Creep and plastic flow of a spherical viscoelastic layer material at its loading and unloading

Full Text

Введение. Исследование посвящено изучению процессов интенсивного деформирования материалов, когда накапливаемые ими необратимые деформации могут быть деформациями как ползучести, так и пластичности. Примером такого технологического процесса может служить холодная формовка [1] или обтяжка [2], когда необратимые деформации накапливаются за счет медленного процесса ползучести, однако это не исключает возникновения локальных областей пластического течения (обычно в местах контакта оснастки и деформируемого материала). Наличие таких областей приводит к значительному перераспределению полей напряжений и, следовательно, влияет на процесс ползучести. Таким образом, при моделировании таких процессов необходимо использовать теорию ползучести при одновременном учете возможностей возникновения и развития зон пластического течения. Учет же упругих деформаций позволяет при этом рассчитывать упругий отклик при разгрузке, в том числе остаточные напряжения и их релаксацию после полной разгрузки. Разработан ряд теорий и методов решения краевых задач, учитывающих помимо упругих и пластических свойств материалов еще и реологические. Можно отметить, например, работы [3-6]. Заметим, однако, что решений краевых задач, когда накапливаемые материалом деформации могут быть деформациями и ползучести, и пластического течения, а также соответствующих задач о разгрузке работы [3-6] не содержат. Опираясь на соотношения теории больших упругопластических деформаций [7, 8], авторы работы [9] предложили новый подход, предполагающий последовательное накопление необратимых деформаций ползучести и пластичности. Предлагается разделять приобретаемые телом деформации на деформации ползучести и пластические деформации в соответствии с механизмом их возникновения. Таким путем получаем общее уравнение изменения как деформаций ползучести, так и деформаций пластичности. В этом уравнении присутствует по-разному задаваемый источник необратимых деформаций. В первом случае - это скорости деформаций ползучести на стадии деформирования, предваряющей пластическое течение, или при разгрузке, а во втором - скорости пластических деформаций в условиях соответствия напряженных состояний поверхности нагружения. На упругопластических границах происходит смена механизма накопления необратимых деформаций с медленного вязкого на быстрый пластический, и наоборот. Чтобы на таких границах не было разрывов необратимых деформаций, законы ползучести и пластического течения нужно согласовать. В недавних работах [9-12] на примере задач теории больших деформаций о вискозиметрическом деформировании и прямолинейном движении материалов [13, 14] показаны разные подходы к такому согласованному выбору при использовании обобщения условий пластичности Треска-Сен-Венана на случай вязкого сопротивления пластическому течению. В данной работе, используя предложенный новый подход, в рамках теории малых деформаций рассмотрим задачу о деформировании полого шара под действием всестороннего сжатия и укажем на ее примере согласование в законе ползучести Нортона [15] и в условии идеальной пластичности Мизеса [16] как в условиях активного нагружения, так и при разгрузке, включая возможность повторного пластического течения. 1. Основные модельные соотношения. Будем использовать теорию малых деформаций, в которой тензор полных деформаций складывается из обратимой и необратимой составляющих = + = 1 (, + , ) , 2 , = . (1) В соотношениях (1) - компоненты вектора перемещений в прямоугольной декартовой системе координат. Напряжения в среде связаны с упругими деформациями законом Гука = + 2 , (2) в котором , - параметры Ламе, - символ Кронекера. Диссипативный механизм деформирования свяжем только с вязкими и пластическими свойствами материала. Считаем, что необратимые деформации накапливаются в материале непосредственно с начала процесса деформирования и первоначально связаны с явлением ползучести. В областях, где напряженное состояние еще не достигло поверхности текучести или где пластическое течение было, но прекратилось, диссипативный механизм деформирования зададим в форме закона ползучести Нортона [15], в котором полагаем скорости необратимых деформаций равными скоростям деформаций ползучести : ( ) = (1 , 2 , 3 ), v ) 1 3 ( (1 )2 + (2 )2 + (3 )2 2 , 2 1 1 = = (1 + 2 + 3 ), = = , 3 3 = (3) где 1 , 2 , 3 - главные значения тензора напряжений; , - заданные параметры ползучести материала. При достижении напряженным состоянием поверхности текучести диссипативный механизм деформирования меняется и начинается пластическое течение. В качестве поверхности текучести выберем условие пластичности Мизеса [16] 8 ( ) = 2 , = . (4) 3 Здесь - предел текучести материала. Не разделяя необратимые деформации, считаем, что накопленные к моменту начала пластического течения деформации ползучести являются начальными значениями для их дальнейшего роста в области течения. 2. Постановка и решение задачи до начала пластического течения. Пусть вязкоупругопластический материал занимает сферический слой, ограниченный поверхностями = 0 и = (0 < ). К внешней границе слоя = приложено всестороннее давление, в то время как его внутренняя граница свободна (5) = = (), =0 = 0. В граничных условиях (5) () - известная возрастающая со временем функция, - радиальная компонента тензора напряжений в используемой в дальнейшем сферической системе координат , , . В рассматриваемом случае сферической симметрии для отличных от нуля компонент тензора деформаций согласно соотношениям (1) имеем = + = , = = + = . (6) В зависимостях (6) = - единственная отличная от нуля компонента вектора перемещений. Напряжения в сферическом слое найдем из закона (2): = ( + 2) + 2 , = = + 2( + ) . Используя квазистатический подход, запишем уравнение равновесия: +2 = 0. (7) Рассмотрим деформирование материала до начала пластического течения. В рассматриваемом случае сферической симметрии = закон Нортона (3) принимает вид ( ) ( ) = 2 2 ( )2 + ( )2 + ( )2 2 , = = 2 = 2 = ( )1 , + 2 = 0, + 2 = 0. (8) Для компонент перемещений, обратимых и необратимых деформаций в рассматриваемом случае имеем [17, 18] ( + 2) ( + ) , = , (3 + 2) 2(3 + 2) 1 = 2 2 ( + 2 ), (3 + 2) + 2 2() = ( ) 3 . (3 + 2) (3 + 2) = (9) Отметим, что соотношения (9) остаются справедливыми на протяжении всего процесса деформирования независимо от типа накапливаемой материалом необратимой деформации. Из уравнения равновесия (7) с учетом (9) и краевых условий (5) найдем компоненты напряжений и : 4() ( 1 2(3 + 2) 1 ) + , = + 2 3( + 2) 03 3 0 ( ) 2() = + (3 + 2) + 3 , + 2 ( ) + 2 33 3 ) () = ( 30 () + (3 + 2) . 2 2 03 0 (10) Из закона ползучести (8) и четвертой зависимости (9) получим интегро-дифференциальное уравнение для компоненты необратимых деформаций (, ) = 2 : [ 2() )]1 ( (3 + 2) + 3 = . + 2 (11) Численное решение интегро-дифференциального уравнения (11) при начальном условии (, 0) = 0 получено при помощи конечно-разностного метода и составной формулы трапеций, используемой для приближенного вычисления интегралов. По известным значениям напряжений (10) из соотношений (9) найдены компоненты обратимых деформаций. Распределение перемещений по сферическому слою получается из второй зависимости (6). 3. Пластическое течение. Возрастающее давление () приводит к тому, что в некоторый момент времени = 0 на внутренней сферической поверхности = 0 выполнится условие пластичности (4), которое в нашем случае примет вид = 2. (12) С этого момента времени от поверхности = 0 развивается область пластического течения 0 6 6 (), а область () 6 6 остается вязкоупругой областью, в которой присутствуют упругие деформации и деформации ползучести. Таким образом, граница = () является движущейся границей области пластического течения. В области пластического течения 0 6 6 () интегрированием уравнения равновесия (7) с учетом условия пластичности (12) и второго условия (5) найдем компоненты напряжений , 0 = 4 ln ( ) = 2 2 ln + 1 . 0 (13) Для компоненты напряжения в области вязкоупругого деформирования () 6 6 из уравнения (7), четвертой зависимости (9) и первого условия (5) получим 2(3 + 2) = + 2 4() ( 1 1 ) (). 3( + 2) 3 3 (14) В области () 6 6 по-прежнему выполняется интегро-дифференциальное уравнение (11), в котором с учетом непрерывности компонент напряжений функция () на упругопластической границе = () имеет вид 33 3 ( + 2 2( + 2) () = () ln + (3 + 2) 3 3 2 ( ) 2 0 ) . Из четвертого соотношения (9) и условия пластического течения (12) найдем компоненту в области течения 0 6 6 (): = ( () ( + 2) ) 2 + . 3 + 2 3 (15) Уравнение (15), в котором = (), и (11) образуют систему уравнений относительно неизвестных функций (, ) в области () 6 6 и (). Решение этой системы также получено при помощи конечно-разностного метода. Для компоненты напряжений в области () 6 6 продолжает выполняться второе соотношение (10). Компоненты упругих деформаций и перемещений вычисляются из зависимостей (9) и (6). 4. Пластическое течение при постоянном давлении и разгрузка среды. Пусть с момента времени = 1 > 0 давление () становится постоянным. Такое изменение в режиме нагружения приводит к тому, что в области 0 6 6 1 () продолжается пластическое течение, в области 1 () 6 6 (1 ) начинается разгрузка, а в области (1 ) 6 6 попрежнему происходит вязкоупругое деформирование. Новая упругопластическая граница = 1 () отделяет уменьшающуюся область пластического течения 0 6 6 1 () от области 1 () 6 6 (1 ), в которой необратимые деформации теперь накапливаются за счет процесса ползучести. Скорость продвижения границы = 1 () по среде при этом близка к нулю. В областях 1 () 6 6 (1 ) и (1 ) 6 6 остается справедливым интегро-дифференциальное уравнение (11) с функцией ( 2( + 2) 1 + 2 331 3 () ln + () = 3 3 2 0 2( 1 ) + (3 + 2) 1 ) . (16) Компонента необратимых деформаций в области 0 6 6 1 () вычисляется из соотношения (15). Как и ранее, неизвестные функции (, ) и 1 () в областях 1 () 6 6 (1 ), (1 ) 6 6 находятся из системы, которая состоит из уравнения (15), в котором = 1 (), и уравнения (11), конечно-разностным методом. Компоненты напряжений в областях 1 () 6 6 (1 ), (1 ) 6 6 вычисляются из зависимости (14) и второго соотношения (10), а в области течения 0 6 6 1 () - из соотношений (13), в которых функция () имеет вид (16). Упругие деформации и перемещения находятся по формулам (9) и (6) соответственно. Положим далее, что с момента времени = 2 > 1 давление () уменьшается. Это приводит к разгрузке сферического слоя. Таким образом, начиная с момента времени = 2 пластическое течение полностью прекращается и приращение необратимых деформаций во всем слое связано только с процессом ползучести. Дифференциальное уравнение в частных производных (11) для необратимых деформаций теперь выполняется во всем сферическом слое, в котором функция () определяется из третьего соотношения (10). Напряжения в каждой точке слоя вычисляются из первых двух зависимостей (10), обратимые деформации и перемещения - из (9) и (6). В момент времени = 3 > 2 разность напряжений на внутренней границе слоя = 0 обращается в нуль: ( )=0 , = 0 =3 и далее становится отрицательной, но при этом по абсолютной величине начинает возрастать. Теперь сферический слой можно разделить на две области, в которых разность напряжений имеет разные знаки. Поэтому из (3) и (8) имеем = = 2 = | |2 ( ). (17) С учетом (17) уравнение (11) для примет вид 1 ( 2() ) = (3 + 2) + ( + 2)1 3 2() 2 (3 + 2) + 3 . (18) Соотношения (9), (10) и (6) для обратимых деформаций, напряжений, функции () и перемещений выполняются и в данном случае. 5. Повторное пластическое течение при разгрузке. В процессе разгрузки напряженное состояние может снова достигать поверхности нагружения. В рассматриваемом случае это связано с выполнением условия ( ) =0 = 2 в момент времени = 4 > 3 . С этого момента времени при дальнейшем уменьшении функции () от внутренней границы = 0 развивается область повторного пластического течения 0 6 6 2 (). В областях 2 () 6 6 6 1 (2 ), 1 (2 ) 6 6 (1 ) и (1 ) 6 6 материал продолжает деформироваться вязкоупруго, т.е. граница = 2 () - движущаяся граница области повторного пластического течения. Учитывая, что далее во всей области 0 6 6 2 () выполняется условие = 2, 276 (19) интегрированием уравнения равновесия при втором краевом условии (5) найдем компоненты напряжений ( ) = 4 ln , = 2 2 ln + 1 . 0 0 Из четвертого соотношения (9) и условия пластичности (19) выразим компоненту необратимых деформаций в области 0 6 6 2 (): ( () ( + 2) ) 2 = . 3 + 2 3 (20) В областях 2 () 6 6 1 (2 ), 1 (2 ) 6 6 (1 ) и (1 ) 6 6 продолжает выполняться интегро-дифференциальное уравнение (18), в котором ( ) + 2 332 3 2( + 2) 2 ) () = ( 3 () + ln + (3 + 2) . 2 0 2 32 2 Система уравнений (20) при = 2 () и (18) является системой относительно неизвестных функций 2 () и (, ) в областях 2 () 6 6 1 (2 ), 1 (2 ) 6 6 (1 ) и (1 ) 6 6 . Положение упругопластической границы = 2 () однозначно связано с уменьшающимся внешним давлением. При полной разгрузке (внешнее давление () обращается в нуль при = ) в соотношениях, задающих остаточные напряжения и деформации, функция () принимает форму ( ) 2( + 2) 2 332 3 ) ln . () = ( 3 + (3 + 2) 0 2 32 2 С момента времени = пластическое течение прекращается и дальнейшее изменение необратимых деформаций в любой точке сферического слоя связано с процессом ползучести. Все расчеты проводились с линейной функцией давления , 0 6 < 1 , 1 , 1 6 < 2 , () = ( ) , 6 6 = 1 + 1 2 2 2 и следующими значениями постоянных безразмерных параметров: = 3, 3 / = 3.5, / = 3.9, 0 / = 0.1, / = 0.0026, / = 0.5. Изменение от безразмерного времени = / упругопластических границ = / (в промежутке от 0 = 0.004 до 1 = 0.02), = 1 / (от 1 до 2 = 0.04) и = 2 / (от 4 = 0.054 до = 0.08) представлено на рис. 1. Компоненты остаточных напряжений = / и = / в процессе их релаксации после снятия нагружающих усилий от (сплошные линии) до = 100 (штриховые линии) показаны на рис. 2. Кривые на рис. 3 иллюстрируют распределение перемещений = / в зависимости от радиуса = / в моменты времени = 0.012 (сплошной линией), 1 (штриховой линией) и (пунктирной линией). Рис. 1. Изменение упругопластических границ с течением времени [Figure 1. Elastic-plastic boundaries evolution] Рис. 2. Распределение компонент напряжений [Figure 2. Distributions of stress tensor components] Рис. 3. Распределение перемещений в разные моменты времени [Figure 3. Distributions of displacements at different times] Рис. 4. Распределение необратимых и обратимых деформаций [Figure 4. Distributions of irreversible and reversible deformations] На рис. 4 изображены распределения необратимых и сплошной и пунктирной линиями и обратимых деформаций и сплошной и пунктирной линиями соответственно в момент времени 2 . Заключение. В данной работе получено решение краевой задачи о пластическом течении материала сферического слоя с предварительно накопленными необратимыми деформациями ползучести, о разгрузке и о повторном пластическом течении материала. Получены зависимости упругопластических границ от времени, найдены распределения обратимых и необратимых деформаций, напряжений и перемещений по слою в разные моменты времени, вычислены остаточные напряжения и деформации.

About the authors

Kseniya Nailevna Galimzyanova

Institute for Automation and Control Processes, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: gal-ksyusha@ya.ru
5, Radio st., Vladivostok, 690041, Russian Federation

Larisa Valentinovna Kovtanyuk

Institute for Automation and Control Processes, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: lk@iacp.dvo.ru
Doctor of physico-mathematical sciences 5, Radio st., Vladivostok, 690041, Russian Federation

Galina Leonidovna Panchenko

Institute for Automation and Control Processes, Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences; Vladivostok State University of Economics and Service

Email: panchenko.21@yandex.ru, lk@iacp.dvo.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status 5, Radio st., Vladivostok, 690041, Russian Federation; 41, Gogolya st., Vladivostok, 690014, Russian Federation

References

Supplementary files