On Leibniz-Poisson special polynomial identities

Abstract


In this paper we study Leibniz-Poisson algebras satisfying polynomial identities. We study Leibniz-Poisson special and Leibniz-Poisson extended special polynomials. We show that the sequence of codimensions $\{r_n({\bf V})\}_{n\geq 1}$ of every extended special space of variety ${\bf V}$ of Leibniz-Poisson algebras over an arbitrary field is either bounded by a polynomial or at least exponential. Furthermore, if this sequence is bounded by polynomial then there is a polynomial $R(x)$ with rational coefficients such that $r_n({\bf V}) = R(n)$ for all sufficiently large n. It follows that there exists no variety of Leibniz-Poisson algebras with intermediate growth of the sequence $\{r_n({\bf V})\}_{n\geq 1}$ between polynomial and exponential. We present lower and upper bounds for the polynomials $R(x)$ of an arbitrary fixed degree.

Full Text

Векторное пространство A над полем K с двумя K-билинейными операциями умножения · и {,} называется алгеброй Лейбница-Пуассона, если относительно операции · пространство A является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции {,} - алгеброй Лейбница, и данные операции связаны правилами {a · b, c} = a · {b, c} + {a, c} · b, {c, a · b} = a · {c, b} + {c, a} · b, где a, b, c ∈ A. При этом алгебра Лейбница A(+, {,}, K) над полем K определяется тождеством {{x, y}, z} = {{x, z}, y} + {x, {y, z}}. ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1298 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: С. М. Р а ц е е в, О. И. Ч е р е в а т е н к о, “О тождествах специального вида в алгебрах Лейбница-Пуассона” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 9-15.. 9 С. М. Р а ц е е в, О. И. Ч е р е в а т е н к о Алгебры Лейбница-Пуассона были введены в работе [1] и активно изучались в работах [2-8]. Данные алгебры являются обобщениями алгебр Пуассона. Заметим, что если в алгебре Лейбница выполнено тождество {x, x} = 0, то она будет являться алгеброй Ли, поэтому, если данное тождество выполнено в алгебре Лейбница-Пуассона, то данная алгебра будет являться алгеброй Пуассона. Алгебры Пуассона возникают естественным образом в некоторых разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики и т. д. Исследование полиномиальных алгебр Пуассона началось сравнительно недавно, но тем не менее в данном направлении получен ряд интересных результатов [9-17]. Заметим также, что с использованием свободных алгебр Пуассона и Пуассоновых скобок У. У. Умирбаевым и И. П. Шестаковым [18] была решена известная проблема Нагаты [19] о существовании диких автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры над полем характеристики 0 с тремя порождающими. Пусть F (X) - свободная алгебра Лейбница-Пуассона, где X = {x1 , x2 , x3 , . . . } - счётное множество свободных образующих. Обозначим через Pn пространство в F (X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных x1 , . . . , xn . Выделим в пространстве P2n подпространство Q2n , порождённое элементами вида {xa1 , xa2 } · {xa3 , xa4 } · . . . · {xa2n-1 , xa2n }. Тогда данное пространство есть линейная оболочка следующих элементов: Q2n = {xτ (1) , xτ (2) } · {xτ (3) , xτ (4) } · . . . · {xτ (2n-1) , xτ (2n) } | τ ∈ S2n , τ (1) < τ (3) < · · · < τ (2n - 1) K. Определим также подпространство Rn в Pn , порождённое элементами вида {xa1 , xa2 } · {xa3 , xa4 } · . . . · {xa2m-1 , xa2m } · xα2m+1 · . . . · xαn . Тогда пространство Rn является линейной оболочкой элементов следующего вида: Rn = {xτ (1) , xτ (2) } · {xτ (3) , xτ (4) } · . . . · {xτ (2m-1) , xτ (2m) } · xτ (2m+1) · . . . · xτ (n) | τ ∈ Sn , 0 2m n, τ (1) < τ (3) < · · · < τ (2m - 1), τ (2m + 1) < τ (2m + 2) < · · · < τ (n) K . Пусть V - некоторое многообразие алгебр Лейбница-Пуассона (все необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в монографиях [20-22]), Id(V) - идеал тождеств многообразия V. Обозначим Pn (V) = Pn /(Pn ∩ Id(V)), cn (V) = dim Pn (V), Q2n (V) = Q2n /(Q2n ∩ Id(V)), q2n (V) = dim Q2n (V), Rn (V) = Rn /(Rn ∩ Id(V)), rn (V) = dim Rn (V). Пространства Q2n (V) и Rn (V) многообразий алгебр Пуассона V активно изучались в работах [9-11, 13, 23]. Это обусловлено следующим обстоятельством. Обозначим T2n = {τ ∈ S2n | τ (1) < τ (2), τ (3) < τ (4), . . . , τ (2n - 1) < τ (2n), 10 О тождествах специального вида в алгебрах Лейбница-Пуассона τ (1) < τ (3) < · · · < τ (2n - 1)}. Теорема 1 [9]. Пусть V - многообразие алгебр Пуассона над полем нулевой характеристики, в котором выполнено нетривиальное тождество. Тогда в V выполняется нетривиальное тождество вида ατ {xτ (1) , xτ (2) } · {xτ (3) , xτ (4) } · . . . · {xτ (2n-1) , xτ (2n) } = 0, ατ ∈ K. τ ∈T2n Далее нам понадобится следующая лемма, которую приведем без доказательства, так как она является частным случаем предложения 4 работы [1]. Лемма. Пусть V - некоторое многообразие алгебр Лейбница-Пуассона над произвольным полем. Тогда справедливы следующий утверждения: (i) полилинейные элементы u2n (x1 , . . . , x2n ), s = 1, . . . , q2n (V), s образуют базис пространства Q2n (V) тогда и только тогда, когда полилинейные элементы от переменных x1 , . . . , xn вида x1 · . . . · xn , 2 2k xi1 · . . . · xin-2k · u2k (xj1 , . . . , xj2k ), s n, s = 1, . . . , q2k (V), i1 < · · · < in-2k , j1 < · · · < j2k , образуют базис пространства Rn (V); (ii) для любого натурального числа n выполнено равенство 2k Cn q2k (V), rn (V) = 1 + 2 2k n 2k где Cn - число сочетаний из n по 2k. Теорема 2. Пусть V - нетривиальное многообразие алгебр Лейбница- Пуассона над произвольным полем. Тогда либо 1) rn (V) 2n-1 для любого n, либо 2) найдется такой многочлен a2N x2N + · · · + a1 x + a0 степени 2N 0 из кольца Q[x], что для любого n 2N будет выполнено равенство rn (V) = a2N n2N + · · · + a1 n + a0 , a2N = 0, причём либо 2a) rn (V) 1+ n(n - 1) ,n 2 1 (2N )! 1, и a2N 1 , N! либо 2b) rn (V) = 1 для любого n. 11 С. М. Р а ц е е в, О. И. Ч е р е в а т е н к о Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность {rn (V)}n 1 не ограничена полиномом. Тогда из предложения 5 работы [1] следует, что для любого натурального n выполнено неравенство q2n (V) > 0. С учётом леммы получаем 2k 2k rn (V) = 1 + Cn q2k (V) 1 + Cn = 2n-1 . 2 2k n 2 2k n Пусть теперь последовательность {rn (V)}n 1 ограничена полиномом. Пусть N - максимальное число, при котором q2N (V) > 0. Тогда из леммы следует, что для любого n 2N будет выполнено равенство N 2k Cn q2k (V), rn (V) = 1 + k=1 то есть найдётся такой многочлен степени 2N циентами, что rn (V) = a2N n2N + · · · + a1 n + a0 , 0 с рациональными коэффиa2N = 0, n 2N. Пусть N > 0. Так как (2n)! n! 2N будет выполнено двойное неравенство q2n (F (X)) для любого n, для любого n N N 2k Cn 2k Cn · rn (V) k=0 k=0 (2k)! . k! (1) Поэтому 1 (2N )! a2N 1 . N! При этом заметим, что rn (V) 2 1 + Cn · q2 (V) 1+ n(n - 1) . 2 Если N = 0, то rn (V) = 1 для любого n. Заметим, что аналогичный результат для полилинейных частей унитарных ассоциативных алгебр над произвольным полем получен в работе [24]. Пусть Λ2n - алгебра Грассмана с единицей, 2n образующими элементами {e1 , . . . , e2n } и операцией умножения ∧. Введём в алгебре Λ2n два новых умножения: 1 a · b = (a ∧ b + b ∧ a), {a, b} = a ∧ b - b ∧ a, a, b ∈ Λ2n . 2 Обозначим полученную алгебру Пуассона (Λ2n , +, ·, {,}) через G2n . В работе [12] показано, что в случае основного поля нулевой характеристики для 12 О тождествах специального вида в алгебрах Лейбница-Пуассона произвольного натурального числа N последовательность {rn (G2N )}n стигает нижней границы в неравенстве (1): 1 до- N 2k Cn , n cn (G2N ) = rn (G2N ) = 2N. k=0 Заметим, что существует бесконечно много попарно различных многообразий алгебр Лейбница-Пуассона V, у которых последовательность {rn (V)}n 1 достигает нижней границы полиномиального роста. Пусть SUN = SUN (K) - алгебра строго верхнетреугольных матриц порядка N над полем K и операLP цией умножения ∧. В векторном пространстве UN = SUN × SUN × K над полем K определим две операции умножения · и {,} следующим образом: (x1 , x2 , α) · (y1 , y2 , β) = (βx1 + αy1 , βx2 + αy2 , αβ), {(x1 , x2 , α), (y1 , y2 , β)} = ([x1 , y1 ], x2 ∧ y1 ,0), LP где [x1 , y1 ] = x1 ∧ y1 - y1 ∧ x1 , (x1 , x2 , α), (y1 , y2 , β) ∈ UN . В работе [25] LP показано, что для полученной алгебры Лейбница-Пуассона UN над полем нулевой характеристики верны следующие равенства: LP LP q2 (UN ) = 1, q2n (UN ) = 0, n > 1, n(n - 1) LP , n 1, rn (UN ) = 1 + 2 min{n,N -1} LP cn (UN ) = 1 + k Cn · k!, n 1. k=2

About the authors

Sergey M Ratseev

Ulyanovsk State University

Email: RatseevSM@mail.ru
42, L. Tolstoy st., Ulyanovsk, 432017, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Information Security & Control Theory

Olga I Cherevatenko

Ulyanovsk State I. N. Ulyanov Pedagogical University

Email: chai@pisem.net
4, Ploshchad’ 100-letiya so dnya rozhdeniya V. I. Lenina, Ulyanovsk, 432063, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. С. М. Рацеев, “Коммутативные алгебры Лейбница-Пуассона полиномиального роста” // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2012. № 3/1(94). С. 54-65.
  2. S. M. Ratseev, “On varieties of Leibniz-Poisson algebras with the identity {x, y}·{z, t} = 0” // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2013. vol. 6, no. 1. pp. 97-104.
  3. С. М. Рацеев, “Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Лейбница-Пуассона” // Изв. вузов. Матем., 2014. № 3. С. 33-39.
  4. S. M. Ratseev, “Necessary and sufficient conditions of polynomial growth of varieties of Leibniz-Poisson algebras” // Russian Math. (Iz. VUZ), 2014. vol. 58, no. 3. pp. 26-30. doi: 10.3103/S1066369X14030037.
  5. С. М. Рацеев, О. И. Череватенко, “Экспоненты некоторых многообразий алгебр Лейбница-Пуассона” // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2013. № 3(104). С. 42-52.
  6. С. М. Рацеев, “Об экспонентах некоторых многообразий линейных алгебр” // ПДМ, 2013. № 3. С. 32-34.
  7. С. М. Рацеев, О. И. Череватенко, “О некоторых многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона с экстремальными свойствами” // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2013. № 2. С. 57-59.
  8. С. М. Рацеев, О. И. Череватенко, “О метабелевых многообразиях алгебр Лейбница-Пуассона” // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика, 2013. Т. 6, № 1. С. 72-77.
  9. О. И. Череватенко, “Многообразия линейных алгебр полиномиального роста” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 4(33). С. 7-14. doi: 10.14498/vsgtu1262.
  10. D. R. Farkas, “Poisson polynomial identities” // Comm. Algebra, 1998. vol. 26, no. 2. pp. 401-416. doi: 10.1080/00927879808826136.
  11. D. R. Farkas, “Poisson polynomial identities II” // Arch. Math. (Basel), 1999. vol. 72, no. 4. pp. 252-260. doi: 10.1007/s000130050329.
  12. S. P. Mishchenko, V. M. Petrogradsky, A. Regev, “Poisson PI algebras” // Trans. Amer. Math. Soc., 2007. vol. 359, no. 10. pp. 4669-4694. doi: 10.1090/S0002-9947-07-04008-1.
  13. С. М. Рацеев, “Алгебры Пуассона полиномиального роста” // Сиб. матем. журн., 2013. Т. 54, № 3. С. 700-711.
  14. S. M. Ratseev, “Poisson algebras of polynomial growth” // Siberian Math. J., 2013. vol. 54, no. 3. pp. 555-565. doi: 10.1134/S0037446613030191.
  15. С. М. Рацеев, “Рост в алгебрах Пуассона” // Алгебра и логика, 2011. Т. 50, № 1. С. 68-88.
  16. S. M. Ratseev, “Growth in Poisson algebras” // Algebra and Logic, 2011. vol. 50, no. 1. pp. 46-61. doi: 10.1007/s10469-011-9123-z.
  17. С. М. Рацеев, “Эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона” // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 2012. Т. 67, № 5. С. 8-13.
  18. S. M. Ratseev, “Equivalent conditions of polynomial growth of a variety of Poisson algebras” // Moscow University Mathematics Bulletin, 2012. vol. 67, no. 5-6. pp. 195-199. doi: 10.3103/S0027132212050026.
  19. С. М. Рацеев, “О некоторых алгебрах Пуассона с экстремальными свойствами” // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Мат. Физ., 2013. Т. 30, № 5(148). С. 107-110.
  20. С. М. Рацеев, “Оценки роста некоторых многообразий алгебр Пуассона” // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Мат. Физ., 2013. Т. 31, № 11. С. 93-101.
  21. О. И. Череватенко, “О лиево нильпотентных алгебрах Пуассона” // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Мат. Физ., 2013. Т. 29, № 23(142). С. 14-16.
  22. I. P. Shestakov, U. U. Umirbaev, “The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three variables” // J. Amer. Math. Soc., 2004. vol. 17, no. 1. pp. 197-227. doi: 10.1090/S0894-0347-03-00440-5.
  23. M. Nagata, On the automorphism group on k[x, y], Department of Mathematics, Kyoto University / Lectures in Mathematics, vol. 5, Tokyo, Kinokuniya Book-Store Co., 1972, v+53 pp.
  24. Ю. А. Бахтурин, Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985. 448 с.
  25. A. Giambruno, M. V. Zaicev, Polynomial Identities and Asymptotic Methods / Mathematical Surveys and Monographs, vol. 122, Providence, RI, American Mathematical Society, 2005, xiv+352 pp. doi: 10.1090/surv/122.
  26. V. Drensky, Free algebras and PI-algebras. Graduate course in algebra, Singapore, SpringerVerlag, 2000, xii+271 pp.
  27. С. М. Рацеев, “Рост и кодлина пространств специального вида многообразий алгебр Пуассона” // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион, 2006. № 5(26). С. 125-135.
  28. V. Drensky, A. Regev, “Exact asymptotic behaviour of the codimention of some P.I. Algebras” // Israel J. Math, 1996. vol. 96, no. 1. pp. 231-242. doi: 10.1007/BF02785540.
  29. С. М. Рацеев, О. И. Череватенко, “О нильпотентных алгебрах Лейбница-Пуассона” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 4(29). С. 207-211. doi: 10.14498/vsgtu1075.

Statistics

Views

Abstract - 18

PDF (Russian) - 2

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies