The effect of elevated temperature and tensile force loading on the relaxation of residual stresses in surface-hardened elements of the rod structure under creep conditions

Full Text

Введение. Стержневые системы широко применяются в элементах ин- женерных конструкций в разнообразных технических объектах (например, кронштейны, стойки шасси самолетов, фермы строительных сооружений, ферменные конструкции кранов и т. д.). Зачастую для изготовления тако- го рода конструкций применяются легкие титановые, алюминиевые (и дру- гие) сплавы, обладающие ползучестью даже при «комнатной» температуре. Если при изготовлении подобных деталей применяется финишная операция поверхностного пластического упрочнения, то задача оценки устойчивости остаточных напряжений к «рабочим» нагрузкам в условиях эксплуатации играет важную роль в оценке надежности изделий. Повышение эксплуатационных показателей деталей и элементов конструк- ций является крайне важной задачей в машиностроении и промышленности. Эти показатели часто определяются параметрами качества тонкого поверх- ностного слоя изделия. При изготовлении деталей и элементов конструкций в транспортном, энергетическом машиностроении, авиастроении используют- ся технологические методы повышения физико-механических поверхностных характеристик изделия, связанные с наведением сжимающих остаточных на- пряжений (ОН) в тонком упрочненном поверхностном слое. Поверхностное пластическое деформирование (ППД) - одна из технологий, благодаря кото- рой можно улучшить эксплуатационные характеристики деталей (сопротив- ление усталости, коррозионное растрескивание материала, трибологические характеристики, микротвердость) при нормальных и умеренных температу- рах путем наведения сжимающих ОН в поверхностном слое. Эффективность данного метода и положительное влияние сжимающих остаточных напряже- ний отмечены в многочисленных исследованиях отечественных и зарубежных ученых [1-10]. 498 Однако на практике изделия подвергаются воздействию вибрации, вы- соких температур, внешних нагрузок и другим механическим воздействи- ям, приводящим к релаксации остаточных напряжений (уменьшению сжи- мающих напряжений по модулю). Вследствие таких воздействий значитель- но снижается положительный эффект от упрочняющих технологий. В связи с этим возникает задача целесообразности использования методов поверх- ностного упрочнения для повышения характеристик прочности, надежности и долговечности изделия, а также оценки времени и скорости релаксации ОН в элементах конструкций при их эксплуатации. Подавляющее большинство исследований релаксации остаточных напряжений при высокотемператур- ном нагружении имеет исключительно экспериментальный характер. Анализ результатов феноменологических исследований и сопутствующих эффектов проведен, например, в работах [11, 12]. Одна из первых попыток связать процесс релаксации ОН с ползучестью материала изделия нашла отражение в работах [13, 14]. Исследования релаксации остаточных напряжений для простейших дета- лей (цилиндрические образцы, призматические детали и др.) при одноосном нагружении либо при термоэкспозиции представлены в публикациях [15-21]. Зависимость процесса релаксации от приложенных циклических нагрузок продемонстрирована в работах [22-24]. В основе многих теоретических исследований оценки кинетики напряжен- но-деформированного состояния изделия при температурно-силовом нагру- жении лежит концепция релаксации ОН в результате ползучести, предло- женная и разработанная в [12]. Получивший дальнейшее развитие этот метод позволил разрешить ряд краевых задач об оценке релаксации остаточных на- пряжений в упрочненных цилиндрических [20, 25, 26] и плоских [27] образцах при ползучести в условиях термоэкспозиции и осевого растяжения. Первая попытка математического моделирования релаксации остаточных напряжений в статически неопределимых системах в условиях ползучести осуществлена в работе авторов настоящей статьи [28]. Однако в этой рабо- те не учитывалось влияние температурного нагружения вследствие измене- ния модуля Юнга от температуры как на формирование остаточных напря- жений после процедуры упрочнения, так и на их последующую кинетику в процессе ползучести. Поэтому целью настоящей работы является исследо- вание влияния температурно-силового нагружения на процессы ползучести и релаксации остаточных напряжений в упрочненных элементах статически неопределимой стержневой системы с учетом зависимости механических ха- рактеристик от температуры. 1. Расчет ползучести статически неопределимой системы с неу- прочненными элементами. Рассматривается статически неопределимая стержневая конструкция (ферма), все элементы которой моделируются спло- шными цилиндрическими стержнями. В силу шарнирного соединения узлов в неупрочненных элементах системы реализуется одноосное напряженное со- стояние. Целью данного раздела является разработка метода численного реше- ния задачи о напряженно-деформированном состоянии в элементах системы в условиях ползучести с последующим обобщением предложенного подхода к системам с поверхностно упрочненными стержневыми элементами. 499Р а д ч е н к о В. П., Д е р е в я н к а Е. Е. Рассмотрим постановку задачи в самом общем случае. Обозначим через n количество стержней в системе, m - множество шарнирных узлов (m < n); i , i , e i , Ti , p i - напряжение, полная деформация, упругая компонента де- формации, температурная деформация, деформация ползучести в i-том стержне (i = 1, n) соответственно. Задача рассматривается в декартовой си- стеме координат, привязанной к некоторому опорному узлу (с нулевыми ком- понентами вектора перемещений). Тогда уравнения равновесия можно представить в виде ( ) j F jg R 1 j , . . . , R n j , N 1 j , . . . , N m = 0 (g = 1, m), (1) где N s j (s = 1, m) - проекции внешних сил N s на координатные оси, j = 1, ( = 2 для плоской, а = 3 - для пространственной стержневой системы); R j ( = 1, n - проекции внутренних усилий R в стержнях системы, свя- занные с напряжениями соотношением R = S n , в котором n - единичный вектор, задающий ориентацию -го стержня, S - площадь его поперечного сечения. В конечном итоге система уравнений (1) с использованием связи между напряжениями и реакциями может быть приведена к виду n i=1 a jig i + m b jsg N s j = 0 (j = 1, ; g = 1, m), (2) s=1 где a jig и b jsg - вполне определенные константы, содержащие площади попе- речных сечений и тригонометрические функции узлов, которые составляют стержни с осями координат. Поскольку рассматриваются статически неопределимые конструкции, к уравнениям равновесия (2) необходимо добавить m 0 = n m уравнений совместности деформаций k ( 1 , 2 , . . . , n ) = 0 (k = 1, m 0 ). (3) Полную деформацию i каждого стержня системы будем представлять в виде аддитивной составляющей упругой деформации e i , температурной де- формации Ti и деформации ползучести p i : i = e i + Ti + p i (i = 1, n). (4) В общем случае будем предполагать, что стержни системы выполнены из разных материалов, поэтому упругие и реологические свойства материалов у разных стержней различные. Тогда для упругой и реологической деформа- ции можно записать i A i e i = i , p i (t) = i (t), Ti = i T (T 1 T 0 ) (i = 1, n), (5) E где E i - модуль упругости материала i-того стержня, i T - коэффициент тем- пературного расширения материала, T 0 , T 1 - начальная температура и тем- пература эксплуатации соответственно (T 0 < T 1 ), а A i - некоторый времен- ной дифференциальный или интегральный оператор, связывающий дефор- мацию ползучести, ее скорость и напряжение. 500 Используя теперь (4) и (5), соотношения (3) могут быть представлены в виде ( ) * k 1 (t), . . . , n (t), p 1 (t), . . . , p n (t), T 1 , . . . , Tn = 0 (k = 1, m 0 ), (6) где величины деформаций ползучести каждого стержня в соответствии со вторым соотношением (5) выражаются через соответствующие напряжения по выбранной теории ползучести. В общем случае нелинейной ползучести уравнения (6) являются нелиней- ными. Тогда уравнения (2), (6) представляют систему функционально-диф- ференциальных или функционально-интегральных (в зависимости от выбора операторов A i в соотношениях (5)) нелинейных уравнений относительно на- пряжений i = i (t), где t - время. Эта система достаточно сложная и не имеет аналитического решения. Поэтому разрешить ее можно только чис- ленно, используя известный в теории ползучести метод «шагов по времени», суть которого следующая. Сначала выполняется дискретизация по времени t: 0 = t 0 < t 1 < t 2 < . . . < t = t * (t * - время наблюдения за ползучестью кон- струкции). Тогда при t 0 = 0 с использованием начальных условий для дефор- мации ползучести p i (0) = 0 из решения системы (2), (6) находится решение в упругой области. Далее при известных значениях напряжения i = i (0) находятся приращения деформации ползучести p i за время t 1 = t 1 t 0 при постоянных напряжениях, соответствующих времени t 0 , и вычисляется значение реологической деформации при t = t 1 : p i (t 1 ) = p i (0) + p i (i = 1, n). Затем решается система (2), (6) и определяются напряжения i = i (t 1 ), и процесс итерационно продолжается: находится новое приращение дефор- мации ползучести p i на интервале t 2 = t 2 t 1 при постоянных напряже- ниях i = i (t 1 ), определяются p i (t 2 ) = p i (t 1 ) + p i , снова решается система (2), (6), находятся i = i (t 2 ) и т. д. Не снижая общности, реализацию приведенного метода (и последующих методик) рассмотрим применительно к конкретной трехэлементной плоской статически неопределимой стержневой конструкции, схема которой и основ- ные обозначения приведены на рис. 1. Здесь же приведена декартова система координат. Стержни системы моделируются в виде сплошных цилиндриче- ских образцов одинакового круглого поперечного сечения площадью S = a 2 (a - радиус цилиндра), выполненных из одного материала, под действием температурно-силовой нагрузки (P - растягивающая сила). Введем обозначения (см. рис. 1). Пусть N s - возникающие в стержнях системы реакции, l s - длины стержней, l s - удлинения стержней в процес- се деформирования всей конструкции (s = 1, 2, 3), l - перемещение узла A стержневой системы, - угол, образованный вектором перемещения с осью OY , и - углы, образованные первым I (s = 1) и вторым II (s = 2) стерж- нями системы с осью OY , то есть с третьим стержнем III (s = 3). Отметим, что здесь и далее задача рассматривается в рамках теории малых деформа- ций. Уравнения равновесия системы имеют вид { 1 sin + 2 sin = 0, 1 cos + 2 cos + 3 = P * , (7) X Y Рис. 1. Схема статически неопределимой стержневой системы [Figure 1. The scheme of statically indefinable rod system] где s (s = 1, 2, 3) - напряжения в стержнях, P * = P/S, а уравнения совмест- ности деформаций (УСД) - l = l 1 l 2 l 3 = = . cos ( + ) cos ( ) cos (8) Объединяя уравнения равновесия (7) и УСД (8), получим систему урав- нений относительно неизвестных и s (s = 1, 2, 3): 1 sin + 2 sin = 0, cos + cos + = P , 1 2 3 * (9) l cos ( ) = l cos ( + ), 1 2 l 2 cos = l 3 cos ( ). Рассмотрим решение задачи ползучести стержневой системы с учетом температурно-силового нагружения на основе системы уравнений (9). Счи- тая, что прогрев изделия происходит «мгновенно», температурные деформа- ции запишем как T = T T , где T - коэффициент линейного теплового расширения материала, T = T 1 T 0 . Представим полную деформацию каждого из s стержней системы как сумму упругой деформации e s , деформации ползучести p s и температурной деформации T (см. (2) и (5)): s (t) = e s (t) + p s (t) + T , (10) s (t) B , p s (t) : s > p s , s = 1, 2, 3, (11) E 1 где B - временной интегральный или дифференциальный оператор, связы- вающий напряжения и реологические деформации (скорости деформации) стержня, E 1 - модуль упругости материала при температуре T 1 . e s (t) = 502 С учетом выражений (10) и (11) преобразуем основную систему (9) к виду 1 (t) sin + 2 (t) sin = 0, (t) cos + 2 (t) cos + 3 (t) = P * , [ 1] [ ] 2 (t) 1 (t) T cos ( ) = l T cos ( + ), + p (t) + + p (t) + l 1 2 2 1 E 1 E 1 [ ] [ ] 3 (t) 2 (t) T cos = l T cos ( ). + p (t) + + p (t) + l 2 E 2 3 3 E 1 1 (12) После несложных преобразований из (12) определяются формулы для рас- чета напряжений s (t) в каждом из стержней: 1 (t) = 2 (t) sin , sin (13) sin ( + ) , sin ( ) ( ) l 3 P * /E 1 + p 3 (t) + T cos ( ) l 2 p 2 (t) + T cos 2 (t) = , ) ( sin (+) 1 cos ( ) E 1 l 2 cos + l 3 sin (14) 3 (t) = P * 2 (t) (15) а для определения угла = (t), характеризующего направление вектора перемещения узла A (см. рис. 1), после введения обозначений cos = z, v sin = 1 z 2 и элементарных преобразованийполучим уравнение для опре- деления величины z = cos : [ ( ( v v ) )) ( T l 2 z cos 1 z 2 sin l 1 z cos + 1 z 2 sin + v v ( ) ( )] + l 2 p 2 (t) z cos 1 z 2 sin l 1 p 1 (t) z cos + 1 z 2 sin [ v )] sin ( + ) ( l 2 z + l 3 z cos + 1 z 2 sin = sin [ ( P )( v ) ( ) ] * = l 3 + p 3 (t) + T z cos + 1 z 2 sin l 2 p 2 (t) + T z E 1 [ sin ( ] v ) l 1 z cos + 1 z 2 sin l 2 cos ( + ) , (16) sin которое разрешается численно. Таким образом, решение системы (12) находится по схеме (16) (15) t, l 1 , l 2 , l 3 , T , T, P * , E 1 , , , p 1 (t), p 2 (t), p 3 (t) > z = cos (t) > (15) (13),(14) > 2 (t) > 3 (t), 1 (t), (17) где цифры над стрелками означают номер формулы, по которой вычисляется соответствующая величина. Отметим, что упругое решение, соответствующее «мгновенному» темпе- ратурному и силовому нагружению при t = 0 + 0, также определяется по схеме (17) при p s (0 + 0) = 0 (s = 1, 2, 3). Для реализации схемы (17) необходимо иметь деформации ползучести p s (t), которые можно определить только при наличии известной теории пол- зучести для рассматриваемого материала. Полагаем, что рассматриваемые материалы обладают только первой и вто- рой стадиями ползучести, а деформация ползучести необратима. Для кон- кретизации оператора B в (11) воспользуемся вариантом одноосной реологи- ческой модели Ю. П. Самарина [29], который описывает первые две стадии одноосной ползучести следующим образом: (18) p(t) = v(t) + w(t); v(t) = [ (t) n 1 1 · b * 0, (t) * ] [ n 1 1 v(t) , b (t) · * [ n 1 1 b (t) · * (t) * (t) * ] v(t) > 0, ] v(t) 6 0; (19) (t) m 1 1 (t) w(t) = c * · * , (20) v(0) = w(0) = 0. (21) Здесь p - деформация ползучести; v - вязкопластическая, w - вязкая состав- ляющие деформации p; , b, c, n 1 , m 1 , * - константы модели. Как отмечалось выше, реализовать методику расчета (17) можно лишь численными методами. При численной реализации решения конкретной за- дачи ползучести для рассматриваемой стержневой системы будем исполь- зовать описанный выше известный метод - «шаги по времени» в моменты времени t j (j = 0, 1, . . . , ). Используя метод Эйлера в (18)-(21), все прира- щения накопленной деформации ползучести и ее компонент для каждого из s стержней системы за промежуток времени t j = t j+1 t j можно рассчитать по соотношениям p s (t j+1 ) = v s (t j+1 ) + w s (t j+1 ); v s (t j+1 ) = v s (t j ) + v s (t j+1 ); v s (t j+1 ) = [ b s (t * j ) n 1 1 · s (t j ) * ] v s (t j ) t j , [· · · ] > 0; 0, [· · · ] 6 0; w s (t j+1 ) = w s (t j ) + w s (t j+1 ); (t ) m 1 1 (t ) s j s j w s (t j+1 ) = c * · t j . * При t = 0+0 за начальные данные принимаем термоупругое решение s (0) = s 0 и = 0 , определяемое также согласно (17) при p s (0) = 0 (s = 1, 2, 3). После достижения заданного расчетного времени ползучести t * произво- дятся последовательно силовая (t = t * 0) и температурная (t = t * + 0) раз- грузки. Чтобы получить напряжения в каждом из стержней системы после 504 мгновенной температурно-силовой разгрузки достаточно разрешить систему (12), положив во втором уравнении P * = 0 и приняв T = 0. Частичная проверка «работоспособности» разработанного численного ме- тода исследования ползучести стержневой системы «шагами по времени» выполнена сравнением расчетных данных по этому методу для напряжений при достаточно больших значениях времени с асимптотическими значени- ями для этих же величин при t > , полученных другим способом. При t > напряжения в стержнях системы принимают фиксированные значе- ния s * = lim s (t) (s = 1, 2, 3), так же как и значение угла * = lim (t), t> t> и ползучесть системы характеризуется постоянной скоростью деформации, определяемой только вязкой компонентой w в реологических соотношениях (18), (20) (величинами упругой, температурной деформации и вязкопласти- ческой компоненты v s (t) в силу ее асимптотической ограниченности прене- брегаем). Тогда из (20) при t > имеем * m 1 1 * p s (t) = c s * · s * = const, и система (12) принимает вид 1 * sin + 2 * sin = 0, 1 * cos + 2 * cos + 3 * = P * , ( * ) m ( * ) m l 1 1 * 1 cos ( * ) = l 2 2 * 1 cos ( + * ), ( * ) m ( * ) m l 2 2 * 1 cos * = l 3 3 * 1 cos ( * ). Вводя обозначения cos * = z, sin * = v (22) 1 z 2 , из (22) получаем sin , sin sin ( + ) , 3 * = P * 2 * sin ( P ( * ) m 1 v ] * sin ( + ) ) m 1 [ * l 3 * 2 * l 2 z 2 * z cos + 1 z 2 sin = 0, sin v v [ ]( sin ) m 1 [ ] l 2 z cos 1 z 2 sin = 0, l 1 z cos + 1 z 2 sin sin 1 * = 2 * (23) (24) (25) (26) при этом уравнение (26) относительно z, а затем и уравнение (25) относи- тельно слагаемого 2 * разрешаются численно. Таким образом, схема расчета предельных значений s * и * выражается следующей последовательностью соотношений (23)-(26): (26) (25) (24) (23) P * , l 1 , l 2 , l 3 , , > z = cos * , * > 2 * > 3 * > 1 * . (27) Для модельных расчетов здесь и далее использовалась статически неопре- делимая система стержней (рис. 1) из сплава ЖС6У со следующими пара- метрами: l 1 = 500 мм, l 2 = 4l 1 , l 3 = 2l 1 - длины стержней; = 60 , = 45 - 505Р а д ч е н к о В. П., Д е р е в я н к а Е. Е. углы между стержнями; a = 3.76 мм - их радиус. Изначально система на- ходится в ненагруженном состоянии (P = 0) при комнатной температуре (T 0 = 20 °C), при этом E 0 = 2.3 · 10 5 МПа - модуль Юнга, = 0.3 - коэф- фициент Пуассона, T = 1.3 · 10 5 °C 1 - коэффициент линейного теплового расширения материала. Асимптотические и расчетные (шагами по времени) значения напряжений вычислялись в условиях температурно-силового нагружения: T 1 = 675 °C, соответствующий модуль Юнга E 1 = 1.85 · 10 5 МПа; растягивающая сила P = 41 кН. Параметры реологической модели (18)-(21) для материала ЖС6У при температуре 675°C взяты их работы [26]: = 0.21; n 1 = 2.564; m 1 = 4.509; * = 1; b = 4.221 · 10 11 МПа n 1 ; c = 4.237 · 10 18 МПа m 1 . После температурно-силового нагружения имеем: 1 0 = 188.51 МПа, 2 0 = = 230.88 МПа, 3 0 = 665.61 МПа, 0 = 18.5 . Используя эти значения в ка- честве начальных данных для расчета ползучести, получим графики (см. рис. 2) изменения растягивающих напряжений s = s (t) в каждом из стерж- ней системы (s = 1, 2, 3) и угла = (t). За расчетное время t * = 500 ч растягивающие напряжения s в условиях ползучести претерпевают суще- ственные изменения и достигают следующих значений: 1 (t * ) = 330.70 МПа, 2 (t * ) = 405.02 МПа, 3 (t * ) = 471.38 МПа, при этом (t * ) = 23.95 . Кривые на рис. 2 показывают, что напряжения s при t > 100 ч практиче- ски перестают изменяться, т.е. наблюдается их асимптотическое поведение. В табл. 1 приведены расчетные значения напряжений s , полученные численным методом на момент времени t * = 500 ч, и их асимптотические значения, полученные по схеме (27). Здесь же представлена относительная погрешность расчетных значений s (t * ) по отношению к соответствующим асимптотическим значениям s * . Малая величина погрешности подтверждает правомерность использования численного метода. Отметим интересный факт дрейфа направления вектора перемещения узла A (см. рис. 1) в процессе пол- зучести стержневой системы. Рис. 2. Расчетные напряжения в боковых (кривые 1 , 2 ) и центральном (кривая 3 ) стержнях системы (рис. 1) и изменение угла в процессе ползучести при температурно- силовой нагрузке (T 1 = 675 °C, P = 41 кН, материал стержней - ЖС6У) [Figure 2. The plots of the calculated stresses in lateral (curves 1 , 2 ) and central (curve 3 ) rods of the system (see Fig. 1) and angle change during creep under elevated temperature tensile testing (T 1 = 675 °C, P = 41 kN, the rods made of the ZhS6U alloy)] 506 Таблица 1 Asymptotic (limit) values of stresses obtained by Eqs. (27) 1 * , MPa 2 * , MPa 3 * , MPa cos * 331.51 406.01 470.28 0.919 Calculated values of stresses obtained by Eqs. (17) for t * = 500 hs 1 (t * ), MPa 2 (t * ), MPa 3 (t * ), MPa cos (t * ) 330.70 405.02 471.38 0.914 Relative error, % 0.25 0.24 0.23 0.55 2. Схема решения задачи релаксации ОН в поверхностно упроч- ненных элементах статически неопределимой системы в условиях ползучести. Основной задачей данной работы является разработка мето- да расчета релаксации ОН в поверхностно упрочненных элементах статиче- ски неопределимой системы в условиях ползучести на примере конструкции, представленной на рис. 1. Такая задача является многоступенчатой, поэто- му данная статья структурирована в соответствии со следующими этапами исследования: 1) реконструкция начального напряженно-деформированного состояния в цилиндрических стержневых элементах системы после процедуры анизотропного (в общем случае) ППД при нормальной температуре T 0 по методике [12, 25]; 2) расчет полей ОН в каждом из упрочненных стержней системы после «мгновенной» температурно-силовой нагрузки с температуры упроч- нения T 0 до температуры эксплуатации T 1 (T 0 < T 1 ); 3) решение краевой задачи релаксации ОН в каждом упрочненном стерж- не системы в условиях ползучести при заданной температурно-силовой нагрузке на фоне ползучести всей конструкции при температуре T 1 ; 4) расчет полей ОН в элементах системы в момент «мгновенной» темпе- ратурно-силовой разгрузки системы от T 1 до значения T 0 за заданное время после окончания процесса ползучести. Таким образом, реализация представленной схемы решения задачи даст полную картину кинетики ОН с течением времени в каждом из упрочнен- ных стержневых элементов статически неопределимой стержневой системы в условиях ползучести на разных этапах режима «нагрузка - разгрузка». Рассмотрим каждый из вышеизложенных этапов. 3. Формирование напряженно-деформированного состояния эле- ментов системы после поверхностного упрочнения и температурно- силового нагружения. Первый этап исследования поставленной задачи - реконструкция начального напряженно-деформированного состояния (полей остаточных напряжений и пластических деформаций) после ППД. Для этой цели используется известная феноменологическая методика восстановления напряженно-деформированного состояния в сплошном упрочненном цилин- дрическом образце, разработанная в работах [12, 25]. Решение задачи осу- ществляется в цилиндрической системе координат (r, , z), где r res , res и z res - радиальное, окружное и осевое остаточные напряжения, а q r , q и q z - соот- ветственно компоненты тензора пластических деформаций (ПД) после по- верхностного упрочнения. Недиагональные компоненты тензоров ОН и ПД являются малыми по сравнению с диагональными компонентами, что экс- периментально установлено в работе [31], поэтому в данной методике они не рассматриваются. В [25] на основе использования уравнения равновесия, сов- местности деформаций, закона Гука, условия пластической несжимаемости материала и гипотезы о постулировании связи осевой и окружной компонент тензора ПД установлено, что все компоненты тензоров ОН и ПД в упрочнен- ном слое выражаются через окружную компоненту res . Полагая, что в области сжатия поверхностного слоя вторичные ПД не возникают, расчетная схема включает в себя следующие зависимости [25]: 1 r res r res (r) = (28) ()d, r 0 r ] 1+ [ 2+ (1 + )(1 2) 1+ res res 1+ () d q (r) = r () + (1 + ) r E 0 (1 + ) 2 0 ] 1 + [ (29) (1 ) res (r) r res (r) , E 0 (1 + ) q z (r) = q (r), (30) q r = q (1 + ), (31) a { ]} [ 2 res 0 z = 2 (32) q z () () + res () d, a 0 E 0 r ) ( ) ( z res (r) = E 0 0 z q z (r) + r res (r) + res (r) , (33) где по-прежнему E 0 - модуль Юнга при температуре T 0 , - коэффициент Пуассона, a - радиус стержня, а - параметр анизотропии упрочнения (в на- правлениях осей z и , см., например, [25]). Отметим, что = 1 для дробе- струйной обработки, а, например, для обкатки роликом, алмазного выглажи- вания и некоторых других технологий = 1 [25, 26, 30, 31]. Приведем в соответствии с (28)-(33) схему расчета полей ОН и ПД в от- дельном сплошном цилиндрическом образце непосредственно после упрочне- ния его поверхности методами ППД: (28) (29) (30) (31) (32) (33) res (r) > r res (r) > q (r) > q z (r) > q r (r) > 0 z > z res (r). (34) Полученные поля ОН и ПД играют роль начальных данных для последу- ющего решения краевой задачи релаксации ОН в условиях ползучести. Из (34) можно заметить, что все компоненты тензоров ОН и ПД определя- ются исходя из значений окружной компоненты ОН и параметра , при этом компонента res (r) должна быть определена для всех r [0, a]. Для этого дискретная экспериментальная зависимость для окружной компоненты ОН, заданная, как правило, в тонком упрочненном слое глубиной 100-200 мкм, экстраполируется аналитической функцией вида ( (a h * r) 2 ) res (r) = 0 1 exp , b 2 508 (35) где h * = a r - расстояние от упрочненной поверхности цилиндрического образца, при котором эпюра res (r) достигает экстремума (локального ми- нимума); 0 , 1 и b - параметры, методика определения которых подробно изложена в [25, 26, 30]. Поскольку в рассматриваемой стержневой системе все элементы моде- лируются идентичными стержнями, включая процедуру их упрочнения, на- чальное НДС (после упрочнения в момент времени t = 0 0) в каждом из них будет идентичным. Поэтому начальные условия для всех стержней конструкции после ППД будут определяться тензором ОН с компонентами z res (r), res (r), r res (r), которые находятся согласно (34), и тензором полных деформаций с компонентами 0 z (r) = [ z res (r) ( res (r) + r res (r))] E 0 + q z (r), 0 (r) = [ res (r) ( r res (r) + z res (r))] E 0 + q (r), 0 r (r) = [ r res (r) ( res (r) + z res (r))] E 0 + q r (r). Допустим, что в момент t = 0 + 0 происходит «мгновенная» температур- ная нагрузка конструкции с температуры T 0 (температура упрочнения, при которой модуль Юнга материала стержней равен E 0 ) до температуры T 1 (при которой модуль Юнга равен E 1 ). Предположим, что при этом не возникают дополнительные ПД, т. е. распределение ПД не зависит от температуры. То- гда на момент полного прогрева отдельно взятого стержня выражение (29) при температуре T 1 можно записать в следующем эквивалентном виде: r ] 1+ E [ 2+ (1 + )(1 2) 1+ 1 res res 1+ q (r) = () d r () + (1 + ) E 1 (1 + ) 2 E 0 r 0 ] 1+ E 1 [ (1 ) res (r) r res (r) . (36) E 1 (1 + ) E 0 Выражение (36) позволяет объяснить влияние «мгновенного» повышения температуры на поведение ОН. Итак, поскольку компонента q = q (r) не зависит от температуры, соотношения типа (29) при температуре T 1 и мо- дуле Юнга E 1 получаются из (36) умножением всех компонент тензора ОН, сформированных после ППД при температуре T 0 и модуле Юнга E 0 , на ко- эффициент E 1 /E 0 . Таким образом, «мгновенное» повышение температуры приводит к «скачку» эпюр ОН на коэффициент E 1 /E 0 . Вернемся к исходной задаче - статически неопределимой системе (рис. 1). Приложение к стержневой системе растягивающей нагрузки P и ее «мгно- венный» прогрев до температуры T 1 приводят к возникновению в осевом направлении стержней системы «рабочих» напряжений s 0 (s = 1, 2, 3), кото- рые накладываются на НДС, сформированное после ППД. За счет «рабочих» напряжений в стержнях конструкции наблюдается «упругий» скачок осевых напряжений на величину s 0 , при этом напряжения s 0 в момент t = 0 + 0, соответствующие продольным растягивающим нагрузкам в стержнях кон- струкции, находятся из системы (12) при отсутствии деформаций ползучести (p 1 (t) = p 2 (t) = p 3 (t) 0). Еще раз отметим, что в рассматриваемой стержневой системе все элемен- ты моделируются идентичными стержнями, включая процедуру их упроч- нения. Поэтому зависимость компонент z res (r), res (r), r res (r), возникающих после ППД и повышения температуры до T 1 , будет одинаковой во всех стерж- нях. Следовательно, компоненты тензора ОН для каждого стержня систе- мы (s = 1, 2, 3) после мгновенной температурно-силовой нагрузки (в момент t = 0 + 0) можно записать в виде E 1 res E 1 res E 1 res z (r)+ s 0 , s (r, 0+0) = (r), rs (r, 0+0) = (r). E 0 E 0 E 0 r (37) Здесь используется описанная выше «трансформация» ОН при изменении температуры с T 0 до T 1 . Изменения осевых напряжений за счет «рабочих» напряжений приводит к «скачку» упругих деформаций, поэтому компоненты тензора полных де- формаций для каждого из стержней принимают вид rs (r, 0 + 0) = [ r res (r) ( res (r) + zs (r, 0 + 0))] E 1 + q r (r), (38) s (r, 0 + 0) = [ res (r) ( r res (r) + zs (r, 0 + 0))] E 1 + q (r), res res zs (r, 0 + 0) = [ zs (r, 0 + 0) ( (r) + r (r))] E 1 + q z (r). zs (r, 0+0) = Соотношения (37), (38) задают НДС каждого упрочненного стержня рас- сматриваемой системы в момент t = 0 + 0 после процедуры ППД и «мгновен- ного» температурно-силового нагружения стержневой конструкции, т.е. они определяют начальные данные для решения краевой задачи релаксации ОН в процессе ползучести. 4. Расчет кинетики НДС в поверхностно упрочненных элемен- тах статически неопределимой системы в условиях ползучести при температурно-силовом нагружении. Рассмотрим решение краевой зада- чи релаксации ОН в упрочненном слое стержней рассматриваемой системы на фоне ее ползучести при температуре T 1 (модуль Юнга материала стерж- ней равен E 1 ) под действием растягивающей нагрузки P (рис. 1). Задача ре- шается в цилиндрической системе координат r, , z. Решение данной задачи подразумевает расчет полей ОН и ПД в любой момент времени «эксплуата- ции» стержневой системы. Постановка краевой задачи в любой момент вре- мени t для каждого стержня системы (s = 1, 2, 3) включает в себя следующие соотношения и условия: - уравнения равновесия: r d rs (r, t) + rs (r, t) = s (r, t), dr a F s (t) r zs (r, t)dr = , 2 0 (39) (40) где rs (r, t), s (r, t), zs (r, t) - радиальная, окружная и осевая компо- ненты тензора напряжений в стержне соответственно; F s (t) - продоль- ная растягивающая сила, возникающая в каждом стержне системы; - уравнение совместности деформаций: r 510 d s (r, t) + s (r, t) = rs (r, t), dr (41) где rs (r, t), s (r, t) - радиальная и окружная компоненты тензора пол- ных деформаций; - гипотеза плоских сечений: (42) zs (r, t) = 0 zs (t), где zs (r, t) - осевая компонента тензора полных деформаций; - краевые условия: rs (r, t) r=a = 0. (43) Отметим, что в соотношениях (39) и (41) используются обычные произ- водные по переменной r, так как время t входит в эти соотношения парамет- рически. Начальное НДС при t = 0 + 0 (непосредственно после температурно-си- лового нагружения стержневой системы) задается соотношениями (37), (38). Расчет кинетики напряжений стержневой системы при ползучести бази- руется на результатах работы [25], в которой разработан прямой метод реше- ния задачи релаксации ОН в поверхностно упрочненном цилиндре, получив- ший последующее развитие на случай одноосного растяжения и комбинации растяжения с кручением в публикациях [20, 30]. Однако в отличие от пере- численных исследований в данной работе необходимо учитывать перераспре- деление растягивающих напряжений s (t) в стержнях системы (s = 1, 2, 3), поэтому методика работ [20, 25, 30] модифицируется с учетом отмеченного фактора. Изложим схему решения поставленной краевой задачи с учетом упрочне- ния стержней. В стержнях системы, в которых наведены поля ПД, компоненты тензора деформации в любой момент времени t представляются в виде суммы ls (r, t) = e ls (r, t) + q ls (r) + p ls (r, t) + T (l = r, , z), (44) где e ls (r, t) - упругая деформация, q ls (r) = q l (r) - пластическая деформация, T - температурная деформация, p ls (r, t) - деформация ползучести, опреде- ляемая по выбранной теории ползучести, адекватно описывающей экспери- ментальные данные (в рассматриваемом случае - по модели (18)-(21)). В начальный момент времени во всех точках рассматриваемых стержней деформации ползучести отсутствуют: p ls (r, 0) = 0. В условиях температурно-силового нагружения в стержнях системы про- исходит перераспределение (релаксация) ОН на фоне ползучести, поэтому дальнейшая цель исследования - описание релаксации ОН в упрочненных стержнях рассматриваемой статически неопределимой системы. Для дости- жения этой цели необходимо разрешить поставленную краевую задачу (39)- (44) относительно ls (r, t) (l = r, , z; s = 1, 2, 3). При помощи математических преобразований эта задача сводится к ре- шению дифференциального уравнения второго порядка относительно ради- альной компоненты [20, 25]: r 2 d rs (r, t) d 2 rs (r, t) + 3r = g s (r, t), dr 2 dr (45) где g s (r, t) = E 1 [ 2 + q r (r) + p rs (r, t) p s (r, t) 1 2 1 + ( dp (r, t) dp zs (r, t) ) r dq rs (r) ] s r + + (1 + ) , dr dr 1+ dr с граничными условиями rs (r, t) r=a d rs (r, t) = 0. r>0 dr r=0 = 0; lim Решение дифференциального уравнения (45) при заданных граничных условиях имеет вид a rs (r, t) = r 1 3 ( ) g s (, t)d d. (46) 0 С учетом найденных величин rs = rs (r, t) из уравнений равновесия опре- деляются осевая и окружная компоненты тензора напряжений: d rs (r, t) s (r, t) = rs (r, t) + r , dr [ [ 0] ] zs (r, t) = zs q zs (r) p zs (r, t) T E 1 + rs (r, t) + (r, t) , (47) (48) где 1 s (t) + p s (t); E 1 a [ )] 2 ( p s (t) = 2 q zs (r) + p zs (r, t) + T rs (r, t) + s (r, t) rdr a 0 E 1 0 zs (t) = - интегральная величина осевой деформации каждого стержня рассматри- ваемой системы (s = 1, 2, 3), которая используется для определения напря- жений s = s (t) из решения системы (12). Соотношения (46)-(48) позволяют отслеживать кинетику всех компонент тензора напряжений в упрочненном элементе стержневой системы в условиях ползучести при температурно-силовом нагружении. При t > 0 деформации ползучести p ls (r, t) определяются с использованием компонент тензора напряжений ls (r, t) (l = r, , z; s = 1, 2, 3). Релаксация ОН проходит на фоне ползучести. В представленные выше формулы наряду с компонентами тензора деформаций ползучести p ls (r, t) входят и их производные dp ls /dr (l = r, , z; s = 1, 2, 3). Следовательно, решение поставленной задачи требует применения соответствующей реоло- гической модели уже при сложном напряженном состоянии. Для этой цели будем использовать реологическую модель, предложенную Ю. П. Самариным [29], которая является обобщением одноосной модели ви- да (18)-(21) на случай сложного напряженного состояния для первых двух стадий ползучести: p ij = v ij + w ij , 512 (49) ) 3 ( S * ) m 1 1 1 ( · * ij kk ij /3 , (50) w ij = c * 2 ( ) v (t) = (1 + ) (t) 11 (t) + 22 (t) + 33 (t) , (51) ] [ ( ) n 1 ] [ ( ) n 1 1 b S * * 1 b S * * * (t) , * (t) > 0, [ ( ) n 1 ] (t) = (52) 1 0, b S * * (t) 6 0, * где p ij - тензор деформаций ползучести; w ij и v ij - тензоры деформаций вяз- кого течения и вязкопластической (необратимой) компоненты p ij ; - коэф- фициент Пуассона для компоненты v (согласно рекомендациям [29] мож- но использовать = 0.42); S * - интенсивность напряжений; c, n 1 , , b, m 1 , * - константы модели, имеющие тот же смысл (и численные значения), что и в одноосной модели (18)-(21). Отметим, что расчет v ij осуществляется в главных осях, поэтому сумми- рование по индексу в (51), (52) не производится. Также в силу того, что оси r, и z являются главными, под числовыми индексами 1, 2 и 3 в соот- ношениях (49)-(52) следует подразумевать индексы r, и z соответственно, при этом диагональные компоненты записывать с одним индексом, напри- мер, 11 = , 22 = r , 33 = z и т.д., а все недиагональные компоненты p ij , v ij , w ij , ij полагаются равными нулю. Рассмотрим теперь момент времени t = t * + 0, когда производится «мгно- венная» температурно-силовая разгрузка стержневой системы. При такой разгрузке происходит ступенчатое изменение напряжений на величины со- ответствующих «упругих» напряжений, полученных путем решения системы (12) при значениях напряжений и деформаций, соответствующих финальным значениям расчета деформации ползучести, когда P * = 0, T = 0 и модуль Юнга равен E 0 : 1 (t * + 0) sin + 2 (t * + 0) sin = 0, 1 (t * + 0) cos + 2 (t * + 0) cos + 3 (t * + 0) = 0, ] [ ] [ 3 (t * +0) 2 (t * +0) * 0) cos = l * 0) cos ( ), + p (t + p (t l 2 3 3 2 E 0 E 0 ] [ ] [ * * l 1 (t +0) + p (t * 0) cos ( ) = l 2 (t +0) + p (t * 0) cos ( + ). 1 2 2 1 E 0 E 0 Здесь p s (t * 0) - деформации ползучести, соответствующие последнему шагу расчета; s (t * + 0) - напряжения в стержнях системы, возникающие сразу после температурно-силовой разгрузки. Полагаем, что пластические деформации и накопленные деформации пол- зучести не изменяются при температурной разгрузке. Поэтому для вычисле- ния ОН после разгрузки (t = t * +0) достаточно напряжения, предшествующие моменту разгрузки, т.е. полученные к моменту t = t * 0, умножить на коэф- фициент E 0 /E 1 , обратный коэффициенту для температурного нагружения: E 0 rs (r, t * 0), E 1 E 0 s (r, t * + 0) = s (r, t * 0), E 1 rs (r, t * + 0) = zs (r, t * + 0) = E 0 zs (r, t * 0) s (t * + 0). E 1 Таким образом, получаем полную картину кинетики ОН в каждом упроч- ненном элементе рассматриваемой стержневой системы при различных ре- жимах нагружения за цикл «температурно-силовая нагрузка - ползучесть - температурно-силовая разгрузка». 5. Численная реализация, результаты расчета и их анализ. При- веденные в разделах 2-4 методики могут быть реализованы только численно, в частности методом «шагов по времени». Для этой цели используется дискретизация по временной t (см. раздел 1) и пространственной r переменным: 0 = r 0 < r 1 < r 2 < . . . < r 1 < r = a, где a - радиус стержня рассматриваемой системы, с определенными шагами t j = t j+1 t j , j = 0, 1, . . . , , r i = r i+1 r i , i = 0, 1, . . . , . В пределах каж- дого временного шага считаем, что все текущие величины постоянны и равны своим значениям в соответствующих точках дискретизации (r i , t j ). Вычисление интегралов, входящих в расчетные формулы, осуществляется по квадратурным формулам. Расчет деформаций ползучести осуществляется по модели (49)-(52), которая записывается в приращениях на основе метода Эйлера. Все производные, входящие в расчетные соотношения, вычисляются через конечные разности. Численная реализация изложенной методики выполнялась для модельно- го примера, в качестве которого выступала рассмотренная на рис. 1 систе- ма в предположении упрочнения стержней пневмодробеструйной обработкой микрошариками (в формуле (31) = 1). Все геометрические параметры стержневой системы, численные значения механических характеристик и параметры реологической модели для сплава ЖС6У при температуре 675 °C, а также значение величины растягивающей нагрузки приведены в разделе 1. Предполагается, что стержни рассматриваемой системы идентичны ци- линдрическому образцу, рассмотренному в работе [26], где в качестве началь- ной информации по распределению ОН в стержнях после упрочнения исполь- зуется экспериментальная эпюра распределения осевой компоненты ОН для этого образца, приведенная на рис. 3. В этом случае схема (34) несколько видоизменяется [26]. Поскольку при процедурах упрочнения, для которых в (31) = 1, распределения окружных и осевых компонент тензора ОН близки, в первом приближении параметры для аппроксимации компоненты res (r) определяются по экспериментальным данным для осевой компоненты. Далее осуществляется вариация параметров b, 0 и 1 в (35) и схема (34) многократно повторяется до достижения миниму- ма среднеквадратического отклонения расчетных данных от эксперименталь- ных для осевой компоненты ОН. Реализация этого метода позволила найти для окружной компоненты следующие значения параметров аппроксимации (35): a = 3.76 мм, b = 0.089 мм, 0 = 22.491 МПа, 1 = 1071.865 МПа, h * = 0. Релаксация ОН в поверхностно упрочненных слоях стержней рассматри- ваемой статически неопределимой системы протекает на фоне ее деформи- рования в условиях ползучести. При этом она протекает при переменных растягивающих напряжениях s (t), которые возникают в стержнях и изме- 514 няются во времени, что приводит к существенным изменениям методики ра- бот [20, 25], в которых релаксация ОН протекала при постоянных растягива- ющих нагрузках. На рис. 4-6 приведены результаты расчетов релаксации ОН в стержнях рассматриваемой системы при температурно-силовом нагружении продол- жительностью 500 ч («мгновенный» прогрев с температуры 20 °C до 675 °C и приложение растягивающей нагрузки P = 41 кН к точке A, см. рис. 1) и последующей разгрузки («мгновенное» охлаждение с температуры 675 °C до 20 °C и снятие растягивающей нагрузки). Отметим, что в момент приложения температурно-силовой нагрузки в стержнях системы происходит перераспределение всех компонент тензора на- веденных ОН пропорционально коэффициенту E 0 /E 1 . Кроме этого, в каждом из трех стержней (s = 1, 2, 3) за счет температурных деформаций и действия Рис. 3. Распределение осевой компоненты ОН по глубине упрочненного слоя h = a r цилиндрического образца из сплава марки ЖС6У после его упрочнения: линия - расчет, точки - эксперимент [Figure 3. Distribution of the axial residual stress component over the depth of the hardened layer (h = a r) of the cylindrical sample made of the ZhS6U alloy after hardening: curve illustrates calculations and points illustrates the experiment] Рис. 4. Распределение осевых ОН в поверхностно упрочненных стержнях системы: 1 - после процедуры упрочнения (t = 0 0); 2 - после температурной нагрузки от T 0 = 20 °C до T 1 = 675 °C; 3, 4, 5 - после температурно-силовой нагрузки при t = 0 + 0 в первом, втором и третьем стержнях соответственно [Figure 4. Axial residual stress distribution in the hardened rods system over the depth of the hardened layer: (1) after hardening at t = 0 0; (2) after temperature loading from T 0 = 20 °C to T 1 = 675 °C; (3, 4, 5) after elevated temperature and tensile force loading at t = 0 + 0 in the first, second and third rods, respectively] 515Р а д ч е н к о В. П., Д е р е в я н к а Е. Е. приложенной нагрузки происходит дополнительное перераспределение осе- вых напряжений zs . На рис. 4 приведено распределение осевых ОН в поверхностно упрочнен- ных стержнях рассматриваемой системы, при этом наблюдается «скачок» на величину «рабочих» напряжений s 0 для каждого стрежня системы (см. линии 3, 4, 5 и линию 2 на рис. 4). Представленные здесь поля ОН и соответ- ствующие им ПД в момент времени t = 0 + 0 являются начальными данными для расчета релаксации ОН по методике, изложенной в разделе 4. На рис. 5 в качестве примера приведены расчетные эпюры для радиальной и окружной компонент тензора ОН в первом упрочненном стержне системы в различные моменты времени t = {100; 300; 500} ч, полученные по изложен- ной выше методике для расчета релаксации ОН. Отметим, что для остальных стержней эпюры этих компонент практически идентичны представленным на рис. 5. На рис. 6 приведены эпюры осевой компоненты ОН для всех стержней системы. Здесь картина совсем иная. Если в первом и втором стержнях ре- лаксация осевой компоненты носит «классический» монотонный характер, то в третьем стержне характер релаксации немонотонный: сначала вблизи по- верхности значения осевой компоненты увеличиваются, а затем наблюдается их уменьшение (по модулю). Это связано со «скачком» осевой компоненты после приложения температурно-силового нагружения и существенным паде- нием ее величины (по модулю) в поверхностном слое. В связи с этим процесс ползучести определяется в основном лишь напряжениями вне области сжа- тия материала, которые имеют там существенные значения. Очевидно, с течением времени скорость релаксации замедляется, посколь- ку при уменьшении величины напряжений в поверхностном слое уменьшает- ся и скорость деформирования (согласно реологической модели для сложного Рис. 5. Расчетные эпюры для радиальной (слева) и окружной (справа) компонент тензора ОН в первом упрочненном стержне системы в различные моменты времени: 1 - после про- цедуры упрочнения при t = 0 0; 2 - после температурно-силовой нагрузки при t = 0 + 0; 3, 4, 5 - в процессе ползучести в моменты времени t = 100 0 ч, t = 200 0 ч и t = 300 0 ч соответственно; 6 - после температурно-силовой разгрузки при t = 500 + 0 ч (финишные значения) [Figure 5. The radial (left) and circumferential (right) components of the residual stress tensor in the first hardened rod of the system at different times: (1) after hardening at t = 0 0; (2) after elevated temperature (from T 0 = 20 °C to T 1 = 675 °C) and tensile force (P = 41 kN) loading at t = 0 + 0; (3, 4, 5) during the creep at times t = 100 0 h, t = 200 0 h, and t = 300 0 h, respectively; (6) after reduced temperature (from T 1 = 675 °C to T 0 = 20 °C) and tensile force (P = 0) unloading at t = 500 + 0 h (final values)] 516 Рис. 6. Расчетные эпюры для осевой компоненты тензора ОН в упрочненных стержнях системы в различные моменты времени: 1 - после процедуры упрочнения при t = 0 0; 2 - после температурно-силовой нагрузки при t = 0 + 0; 3, 4, 5 - в процессе ползучести в моменты времени t = 100 0 ч, t = 200 0 ч и t = 300 0 ч соответственно; 6 - после температурно-силовой разгрузки при t = 500 + 0 ч (финишные значения) [Figure 6. The axial component of the residual stress tensor in the hardened rods system at different times: (1) after hardening at t = 0 0; (2) after elevated temperature (from T 0 = 20 °C to T 1 = 675 °C) and tensile force (P = 41 kN) loading at t = 0 + 0; (3, 4, 5) during the creep at times t = 100 0 h, t = 200 0 h, and t = 300 0 h, respectively; (6) after reduced temperature (from T 1 = 675 °C to T 0 = 20 °C) and tensile force (P = 0) unloading at t = 500+0 h (final values)] напряженного состояния). Отсюда можно сделать вывод о том, что ползу- честь и релаксация являются сопутствующими и взаимосвязанными процес- сами. Наблюдается также интересный факт зависимости скорости релакса- ции от степени нагружения: чем более нагружен элемент, тем менее интен- сивно в нем протекает релаксация остаточных напряжений. Полученные результаты расчета позволяют сделать следующий вывод. Несмотря на достаточно продолжительное воздействие температурно-сило- вого нагружения на рассмотренную систему, остаточные напряжения в при- поверхностном слое ее элементов сохраняют значительную величину (см. ли- нии 6 на рис. 5 и 6, соответствующие финишным значениям ОН после 500 ч). Решение рассмотренных задач нуждается в большом объеме вычислений, который требует использования определенного программного обеспечения, способного эффективно использовать ресурсы вычислительной системы и ав- томатизировать расчеты. Все разработанные методики алгоритмизированы и численно реализова- ны в виде программного комплекса, позволяющего реализовать расчет пол- ного цикла «нагрузка - ползучесть - разгрузка» стержневой системы и ав- томатизировать следующие задачи: 1) определение параметров аппроксимации окружной компоненты тензора ОН по известным экспериментальным данным; 2) реконструкция НДС в сплошных цилиндрических образцах после про- цедуры поверхностного упрочнения по аппроксимации окружной ком- поненты ОН; 3) решение задачи ползучести статически неопределимой стержневой си- стемы при одноосном напряженном состоянии (чистая ползучесть) и при сложном напряженном состоянии с учетом первоначального распреде- ления полей ОН и ПД после процедуры поверхностного упрочнения для определения кинетики напряжений во времени во всех элементах систе- мы при различных режимах нагружения; 4) расчет релаксации ОН в каждом упрочненном элементе стержневой си- стемы при заданных значениях «рабочих» напряжений. Заключение. Основные результаты, полученные в настоящей работе, со- стоят в следующем: 1. Разработаны математическая модель и алгоритм численного расчета для решения краевых задач ползучести и релаксации ОН в поверхност- но упрочненных элементах статически неопределимой стержневой си- стемы в условиях температурно-силового нагружения. 2. Исследовано НДС упрочненных элементов несимметричной статиче- ски неопределимой системы под действием температурно-силового на- гружения на примере трехэлементной стержневой системы из сплава ЖС6У при температуре 675 °C и растягивающей нагрузке 41 кН. Полу- чены зависимости кинетики остаточных напряжений во времени с уче- том температурно-силовых нагрузок для каждого элемента системы. Выполнен сравнительный анализ скоростей релаксации ОН в зависи- мости от степени нагружения элемента конструкции. 3. Выполнена проверка адекватности разработанной математической мо- дели при чистой ползучести (одноосное напряженное состояние в неу- прочненных стержнях). Получено хорошее соответствие расчетных (на больших временных интервалах) и предельных асимптотических (при t > ) значений. 4. Разработан программный комплекс, реализующий все разработанные методики и автоматизирующий алгоритмы численного решения рас- смотренных краевых задач. В заключение отметим, что разработанные математическая модель и ал- горитм численного расчета могут быть использованы для прогнозирования эксплуатационного ресурса (по величине и характеру распределения ОН) упрочненных стержневых конструкций, эксплуатирующихся в условиях пол- зучести.

About the authors

Vladimir Pavlovich Radchenko

Samara State Technical University; Lomonosov Moscow State University

Email: radchenko.vp@samgtu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation; 1, Michurinsky prospekt, Moscow, 119192, Russian Federation

Ekaterina E Derevyanka

Samara State Technical University

Email: derevyanka.ee@samgtu.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files