 1 ) k k ( ql ) = A cos (41) . m 4 Поскольку 1 6 r 6 m 1, следовательно 1 r 1 3 1 1 6 6 . m 4 m 4 4 m Тогда при всех m > 2 имеем 1 1 1 1 < 6 , 4 m 4 4 1 3 1 3 6 < . 4 4 m 4 (42) Из оценок (42) видно, что выражение r/m1/4 может быть равно 1/2 только при m = 4 и r = 3. По условию m = 4, тогда из (41) следует, что существует положительная постоянная C 2 такая, что v k k ( ql ) > C 2 > 0. (43) Далее из неравенств (40) и (43) следует оценка (39) при k > k 0 , где C 0 = = min{C 1 , C 2 }. Если k (, ) = 0 при k = 1, k 0 и выполнена оценка (39) при k > k 0 , то решение задачи (2)-(6) можно представить в виде суммы ряда Фурье 1 u(x, y) = v u 0 (y) + l v + ] 2 [ u k (y) cos k x + v k (y) sin k x . l (44) k=1 Покажем, что при определенных условиях относительно функций f (x) и g(x) ряд (44) и ряды, полученные из него путем почленного дифференци- рования по x и y первого порядка, равномерно сходятся на замкнутой обла- сти D и дважды почленно дифференцируются по x и y в замкнутой области D = D {|y| > > 0}, где - достаточно малое число. Рассмотрим следующие соотношения: v y k (, y) y E k (, y) A k (y) = , B k (y) = , y [0, ], v k (, ) v k (, ) y F k (, y) y k (y, ) C k (y) = , D k (y) = , y [, 0]. k (, ) k (, ) v (45) Лемма 2. Пусть выполнена оценка (39) при k > k 0 . Тогда для всех k > k 0 справедливы следующие оценки: |A k (y)| 6 C 3 , |A k (y)| 6 C 4 k, |B k (y)| 6 C 5 , |B k (y)| 6 C 6 k 1+ , |A k (y)| 6 C 7 k 2 , |B k (y)| 6 C 8 k 2 , 0 6 y 6 ; 6 y 6 ; 439 |C k (y)| 6 C 9 k 1 e kd , |D k (y)| 6 C 11 , |C k (y)| 6 C 10 k 1+ e kd , |D k (y)| 6 C 12 k 1+ , |C k (y)| 6 C 13 k 2 e kd , 6 y 6 0; |D k (y)| 6 C 14 k 2 , 6 y 6 , где C i - здесь и далее положительные постоянные, = 1/2q 1/2, d = = 2 q /(ql). Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя асимптотические формулы для цилин- дрических функций [24, §§7.2.8, 7.13.1] в нуле и на бесконечности: ( z ) ( z ) 1 1 J (z) , I (z) , (1 + ) 2 (1 + ) 2 (46) ( ) || z || K (z) , = 0, при z > 0; 2 2 ( 2 ) 1/2 ( ( 1 ) 1/2 ) e z , J (z) cos z , I (z) 2z z 2 4 (47) ( ) 1/2 ( 2 ) 1/2 cos(z /4) K (z) e z , Y (z) при z > , 2z z sin(/2) на основании (21) с учетом (36), (39) при y [0, ] и достаточно больших k оценим v 1 k Y 1 (p k q ) 6 C 3 , |A k (y)| 6 C (48) 2q i - здесь и далее положительные постоянные. где C На основании формул дифференцирования цилиндрических функций [24, §7.13.1] d d [z I (z)] = z I 1 (z), [z K (z)] = z K 1 (z) (49) dz dz найдем ) p k qy q1/2 ( A k (y) = J 1 (p k q ) K 1 1 (p k y q ) + Y 1 (p k q ) I 1 1 (p k y q ) . 2q 2q 2q 2q k (, ) Отсюда при y [0, ] и больших k имеем v 2 k Y 1 (p k q ) 6 C 4 k. |A k (y)| 6 k C 2q Нетрудно показать, что для A k (y) имеет место представление |A k (y)| = (p k q) 2 y 2q2 A k (y). (50) 10 k 2 . Тогда с учетом оценки (48) из равенства (50) имеем |A k (y)| 6 C Аналогично на основании формул (22), (36), (39) и асимптотических фор- мул (46) и (47) оценим функцию B k (y). При 6 y 6 и больших k имеем: v k v yI 1 (p q )K 1 (p y q ) v k v yK 1 (p q )I 1 (p y q ) k k k k 2q 2q 2q 2q 3 . + 6 C |B k (y)| 6 q q I 1 (p k )C 0 I 1 (p k )C 0 2q 440 2q (51) Если 0 6 y < , то аналогично получим v v 4 k yK 1 (p k y q ) 6 C 5 k . |B k (y)| 6 C 2q (52) Из оценок (51) и (52) следует, что |B k (y)| 6 C 5 при любом y [0, ]. Используя формулы (49) найдем B k (y) = ) p k qy q1/2 ( I 1 (p k q )K 1 1 (p k y q ) + K 1 (p k q )I 1 1 (p k y q ) . 2q 2q 2q 2q k (, ) Тогда отсюда при любом y [0, ] и больших k имеем v q1/2 q k p (p |B k (y)| 6 C 6 k qy K 1 1 k y ) 6 C 9 k 1+ . 2q Для функции B k (y) справедливо равенство B k (y) = (p k q) 2 y 2q2 B k (y). Отсю- да с учетом оценки (51) при 6 y 6 получим B k (y) 6 C 8 k 2 . Теперь оценим функции C k (y) и D k (y) при y [, 0] и достаточно боль- ших k. На основании формул (23), (24), (36), (39) и асимптотических формул (46) при < y 6 0 получим следующие оценки для функций C k (y) и D k (y): v k v y Y 1 ( p (y) q ) J 1 (p q ) k k 2q 2q + |C k (y)| 6 I 1 (p k q )C 0 2q v k v y Y 1 (p q ) J 1 ( p (y) q ) k k 2q 2q 6 C 9 k 1 e kd , (53) + q I 1 (p k )C 0 2q v k v y J 1 ( p (y) q ) K 1 (p q ) k k 2q 2q + |D k (y)| = q I 1 (p k )C 0 2q v k v y Y 1 ( p (y) q ) I 1 (p q ) k k 2q 2q 6 C 11 , (54) + I 1 (p k q )C 0 2q так как при любом y [, 0] и больших k v 7 k 12 . y Y 1 (p k (y) q ) 6 C 2q Используя формулы сокращенного дифференцирования [24, §7.13.1] d [z J (z)] = z J 1 (z), dz d [z J (z)] = z J 1 (z), dz вычислим C k (y) = ( ) C q p k q(y) q1/2 [ J 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q + 2q 2q k (, ) 441 ( )] + J 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q , (55) 2q D k (y) = 2q [ ( )] ( ) p k q(y) q1/2 [ C q I 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q J 1 1 p k (y) q + 2q 2q 2q k (, ) ( )] + K 1 (p k q )J 1 1 p k (y) q . (56) 2q 2q Из равенств (55) и (56) при любом y [, 0] следуют оценки: |C k (y)| v 8 kp k (y) q1/2 ( ) C 6 J 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q + q 2q 2q I 1 (p k )C 0 2q ) ( + J 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q 6 C 10 k 1+ e kd , 2q |D k (y)| 2q v 9 p k k(y) q1/2 [ ) ) ( ( C q q 6 J 1 1 p k (y) J 1 1 p k (y) + 2q 2q C 0 ( ) ] + K 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q 6 C 12 k 1+ . 2q 2q Поскольку C k (y) = (p k q) (y) 2q2 C k (y) и D k (y) = (p k q) (y) 2q2 D k (y), в силу оценок (53) и (54) при 6 y 6 получим C (y) 6 C 13 k 2 , D (y) 6 C 14 k 2 . k k Лемма 3. При выполнении условия (39) при k > k 0 справедливы следую- щие оценки: ( ) ( ) |u k (y)| 6 C 15 |f k | + |g k | , |v k (y)| 6 C 18 | f k | + | g k | , y [, ]; ( ) ( ) |u k (y)| 6 C 16 k|f k | + k 1+ |g k | , |v k (y)| 6 C 19 k| f k | + k 1+ | g k | , y [, ]; ( ) ( ) |u k (y)| 6 C 17 k 2 |f k | + |g k | , |v k (y)| 6 C 20 k 2 | f k | + | g k | , y [, ] [, ]. Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании формул (20), (29), (45) и (46) полу- чим следующие представления для функций u k (y) и v k (y) : u k (y) = f k A k (y) + g k B k (y), v k (y) = f k A k (y) + g k B k (y), y > 0, u k (y) = f k C k (y) + g k D k (y), v k (y) = f k C k (y) + g k D k (y), y 6 0. Исходя из этих равенств на основании леммы 2 нетрудно получить указанные оценки. Теперь на основании леммы 3 докажем, что функция u(x, y), определяе- мая рядом (44), удовлетворяет условиям (2) и (3) поставленной задачи. Фор- мально из ряда (44) почленным дифференцированием составим ряды: v v 2 2 u x = k u k (y) sin k x + k v k (y) cos k x, (57) l l k=1 442 k=1 v v 2 2 1 u y = v u 0 (y) + u k (y) cos k x + v k (y) sin k x, l l l k=1 k=1 v v 2 2 2 2 u xx = k u k (y) cos k x k v k (y) sin k x, l l k=1 k=1 v v 1 2 2 u yy = v u 0 (y) + u k (y) cos k x + v k (y) sin k x. l l l k=1 (58) (59) (60) k=1 Тогда на основании леммы 3 ряды (44), (57), (58) при любых (x, y) D мажорируются числовым рядом C 21 [ ( )] k |f k | + | f k | + k 1 |g k | + | g k | , (61) k=1 а ряды (59), (60) при любом (x, y) D мажорируются рядом C 22 (62) ( ) k 2 |f k | + | f k | + |g k | + | g k | . k=1 Лемма 4. Если функции f (x), g(x) C 4 [0, l], на этом сегменте имеют кусочно-непрерывную производную третьего порядка и выполнены условия f (0) = f (l), f (0) = f (l), g(0) = g(l), g (0) = g (l), то для коэффициентов f k , f k , g k , g k справедливы следующие оценки: f k = p k , 3 k p k f k = 3 , k g k = s k , 3 k g k = s k , 3 k (63) где l p k = f (x) sin k x dx, 0 s k = l g (x) sin k x dx, 0 + k=1 2 p k < +, + 2 p k < +, p k = s k = k=1 k=1 f (x) cos k x dx, 0 + l l g (x) cos k x dx, 0 2 s k < +, + s k 2 < +. (64) k=1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим интегралы (12), (13), (27) и (28). Ин- тегрируя их по частям три раза с учетом условий леммы, получим требуемые представления (63). Справедливость оценок (64) следует из неравенства Бес- селя для тригонометрической системы. В силу леммы 4 ряды (61) и (62) оцениваются соответственно числовыми рядами ( |p k | + | p k | |s k | + | s k | ) C 23 + (65) k 2 k 1+ k=1 443 и ) 1 ( C 24 |p k | + | p k | + |s k | + | s k | . k (66) k=1 Поскольку числовые ряды (65), (66) сходятся, ряды (44), (57), (58) схо- дятся равномерно на D, а ряды (59), (60) - на D . Поэтому функция u(x, y), определяемая равенством (44), удовлетворяет условиям (2) и (3). Если для указанных в лемме 1 значений ql при k = n {n 1 , n 2 , . . . , n m }, где 1 6 n 1 < n 2 < · · · < n m 6 k 0 , n i , i = 1, m, и m - заданные натуральные числа, выполняется равенство n (, ) = 0, то для разрешимости задачи (2)- (6) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия v v (67) f n J 1 (p k q ) + g n I 1 (p k q ) = 0, n = {n 1 , n 2 , . . . , n m }, 2q 2q v v f n J 1 (p k q ) + g n I 1 (p k q ) = 0, n = {n 1 , n 2 , . . . , n m }. (68) 2q 2q Тогда решение этой задачи определяется в виде суммы ряда 1 u(x, y) = v u 0 (y)+ l ( n 1 1 + + ··· + k=1 n=n m 1 k=n m1 +1 + + ) [ ] u k (y) cos k x + v k (y) sin k x + k=n m +1 + u n (x, y), (69) n где в последней сумме n принимает значения n 1 , n 2 , . . . , n m и функции u n (x, y) определяются по формуле u n (x, y) = u n (y) cos k x + v n (y) sin k x, ] [ 1 v q 2 1 v g yI (p y ) + b y (, y) , y > 0, 1 n n n k J 1 (p k q ) 2q 2q [ ] u n (y) = v 1 2 1 v q f yJ y (y, ) , y 6 0; 1 (p k (y) ) + b n n n I 1 (p k q ) 2q 2q [ ] 1 v 2 1 v q g yI (p y ) + b y (, y) , y > 0, 1 n n n k J 1 (p k q ) 2q 2q [ ] v n (y) = 1 n 2 1 vyJ 1 (p k (y) q ) + b n vy n (y, ) , y 6 0. f I 1 (p k q ) 2q 2q Конечные суммы в (69) следует считать нулями, когда верхний предел меньше нижнего. Таким образом, доказана следующая Теорема 2. Пусть числа ql удовлетворяют условиям леммы 1, т.е. вы- полнена оценка (39) при всех k > k 0 , и функции f (x) и g(x) удовлетворяют 444 условиям леммы 4. Тогда если k (, ) = 0 при всех k = 1, k 0 , то существу- ет единственное решение задачи (2)-(6) и оно определяется рядом (44); если k (, ) = 0 при k = n 1 , n m 6 k 0 , то задача (2)-(6) разрешима только тогда, когда выполнены условия (67) и (68) и решение в этом случае определяется рядом (69). 3. Исследование задачи 2 Пусть u(x, y) - решение задачи (2)-(5). Рассуждая аналогично § 2, введем функции (7)-(9). Относительно функции (7) получим краевую задачу (10)- (12). Решение уравнения (1) ищется в классе (2), следовательно, для функций (14) должны выполняться условия сопряжения (11). Для этого найдем про- изводные функций (14): 1 1 a k p k y q 2 I 1 1 (p k y q ) b k p k y q 2 K 1 1 (p k y q ) , y > 0, 2q 2q ( ) 1 c k p k (y) q 2 J 1 1 p k (y) q u k (y) = 2q ( ) 1 d k p k (y) q 2 Y 1 1 p k (y) q , y < 0. 2q В силу асимптотических формул для функций Бесселя в окрестности нуля (46) в случае, когда 1 < s < 2, имеем особенности при |y| > 0 вида ( ) 1 y q 2 K 1 1 (p k y q ) = O y 1s , y > 0, 2q ( ) ( ) q 2 1 (y) Y 1 1 p k (y) q = O (y) 1s , y < 0. 2q Отсюда следует, что равенства (11) возможны только в том случае, когда b k = 0 и d k = 0 при всех k N. Также для выполнения равенства (11) необходимо выполнение условия c k = a k . С учетом последних равенств решения (19) примут вид { u k (y) = v y > 0, a k yI 1 (p k y q ) , ( ) v 2q q a k yJ 1 p k (y) , y 6 0. (70) 2q Для нахождения постоянной a k в (70) воспользуемся граничным условием (5) и формулой (12). Тогда получим a k = v f k . I 1 (p k q ) (71) 2q Подставляя (71) в (70), найдем окончательный вид функции: v f k y v I 1 (p y q ) , y > 0, I 1 (p k q ) 2q k 2q v u k (y) = ( ) f k y q v J , y 6 0. 1 p k (y) I 1 (p k q ) 2q (72) 2q 445 Аналогично для функции (9) получаем краевую задачу (25)-(27). В этом случае единственное решение этой задачи определяется по формуле v f k y v y > 0, I (p y q ) , I 1 (p k q ) 2q 1 k 2q v k (y) = (73) v ( ) f k y q v I 1 (p k q ) J 2q 1 p k (y) , y 6 0. 2q Для нахождения функции (8) получим задачу (30)-(32), решение которой имеет вид u 0 (y) = a 0 (y ) + f 0 , (74) где a 0 - произвольная постоянная. Исходя из формул (72)-(74) можно получить теорему о единственности решения задачи (2)-(5), так как если f (x) 0 на [0, l], то u k (y) 0, u 0 (y) a 0 (y ), v k (y) 0 для k = 1, 2, . . . на [, ]. Тогда из (7)-(9) при всех y [, ] и k N следуют равенства l u(x, y) cos k x dx = 0, 0 l u(x, y) dx = a 0 (y ), (75) 0 l u(x, y) sin k x dx = 0. 0 Введем функцию v(x, y) = u(x, y) a 0 (y ). Тогда равенства (75) можно переписать в виде l v(x, y) cos k x dx = 0, 0 l v(x, y) dx = 0, (76) 0 l v(x, y) sin k x dx = 0. 0 Из равенств (76) в силу полноты системы (35) в пространстве L 2 [0, l] сле- дует, что v(x, y) = 0 почти всюду на [0, l] при любом y [, ]. Поскольку v(x, y) C(D), имеем v(x, y) 0 или u(x, y) a 0 (y ) на D. Следовательно, доказана следующая Теорема 3. Если существует решение задачи (2)-(5), то оно единствен- но с точностью до слагаемого линейной функции по переменной y: a 0 (y ). Решение задачи (2)-(5) представляется в виде суммы ряда Фурье (44), где коэффициенты определяются формулами (72)-(74). Лемма 5. Для функций u k (y), v k (y) и их производных при достаточно больших k справедливы следующие оценки: |u k (y)| 6 C 31 |f k |, 446 |v k (y)| 6 C 34 | f k |, y [, ]; |u k (y)| 6 C 32 k|f k |, |u k (y)| 6 C 33 k 2 |f k |, |v k (y)| 6 C 35 k| f k |, y [, ]; |v k (y)| 6 C 36 k 2 | f k |, y [, ] [, ]. Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично леммам 2 и 3. Если функция f (x) удовлетворяет условиям леммы 4, то ряд (44) и его производные до второго порядка включительно мажорируются сходящимися числовыми рядами с новыми коэффициентами (72)-(74). Таким образом, приходим к следующему утверждению. Теорема 4. Пусть f (x) C 3 [0, l] и выполнены условия f (0) = f (l), f (0) = = f (l), f (0) = f (l). Тогда задача (2)-(5) разрешима и это решение опреде- ляется рядом (44) с точностью до слагаемого линейной функции по перемен- ной y, где коэффициенты u k (y), v k (y) и u 0 (y) определяются соответственно формулами (72)-(74).

### Kamil Basirovich Sabitov

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: sabitov_fmf@mail.ru
37, Lenina prospekt, Sterlitamak, 453103, Russian Federation
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

### Irina Petrovna Egorova

Samara State Technical University

Email: ira.egorova81@yandex.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

# References

1. Келдыш М. В., "О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области", Докл. АН СССР, 77:2 (1951), 181-184
2. Кароль И. Л., "Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа", Докл. АН СССР, 88:2 (1953), 197-200
3. Франкль Ф. И., "Обобщение задачи Трикоми и его применение к решению прямой задачи теории сопла Лаваля", Матем. сб., 54(96):2 (1961), 225-236
4. Сабитов К. Б., "О единственности решения задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа второго рода", Дифференциальные уравнения с частными производными, Труды международной конференции, посвященной 70-летию академика С. Л. Соболева, Наука, Новосибирск, 1980, 48-50
5. Сабитов К. Б., "О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго порядка на границе бесконечной области", Сиб. матем. журн., 21:4 (1980), 146-150
6. Сабитов К. Б., "Задача типа Трикоми для уравнений смешанного типа с сильным характеристическим вырождением", Дифференц. уравнения, 20:2 (1984), 333-337
7. Франкль Ф. И., "О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений", Изв. АН СССР. Сер. матем., 9:2 (1945), 121-142
8. Франкль Ф. И., Избранные труды по газовой динамике, Наука, М., 1973, 703 с.
9. Шабат Б. В., "Примеры решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа", Докл. АН СССР, 112:3 (1957), 386-389
10. Бицадзе А. В., "Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в смешанных областях", Докл. АН СССР, 122:2 (1958), 167-170
11. Нахушев А. М., "Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области", Дифференц. уравнения, 6:1 (1970), 190-191
12. Солдатов А. П., "Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I. Теоремы единственности", Докл. РАН, 332:6 (1993), 696-698
13. Солдатов А. П., "Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. II. Теоремы существования", Докл. РАН, 333:1 (1993), 16-18
14. Cannon J. R., "A Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinuous coefficient", Ann. Mat. Pura Appl., IV. Ser., 61 (1963), 371-377
15. Хачев М. М., "Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области", Дифференц. уравнения, 14:1 (1978), 136-139
16. Хачев М. М., Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа, Эльбрус, Нальчик, 1998, 169 с.
17. Сохадзе Р. И., "О первой краевой задаче для уравнения смешанного типа в прямоугольнике", Дифференц. уравнения, 19:1 (1983), 127-134
18. Сабитов К. Б., "Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области", Докл. РАН, 413:1 (2007), 23-26
19. Моисеев Е. И., "О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи", Дифференц. уравнения, 35:8 (1999), 1094-1100
20. Сабитов К. Б., Сулейманова А. Х., "Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области", Изв. вузов. Матем., 2007, № 4, 45-53
21. Сабитов К. Б., Сидоренко О. Г., "Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа", Дифференц. уравнения, 46:1 (2010), 105-113
22. Егорова И. П., "Задача с условиями периодичности для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением", Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2009, № 8(74), 15-27
23. Арнольд В. И., "Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике", УМН, 18:6(114) (1963), 91-192
24. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G., Higher transcendental functions, v. 2, Bateman Manuscript Project, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York, Toronto, London, 1953, xvii+396 pp.

# Statistics

#### Views

Abstract - 122

PDF (Russian) - 40

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University