On the correctness of boundary value problems for the mixed type equation of the second kind

Full Text

1. Постановка задач. Краткий обзор результатов Рассмотрим уравнение смешанного типа второго рода u xx + (sgn y)|y| s u yy = 0, 0 <s< 2 (1) в прямоугольной области D = {(x, y) | 0 < x < l, < y < }. Для урав- нения (1) в зависимости от значений параметра s предлагается постановка следующих краевых задач. Задача 1. Пусть 0 < s 6 1. Найти в области D функцию u(x, y), удов- летворяющую следующим условиям: ( ) u(x, y) C 1 D C 2 (D + D ) ; (2) Lu 0, (x, y) D + D ; (3) u(0, y) = u(1, y), u x (0, y) = u x (1, y), 6 y 6 ; (4) u(x, ) = f (x), 0 6 x 6 l; (5) u(x, ) = g(x), 0 6 x 6 l, (6) где f (x), g(x) - заданные достаточно гладкие функции, для которых f (0) = f (l), g(0) = g(l), f (0) = f (l), g (0) = g (l). Задача 2 (аналог задачи Келдыша) Пусть 1 < s < 2. Найти в области D функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям (2)-(5). В этой задаче в силу результатов работы М. В. Келдыша [1] в классе функций (2) условие (6) излишне. Первые исследования для более общего эллиптического уравнения вто- рого порядка от двух переменных с характеристическим вырождением, чем уравнение (1) при y > 0, провел М. В. Келдыш в работе [1], где он показал, что корректность первой граничной задачи существенным образом зависит от показателя степени вырождения и коэффициента при младшей производной u y . На основе этой работы И. Л. Кароль [2] для уравнения (1) в классической области G, ограниченной простой жордановой кривой , лежащей в полу- плоскости y > 0 с концами в точках O(0, 0) и A(1, 0), характеристиками OC и AC уравнения (1) при y < 0 поставил задачу Трикоми с данными на кривой и характеристике OC. В случае, когда контур совпадает с «нормальной» кривой, определяемой уравнением ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 2s 1 + y = , 0 6 x 6 1, x 2 2 s 4 И. Л. Кароль доказал существование и единственность решения такой задачи при 0 < s < 1 методом интегральных уравнений. Ф. И. Франкль [3] свел задачу определения течения внутри плоскопа- раллельного симметричного сопла Лаваля заданной формы (прямую задачу теории сопла Лаваля) к новой граничной задаче для уравнения (1) с пока- зателем s = 1/2, которая отличается от задачи Трикоми тем, что на линии изменения типа вместо обычного требования непрерывности производной по нормали к прямой y = 0: u y (x, 0 + 0) = u y (x, 0 0), 0 < x < 1, 431 задается разрывное условие u y (x, 0 + 0) = u y (x, 0 0), 0 < x < 1. В этой же работе он доказал однозначную разрешимость этой задачи при 0 < s < 1. В работе [4] К. Б. Сабитов доказал единственность решения задачи Три- коми и Франкля для уравнения (1) при 0 < s < 1 при любой кривой из класса Ляпунова методом вспомогательных функций. В следующих работах [5, 6] им было показано, что задача Трикоми для уравнения (1) при s > 2 в области G поставлена некорректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения x s u xx + (sgn y)u yy = 0 при всех s > 0. Новый интерес к задаче Дирихле для уравнений в частных производных возник после известных работ Ф. И. Франкля [7, 8], в которых впервые об- ращено внимание на то, что к этой задаче сводится ряд задач трансзвуковой динамики. Так, например, если рассматривать задачу перехода через зву- ковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверзвуковые волны примыкают к стенкам сопла вбли- зи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа. В. Б. Шабат [9] исследовал задачу Дирихле для уравнения Лаврентьева- Бицадзе u xx + (sgn y)u yy = 0 (*) в области y > h, 0 < h < 1/2, гиперболическая часть которой лежит цели- ком внутри характеристического треугольника 0 6 x + y < x y 6 1. На некорректность задачи Дирихле для уравнения (*) в смешанной об- ласти, гиперболическая часть границы которой лежит в характеристическом треугольнике 0 6 x + y < x y 6 1, впервые обратил внимание А. В. Би- цадзе [10]. Этот факт привлек внимание исследователей к вопросу поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно по- ставленной. А. М. Нахушев [11] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа первого рода в цилиндрической области. В работах А. П. Солдатова [12, 13] доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа Дирихле для уравнения Лаврентьева- Бицадзе в смешанной области, ограниченной при y > 0 и y < 0 соответствен- но гладкими дугами с общими концами в точках (0, 0) и (0, 1), при этом дуга при y < 0 лежит внутри характеристического треугольника. Следующие авторы методом разделения переменных изучали задачу Ди- рихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области. В работе J. R. Cannon [14] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лав- рентьева-Бицадзе в прямоугольной области при условии, когда отношение сторон прямоугольника в гиперболической части является натуральным чис- лом. М. М. Хачев в работах [15, 16] исследовал задачу Дирихле для уравнений смешанного типа [ ] (sgn y) a(x)u xx + b(x)u x + c(x)u + u yy = 0, 432 yu xx + u yy = 0, и построил решение в виде суммы ряда Фурье. В работе Р. И. Сохадзе [17] для уравнения u xx + yu yy + au y = 0, a = const > 0, исследуется вопрос о существовании хотя бы одного решения задачи Дирих- ле. В работе К .Б. Сабитова [18] на основании работы Е. И. Моисеева [19] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа первого рода (sgn y)|y| m u xx + u yy b 2 (sgn y)|y| m u = 0, m > 0, b > 0, (**) в прямоугольной области D = {(x, y) | 0 < x < 1, < y < }, где , - заданные действительные числа. Методом спектрального анализа уста- новлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда Фурье. В этой работе при обосновании сходимости ряда впервые бы- ла обнаружена проблема малых знаменателей при обосновании сходимости построенного ряда Фурье, на что предшествующие авторы не обратили вни- мания при построении решения в виде суммы ряда. В работе [20] изучена задача Дирихле для уравнения (1) в прямоугольной области D. В этой работе при 0 < s < 1 установлены критерий единственно- сти и существование решения задачи (2)-(6). Если 1 6 s < 2, то производная u y (x, y) решения уравнения (1), вообще говоря, при y > 0 обращается в бес- конечность. В этом случае задача (2)-(6) переопределена, т. е. для выделения единственности решения аналога этой задачи достаточно задать лишь одно граничное условие на верхнем (5) или нижнем (6) основании прямоугольни- ка D. В работе [21] с использованием метода спектрального анализа [18] изу- чена краевая задача с условиями периодичности для уравнения (**) в пря- моугольной области D. Здесь установлен критерий единственности решения. При этом решение задачи построено в виде суммы ряда по системе собствен- ных функций соответствующей одномерной спектральной задачи при всех m > 0. В данной работе, следуя [20, 21], установлены классы корректности крае- вых задач с условиями периодичности для уравнения смешанного типа вто- рого рода (1) в прямоугольной области D. В этом состоит существенное отли- чие от работы [21]. В каждом из этих классов в зависимости от параметра s установлены теоремы единственности и решения задач построены в виде сум- мы ряда по собственным функциям одномерной спектральной задачи с соот- ветствующим обоснованием сходимости рядов в указанных классах решений данного уравнения. При 0 < s 6 1 установлен критерий единственности ре- шения задачи 1, т.е. задачи (2)-(6). В случае, когда 1 < s < 2, установлен неожиданный новый факт, т.е. доказано, что решение задачи 2 определяется с точностью до слагаемого линейной функции по переменной y. 433 2. Исследование задачи 1 2.1. Критерий единственности. Пусть u(x, y) - решение задачи (6). Следуя [18, 20, 21], рассмотрим функции v l 2 2k u(x, y) cos k x dx, k = u k (y) = , k = 1, 2, . . . , l 0 l l 1 u 0 (y) = v u(x, y) dx, l v l 0 2 u(x, y) sin k x dx. v k (y) = l 0 (2)- (7) (8) (9) На основании уравнения (1) для функций (7) получим обыкновенное диффе- ренциальное уравнение u k (y) (sgn y)|y| s 2 k u k (y) = 0, y (, 0) (0, ). (10) В силу того что функция u(x, y) принадлежит классу гладкости (2), для функции u k (y) должны выполняться условия склейки u k (0 + 0) = u k (0 0), u k (0 + 0) = u k (0 0). (11) Из граничных условий (5), (6) получим еще два условия для функции u k (y): v l v 1 2 2 u(x, ) cos k x dx = f (x) cos k x dx = f k , (12) u k () = l 0 l 0 v l v l 2 2 u k () = u(x, ) cos k x dx = g(x) cos k x dx = g k . (13) l 0 l 0 Таким образом, для функций (7) получена краевая задача (10)-(13). В работах [20, 22] построено общее решение уравнения (10): { v v y > 0, a k yI 1 (p k y q ) + b k yK 1 (p k y q ), 2q 2q ( ) ( ) v v (14) u k (y) = c k y J 1 p k (y) q + d k y Y 1 p k (y) q , y < 0, 2q где J 1 p k (y) ( 2q ) q и Y 1 2q ( 2q ) p k (y) q - цилиндрические функции первого и второ- го рода соответственно; I 1 (p k y q ) и K 1 (p k y q ) - модифицированные цилин- 2q 2q дрические функции; a k , b k , c k и d k - произвольные постоянные; p k = k /q, q = (2 s)/2, 1/2 < q < 1 при 0 < s < 1. В (14) постоянные a k , b k , c k , d k подберем так, чтобы выполнялись условия сопряжения (11). Первое из равенств (11) выполнено, если ( d k = ) b k /2 при любых a k и c k , а второе равенство - при c k = (b k /2) ctg /(4q) a k и d k = = b k /2. Тогда функции (14) примут вид { v v a k yI 1 (p k y q ) + b k yK 1 (p k y q ), y > 0, 2q ( ) 2q v ( ) v u k (y) = (15) q q a k y J 1 p k (y) + b k y Y 1 p k (y) , y 6 0, 2q 434 2q где ( ) . 2 sin /(2q) Для нахождения постоянных a k и b k воспользуемся граничными условия- ми (12) и (13). Удовлетворяя функции (15) граничным условиям (12) и (13), получим систему для нахождения a k и b k : 1 a k I 1 (p k q ) + b k K 1 (p k q ) = f k 2 , 2q 2q (16) a k J 1 (p k q ) + b k Y 1 (p k q ) = g k 12 . Y 1 2q ( [ ( ) ) ( )] p k (y q ) = C q J 1 p k (y) q + J 1 p k (y) q , 2q C q = 2q 2q 2q Если при всех k N определитель системы (16) k (, ) = J 1 (p k q )K 1 (p k q ) + Y 2q 2q 1 2q (p k q )I 1 (p k q ) = 0, 2q (17) то она имеет единственное решение: [ v ] v 1 v f k Y 1 (p k q ) 2g k K 1 (p k q ) , 2q 2q 2 k (, ) ] [ v v 1 v b k = f k J 1 (p k q ) 2g k I 1 (p k q ) . 2q 2q 2 k (, ) a k = (18) (19) Подставляя найденные значения a k и b k , представленные формулами (18) и (19), в формулу (15), найдем окончательный вид функций [ v ] v 1 f y/ (, y) + g y/ E (y, ) , y > 0, k k k k (, ) k (20) u k (y) = [ v ] v 1 f k y/ F k (, y) + g k y/ k (y, ) , y 6 0, k (, ) где k (, y) = J 1 (p k q )K 1 (p k y q ) + Y 2q 2q 1 2q (p k q )I 1 (p k y q ), 2q E k (y, ) = I 1 (p k q )K 1 (p k y q ) I 1 (p k y q )K 1 (p k q ), 2q 2q 2q 2q ( ) ( ) F k (, y) = Y 1 p k (y) q J 1 (p k q ) Y 1 (p k q )J 1 p k (y) q , 2q 2q 2q 2q ( ) ( ) q q k (y, ) = J 1 p k (y) K 1 (p k ) + Y 1 p k (y) q I 1 (p k q ). 2q 2q 2q 2q (21) (22) (23) (24) Аналогично получим краевую задачу для функции v k (y): v k (y) (sgn y)|y| m 2 k v k (y) = 0, y (, 0) (0, ), v k (0 + 0) = v k (0 0), v k (0 + 0) = v k (0 0), k N, v l v l 2 2 v k () = u(x, ) sin k x dx = f (x) sin k x dx = f k , l 0 l 0 (25) (26) (27) 435 v l v l 2 2 u(x, ) sin k x dx = g(x) sin k x dx = g k . (28) v k () = l 0 l 0 Однозначное решение задачи (25)-(28) определяется по формуле [ v ] v 1 f k y/ k (, y) + g k y/ E k (y, ) , y > 0, ) [ ] v k (y) = k (, (29) v v 1 f k y/ F k (, y) + g k y/ k (y, ) , y 6 0, k (, ) где k (, y), E k (y, ), F k (, y), k (y, ) определяются соответственно по формулам (21)-(24). Найдем теперь функцию u 0 (y). Дифференцируя равенство (8) дважды, учитывая уравнение (1) и граничные условия (4), получим, что функция u 0 (y) является решением следующей задачи: u 0 (y) = 0, y (, 0) (0, ), u 0 (0 + 0) = u 0 (0 0), u 0 (0 + 0) = u 0 (0 0), l l 1 1 u(x, ) dx = v f (x) dx = f 0 , u 0 () = v l 0 l 0 l l 1 1 u 0 () = v u(x, ) dx = v g(x) dx = g 0 . l 0 l 0 (30) (31) (32) (33) Единственное решение задачи (30)-(33) имеет вид u 0 (y) = f 0 g 0 f 0 + g 0 y + , + + 6 y 6 . (34) Поскольку нами найдены явные формулы для функций (7)-(9), на осно- вании полноты тригонометрической системы v { 1 v 2 2kx 2 2kx } v , cos , sin (35) l l l l l в пространстве L 2 [0, l] мы можем доказать единственность решения зада- чи (2)-(6). Действительно, пусть выполнены условия (17) при всех n N и f (x) = g(x) = 0. Тогда из формул (20), (29) и (34) следует, что u k (y) 0, u 0 (y) 0, v k (y) 0 для k N на [, ]. Тогда из (7)-(9) имеем l u(x, y) cos k x dx = 0, 0 l u(x, y) dx = 0, 0 l u(x, y) sin k x dx = 0. 0 Отсюда в силу полноты системы функций (35) в пространстве L 2 [0, l] сле- дует, что u(x, y) = 0 почти для всех x [0, l] и при любом y [, ]. В силу (2) функция u(x, y) C(D), следовательно, u(x, y) 0 в D. 436 Пусть при некотором k = n N нарушено условие (17), т. е. n (, ) = 0. Тогда однородная задача (2)-(6) (где f (x) = g(x) 0) имеет нетривиальное решение: v n (, y) y X (x), y > 0, J 1 (p n q ) n 2q v u n (x, y) = n (y, ) y X n (x), y 6 0, I 1 (p n q ) 2q где X n (x) = 1 + 2 cos( n x) + 3 sin( n x), i - произвольные постоянные, i = 1, 2, 3. Теперь возникает вопрос о существовании нулей выражения k (, ). Для этого представим его в виде (36) k (, ) = I 1 (p k q ) k (, ), 2q где q k (, ) = J 1 (p k ) 2q K 1 (p k q ) 2q I 1 (p k q ) + Y 1 2q (p k q ). (37) 2q Поскольку при больших k и любом > 0 выражение K 1 (p k q ) 2q I 1 (p k q ) q = O(e 2p k ), 2q т.е. первое слагаемое из правой части последнего выражения является беско- нечно малым более высокого порядка по сравнению со вторым слагаемым, то нули k (, ) при больших k на малую величину будут отличаться от нулей Y 1 (p k q ). Существование нулей функции Y 1 (p k z), где z = q , следует из 2q 2q того факта, что функции Y 1 (p k z) и J 1 (p k z) являются линейно независимы- 2q 2q ми решениями уравнения Бесселя ) ( ( 1 ) 2 ) d ( d z z y(z) + p 2 k z 2 y(z) = 0. (38) dz dz 2q Из общей теории линейных дифференциальных уравнений известно, что нули двух линейно независимых решений уравнения (38) строго чередуют- ся, т. е. на интервале между любыми последовательными нулями любого из этих решений содержится ровно один нуль другого решения. Функция J 1 (p k z) имеет счетное множество положительных нулей. Тогда функция 2q Y 1 2q (p k z) также имеет счетное множество положительных нулей относительно z = q . Следовательно, k (, ) имеет счетное множество нулей относительно q независимо от > 0. Таким образом, нами установлен следующий критерий единственности решения задачи (2)-(6). Теорема 1. Если существует решение u(x, y) задачи (2)-(6), то оно един- ственно тогда и только тогда, когда k (, ) = 0 при всех k N. 437 2.2. Существование решения задачи 1. Поскольку q - любое поло- жительное число, оно может принимать значения, близкие к нулям k (, ). Поэтому при больших k выражение k (, ) может стать достаточно малым, т. е. возникает проблема малых знаменателей более сложной структуры, чем в известных работах [20, 23]. Лемма 1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) ql = q /(ql) - любое натуральное число; 2) ql = n/m - любое дробное число, где n и m - взаимно простые нату- ральные числа и m = 4, то существуют постоянные C 0 > 0, k 0 > 0 (k 0 N) такие, что при всех k > k 0 справедлива оценка v | k k (, )| > C 0 > 0. (39) Д о к а з а т е л ь с т в о. В правой части равенства (37) величина q J 1 (p k ) 2q K 1 (p k q ) 2q I 1 (p k q ) 2q есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Y k, поэтому достаточно рассмотреть слагаемое k ( ql ) = J 1 (2k ql ) + J 2q 1 2ql (2k ql ) , 1 2q (p k q ) при больших ql = q . ql В силу асимптотической формулы функции J (z) [24, §7.13.1] при z > : v J (z) = ( 3 ) 2 cos z + O(z 2 ) z 2 4 существует достаточно большое натуральное число k 0 такое, что при всех k > k 0 имеем v ( ) ( ( ) ) 2 cos cos 2k ql = A cos 2k ql . k k ( ql ) = v ql 4q 4 4 1 Отсюда видно что, если ql = N, т. е. = (q) q , то при k > k 0 ( v ) k k ( ql ) = A cos 2k = A cos > C 1 = const > 0. 4 4 (40) Пусть теперь ql = n/m - рациональное число, где n и m - взаимно про- стые числа, m > 2. Тогда ( v n ) k k ( ql ) = A cos 2k . m 4 438 Разделим 2kn на m с остатком: 2kn = sm + r, s, r N {0}, 0 6 r < m. Если r = 0, то этот случай сводится к рассмотренному выше. Пусть r > 0, тогда последнее выражение примет вид ( r v 1 ) k k ( ql ) = A cos (41) . m 4 Поскольку 1 6 r 6 m 1, следовательно 1 r 1 3 1 1 6 6 . m 4 m 4 4 m Тогда при всех m > 2 имеем 1 1 1 1 < 6 , 4 m 4 4 1 3 1 3 6 < . 4 4 m 4 (42) Из оценок (42) видно, что выражение r/m1/4 может быть равно 1/2 только при m = 4 и r = 3. По условию m = 4, тогда из (41) следует, что существует положительная постоянная C 2 такая, что v k k ( ql ) > C 2 > 0. (43) Далее из неравенств (40) и (43) следует оценка (39) при k > k 0 , где C 0 = = min{C 1 , C 2 }. Если k (, ) = 0 при k = 1, k 0 и выполнена оценка (39) при k > k 0 , то решение задачи (2)-(6) можно представить в виде суммы ряда Фурье 1 u(x, y) = v u 0 (y) + l v + ] 2 [ u k (y) cos k x + v k (y) sin k x . l (44) k=1 Покажем, что при определенных условиях относительно функций f (x) и g(x) ряд (44) и ряды, полученные из него путем почленного дифференци- рования по x и y первого порядка, равномерно сходятся на замкнутой обла- сти D и дважды почленно дифференцируются по x и y в замкнутой области D = D {|y| > > 0}, где - достаточно малое число. Рассмотрим следующие соотношения: v y k (, y) y E k (, y) A k (y) = , B k (y) = , y [0, ], v k (, ) v k (, ) y F k (, y) y k (y, ) C k (y) = , D k (y) = , y [, 0]. k (, ) k (, ) v (45) Лемма 2. Пусть выполнена оценка (39) при k > k 0 . Тогда для всех k > k 0 справедливы следующие оценки: |A k (y)| 6 C 3 , |A k (y)| 6 C 4 k, |B k (y)| 6 C 5 , |B k (y)| 6 C 6 k 1+ , |A k (y)| 6 C 7 k 2 , |B k (y)| 6 C 8 k 2 , 0 6 y 6 ; 6 y 6 ; 439 |C k (y)| 6 C 9 k 1 e kd , |D k (y)| 6 C 11 , |C k (y)| 6 C 10 k 1+ e kd , |D k (y)| 6 C 12 k 1+ , |C k (y)| 6 C 13 k 2 e kd , 6 y 6 0; |D k (y)| 6 C 14 k 2 , 6 y 6 , где C i - здесь и далее положительные постоянные, = 1/2q 1/2, d = = 2 q /(ql). Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя асимптотические формулы для цилин- дрических функций [24, §§7.2.8, 7.13.1] в нуле и на бесконечности: ( z ) ( z ) 1 1 J (z) , I (z) , (1 + ) 2 (1 + ) 2 (46) ( ) || z || K (z) , = 0, при z > 0; 2 2 ( 2 ) 1/2 ( ( 1 ) 1/2 ) e z , J (z) cos z , I (z) 2z z 2 4 (47) ( ) 1/2 ( 2 ) 1/2 cos(z /4) K (z) e z , Y (z) при z > , 2z z sin(/2) на основании (21) с учетом (36), (39) при y [0, ] и достаточно больших k оценим v 1 k Y 1 (p k q ) 6 C 3 , |A k (y)| 6 C (48) 2q i - здесь и далее положительные постоянные. где C На основании формул дифференцирования цилиндрических функций [24, §7.13.1] d d [z I (z)] = z I 1 (z), [z K (z)] = z K 1 (z) (49) dz dz найдем ) p k qy q1/2 ( A k (y) = J 1 (p k q ) K 1 1 (p k y q ) + Y 1 (p k q ) I 1 1 (p k y q ) . 2q 2q 2q 2q k (, ) Отсюда при y [0, ] и больших k имеем v 2 k Y 1 (p k q ) 6 C 4 k. |A k (y)| 6 k C 2q Нетрудно показать, что для A k (y) имеет место представление |A k (y)| = (p k q) 2 y 2q2 A k (y). (50) 10 k 2 . Тогда с учетом оценки (48) из равенства (50) имеем |A k (y)| 6 C Аналогично на основании формул (22), (36), (39) и асимптотических фор- мул (46) и (47) оценим функцию B k (y). При 6 y 6 и больших k имеем: v k v yI 1 (p q )K 1 (p y q ) v k v yK 1 (p q )I 1 (p y q ) k k k k 2q 2q 2q 2q 3 . + 6 C |B k (y)| 6 q q I 1 (p k )C 0 I 1 (p k )C 0 2q 440 2q (51) Если 0 6 y < , то аналогично получим v v 4 k yK 1 (p k y q ) 6 C 5 k . |B k (y)| 6 C 2q (52) Из оценок (51) и (52) следует, что |B k (y)| 6 C 5 при любом y [0, ]. Используя формулы (49) найдем B k (y) = ) p k qy q1/2 ( I 1 (p k q )K 1 1 (p k y q ) + K 1 (p k q )I 1 1 (p k y q ) . 2q 2q 2q 2q k (, ) Тогда отсюда при любом y [0, ] и больших k имеем v q1/2 q k p (p |B k (y)| 6 C 6 k qy K 1 1 k y ) 6 C 9 k 1+ . 2q Для функции B k (y) справедливо равенство B k (y) = (p k q) 2 y 2q2 B k (y). Отсю- да с учетом оценки (51) при 6 y 6 получим B k (y) 6 C 8 k 2 . Теперь оценим функции C k (y) и D k (y) при y [, 0] и достаточно боль- ших k. На основании формул (23), (24), (36), (39) и асимптотических формул (46) при < y 6 0 получим следующие оценки для функций C k (y) и D k (y): v k v y Y 1 ( p (y) q ) J 1 (p q ) k k 2q 2q + |C k (y)| 6 I 1 (p k q )C 0 2q v k v y Y 1 (p q ) J 1 ( p (y) q ) k k 2q 2q 6 C 9 k 1 e kd , (53) + q I 1 (p k )C 0 2q v k v y J 1 ( p (y) q ) K 1 (p q ) k k 2q 2q + |D k (y)| = q I 1 (p k )C 0 2q v k v y Y 1 ( p (y) q ) I 1 (p q ) k k 2q 2q 6 C 11 , (54) + I 1 (p k q )C 0 2q так как при любом y [, 0] и больших k v 7 k 12 . y Y 1 (p k (y) q ) 6 C 2q Используя формулы сокращенного дифференцирования [24, §7.13.1] d [z J (z)] = z J 1 (z), dz d [z J (z)] = z J 1 (z), dz вычислим C k (y) = ( ) C q p k q(y) q1/2 [ J 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q + 2q 2q k (, ) 441 ( )] + J 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q , (55) 2q D k (y) = 2q [ ( )] ( ) p k q(y) q1/2 [ C q I 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q J 1 1 p k (y) q + 2q 2q 2q k (, ) ( )] + K 1 (p k q )J 1 1 p k (y) q . (56) 2q 2q Из равенств (55) и (56) при любом y [, 0] следуют оценки: |C k (y)| v 8 kp k (y) q1/2 ( ) C 6 J 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q + q 2q 2q I 1 (p k )C 0 2q ) ( + J 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q 6 C 10 k 1+ e kd , 2q |D k (y)| 2q v 9 p k k(y) q1/2 [ ) ) ( ( C q q 6 J 1 1 p k (y) J 1 1 p k (y) + 2q 2q C 0 ( ) ] + K 1 (p k q ) J 1 1 p k (y) q 6 C 12 k 1+ . 2q 2q Поскольку C k (y) = (p k q) (y) 2q2 C k (y) и D k (y) = (p k q) (y) 2q2 D k (y), в силу оценок (53) и (54) при 6 y 6 получим C (y) 6 C 13 k 2 , D (y) 6 C 14 k 2 . k k Лемма 3. При выполнении условия (39) при k > k 0 справедливы следую- щие оценки: ( ) ( ) |u k (y)| 6 C 15 |f k | + |g k | , |v k (y)| 6 C 18 | f k | + | g k | , y [, ]; ( ) ( ) |u k (y)| 6 C 16 k|f k | + k 1+ |g k | , |v k (y)| 6 C 19 k| f k | + k 1+ | g k | , y [, ]; ( ) ( ) |u k (y)| 6 C 17 k 2 |f k | + |g k | , |v k (y)| 6 C 20 k 2 | f k | + | g k | , y [, ] [, ]. Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании формул (20), (29), (45) и (46) полу- чим следующие представления для функций u k (y) и v k (y) : u k (y) = f k A k (y) + g k B k (y), v k (y) = f k A k (y) + g k B k (y), y > 0, u k (y) = f k C k (y) + g k D k (y), v k (y) = f k C k (y) + g k D k (y), y 6 0. Исходя из этих равенств на основании леммы 2 нетрудно получить указанные оценки. Теперь на основании леммы 3 докажем, что функция u(x, y), определяе- мая рядом (44), удовлетворяет условиям (2) и (3) поставленной задачи. Фор- мально из ряда (44) почленным дифференцированием составим ряды: v v 2 2 u x = k u k (y) sin k x + k v k (y) cos k x, (57) l l k=1 442 k=1 v v 2 2 1 u y = v u 0 (y) + u k (y) cos k x + v k (y) sin k x, l l l k=1 k=1 v v 2 2 2 2 u xx = k u k (y) cos k x k v k (y) sin k x, l l k=1 k=1 v v 1 2 2 u yy = v u 0 (y) + u k (y) cos k x + v k (y) sin k x. l l l k=1 (58) (59) (60) k=1 Тогда на основании леммы 3 ряды (44), (57), (58) при любых (x, y) D мажорируются числовым рядом C 21 [ ( )] k |f k | + | f k | + k 1 |g k | + | g k | , (61) k=1 а ряды (59), (60) при любом (x, y) D мажорируются рядом C 22 (62) ( ) k 2 |f k | + | f k | + |g k | + | g k | . k=1 Лемма 4. Если функции f (x), g(x) C 4 [0, l], на этом сегменте имеют кусочно-непрерывную производную третьего порядка и выполнены условия f (0) = f (l), f (0) = f (l), g(0) = g(l), g (0) = g (l), то для коэффициентов f k , f k , g k , g k справедливы следующие оценки: f k = p k , 3 k p k f k = 3 , k g k = s k , 3 k g k = s k , 3 k (63) где l p k = f (x) sin k x dx, 0 s k = l g (x) sin k x dx, 0 + k=1 2 p k < +, + 2 p k < +, p k = s k = k=1 k=1 f (x) cos k x dx, 0 + l l g (x) cos k x dx, 0 2 s k < +, + s k 2 < +. (64) k=1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим интегралы (12), (13), (27) и (28). Ин- тегрируя их по частям три раза с учетом условий леммы, получим требуемые представления (63). Справедливость оценок (64) следует из неравенства Бес- селя для тригонометрической системы. В силу леммы 4 ряды (61) и (62) оцениваются соответственно числовыми рядами ( |p k | + | p k | |s k | + | s k | ) C 23 + (65) k 2 k 1+ k=1 443 и ) 1 ( C 24 |p k | + | p k | + |s k | + | s k | . k (66) k=1 Поскольку числовые ряды (65), (66) сходятся, ряды (44), (57), (58) схо- дятся равномерно на D, а ряды (59), (60) - на D . Поэтому функция u(x, y), определяемая равенством (44), удовлетворяет условиям (2) и (3). Если для указанных в лемме 1 значений ql при k = n {n 1 , n 2 , . . . , n m }, где 1 6 n 1 < n 2 < · · · < n m 6 k 0 , n i , i = 1, m, и m - заданные натуральные числа, выполняется равенство n (, ) = 0, то для разрешимости задачи (2)- (6) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия v v (67) f n J 1 (p k q ) + g n I 1 (p k q ) = 0, n = {n 1 , n 2 , . . . , n m }, 2q 2q v v f n J 1 (p k q ) + g n I 1 (p k q ) = 0, n = {n 1 , n 2 , . . . , n m }. (68) 2q 2q Тогда решение этой задачи определяется в виде суммы ряда 1 u(x, y) = v u 0 (y)+ l ( n 1 1 + + ··· + k=1 n=n m 1 k=n m1 +1 + + ) [ ] u k (y) cos k x + v k (y) sin k x + k=n m +1 + u n (x, y), (69) n где в последней сумме n принимает значения n 1 , n 2 , . . . , n m и функции u n (x, y) определяются по формуле u n (x, y) = u n (y) cos k x + v n (y) sin k x, ] [ 1 v q 2 1 v g yI (p y ) + b y (, y) , y > 0, 1 n n n k J 1 (p k q ) 2q 2q [ ] u n (y) = v 1 2 1 v q f yJ y (y, ) , y 6 0; 1 (p k (y) ) + b n n n I 1 (p k q ) 2q 2q [ ] 1 v 2 1 v q g yI (p y ) + b y (, y) , y > 0, 1 n n n k J 1 (p k q ) 2q 2q [ ] v n (y) = 1 n 2 1 vyJ 1 (p k (y) q ) + b n vy n (y, ) , y 6 0. f I 1 (p k q ) 2q 2q Конечные суммы в (69) следует считать нулями, когда верхний предел меньше нижнего. Таким образом, доказана следующая Теорема 2. Пусть числа ql удовлетворяют условиям леммы 1, т.е. вы- полнена оценка (39) при всех k > k 0 , и функции f (x) и g(x) удовлетворяют 444 условиям леммы 4. Тогда если k (, ) = 0 при всех k = 1, k 0 , то существу- ет единственное решение задачи (2)-(6) и оно определяется рядом (44); если k (, ) = 0 при k = n 1 , n m 6 k 0 , то задача (2)-(6) разрешима только тогда, когда выполнены условия (67) и (68) и решение в этом случае определяется рядом (69). 3. Исследование задачи 2 Пусть u(x, y) - решение задачи (2)-(5). Рассуждая аналогично § 2, введем функции (7)-(9). Относительно функции (7) получим краевую задачу (10)- (12). Решение уравнения (1) ищется в классе (2), следовательно, для функций (14) должны выполняться условия сопряжения (11). Для этого найдем про- изводные функций (14): 1 1 a k p k y q 2 I 1 1 (p k y q ) b k p k y q 2 K 1 1 (p k y q ) , y > 0, 2q 2q ( ) 1 c k p k (y) q 2 J 1 1 p k (y) q u k (y) = 2q ( ) 1 d k p k (y) q 2 Y 1 1 p k (y) q , y < 0. 2q В силу асимптотических формул для функций Бесселя в окрестности нуля (46) в случае, когда 1 < s < 2, имеем особенности при |y| > 0 вида ( ) 1 y q 2 K 1 1 (p k y q ) = O y 1s , y > 0, 2q ( ) ( ) q 2 1 (y) Y 1 1 p k (y) q = O (y) 1s , y < 0. 2q Отсюда следует, что равенства (11) возможны только в том случае, когда b k = 0 и d k = 0 при всех k N. Также для выполнения равенства (11) необходимо выполнение условия c k = a k . С учетом последних равенств решения (19) примут вид { u k (y) = v y > 0, a k yI 1 (p k y q ) , ( ) v 2q q a k yJ 1 p k (y) , y 6 0. (70) 2q Для нахождения постоянной a k в (70) воспользуемся граничным условием (5) и формулой (12). Тогда получим a k = v f k . I 1 (p k q ) (71) 2q Подставляя (71) в (70), найдем окончательный вид функции: v f k y v I 1 (p y q ) , y > 0, I 1 (p k q ) 2q k 2q v u k (y) = ( ) f k y q v J , y 6 0. 1 p k (y) I 1 (p k q ) 2q (72) 2q 445 Аналогично для функции (9) получаем краевую задачу (25)-(27). В этом случае единственное решение этой задачи определяется по формуле v f k y v y > 0, I (p y q ) , I 1 (p k q ) 2q 1 k 2q v k (y) = (73) v ( ) f k y q v I 1 (p k q ) J 2q 1 p k (y) , y 6 0. 2q Для нахождения функции (8) получим задачу (30)-(32), решение которой имеет вид u 0 (y) = a 0 (y ) + f 0 , (74) где a 0 - произвольная постоянная. Исходя из формул (72)-(74) можно получить теорему о единственности решения задачи (2)-(5), так как если f (x) 0 на [0, l], то u k (y) 0, u 0 (y) a 0 (y ), v k (y) 0 для k = 1, 2, . . . на [, ]. Тогда из (7)-(9) при всех y [, ] и k N следуют равенства l u(x, y) cos k x dx = 0, 0 l u(x, y) dx = a 0 (y ), (75) 0 l u(x, y) sin k x dx = 0. 0 Введем функцию v(x, y) = u(x, y) a 0 (y ). Тогда равенства (75) можно переписать в виде l v(x, y) cos k x dx = 0, 0 l v(x, y) dx = 0, (76) 0 l v(x, y) sin k x dx = 0. 0 Из равенств (76) в силу полноты системы (35) в пространстве L 2 [0, l] сле- дует, что v(x, y) = 0 почти всюду на [0, l] при любом y [, ]. Поскольку v(x, y) C(D), имеем v(x, y) 0 или u(x, y) a 0 (y ) на D. Следовательно, доказана следующая Теорема 3. Если существует решение задачи (2)-(5), то оно единствен- но с точностью до слагаемого линейной функции по переменной y: a 0 (y ). Решение задачи (2)-(5) представляется в виде суммы ряда Фурье (44), где коэффициенты определяются формулами (72)-(74). Лемма 5. Для функций u k (y), v k (y) и их производных при достаточно больших k справедливы следующие оценки: |u k (y)| 6 C 31 |f k |, 446 |v k (y)| 6 C 34 | f k |, y [, ]; |u k (y)| 6 C 32 k|f k |, |u k (y)| 6 C 33 k 2 |f k |, |v k (y)| 6 C 35 k| f k |, y [, ]; |v k (y)| 6 C 36 k 2 | f k |, y [, ] [, ]. Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично леммам 2 и 3. Если функция f (x) удовлетворяет условиям леммы 4, то ряд (44) и его производные до второго порядка включительно мажорируются сходящимися числовыми рядами с новыми коэффициентами (72)-(74). Таким образом, приходим к следующему утверждению. Теорема 4. Пусть f (x) C 3 [0, l] и выполнены условия f (0) = f (l), f (0) = = f (l), f (0) = f (l). Тогда задача (2)-(5) разрешима и это решение опреде- ляется рядом (44) с точностью до слагаемого линейной функции по перемен- ной y, где коэффициенты u k (y), v k (y) и u 0 (y) определяются соответственно формулами (72)-(74).

About the authors

Kamil Basirovich Sabitov

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: sabitov_fmf@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor 37, Lenina prospekt, Sterlitamak, 453103, Russian Federation

Irina Petrovna Egorova

Samara State Technical University

Email: ira.egorova81@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files