Models of multiparameter bifurcation problems for the fourth order ordinary differential equations

Full Text

1. Постановка задачи. Рассматривается класс двухточечных краевых задач [1, 2] для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) четвертого порядка, описывающих прогиб удлиненной упруго опертой пластины в сверхзвуковом потоке газа, сжимаемой / растягиваемой внешними усилиями. В безразмерных переменных задача о прогибе пластины описывается уравнением [1, 2] χ2 w (1 + w 2 )3/2 1 [(1+w 2 )1/2 -1]dx. (1) -T w +β0 w = kK(w , M, κ)+θw 0 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1258 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: Т. Е. Б а д о к и н а, “Модели многопараметрических бифуркационных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 9-18. 9 Т. Е. Б а д о к и н а Общий подход к решению такого типа задач рассматривается при кинематических граничных условиях w(0) = w (0) = 0, w (1) = w(3) (1) = 0. d, -∞ < y1 < ∞, x = x1 /d, Здесь w = w(x) - прогиб пластины; 0 x1 0 x 1 - прямоугольные координаты; K(w , M, κ) = 1 - 1 + (2) κ-1 Mw 2 2κ/(κ-1) - при одностороннем обтекании; K(w , M, κ) = 1 - κ-1 Mw 2 2κ/(κ-1) - 1+ κ-1 Mw 2 2κ/(κ-1) - при двустороннем обтекании; χ2 = h2 , 12(1 - µ2 )d2 T = qd , Eh θ= 1 , 1 - µ2 k= p0 d , Eh где d - ширина пластины, h - её толщина, E - модуль Юнга, µ - коэффициент Пуассона, M = v/c∞ - число Маха (v - скорость потока газа, c∞ - скорость звука в невозмущенном газе), κ - показатель политропы, p0 - давление, β0 - коэффициент жёсткости основания. Интегральное слагаемое учитывает дополнительное усилие в срединной плоскости при прогибе. Для вычисления малых изгибных форм в окрестностях критических значений бифуркационных параметров (число Маха M = M0 + ε1 , сжимающее (растягивающее) усилие T = T0 + ε2 ) применяются методы теории бифуркаций [3]. Зависимость дифференциального уравнения от бифуркационных параметров, выраженная через корни соответствующих характеристических уравнений линеаризации, которые можно считать заданными точно, позволяет определить критические бифуркационные поверхности и кривые, в окрестностях точек которых строится асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящихся по малым параметрам рядов, и тем самым решать бифуркационную задачу о прогибе пластины в точной постановке. Наибольшие трудности возникают при исследовании линеаризованной спектральной задачи, фредгольмовость которой, подобно [4], доказывается построением соответствующей функции Грина, выполненным по стандартной схеме, изложенной в монографии [5]. В известных нам работах к бифуркационным задачам аэроупругости, как правило, применялся метод Галёркина. Методами теории бифуркаций задача о прогибе прямоугольной пластины исследована в работе [6]. Прогиб удлиненной пластины при учете только одного бифуркационного параметра - числа Маха - в работах П. А. Вельмисова и Б. В. Логинова [7], П. А. Вельмисова и С. В. Киреева [8], в которых применялся метод групповых преобразований Ц. На, позволяющий сводить двухточечные граничные задачи для ОДУ четвёртого порядка к задаче Коши. В работе [9] исследована наиболее простая модельная бифуркационная задача для удлиненной пластины с двумя 10 Модели многопараметрических бифуркационных задач . . . бифуркационными параметрами (сжатие/растяжение и число Маха) при использовании методов теории ветвления решений нелинейных уравнений [3]. Эта же техника применялась в работе [10]. 2. Вычисление разветвляющихся решений. Разложение нелинейности в ряды по степеням малого по норме решения w в окрестности критических значений бифуркационных параметров даёт линеаризованную двухточечную граничную задачу на собственные значения L(w) ≡ χ2 w(4) - T w + σw + β0 w = 0, σ = 1(2)kκM (3) с граничными условиями (2), которой отвечает характеристическое уравнение χ2 λ4 - T λ2 + σλ + β0 = 0. (4) Здесь множитель 1(2) в параметре σ соответствует одно(дву-)стороннему обтеканию пластины сверхзвуковым потоком газа. Соответствующая сопряжённая линеаризованная задача строится стандартными методами [5, 11] - интегрированием по частям на промежутке [0, 1] квадратичной формы L(w) · ω - и имеет вид χ2 ω (4) - T ω - σω + β0 ω = 0 (5) с граничными условиями ω(0) = ω (0) = 0, χ2 ω (1) - T ω(1) = 0, χ2 ω (3) (1) - T ω (1) - σω(1) = 0. При исследовании алгебраического уравнения (5) с тремя параметрами T /χ2 , σ/χ2 и β0 /χ2 использован метод Штурма разделения корней алгебраического уравнения. Установлено, что уравнение (4) может иметь корни одного из следующих видов: A) -γ ± iδ1 , γ ± iδ2 (γ, δ1 , δ2 > 0, δ2 > δ1 ); B) -α1 , -α2 , γ ± iδ (α1 , α2 , γ, δ > 0, α1 > α2 ); C) -α ± β1 , α ± β2 (α, β1 , β2 > 0, β2 < β1 < α); A-B) -α, -α, α ± iδ (α, δ > 0); B-C) -α, -2γ + α, γ, γ (α, γ > 0, γ < α < 2γ). Вид корней характеристического уравнения выбран с учётом равенства нулю суммы корней таким образом, что в невырожденных случая все искомые коэффициенты и функции являются функциями трёх аргументов, в вырожденных случаях - двух аргументов. Асимптотика разветвляющихся решений по малым параметрам ε1 , ε2 в точке бифуркации (T0 , M0 ) строится для случаев существования бифуркационных кривых. Линеаризованная в точке бифуркации задача (1), (2) определяет фредгольмов оператор B : C 4+α [0, 1] → C α [0, 1] с одномерным подпространством нулей N (B) = span{ϕ(x)} и дефектным подпространством N ∗ (B) = span{ψ(x)}. Применение к уравнению (1) в разложении аналитической нелинейности 11 Т. Е. Б а д о к и н а Bw ≡ χ2 w(4) - T0 w + σw + β0 w = R(w, ε) = = χ2 1 θ 3 2 (4) w 2 dx- w w + 3w 3 + 9w w w + ε1 w - 1(2)kκw ε2 + w 2 2 0   kκ(κ + 1) M 2 w 2 + kκ(κ + 1) M ε w 2 + kκ(κ + 1) M 3 w 3 + . . .  0 2 0 0 4 2 12 -  kκ(κ + 1) 3 3  M0 w 6 (верхняя (нижняя) строка последнего слагаемого отвечает одностороннему (двустороннему) обтеканию пластины потоком газа) регуляризатора Шмидта [3] представляет его в виде системы ˜ Bw = R(w, ε) + ξz, ξ - w, γ = 0. В аналитическом случае решение первого уравнения представляется в виде ряда w = w100 ξ + w010 ε1 + w001 ε2 + wα1 ;α ξ α1 εα . α1 +|α|>1 Подстановка его во второе уравнение системы даёт уравнение разветвления (УР) Шмидта L(ξ, ε) ≡ ξ - w(ε), γ = 0, эквивалентное уравнению (1) в том смысле, что оно имеет то же количество малых решений, представимых в виде сходящихся рядов по тем же дробным степеням малых параметров. При одностороннем обтекании главная часть УР, определяемая методом диаграммы Ньютона [3], имеет вид L(ξ, ε) = L200 ξ 2 + L110 ξε1 + L101 ξε2 + . . . = 0, где L200 = kκ(κ + 1) 2 2 M0 ϕ , ψ , 4 L110 = - ϕ , ψ , L101 = kκ ϕ , ψ ; ˜ ˜ Γ = B -1 , B = B + · , γ z; γ и z - биортогональные системы к ϕ ∈ N (B) и ∗ (B) соответственно. Здесь и далее ψ∈N 1 a, b = a(x)b(x)dx. 0 При L200 = 0 решение задачи представляется рядом, сходящимся в малой окрестности ε1 = 0, ε2 = 0: w(x) = - L110 ε1 + L101 ε2 ϕ(x) + o(|ε1 |, |ε2 |). L200 Следовательно, при условии существования точек, где определитель матрицы граничных условий равен нулю, происходит транскритическая бифуркация. 12 Модели многопараметрических бифуркационных задач . . . Главная часть УР для двустороннего обтекания пластины сверхзвуковым потоком газа имеет вид L(ξ, ε) = L300 ξ 3 + L110 ξε1 + L101 ξε2 + . . . = 0, где L300 = kκ(κ + 1) 3 3 3 M0 ϕ , ψ - χ2 ϕ 2 ϕ(4) + 3ϕ 6 2 3 + 9ϕ ϕ ϕ , ψ - - L200 = 0, L110 = - ϕ , ψ , L101 = σ0 ϕ , ψ , θ ϕ 2 1 w 2 dx, ψ , 0 σ0 = 2kκM0 . При L300 = 0 асимптотика сходящегося решения выражается формулой L110 ε1 + L101 ε2 w(x) = ± L300 1/2 ϕ(x) + O(|ε1 |, |ε2 |), где знаки ε1 и ε2 определяются условием неотрицательности подкоренного выражения. Следовательно, при L300 = 0 имеет место бифуркация типа «вилки». 3. Исследование спектральной задачи. Прогиб возможен для тех видов корней, когда доказано существование точек, в которых определитель матрицы граничных условий равен нулю. А. Характеристическое уравнение имеет две пары комплексно-сопряжённых корней (-γ ± iδ1 , γ ± iδ2 ), и решение линеаризованной задачи даётся соотношением w(x) = e-γx (c1 cos(δ1 x) + c2 sin(δ1 x)) + eγx (c3 cos(δ2 x) + c4 sin(δ2 x)) . Множество точек бифуркации определяется равенством нулю определителя ∆ матрицы граничных условий: 2 2 ∆ = δ1 δ2 (γ 2 + δ1 )e-2γ + (γ 2 + δ2 )e2γ + + sin δ1 2 4 4 2 2 2 4 (γ 2 - δ2 )δ1 + (3γ 4 - δ2 + 6γ 2 δ2 )δ1 + 3γ 4 δ2 + γ 2 δ2 - 4γ 6 sin δ2 + 4 2 2 2 + 2γδ2 δ1 + (γ 2 + 3δ2 )δ1 - γ 2 δ2 - 4γ 4 cos δ2 + 2 2 4 2 + 2δ1 cos δ1 γ (γ 2 - 3δ2 )δ1 - δ2 - γ 2 δ2 + 4γ 4 sin δ2 + 2 2 2 + δ2 (3γ 2 - δ2 )δ1 + 3γ 2 δ2 + 7γ 4 cos δ2 . Численный анализ на основе разработанной автором компьютерной программы показывает, что на всей области определения Ω = {(γ, δ1 , δ2 ) | δ2 > δ1 , γ > 0, δ1 > 0, δ2 > 0} 13 Т. Е. Б а д о к и н а определитель ∆ > 0, то есть прогиб отсутствует. B. Корнями характеристического уравнения являются два отрицательных и пара комплексно-сопряжённых чисел. С учётом равенства нулю суммы корней вводится замена α1 = γ + α, α2 = γ - α, α > 0. Тогда решению w(x) = c1 e-(γ+α)x + c2 e-(γ-α)x + eγx (c3 cos(δx) + c4 sin(δx)) отвечает определитель матрицы граничных условий ∆ = 2αδ (α2 - γ 2 )2 e-2γ + (γ 2 + δ 2 )2 e2γ + + (α + γ)2 e-α sin δ(4γ 4 - γ 2 (α2 + 3δ 2 ) + 4γαδ 2 + α2 δ 2 - δ 4 )+ + 2δ cos δ(4γ 3 - αγ 2 - γ(α2 - δ 2 ) + αδ 2 ) - - (α - γ)2 eα sin δ(4γ 4 - γ 2 (α2 + 3δ 2 ) - 4γαδ 2 + α2 δ 2 - δ 4 )+ + 2δ cos δ(4γ 3 - αγ 2 - γ(α2 - δ 2 ) - αδ 2 ) > 0. Лемма. На множестве Ω = {(α, γ, δ) | α ∈ (0, γ), γ > 0, δ > 0} прогиб отсутствует. Доказательство. Рассмотрим определитель ∆ = 2αδ (α2 - γ 2 )2 e-2γ + (γ 2 + δ 2 )2 e2γ + + (α + γ)2 e-α A sin δ + B cos δ - (α - γ)2 eα C sin δ + D cos δ , причём A2 + B 2 = C 2 + D 2 = = (γ 2 + δ 2 )2 (δ 4 + 2δ 2 (4γ 2 + α2 ) + (4γ 2 - α2 )2 ) < < (γ 2 + δ 2 )2 (δ 2 + 4γ 2 + α2 )2 , тогда ∆ > 2αδ (α2 - γ 2 )2 e-2γ + (γ 2 + δ 2 )2 e2γ - - (α + γ)2 e-α (γ 2 + δ 2 )(δ 2 + 4γ 2 + α2 )- - (α - γ)2 eα (γ 2 + δ 2 )2 (δ 2 + 4γ 2 + α2 ). Слагаемое 2αδ(α2 - γ 2 )2 e-2γ > 0 является малым и его можно не учитывать. Так как γ > α, для ∆ выполняется неравенство ∆ > (γ 2 + δ 2 ) 2αδ(γ 2 + δ 2 )e2α - - (α - γ)2 eα (δ 2 + 4γ 2 + α2 ) - (α + γ)2 e-α (δ 2 + 4γ 2 + α2 ) . Разложение экспонент в ряды приводит определитель к виду 14 Модели многопараметрических бифуркационных задач . . . ∞ ∆= ∞ an = n=0 n=0 αn n+1 2 αδ(γ 2 + δ 2 )- n! - (γ - α)2 (δ 2 + 4γ 2 + α2 ) - (-1)n (α + γ)2 (δ 2 + 4γ 2 + α2 ) . Для нечётного n очевидно, что an > αδ(γ 2 + δ 2 ) + 4αγ(δ 2 + 4γ 2 + α2 ) > 0. Если n - чётное, то an = 2αδ(γ 2 + δ 2 )2n - (γ 2 + α2 )(δ 2 + 4γ 2 + α2 ). Начиная с некоторого k все члены ряда будут положительны. В силу неограниченного возрастания функции 2n с ростом числа n будем иметь, что ak+1 > ak . Таким образом, все первые k - 1 отрицательных члена компенсируются последующими, начиная с k-того. Соответственно ∆ > 0, и, следовательно, прогиб отсутствует. C. Характеристическое уравнение имеет два отрицательных и два положительных корня (-α ± β1 , α ± β2 ), его коэффициенты имеют вид T 2 2 = β1 + β2 + 2α > 0, χ2 σ 2 2 = 2α(β1 - β2 ), χ2 β0 2 2 = (α2 - β1 )(α2 - β2 ). χ2 Таким образом, в этом случае возможно только растяжение пластины. Из теоремы Виета следует, что α > β1 , β1 > β2 . Определитель матрицы граничных условий для w(x) = e-αx c1 e-β1 x + c2 eβ1 x + eαx c3 e-β2 x + c4 eβ2 x следующий: 2 2 ∆ = 4β1 β2 (α2 - β1 )2 e-2α + (α2 - β2 )2 e2α - - (4α2 + (β1 - β2 )2 )× × (α + β1 )2 (α - β2 )2 e-(β1 +β2 ) + (α - β1 )2 (α + β2 )2 eβ1 +β2 + + (4α2 - (β1 + β2 )2 )× × (α + β1 )2 (α + β2 )2 e-(β1 -β2 ) + (α - β1 )2 (α - β2 )2 eβ1 -β2 . При α > β1 > β2 он положительный (∆ > 0). В силу ограниченного объёма статьи доказательство отсутствия прогиба здесь не приводится. A-B. Для вырожденного случая, когда уравнение (4) имеет отрицательный корень кратности два и пару комплексно-сопряжённых корней (-α, -α, α ± iδ), линеаризованное уравнение (3) имеет решение w(x) = e-αx (c1 + c2 x) + eαx (c3 cos(δx) + c4 sin(δx)) . 15 Т. Е. Б а д о к и н а Определитель матрицы граничных условий является функцией двух переменных: ∆ = α4 δe-2α + δ(α2 + δ 2 )2 e2α + + α 8α4 - 4α5 + 3α3 δ 2 - 2α2 δ 2 + αδ 4 + 2δ 4 sin δ+ + 2α2 δ 7α2 - 4α3 - αδ 2 - 3δ 2 cos δ. Бифуркационная кривая ρ = ρ(α, δ) состоит из точек (α, δ), в которых ∆ = 0. Численный анализ показывает, что в рассматриваемом случае таких точек нет. Замечание. Контроль правильности вычислений определителей матриц граничных условий осуществляется предельным переходом от случая А при δ1 → 0 либо от случая В при α → γ с последующим исследованием этих определителей в предельных случаях. B-C. Характеристическое уравнение имеет два отрицательных и положительный корень кратности два (-α, -2γ + α, γ, γ), и соответствующее решение (3) записывается так: w(x) = c1 e-αx + c2 e-(2γ-α)x + c3 eγx + c4 xeγx . Возможные точки бифуркации определяются равенством нулю определителя ∆ = γ α2 (3γ 3 + 2γ 2 (α + 4) - αγ(α - 2) - 2α2 )e-α + 2γ 3 (α - γ)eγ eγ + + (2γ - α)2 2α2 (α - γ)e-α - γ(3γ 3 + 2γ 2 (2 + α)- - αγ(α - 6) + 2α2 )eγ e-2γ+α . На множестве Ω = {(α, γ) | α ∈ (γ, 2γ)} прогиб отсутствует, так как ∆ > 0. Таким образом, в работе установлено, что во всех возможных случаях распределения корней характеристического уравнения при граничных условиях (2) прогиб пластины не происходит.

About the authors

Tat'yana E Badokina

Ogarev Mordovia State University

Email: badokinate@gmail.com
Assistant, Dept. of Applied Mathematics, Differential Equations and Theoretical Mechanics. 68, Bol’shevistskaya st., Saransk, 430005, Russian Federation

References

Supplementary files