A boundary-value problem with shift for a hyperbolic equation degenerate in the interior of a region

Abstract


For a degenerate hyperbolic equation in characteristic region (lune) a boundary-value problem with operators of fractional integro-differentiation is studied. The solution of this equation on the characteristics is related point-to-point to the solution and its derivative on the degeneration line. The uniqueness theorem is proved by the modified Tricomi method with inequality-type constraints on the known functions. Question of the problem solution's existence is reduced to the solvability of a singular integral equation with Cauchy kernel of the normal type.

Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение |y|m uxx - uyy + a|y|m/2-1 ux = 0, где m = const > 2; a = 0 - действительная постоянная, |a| области Ω, ограниченной характеристиками AC : x - AD : x - 2 y (m+2)/2 = 0, m+2 2 (-y)(m+2)/2 = 0, m+2 (1) m/2 в конечной 2 y (m+2)/2 = 1, m+2 2 BD : x + (-y)(m+2)/2 = 1. m+2 BC : x + Пусть Ω1 = Ω ∩ (y > 0), Ω2 = Ω ∩ (y < 0), I ≡ AB - единичный интерα α α α вал 0 < x < 1 прямой y = 0; I0+ f (x), I1- f (x), D0+ f (x), D1- f (x) - операторы дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля [1, с. 42-43]; Θi (x), Θi (x) - точки пересечения характеристик уравнения 0 1 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1280 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а, “Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 37-47. 37 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ I, с характеристиками AC, BC, AD, BD соответственно, i = 1, 2. Задача. Найти решение u(x, y) уравнения (1) со свойствами 1) u(x, y) ∈ C(Ω) ∩ C 1 (Ω1 ∪ I) ∩ C 1 (Ω2 ∪ I) ∩ C 2 (Ω1 ∪ Ω2 ); 2) u(x, +0) = u(x, -0), x ∈ I; lim uy (x, y) = µ(x) lim uy (x, y) + λ(x), x ∈ I; y→+0 3) y→-0 pi i (x)] + B (x)I qi w (x)u[Θi (x)]+ Ai (x)I0+ δi (x)u[Θ0 i 1 1- i +Ci (x)ui y (x,0) + Di (x)ui (x, 0) = γi (x), i = 1, 2, x ∈ I, где Ai (x), Bi (x), Ci (x), Di (x) γi (x), δi (x), wi (x), µ(x), λ(x) - заданные функции такие, что 2 2 A2 (x) + Bi (x) + Ci2 (x) + Di (x) = 0, i Ai (x), Bi (x), Ci (x), Di (x), γi (x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I), µ(x), λ(x) ∈ C 1 (I), pi , qi - действительные постоянные, причём 0 < pi , qi < 1. (2) Отметим, что рассматриваемая задача относится к классу краевых задач со смещением [2] (по терминологии А. М. Нахушева). 2. Единственность решения задачи. Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи, если µ(x) = 1, λ(x) = 0, p1 = p2 = α, q1 = q2 = β, δ1 (x) = δ2 (x) = xα+β-1 , w1 (x) = w2 (x) = (1 - x)α+β-1 ; Ei (x) = (3) Γ(α + β) Γ(α + β) 1-β (1 - x)1-α Ai (x) + x Bi (x)+ Γ(β) Γ(α) + x1-β (1 - x)1-α Di (x) = 0, i = 1, 2, x ∈ I (4) и выполняются неравенства B1 (x) 1-β C1 (x) 1-β A1 (x) (1 - x)1-α 0, x 0, x (1 - x)1-α 0, (5) E1 (x) E1 (x) E1 (x) A2 (x) B2 (x) 1-β C2 (x) 1-β (1 - x)1-α 0, x 0, x (1 - x)1-α 0, x ∈ I, E2 (x) E2 (x) E2 (x) либо Ei (x) = µ(x) > 0, λ(x) = 0, p1 = p2 = 1 - β, q1 = q2 = 1 - α, δ(x) = w(x) = 1; Γ(2 - α - β) m + 2 2/(m+2) (1 - x)β Ai (x)+ Γ(1 - α) 4 Γ(2 - α - β) m + 2 2/(m+2) α + x Bi (x)+ Γ(1 - β) 4 + xα (1 - x)β Ci (x) = 0, 38 (6) i = 1, 2, x ∈ I (7) Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения и выполняются неравенства A1 (x) B1 (x) (1 - x)β < 0, xα < 0, D1 (x) xα (1 - x)β < 0, E1 (x) E1 (x) E1 (x) A2 (x) B2 (x) α D2 (x) α (1 - x)β > 0, x > 0, x (1 - x)β > 0, x ∈ I, E2 (x) E2 (x) E2 (x) (8) (9) либо p1 = α, p2 = 1 - β, q1 = β, q2 = 1 - α, δ(x) = w(x) = 1; (10) выполняются условия (4), (5) в области Ω1 , а в области Ω2 справедливы условия (7), (9), где α= m - 2a , 2(m + 2) β= m + 2a . 2(m + 2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Переходя к доказательству единственности решения задачи, положим τ (x) = u(x, 0), ν1 (x) = lim uy (x, y), y→0+0 ν2 (x) = lim uy (x, y). y→0-0 Пусть выполняются условия (3), (4) теоремы. Используя формулу решения задачи Коши для уравнения (1) в областях Ω1 , Ω2 [3, с. 13-14] и удовлетворяя краевым условиям 3), получим соотношения между τ (x) и νi (x), принесённые на I из Ω1 и Ω2 соответственно: 1-α-β 1-α-β νi (x) + B i (x)I1- νi (x) + C i (x)νi (x) + γ i (x), τ (x) = Ai (x)I0+ (11) где Ai (x) = - Γ(2 - α - β) m + 2 Γ(1 - α) 4 2/(m+2) Ai (x) Ei (x) (1 - x)1-α , Γ(2 - α - β) m + 2 2/(m+2) Bi (x) 1-β x , Γ(1 - β) 4 Ei (x) Ci (x) 1-β C i (x) = - x (1 - x)1-α , Ei (x) γi (x) 1-β x (1 - x)1-α , i = 1, 2. γ i (x) = Ei (x) B i (x) = - После преобразований, аналогичных [4, 5], получим, что 1 τ (x)νi (x)dx = 0. 0 Затем нетрудно доказать равенство νi (x) = 0 (см., например, [4]). Тогда из (11) при γi (x) = 0 имеем τ (x) = 0. Следовательно, ui (x, y) ≡ 0 как решения задачи Коши с нулевыми данными в областях Ω1 , Ω2 , что и завершает 39 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а доказательство единственности решения исследуемой задачи для уравнения (1). Если выполняются условия (6), (7) теоремы, то соотношения между τ (x) и νi (x) имеют вид 1-α-β 1-α-β νi (x) = Ai (x)D0+ τ (x) + Bi (x)D1- τ (x) + Di (x)τ (x) + γi (x), (12) где Ai (x) = - Di (x) = - Γ(α + β) Ai (x) (1 - x)β , Γ(β) Ei (x) Di (x) Ei (x) xα (1 - x)β , Bi (x) = - γi (x) = γi (x) Ei (x) Γ(α + β) Bi (x) α x , Γ(α) Ei (x) xα (1 - x)β , i = 1, 2. В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений положительный максимум (отрицательный минимум) функции u(x, y) в Ω1 , Ω2 достигается на I. Пусть положительный максимум функции u(x, y) достигается в точке (x0 , 0) ∈ I. 1-α-β 1-α-β Пользуясь тем, что дробные производные D0+ τ (x), D1- τ (x) в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [2, с. 82-83], получаем при выполнении условий (8), (9) ν1 (x0 ) > 0, ν2 (x0 ) < 0. Это противоречит условию сопряжения 2) при µ(x) > 0, λ(x) = 0, откуда и следует справедливость теоремы единственности решения рассматриваемой задачи для уравнения (1). 3. Существование решения задачи. Д о к а з а т е л ь с т в о существования решения задачи проведём для трёх случаев. Случай 1. Пусть в областях Ω1 и Ω2 выполняются условия (3) и C2 (x)E1 (x) - C1 (x)E2 (x) = 0. Полагая ν1 (x) = ν2 (x) = ν(x) и удовлетворяя (11), требованию сопряжения 2), получим 1-α-β 1-α-β A(x)I0+ ν(x) + B(x)I1- ν(x) = F (x), (13) где A(x) = A1 (x) - A2 (x), B(x) = B 1 (x) - B 2 (x), F (x) = γ 2 (x) - γ 1 (x). Здесь m > 2, 0 < α, β < 1, α + β = m/(m + 2). Разделим обе части (13) на A(x) = 0, а затем к обеим частям получивше1-α-β гося соотношения применим оператор D0+ . В результате будем иметь 1-α-β 1-α-β 1-α-β ν(x) + D0+ M (x)I1- ν(x) = D0+ где M (x) = B(x)/A(x). 40 F (x) , A(x) (14) Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения Используя методику и результаты работы [6], а также монографии [7, с. 81-89], можно записать 1-α-β 1-α-β I1 (x) = D0+ M (x)I1- ν(x) в виде x I1 (x) = cos[π(α + β)]M (x)ν(x) + µ 1 K1 (x, ξ)ν(ξ)dξ + µ K2 (x, ξ)ν(ξ)dξ, 0 x где µ= sin[π(α + β)] 1 = , Γ(α + β)Γ(1 - α - β) π d dx d K2 (x, ξ) = dx ξ K1 (x, ξ) = M (t)dt (x - (x - 0 t)1-α-β (ξ t)1-α-β (ξ x 0 - t)α+β M (t)dt - t)α+β , . Исследуем поведение ядер K1 (x, ξ) и K2 (x, ξ). Имеем K1 (x, ξ) = M (ξ) ξ d dx dt (x - 0 t)1-α-β (ξ - t)α+β - - d dx ξ 0 [M (ξ) - M (t)]dt . (x - t)1-α-β (ξ - t)α+β Гладкость ядра K1 (x, ξ) определяется гладкостью первого интеграла ξ dt d = 1-α-β (ξ - t)α+β dx 0 (x - t) M (ξ) d ξ 1-α-β ξ = F 1 - α - β,1; 2 - α - β; = 1 - α - β dx x x ξ 1-α-β M (ξ) =- , x x-ξ I2 (x, ξ) = M (ξ) где F (a, b; c; z) - гипергеометрическая функция Гаусса [1, с. 31]. Аналогично K2 (x, ξ) = M (ξ) I3 (x, ξ) = M (ξ) x d dx d dx 0 dt - (x - t)1-α-β (ξ - t)α+β x d [M (ξ) - M (t)]dt - , dx 0 (x - t)1-α-β (ξ - t)α+β x 0 dt (x - t)1-α-β (ξ - t)α+β = 41 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а = M (ξ) d α + β dx x ξ α+β F α + β,1; 1 + α + β; x ξ = ξ x 1-α-β M (ξ) ξ-x . Тогда уравнение (14) примет вид 1 A∗ (x)ν(x) + 0 K ∗ (x, ξ)ν(ξ)dξ = F ∗ (x), ξ-x (15) где A∗ (x) = 1 + cos[π(α + β)]M (x), K ∗ (x, ξ) = µK1 (x, ξ)(x - ξ), µK2 (x, ξ)(ξ - x), 1-α-β F ∗ (x) = D0+ ξ ξ x, x, F (x) . A(x) Из установленных свойств ядер K1 (x, ξ) и K2 (x, ξ) заключаем, что ядро K ∗ (x, ξ) дважды непрерывно дифференцируемо в квадрате 0 < x, ξ < 1 при ξ = x и допускает оценку K ∗ (x, ξ) = O(1)(ξ - x)-1 , где O(1) означает ограниченную в I × I величину. В силу условий (2) и свойств дробных производных можно заключить, что F ∗ (x) ∈ C 1 (I). Таким образом, уравнение (15) при A∗ (x) = 0 есть сингулярное интегральное уравнение [8, с. 157] с ядром Коши. Условие [A∗ (x)]2 + π 2 [K ∗ (x)]2 = 0 гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнение (15) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Отсюда и из единственности искомого решения следует существование решения исследуемой задачи. Случай 2. Пусть в областях Ω1 и Ω2 выполняются требования (6), (7). Тогда на основании условия сопряжения 2) и соотношений (12) имеем 1-α-β 1-α-β D0+ τ (x) + N (x)D1- τ (x) + P (x)τ (x) = Q(x), где N (x) = Q(x) = B1 (x) - µ(x)B2 (x) , P (x) = A1 (x) - µ(x)A2 (x) µ(x)γ2 (x) + λ(x) - γ1 (x) A1 (x) - µ(x)A2 (x) , D1 (x) - µ(x)D2 (x) A1 (x) - µ(x)A2 (x) , A1 (x) - µ(x)A2 (x) = 0. 1-α-β Действуя на обе части оператором I0+ и используя результаты [4, с. 98-103], после преобразований получим 1 ∗ A (x)τ (x) + 0 42 ∗ K (x, ξ)τ (ξ)dξ ∗ = F (x), ξ-x Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения где ∗ ∗ 1-α-β A (x) = 1 + π ctg[π(α + β)]N (x), F (x) = I0+ Q(x),   sin[π(α + β)]  [K5 (x, ξ) - K3 (x, ξ)](x - ξ)+    π  1 ∗ + P (ξ)(x - ξ)1-α-β при x K (x, ξ) = Γ(1 - α - β)    sin[π(α + β)]    [K6 (x, ξ) - K4 (x, ξ)](ξ - x) при x π ξ K3 (x, ξ) = (x - 0 x K4 (x, ξ) = 0 K5 (x, ξ) = K6 (x, ξ) = d dx d dx ξ, N (t)dt , - t)1-α-β t)α+β (ξ N (t)dt , (x - t)α+β (ξ - t)1-α-β ξ (x - 0 x 0 ξ, N (t)dt , - t)1-α-β t)α+β (ξ N (t)dt . (x - t)α+β (ξ - t)1-α-β Теперь достаточно повторить аргументацию доказательства существования решения задачи первого случая. Случай 3. Пусть в области Ω1 выполняется условие (3), а в области Ω2 - условие (10). Краткости ради положим C1 (x) = 0, µ(x) = 1, λ(x) = 0. Учитывая условия сопряжения 2), соотношение (11) при i = 1 и соотношение (12) при i = 2, получим уравнение 1-α-β 1-α-β 1-α-β 1-α-β A2 (x)D0+ τ (x) - A1 (x)I0+ B2 (x)D1- τ (x)- τ (x) - A1 (x)I0+ 1-α-β 1-α-β 1-α-β 1-α-β τ (x) - B 1 (x)I1- τ (x)- A2 (x)D0+ B2 (x)D1- - B 1 (x)I1- 1-α-β 1-α-β - A1 (x)I0+ D2 (x)τ (x) - B 1 (x)I1- D2 (x)τ (x) = 1-α-β 1-α-β = A1 (x)I0+ γ2 (x) + B 1 (x)I1- γ2 (x) + γ 1 (x). (16) Преобразуем уравнение (16). Рассмотрим вначале второе слагаемое (без учёта внешнего коэффициента -A1 (x)): 1-α-β 1-α-β I11 (x) = I0+ B2 (x)D1- τ (x). Вычисления, проведённые для второго случая, дают возможность записать I11 (x) в виде I11 (x) = π ctg[π(α + β)]B2 (x)τ (x)+ sin[π(α + β)] x [K7 (x, ξ) - K8 (x, ξ)]τ (ξ)dξ+ + π 0 sin[π(α + β)] 1 + [K9 (x, ξ) - K10 (x, ξ)]τ (ξ)dξ, π x 43 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а где ядра K7 (x, ξ), . . . , K10 (x, ξ) имеют такой же вид, что и ядра K3 (x, ξ), . . . , K6 (x, ξ), только функцию N (t) надо заменить функцией B2 (t). Рассмотрим 1-α-β 1-α-β I12 (x) = I0+ A2 (x)D0+ τ (x) = = sin[π(α + β)] π x 0 A2 (t)dt d (x - t)α+β dt t 0 τ (ξ)dξ . (t - ξ)1-α-β В силу равенства I13 (x) = x d dx x = 0 t A2 (t)dt (x - t)α+β 0 A2 (t)dt d (x - t)α+β dt 0 t 0 τ (ξ)dξ = (t - ξ)1-α-β x τ (ξ)dξ + (t - ξ)1-α-β A2 (t)dt (x - t)α+β 0 t 0 τ (ξ)dξ (t - ξ)1-α-β имеем (после перемены порядка интегрирования) I12 (x) = sin[π(α + β)] π x K11 (x, ξ)τ (ξ)dξ, 0 где K11 (x, ξ) = d dx x ξ x A2 (t)dt - (x - t)α+β (t - ξ)1-α-β ξ A2 (t)dt . (x - t)α+β (t - ξ)1-α-β Очевидно, что поведение ядра K11 (x, ξ) аналогично поведению в смысле гладкости интегралов (1) I14 (x) = A2 (x) d dx x ξ dt (x - t)α+β (t - ξ)1-α-β = = A2 (x) и d B(α + β, 1 - α - β) = 0, dx (2) I14 (x) = A2 (x)B(1 + β, 1 - α - β), где B(a, b) - бeта-функция [1, с. 31]. Рассмотрим 1-α-β 1-α-β I15 (x, ξ) = I1- A2 (x)D0+ τ (x) = = sin[π(α + β)] π 1 x A2 (t)dt d (t - x)α+β dt t 0 τ (ξ)dξ . (t - ξ)1-α-β Проводя необходимые вычисления, получим I15 (x, ξ) = 44 sin[π(α + β)] π x 1 K12 (x, ξ)τ (ξ)dξ + 0 K13 (x, ξ)τ (ξ)dξ , x Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения где K12 (x, ξ) = 1 d dx A2 (t)dt - (t - x)α+β (t - ξ)1-α-β x 1 A2 (1) A2 (t)dt + , (t - x)α+β (t - ξ)1-α-β (1 - x)α+β (1 - ξ)1-α-β - x K13 (x, ξ) = 1 d dx (t - ξ A2 (t)dt - α+β (t - ξ)1-α-β x) 1 - (t - ξ A2 (t)dt α+β (t - ξ)1-α-β x) + (1 - A2 (1) α+β (1 - x) ξ)1-α-β . Гладкость K12 (x, ξ) и K13 (x, ξ) будет определяться соответственно гладкостью 1 d dx d I17 (x, ξ) = dx I16 (x, ξ) = dt (t - x x)α+β (t (t - x)α+β (t 1 ξ - ξ)1-α-β dt - ξ)1-α-β 1-ξ 1-x 1-ξ = 1-x = 1 ; ξ-x α+β 1 . ξ-x α+β Преобразуем интеграл 1-α-β 1-α-β τ (x) = B2 (x)D1- I18 (x, ξ) = I1- =- sin[π(α + β)] π 1 x B2 (t)dt d 1 τ (ξ)dξ = α+β dt 1-α-β (t - x) t (ξ - t) sin[π(α + β)] 1 = K14 (x, ξ)τ (ξ)dξ, π x где K14 (x, ξ) = d dx ξ x B2 (t)dt + (t - x)α+β (ξ - t)1-α-β ξ x B2 (t)dt . (t - x)α+β (ξ - t)1-α-β Гладкость ядра K14 (x, ξ) будет определяться гладкостью I19 = d dx ξ x dt (t - x)α+β (ξ - t)1-α-β = d B(1 - α - β, α + β) = 0. dx Следовательно, ядро K14 (x, ξ) особенностей не имеет и его гладкость будут определять функции B2 (x) и B2 (x). Теперь уравнению (16) можно придать вид 1 µ(x)τ (x) + 0 K ∗∗ (x, ξ)τ (ξ)dξ ∗ = F1 (x), ξ-x (17) 45 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а где µ(x) = 1 - A1 (x) · B2 (x)π ctg[π(α + β)], K ∗∗ (x, ξ) =                      sin[π(α + β)] K11 (x, ξ)A1 (x) - K7 (x, ξ) - K8 (x, ξ)- π A1 (x)D2 (ξ) (x - ξ) при x -B1 (x)K2 (x, ξ) - Γ(1 - α - β) sin[π(α + β)] B 1 (x) K13 (x, ξ) - K14 (x, ξ) - π B 1 (x)D2 (ξ) (ξ - x) при ξ - Γ(1 - α - β) ξ, x, 1-α-β 1-α-β ∗ γ2 (x) + B 1 (x)I1- γ2 (x) + γ 1 (x). F1 (x) = A1 (x)I0+ Условие нормальной разрешимости уравнения (17) имеет вид µ2 (x) + π 2 [K ∗∗ (x, x)]2 = 0. Проведённые вычисления дают возможность провести далее доказательство существования решения задачи аналогично первому случаю, что затруднений не вызывает.

About the authors

Oleg A Repin

Samara State Economic University

Email: matstat@mail.ru
141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Head of Dept., Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics

Svetlana K Kumykova

Kabardino-Balkarian State University

Email: bsk@rect.kbsu.ru
173, Chernyshevskogo st., Nalchik, 360004, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Function Theory

References

  1. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  2. А. М. Нахушев, Задачи со смещением для уравнений в частных производных, М.: Наука, 2006. 287 с.
  3. М. М. Смирнов, Вырождающиеся гиперболические уравнения, Минск: Высшая школа, 1977. 158 с.
  4. С. К. Кумыкова, “Краевая задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения” // Дифференц. уравнения, 1980. Т. 16, No 1. С. 93-104.
  5. О. А. Репин, С. К. Кумыкова, “Нелокальная задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. No 4(25). С. 25-36. doi: 10.14498/vsgtu1014.
  6. С. К. Кумыкова, Ф. Б. Нахушева, “Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области” // Дифференц. уравнения, 1978. Т. 14, No 1. С. 50-65.
  7. О. А. Репин, Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов, Самара: Саратов. гос. ун-т, Самарский филиал, 1992. 164 с.
  8. Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения, М.: Наука, 1968. 512 с.

Statistics

Views

Abstract - 19

PDF (Russian) - 1

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies