Effective computational procedure of the alternance optimization method

Abstract


The article discusses the computational procedure of the alternance optimization method as applied to the problem of semi-infinite programming. These problems are reduced numerous applied problems of optimization of objects with distributed and lumped parameters: robust parametric optimization of dynamic systems, parametric synthesis of control systems, etc. Since the calculation of alternance optimization method is rather difficult, as reduced to the solution, as a rule, the transcendental system of constitutive equations is proposed for efficient computational complexity of an embodiment of a computational procedure. To reduce the complexity of the computational procedure, the properties of the extremum points of the optimality criterion established in the alternance method are used in the region of permissible values of variables. These properties allow creating a topology of this area and thereby minimizing the number of references to it during the search procedure. The proposed computational method is especially effective for non-convex and nonsmooth optimality criteria, to which the technologically sound statements of semiinfinite optimization result. A step-by-step algorithm for preparing data and performing calculations, suitable for implementation in most programming languages, has been developed. The efficiency of the algorithm, which is higher, the larger the number of parameters included in the control vector and the higher the dimension of the optimization domain, is investigated. An estimate of the computational complexity of the computational procedure of the alternance optimization method is proposed, which makes it possible to determine the effectiveness of the application of the proposed algorithm for solving the problem of optimal control of the technological control object.

Full Text

Постановка задачи. В современной промышленности широко используется оптимальное управление различными технологическими процессами. Разработка алгоритмов оптимального управления и автоматических систем, их реализующих, непосредственно связана с решением экстремальных задач. Не касаясь вопросов параметризации подобных задач, рассмотренных, например, в работах [1-5], можно, однако, констатировать, что для обширного круга прикладных задач экономики, обработки информации, управления разнообразными техническими и технологическими процессами проблема параметрической оптимизации сводится в постановочном аспекте к задаче полубесконечной оптимизации или полубесконечного программирования [1, 2, 6-10] в евклидовом пространстве как одного из вариантов общей задачи математического программирования: () > min, ; () 6 0. (1) (2) Здесь = (1 , 2 , . . . , ) - -мерный аргумент (параметры); () - условия связи, ограничивающие область поиска экстремума функционала () в евклидовом пространстве . В технологически содержательной постановке задача (1), (2) интерпретируется как минимизация целевой функции (функционала) (), отражающей отклонение от заданного уровня распределения 0 (, ()) некоторой управляемой с помощью параметризованного управления () субстанции - температуры, давления, концентрации и др. К задаче (1), (2) сводятся задачи минимизации времени 0 протекания технологического процесса () = 0 () и другие разнообразные задачи оптимального управления. В отличие от большинства постановочных концепций, особенностью рассматриваемой в статье постановки является бесконечное число ограничений (2) и невыпуклый негладкий вид функционала (1), к которому приводят задачи робастной оптимизации, игровые стратегии, а также технологически обоснованные [1, 3, 4, 11-15] проблемы в производственных процессах промышленной теплофизики - различных видах нагрева, химико-термической обработки и т.п. В силу наличия конечного числа неизвестных параметров и бесконечного числа ограничений (2) такие задачи получили свое название - задачи полубесконечной оптимизации или полубесконечного программирования [1, 2, 6-10]. В связи с изложенным задачу полубесконечной оптимизации как частную форму общей постановки (1), (2) для широко распространенного в технологической практике требования минимизации максимума функции 0 (, ()) при заданном или минимальном значении бесконечного числа () ограничений на уровне 0 или min , соответственно, будем формулировать так же, как в работах [1, 2, 16]: } { () = max 0 (, ()) : , > 1 > min, (3) () , , > 1; { } () = max (, ()) : , > 1 6 0 > 0, (4) { } () 0 > min = inf () : ; () = (1 (), . . . , (), . . . , ()) . (5) Здесь () - критерий оптимальности; () - параметризованная векторфункция управления, определенная на множестве своих значений ; - замкнутое непустое компактное множество параметров в ; и - компактные множества в и соответственно; функции 0 (, ()) и (, ()) - гладкие функции своих переменных на пересечениях и . При этом задача (3), (4) для заданной функции (, ()) не выходит за рамки общей постановки (1), (2), так как { } { } max (, ()) 0 : = max (, ()) : 0 (см. [1, 2]), а ограничения (2) эквивалентны условию (4): { } () = max (, ()) : , [ ] max = (1 , . . . , , . . . , ) , min , (6) (7) в случае бесконечного числа функциональных ограничений в форме неравенств (, ()) 6 0, , , () . (8) Отметим, что переменные и в прикладных задачах могут совпадать, не совпадать, совпадать частично, быть взаимозависимыми и т.п. Например, может иметь физический смысл температуры, а - смысл термонапряжений в определенном сечении нагреваемой детали. К экстремальной задаче полубесконечной оптимизации (3), (4) сводятся, как показано в [1], многочисленные прикладные проблемы оптимизации объектов с распределенными и сосредоточенными параметрам и другие задачи управления. Частным случаем задачи (3), (4) является известная [1, 11] задача оптимального по Чебышевской норме индукционного нагрева достаточно длинного стержня единичного радиуса : (, ) = max (, 0 ) * () > min; [0,1] 0 = () . (9) =1 Для этого процесса 2 1 (, ())= = 2 (, )(), (10) (0, 1), (0, 0 ], а бесконечное число ограничений (6) принимает безразмерную форму краевой задачи при краевых условиях () = 0, (0, ) = 0, (, 0 ) = 0 ; (11) = Bi [ () (1, )] и является отражением того, что в бесконечном числе точек радиуса стержня относительная температура (, ) в любой момент относительного времени должна быть связана уравнением теплопроводности (10), (11). Здесь Bi - критерий Био (Bi = const); () - безразмерная температура окружающей стержень среды; (, ) - распределение теплоисточников по радиусу стержня ; зависящее от параметра , связанного с частотой питающего индуктор тока; - относительное время (критерий Фурье); () () - мощность () внутренних индуцированных теплоисточников, = { }=1,, - парамет=1, ры оптимального управления, подлежащие определению в ходе решения за() дачи; < , < . В рассматриваемом примере [0, 0 ] - продолжительность периода включения ( = 1, 3, 5, . . . ) и отключения ( = 2, 4, 6, . . . ) индуктора от питающей сети; - количество циклов включения-отключения в каждом -ом классе управлений. Подробно пример описан в работе [11], а здесь приведен как частная содержательная иллюстрация общей постановки задачи (3), (7), (8). Поставленная задача (3), (7), (8) в общем случае представляет собой с вычислительной точки зрения сложную нелинейную негладкую минимаксную задачу математического программирования, хотя для решения конкретных прикладных проблем ее удается модифицировать к более простым вариантам с конкретного вида функциями (, ()), (), 0 (, ()), () и областями , , , . При этом поставленную задачу (3), (7), (8) в условиях { } () 0 > min = inf () : в частных случаях можно интерпретировать } { () как задачу быстродействия, а в условиях 0 = min = inf () : - как задачу максимальной точности [1]. Для решения подобных задач используются варианты и модификации генетических алгоритмов [17], методов случайного поиска [18-21], симплексметодов [22, 23] и другие прямые численные методы [24-26]. По нашему мнению, наиболее эффективным является метод сведения экстремальной задачи (3)-(5) к решению системы нелинейных уравнений. Этот метод для широкого круга задач разработан в трудах Э. Я. Рапопорта [1, 2] и получил название «альтернансный метод оптимизации» (АМО). Однако вычислительная процедура АМО, хотя и проще исходной, но все же достаточно затруднительна в силу того, что сводится к решению, как правило, трансцендентной системы определяющих уравнений эффективным и достаточно универсальным вычислительным методом. Рассмотрим возможности снижения вычислительной сложности поисковой процедуры для решения задачи (3)-(5) безотносительно к ее содержательной технологической постановке. В любом случае, как в ходе использования прямых вычислительных процедур решения задачи (3)-(5) поиска экстремума функционала (3), так и для численного решения системы соответ ствующих нелинейных уравнений АМО, проблема сводится к минимизации, в общем случае, невыпуклого негладкого функционала () > min в условиях ограничений в форме неравенств (2) или эквивалентных им соотношений (6) [1]. Предлагаемый алгоритм эффективен по вычислительной сложности, если параметры = (1 , 2 , . . . , ) удовлетворяют следующим условиям: () 0 = = () , (12) =1 () (1 , . . . , () ), = (1 , . . . , , . . . , ), = (13) , (14) =1 () () 0 [min , () max ], , (15) () где 0 - точка завершения, - одномерное замкнутое множество (отрезок) на оси , а параметры внутри группы имеют смысл величины интервалов () () внутри отрезка [min , 0 ] , при этом каждая -тая группа параметров независима от других членов . Здесь с учетом (12)-(15) ограничимся рассмотрением алгоритма для = 1. (16) Адаптировать предлагаемый алгоритм для > 1 можно, например, с использованием рекурсии, что не представляет особой сложности. Функцию управления (5) представим в форме простой борелевской векторфункции: () = (1 (), . . . , (), . . . , ()) . (17) При этом каждая компонента () * , в свою очередь, является простой борелевской функцией, определенной на счетном ограниченном множестве значений * , = 1, . Таким образом, по определению, представляет собой счетное ограниченное множество значений функции управления (): ( ) 1* 2* · · · * (1) , ...., () , (18) () () () = (1 , . . . , ), = 1, . Задача (3)-(5) в условиях (12)-(18) сводится к определению значений параметров и их количества = 1, . Поиск оптимального управления осуществляется в соответствии с процедурой АМО [1] последовательно для каждого -го числа параметров. При этом решение последовательности задач максимальной точности для различных позволяет сформировать ряд неравенств: (1) (2) ( ) ( +1) min > min > · · · > min > 0 > min () > · · · > min = { } = inf = inf () : , обеспечивающих выбор минимально необходимого количества параметров для достижения абсолютной минимальной погрешности inf или заданной погрешности 0 при < . ( ) Согласно АМО, вектор ( ) , достижимая погрешность min и дополнительные параметры, например минимальное время при заданной погрешности , определяются из замкнутой системы соотношений [1]: ) () = , (19) (, 0 , (( ) ) = ( ) () , 0 , (( ) ) = = 0, (20) которые трансформируются в )замкнутую систему уравнений для конкретно( го вида функции , (( ) ) в практических приложениях. Здесь { = 1, , = 1, , = ( 1) ( ) , min > > min , ( ) + 1, = min , { } , = 2, = 1, = . (21) (22) Система соотношений (19), (20) отражает установленные АМО специальные свойства решения задачи (3)-(5). Максимумы модуля функции ( ) ( ) () , (( ) ) = , 0 , (( ) ) () в ограничениях (4) с учетом (6) в точке завершения 0 во внутренних точ( ) () ках области , где функция , 0 , (( ) ) достигает экстремума (20), и в граничных точках этой области равны допустимой или предельно достижимой в норме погрешности . Следует отметить, что в некоторых ( ) () прикладных задачах экстремумы функции , 0 , (( ) ) (20) достигаются на границе области , что отражают соотношения (21), (22). При этом общее количество этих экстремумов равно числу искомых параметров в задаче (3)-(5), что делает систему уравнений на базе соотношений (19), (20) замкнутой. Это также отражается в соотношениях (21), (22). Получить аналитическое решение системы (19), (20) затруднительно, поэтому ее решение ищется с применением численных методов путем минимизации невязок ( , ( ) , ), ( , ( ) , ) [3, 12]: ( ) = ( , ( ) , ), , (( ) ) = ( ) , (( ) ) = ( , ( ) , ). = Для этого введем оценку невязок в форме штрафной функции [12]: ( , ( ) , ) = big ( , ( ) , ) + small ( , ( ) , ) = = ( ) ( , ( ) , , ), (23) где 1/2 2 big ( , ( ) , ) = abs , small ( , ( ) , ) = abs , ( ) abs = ( , , ) + ( , ( ) , ) , =1 =1 - коэффициент масштабирования. Оценка (23) всегда положительна, но в зависимости ( ) от оптимизируемого ( ) процесса из-за формальной зависимости ( ) может быть невыпуклой. Однако если система (19), (20) имеет решение, то оценка (23) имеет глобальный минимум ( ) inf = inf ( ) ( , ( ) , , ) = 0. Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо определить координаты глобального минимума inf = 0 оценки (23), определенной в многомерной области 1 = ( : , ( ) : , ), ( ) 1 = dim 1 = ( + 1)( + 1), = dim , (24) для чего следует решить нелинейную невыпуклую задачу математического программирования: ( ) ( , ( ) , , ) > inf ( ) ( , ( ) , , ). (25) 1 2. Минимизация вычислительной сложности АМО. Для решения подобных задач применяют современные и достаточно эффективные алгоритмы случайного поиска глобального в замкнутой области экстремума многомерных нелинейных невыпуклых функций, которые позволяют с некото( ) рой вероятностью попасть в область, максимально приближенную к inf [18, 24, 27-29]. Введем обозначения: ( ) ( , ( ) , , ) = ( ) ( ( ) , ), ( ) = ( , ( ) , ), ( ) ( ) , (( ) ) = ( , (( ) ), ( ) ), = ( , ( ) ) = ( , 0 ). За основу возьмем вычислительную процедуру решения задачи (25), построенную на комбинации алгоритма -преобразования (алгоритм случайного поиска), предложенного В. К. Чичинадзе [18], и метода Дж. Недлера и Р. Мида [22], который представляет собой улучшенный вариант симплексметода. Метод -преобразования, не будучи методом прямого случайного поиска, обладает всеми общими свойствами алгоритмов случайного поиска, поэтому выводы, полученные ниже, применимы для широкого круга вычислительных процедур, основанных на алгоритмах случайного поиска. Сущность процедуры сводится к преобразованию минимизируемой многомерной функции (23) в одномерную непрерывную, монотонно убывающую численно за( ) ( ) данную метрику (), нуль которой соответствует значению ( , ), ( ) ( ) лежащему в области, максимально приближенной к inf . Точка затем используется как опорная для построения симплекса в методе Недлера-Ми( ) ( ) да, который применяется для улучшения результата поиска к inf (inf , ). Основные вычислительные затраты при применении процедуры имеют место на этапе подготовки данных для алгоритма -преобразования, на котором производят вычисление ( ) ( ( ) , ) в случайно либо регулярно, но обязательно равномерно распределенных в области 1 точках: ( ) 1 , = 1, , ( ) ( ) которые используются как базис для поиска. Плотность точек в области 1 напрямую влияет на погрешность алгоритма поиска экстремума. ( ) ( ) ( ) ( ) При > , ( ) > inf с координатами inf = arg min ( ) ( , ). ( ) ( ) Из (24) видно, что размерность 1 области 1 возрастает при увеличении количества параметров управления . При этом погрешность алгоритма поиска экстремума не должна увеличиваться, иначе говоря: ( ) ( 1) > . (26) ( ) В случае регулярного и равномерного распределения точек сти 1 плотность (v ) ( ) ( ) = 1 ( ) , в обла- где ( ) - количество отрезков, на которые разделяются диапазоны аргументов в области 1 . Таким образом, ( ) = ( 1) . Это означает, что с увеличением количество точек (для сохранения точности вычислений) должно возрастать в соответствии с формулой ) ( ( 1) )( v 1 ( ) 1 ( 1) . = () Для вычисления оценки (23) в каждой точке из множества мы долж( ) ны вычислить ( ( ) ) 2(1 1) раз, т.е. количество обращений к модели (3)-(8) для однократного решения задачи оптимального управления при определении параметров ( ) составит величину, равную ( ) 2(1 ) ( ( 1) )( v 1 1 ( 1) 1) , а общее количество обращений к модели (3)-(8) для достижения inf составит величину be = (1) 2(1 1) (1) + +1 =2 ( ) 2(1 ) )( ( ( 1) v 1 1) 1 ( 1) , ( ) при этом = = const. Вычислительная сложность [30] процедуры АМО ( ( )) be = , (( ) ) · be . (27) Очевидно, что вычислительная сложность определяется в основном необходимостью рассматривать заведомо не используемые в процедуре оптимизации точки при обращении к условиям связи (8) - математической модели объекта оптимизации. В условиях бесконечного числа ограничений, особенно при численном моделировании, это обстоятельство существенно осложняет и затягивает процесс поиска экстремума функционала (25), который и без того сложный в силу негладкости и невыпуклости функционала. Однако процесс обращения к модели можно упорядочить, если использовать параметрический характер управления (14) и свойства результирующих распределений управляемой субстанции, установленные АМО [1]. Присваивая точкам дискретизации (, ()) в (4) соответствующие этим параметрам и свойствам общие признаки, удается подготовить условия связи (8) к использованию в многократном обращении в процедуре оптимизации и тем самым сэкономить вычислительные ресурсы. Для снижения вычислительных затрат рассмотрим (, (( ) )) с учетом представления функции управления в форме (17), (18). Изначально вектор параметров ( ) неизвестен, однако известно, что в любой заданной точке значения функций управления () принадлежат множеству = = ((1) , . . . , () ), а значит, (, (( ) )) принимает одно из значений (, (( ) )) ( (, 1 ), . . . , (, )) = = (1 ( ), . . . , ( )) = * ( ), (28) которые могут быть вычислены без определения конкретного значения вектора ( ) . Тогда с учетом (28) выполним вычислительную процедуру АМО по следующему алгоритму. 1. Подготовим точек = (, 0 ), = 1, , которые распределим в области = ( , 0 ), =vdim равномерно и регулярно: 1.1) выберем и вычислим = ; 1.2) диапазоны аргументов (7) в области разбиваем на равных отрезков с шагом = (max min )/ , = 1, ; 1.3) диапазон аргумента 0 (12) в области разбиваем на равных отрезков с шагом 0 = (max min )/ ; 1.4) формируем упорядоченные счетные множества = {1 , 2 , . . . , , . . . , } , где 1 = min , = (1) + , = 1, ; 1.5) формируем множество = (1calc , . . . , calc , . . . , calc ) векторов calc , . . . , calc ) , calc = аргументов : calc = (calc , . . . , 1 , = 1, , = ; 1.6) формируем упорядоченное счетное множество 0 = {1 , . . . , , . . . , } , где 1 = min , = 1 + 0 , = 1, 2, . . . , ; 1.7) готовим точек = ( , 0 0 ), = (, ), = 1, , = 1, . 2. Вычисляем * ( ) по (28) в каждой точке и ставим в соответствие этой точке массив = [ * ( ), ], = 1, , = 1, . 3. Приступаем к решению задачи оптимального управления: 3.1) устанавливаем = 1; ( ) ( ) 3.2) задаем точки = , ( ) , таким образом, что = calc и ( ) 0 , фиксируем индексы = (1 , . . . , ), с учетом ( ) 0 условия (12) определяем индекс вхождения 0 = =1 ( ) и создаем массивы = [ , , ]. Тогда на основе множеств ( ) , 0 получим количество возможных точек ( ) = ( : ) ( ( 1)) , (29) =1 которое возрастает по мере увеличения количества параметров управления в (14) с учетом (16). Таким образом, требование (26) к точности выполняется. Однако следует учитывать, что при > ( ) 6 0, т.е. алгоритм вырождается и выполнить процедуру минимизации становится невозможным. Поэтому следует выбирать такие , при которых + 1 , что позволит гарантировать возможность минимизации оценки (23) даже в случае неверной первоначальной оценки ; 3.3) по имеющимся индексам , из получаем набор массивов , из которых получаем множества = (1 , . . . , , . . . , ), = ( )/ , 3.4) 3.5) 3.6) 3.7) 370 = (1 , . . . , , . . . , ), , = 1, , = 1, , соответствующие каждому . Вычислительная сложность формирования множеств ( ) = + + 2 , ( ) = 4( ) [30]; подставляем члены множеств и в (23) и получаем значения ( ) ( ) ( , ); решаем задачу (25) и получаем параметры -го класса управления ( ) и максимальную достижимую в этом классе погреш( ) ность min ; если = 1, то присваиваем новое значение переменной = 2 и переходим к пункту 3.2; ( 1) ( ) если min > min , то увеличиваем на 1 и переходим к пункту 3.2; Эффективная вычислительная процедура альтернансного метода оптимизации ( 1) ( ) ( 1) 3.8) если min 6 min , то min = inf и вычислительная процедура АМО завершена. ( ) точек оценки (23). Теперь При этом получим не более = +1 =1 вычислительная сложность [30] процедуры АМО составляет ( ( )) aft = 2 · , (( ) ) + · ( + + 4 + 5 + 5 + 5 2 ). (30) Таким образом, с учетом (27) и (30) вычислительная сложность процедуры АМО уменьшается в пропорции = be = aft 2 be . · ( + + 4 + 5 + 5 + 5 2 ) ( ( )) + , (( ) ) 3. Пример применения вычислительного алгоритма АМО. В качестве тестовой задачи выбрана известная задача оптимального управления процессом индукционного нагрева бесконечного цилиндрического стержня (9)-(11) [11]. При условиях 0 () 0 = = const, Bi = 0.7, * () = = * = 0.5 решение краевой задачи (9)-(11) принимает вид (, ) (, ) = 0 + max =1 где (, ) = max +1 (1) ( ) , , = 2 ()( ) 2 (1 ); 2 2 2 ( + Bi )1 ( ) =1 ( ) = 0 ( ), 1 ( ) = 1 ( ) - функции Бесселя нулевого и первого порядка; 1 2 2 ber () + bei () () = * (, )( ), * (, ) = ; ber() ber () + bei() bei () 0 ber(), ber (), bei(), bei () - функции Кельвина и их первые производные; () (, () )= = (, 0 , () ) * (), [0, 1]. Решение задачи (9)-(11) с заданными выше условиями при = 4 извест(1) (2) (2) но [11]: 1 = 0.349, 1 = 0.35, 2 = 0.04. (1) (2) (2) Численное решение 1 = 0.3475, 1 = 0.3506, 2 = 0.0403, основанное на комбинации алгоритма -преобразования [18] и алгоритма Дж. Недлера и Р. Мида [22], получено на компьютере с процессором Intel Core i7 2го поколения, ОЗУ 6 Gb, за 37 минут. Всего рассчитано 1 070 067 значений (, ) = (, ). После минимизации вычислительной сложности процедуры АМО по пред(1) лагаемому алгоритму на том же компьютере получено то же решение 1 = (2) (2) = 0.3475, 1 = 0.3506, 2 = 0.0403 всего за 4 минуты. Всего было рассчитано 267 значений (, ) = (, ). Таким образом, для типовой тестовой задачи (9)-(11) достигнут 9-кратный выигрыш в производительности алгоритма по времени исполнения. Из (29) видно, что при большей сложности модели и мощности множества параметров управления эффективность предложенного алгоритма повышается. В обоих случаях 67 значений (, ) были рассчитаны при выполнении алгоритма Недлера-Мида [22]. Вычисление дополнительных значений (, ) оказалось необходимым для уточнения значения оценки (23) глобального ми( ) нимума (25) при удовлетворении длины ребра симплекса условию ( ) 2 < 0 + 2 . =1 Заключение. Использование предложенного алгоритма снижения вычислительной сложности процедуры АМО: 1) существенно сокращает вычислительные затраты на поиск оптимального управления за счет минимизации количества обращений к модели объекта управления и многократного повторного использования точек и массивов ; 2) позволяет выполнять процедуру АМО на сравнительно небольшом количестве заданных точек модели объекта управления без дополнительных обращений к модели, что особенно важно для численно заданных математических моделей; 3) применение предлагаемого алгоритма не увеличило погрешность решения задачи оптимального управления по процедуре АМО; 4) эффективность предлагаемого алгоритма повышается с увеличением вычислительной сложности модели объекта управления и мощности множества параметров управления .

About the authors

Mikhail Yur'evich Livshits

Samara State Technical University

Email: mikhaillivshits@gmail.com
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
Doctor of technical sciences, Professor

Alexey Vladimirovich Nenashev

Samara State Technical University

Email: alexvlnenashev@gmail.com
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
without scientific degree, no status

References

  1. Рапопорт Э. Я., Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации, Наука, М., 2000, 335 с.
  2. Рапопорт Э. Я., "Полубесконечная оптимизация управляемых систем в условиях ограниченной неопределенности", Известия Самарского научного центра РАН, 2:1 (2000), 81-88
  3. Лившиц М. Ю., "Системная оптимизация процессов тепло- и массопереноса технологической теплофизики", Математические методы в технике и технологиях - ММТТ, 2016, № 11(93), 104-114
  4. Livshitc M. Yu., Yakubovich E. A., "Optimal Control of Technological Process of Carburization of Automotive Gears", Materials Science Forum, 870 (2016), 647-653
  5. Горбунов В. К., "Метод параметризации задач оптимального управления", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 19:2 (1979), 292-303
  6. Jongen H. T., Twilt F., Weber G. W., "Semi-infinite optimization: Structure and stability of the feasible set", J. Optim. Theory Appl., 72:3 (1992), 529-452
  7. Felgenhauer U., "Structural properties and approximation of optimal controls", Nonlinear Analysis, 47:3 (2001), 1869-1880
  8. Polak E., Mayne D. Q., Stimler D. M., "Control system design via semi-infinite optimization: A review", Proceedings of the IEEE, 72:12 (1984), 1777-1794
  9. Semi-Infinite Programming and Applications, An International Symposium, Austin, Texas, September 8-10, 1981, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 215, eds. A. V. Fiacco, K. O. Kortanek, 1983, xi+324 pp.
  10. Polak E., "Semi-Infinite Optimization", Optimization, Applied Mathematical Sciences, 124, Springer, New York, 1997, 368-481
  11. Rapoport E. Ya., Pleshivtseva Yu. E., Optimal Control of Induction Heating Processes, Mechanical Engineering, CRC Press, New York, 2006, v+349 pp.
  12. Деревянов М. Ю., Лившиц М. Ю., Федорченко Д. М., "Оптимальное управление вакуумной цементацией по критериям энергоэффективности", Омский научный вестник, 93:3 (2010), 169-173
  13. Бутковский А. Г., Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, Наука, М., 1965, 474 с.
  14. Рапопорт Э. Я., Митрошин В. Н., Кретов Д. И., "Оптимальное управление процессом охлаждения полимерной кабельной изоляции при ее наложении на экструзионной линии", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2006, № 43, 146-153
  15. Livshitc M. Yu., Sizikov A. P., "Multi-Criteria Optimization of Refinery", EPJ Web of Conferences, 110, Thermophysical Basis of Energy Technologies 2015 (2016), 01035
  16. Warga J., Optimal control of differential and functional equations, Academic Press, New York, London, 1972, xiii+531 pp.
  17. Hartmann A. K., Rieger H., Optimization algorithms in physics, Wiley-VCH, Berlin, 2002, x+372 pp.
  18. Chichinadze V. K., "Solution of nonlinear nonconvex optimization problems by $Psi$-transformation method", Computers, Math. Applic., 21:6/7 (1991), 7-15
  19. Spall J. C., Introduction to stochastic search and optimization. Estimation, simulation, and control, Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, 65, Wiley, New York, 2003, xx+595 pp.
  20. Handbook of simulation optimization, International Series in Operations Research and Management Science, ed. M. C. Fu, Springer, New York, 2015, xvi+387 pp.
  21. Растригин Л. А., Статистические методы поиска, Наука, М., 1968, 376 с.
  22. Nelder J. A., Mead R., "A simplex method for function minimization", Comp. J., 7:4 (1965), 308-313
  23. Gill P., Murray W., Wright M., Practical optimization, Academic Press, New York, 1981, xvi+401 pp.
  24. Самарский А. А., Введение в численные методы, Наука, М., 1997, 240 с.
  25. Dem'yanov V. F., Rubinov A. M., Approximate methods in optimization problems, American Elsevier Publ. Comp., Inc., New York, 1970, ix+256 pp.
  26. Васильев Ф. П., Численные методы решения экстремальных задач, Наука, М., 1980, 520 с.
  27. Di Loreto M., Damak S., Eberard D., Brun X., "Approximation of linear distributed parameter systems by delay systems", Automatica, 62 (2016), 162-168
  28. Захарова Е. М., Минашина И. К., "Обзор методов многомерной оптимизации", Информационные процессы, 14:3 (2014), 256-274
  29. Дилигенский Н. В., Ефимов А. П., "Решение задачи недифференцируемой оптимизации для объекта с распределeнными параметрами на основе приближенной квазиасимптотической модели", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011, № 4(25), 118-124
  30. Arora S., Barak B., Computational Complexity: A Modern Approach, Cambridge University Press, Cambridge, 2009, xxiv+579 pp.

Statistics

Views

Abstract - 22

PDF (Russian) - 17

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies