Inverse problem for a Fredholm third order partial integro-differential equation

Abstract


The solvability of various problems for partial differential equations of the third order is researched in many papers. But, partial Fredholm integro-differential equations of the third order are studied comparatively less. Integro-differential equations have traits in their one-valued solvability. The questions of solvability of linear inverse problems for partial differential equations are studied by many authors. We consider a nonlinear inverse problem, where the restore function appears in the equation nonlinearly and with delay. This equation with respect to the restore function is Fredholm implicit functional integral equation. The one- valued solvability of the nonlinear inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equation of the third order is studied. First, the method of degenerate kernel designed for Fredholm integral equations is modified to the case of partial Fredholm integro-differential equations of the third order. The nonlinear Volterra integral equation of the first kind is obtained while solving the nonlinear inverse problem with respect to the restore function. This equation by the special non-classical integral transformation is reduced to a nonlinear Volterra integral equation of the second kind. Since the restore function, which entered into the integrodifferential equation, is nonlinear and has delay time, we need an additional initial value condition with respect to restore function. This initial value condition ensures the uniqueness of solution of a nonlinear Volterra integral equation of the first kind and determines the value of the unknown restore function at the initial set. Further the method of successive approximations is used, combined with the method of contracting mapping.

Full Text

C точки зрения физических приложений представляют большой интерес дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Изучение многих задач газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков [1]. Дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка рассматриваются при решении задач теории нелинейной акустики и в гидродинамической теории космической плазмы. Часто изучение задач моделирования фильтрации жидкоISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1299 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: Т. К. Ю л д а ш е в, “Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 56-65. 56 Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения . . . сти в пористых средах сводится к рассмотрению дифференциальных уравнений третьего порядка [2]. К дифференциальным уравнениям в частных производных третьего порядка также сводятся задачи изучения распространения волн в слабодиспергирующих средах, в холодной плазме и магнитной гидродинамике. Изучению дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка посвящено большое количество работ (см., напр. [3-12]). Но изучению интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма в частных производных третьего порядка посвящено гораздо меньше работ. Интегро-дифференциальные уравнения имеют особенности в вопросе однозначной разрешимости [13, 14]. В настоящей работе изучается нелинейная обратная задача для интегродифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка. 1. Постановка задачи. В области Ω ≡ ΩT × R рассматривается интегродифференциальное уравнение Фредгольма вида ∂ ∂ 2 u(t, x) +λ ∂t ∂t2 T K(t, s) 0 ∂ 2 u(s, x) ds ∂x2 T K0 (s)σ(s - τ )ds = f t, x, (1) 0 с начальными условиями u(0, x) = φ1 (x), ut (0, x) = φ2 (x), utt (0, x) + λa(0)c(x) = φ3 (x), x ∈ R, (2) t u(t, 0) = h(t, 0) - N1 q(t) + 0 (t - s)2 f s, 0, 2 t ux (t, 0) = hx (t, 0) - N2 q(t) + 0 T K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds, (3) 0 (t - s)2 fx s, 0, 2 T K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds (4) 0 и дополнительными условиями u(t, x0 ) = ψ(t), t ∈ ΩT , x0 = 0, σ(t) = σ0 (t), t ∈ [-τ, 0], (5) (6) где f (t, x, ϑ) ∈ C 0,2,0 (Ω × R); φi (x) ∈ C 2 (R), i = 1, 2, 3; K(t, s) = a(t)b(s), a(t), b(s) ∈ C(ΩT ); σ(t) - восстанавливаемая функция; σ0 (t) ∈ C[-τ ; 0] - заданная начальная функция; Ni - заданные постоянные, i = 1, 2; K0 (t) ∈ C ΩT - заданная функция; ΩT ≡ [0, T ], 0 < T < ∞; λ - параметр; t2 , q(t) = λ 2 ∂ 2 u(s, x) b(s) ds. ∂x2 t (t - s)a(s)ds, h(t, x) = φ1 (x) + φ2 (x)t + φ3 (x) T c(x) = 0 0 (7) Отметим, что изучению разрешимости обратных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных посвящено большое количество работ. Обратную задачу назовем линейной, если функция восстановления входит в уравнение линейно. Библиографию многих публикаций, посвящённых теории линейных обратных задач, можно найти, например в [15-17]. 57 Т. К. Ю л д а ш е в В работе [18] изучена однозначная разрешимость линейной обратной задачи для одного квазилинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма третьего порядка. В настоящей работе изучается обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка, где восстанавливаемая функция входит в уравнение нелинейно и с запаздыванием. Основной подход данной работы состоит в том, что при решении нелинейной обратной задачи относительно восстанавливаемой функции из условия (5) получится нелинейное интегральное уравнение Вольтерры первого рода, которое с помощью неклассического интегрального преобразования сводится к нелинейному интегральному уравнению Вольтерры второго рода. Задание начального условия (6) при интегральном преобразовании обеспечивает единственность решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерры первого рода и определяет значение неизвестной функции на заданном начальном отрезке [-τ ; 0]. Определение. Решением обратной задачи (1)-(6) называется пара функций u(t, x) ∈ C 3,2 (Ω), σ(t) ∈ C(ΩT ) , удовлетворяющая уравнению (1) и условиям (2)-(6). 2. Начальная задача (1)-(4). Будем использовать метод интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром [19]. При помощи обозначения (7) интегро-дифференциальное уравнение Фредгольма (1) переписывается в виде T ∂ ∂ 2 u(t, x) + λa(t)c(x) = f t, x, K0 (s)σ(s - τ )ds . ∂t ∂t2 0 С учётом условия (2) трёхкратное интегрирование по t последнего равенства даёт t u(t, x) = h(t, x) - c(x)q(t) + 0 T (t - s)2 f s, x, 2 K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds. (8) 0 Продифференцируем (8) два раза по x: t ux (t, x) = h x (t, x)-c (x)q(t)+ 0 (t - s)2 fx s, x, 2 T K0 (θ)σ(θ -τ )dθ ds, (9) 0 uxx (t, x) = hxx (t, x) - c (x)q(t)+ t + 0 (t - s)2 fxx s, x, 2 T K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds. (10) 0 Подставляя (10) в (7), имеем T b(s) hxx (s, x) - c (x)q(s)+ c(x) = 0 s + 0 58 (s - θ)2 fxx θ, x, 2 T K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθ ds. (11) 0 Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения . . . Пусть T b(s)q(s)ds > 0. A= (12) 0 Тогда для определения c(x) в (7) получаем из (11) следующее дифференциальное уравнение: c (x) + Bc(x) = F (x), (13) где B = A-1 , F (x) = BF0 (x), T b(s)hxx (s, x)ds+ F0 (x) = 0 T + s b(s) 0 0 T (s - θ)2 fxx θ, x, 2 K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθds. 0 Решая дифференциальное уравнение (13) методом вариации произвольных постоянных, получаем c(x) = D1 cos νx + D2 sin νx + 1 ν x F (y)Q(x, y)dy, (14) 0 √ где Q(x, y) = sin ν(x - y), ν = B, коэффициенты D1 , D2 подлежат определению. Из (14) имеем c(0) = D1 , c (0) = νD2 . (15) С учётом (15) из (8) и (9) получаем t u(t, 0) = h(t, 0) - D1 q(t) + 0 t ux (t, 0) = hx (t, 0)-νD2 q(t)+ 0 T (t - s)2 f s, 0, 2 K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds, (16) 0 (t-s)2 fx s, 0, 2 T K0 (θ)σ(θ-τ )dθ ds.(17) 0 Сравнение соотношений (16) и (17) с заданными условиями (3) и (4) даёт D1 = N1 , D2 = N2 /ν. Тогда (14) принимает вид c(x) = N1 cos νx + N2 1 sin νx + ν ν x F (y)Q(x, y)dy. (18) 0 Подстановка (18) в (8) даёт t u(t, x) = h(t, x) + 0 (t - s)2 f s, x, 2 - q(t) N1 cos νx + N2 sin νx - ν ν x +ν K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds- 0 T x b(s) 0 Q(x, y)h yy (s, y)dsdy+ 0 T Q(x, y) 0 T b(s)× 0 59 Т. К. Ю л д а ш е в s × 0 T (s - θ)2 fyy θ, y, 2 K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθdsdy . (19) 0 3. Восстанавливаемая функция. В силу условия (5) из (19) получаем t 0 (t - s)2 f (s, x0 , σ(s))ds = 2 x0 T = g(t) + νq(t) Q(x0 , y) 0 s × 0 b(s)× 0 T (s - θ)2 fyy θ, y, 2 K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθdsdy, (20) 0 где g(t) = ψ(t) - h(t, x0 ) + q(t) N1 cos νx0 + N2 sin νx0 + ν T +ν x0 b(s) 0 Q(x0 , y)hyy (s, y)dsdy . 0 Нелинейное интегральное уравнение первого рода (20) при начальном условии (6) эквивалентно следующему интегральному уравнению второго рода (см., напр. [20-22]): t σ(t) ≡ Θ(t; σ(t)) = σ(t) + G(s)σ(s)ds- 0 t - 0 x0 + νq(t) s × 0 t + (s - 2 K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds+ 0 T Q(x0 , y) 0 θ)2 T (t - s)2 f s, x0 , 2 b(s)× 0 T fyy θ, y, K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθdsdy + g(t) e-µ(t) + 0 t G(s)e-µ(t-s) σ(t) - σ(s) + 0 t - 0 s + 0 x0 + νq(t) s × 0 60 G(θ)σ(θ)dθ- 0 K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds+ 0 T (s - θ)2 f θ, x0 , 2 K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθ+ 0 T Q(x0 , y) 0 0 T (t - s)2 f s, x0 , 2 s G(s)σ(s)ds - b(s)× 0 (s - θ)2 fyy θ, y, 2 T K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθdsdy- 0 Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения . . . T x0 - νq(s) b(θ)× Q(x0 , y) 0 0 θ × 0 (θ - ξ)2 fyy ξ, y, 2 T K0 (ζ)σ(ζ - τ )dζ dξdθdy+ 0 + g(t) - g(s) ds, (21) где t G(s)ds > 0 µ(t) = 0 такая, что t e-µ(t) 1; 2 G(s)e-µ(t-s) ds 1. 0 Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: max |g(t)| : t ∈ ΩT δ < ∞; max |f (t, x, ϑ)|; |f xx (t, x, ϑ)| ∆ < ∞; f (t, x, ϑ) ∈ Lip{L1|ϑ }, 0 < L1 = const < ∞; f xx (t, x, ϑ) ∈ Lip{L2|ϑ }, 0 < L2 = const < ∞; x0 T 3 T3 s 5) ρ = 1 + µ0 + L1 + νq0 L2 Q(x0 , y) b(s)dsdy P (T ) < 1, 6 6 0 0 где µ0 = max µ(t) : t ∈ ΩT , q0 = max |q(t)| : t ∈ ΩT , 1) 2) 3) 4) t P (t) = e-µ(t) + 2 G(s)e-µ(t-s) ds, T Li = Li K0 (s) ds, i = 1, 2. 0 0 Тогда нелинейное интегральное уравнение (21) имеет единственное решение на отрезке ΩT . Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом последовательных приближений. Рассмотрим следующий итерационный процесс Пикара: t σ0 (t) = 0, (t - s)2 f (s, x0 , 0)ds+ 2 σ1 (t) = 0 x0 + νq(t) T Q(x0 , y) 0 t + G(s)e-µ(t-s) 0 s (s - θ)2 fyy (θ, y, 0)dθdsdy + g(t) e-µ(t) + 2 0 s (t - s)2 (s - θ)2 f (s, x0 , 0)ds - f (θ, x0 , 0)dθ+ 2 2 0 b(s) 0 t 0 x0 + νq(t) T Q(x0 , y) 0 0 x0 - νq(s) s b(s) 0 (s - θ)2 fyy (θ, y, 0)dθdsdy- 2 T Q(x0 , y) 0 b(θ)× 0 θ × 0 (θ - ξ)2 fyy (ξ, y, 0)dξdθdy + g(t) - g(s) ds, (22) 2 61 Т. К. Ю л д а ш е в σk (t) = Θ(t; σk-1 (t)), k = 2, 3, 4, . . . . (23) В силу условий теоремы из последовательных приближений (22) и (23) получаем σ1 (t) - σ0 (t) σk (t) - σk-1 (t) ∆ 1 + µ 0 + L1 T x0 T3 + νq0 ∆ 6 Q(x0 , y) 0 0 T3 + 6 x0 + νq0 L2 s3 b(s)dsdy + δ P (T ); (24) 6 T Q(x0 , y) 0 0 s3 b(s)dsdy × 6 × P (T ) σk-1 (t) - σk-1 (t) . (25) Из оценок (24) и (25) следует, что оператор в правой части (21) является сжимающим. Следовательно, интегральное уравнение (21) имеет единственное решение на отрезке ΩT . 4. Разрешимость обратной задачи (1)-(6). Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1, (12) и условия 1) max |φi (x)| < ∞, i = 1, 2, 3; x Q(x, y)hyy (s, y)dy < ∞; 2) 0 x Q(x, y)fyy (t, y, ϑ)dy < ∞. 3) 0 Тогда в области Ω существует единственное решение начальной задачи (1)-(4). Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 следует из того, что, подставляя в (19) решение интегрального уравнения (21), однозначно получаем искомую функцию u(t, x). Из справедливости приведенных выше двух теорем следует, что справедлива Теорема 3. Пусть выполняются все условия теоремы 2. Тогда существует единственная пара решений u(t, x) ∈ C 3,2 (Ω), σ(t) ∈ C(ΩT ) обратной задачи (1)-(6).

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. С. Д. Алгазин, И. А. Кийко, Флаттер пластин и оболочек, М.: Наука, 2006. 248 с.
  2. М. X. Шхануков, “О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах” // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, No 4. С. 689-699.
  3. А. А. Андреев, Ю. О. Яковлева, “Характеристическая задача для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некратными характеристиками” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. No 1(30). С. 31-36. doi: 10.14498/vsgtu1182.
  4. М. Х. Бештоков, “Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. No 4(33). С. 15-24. doi: 10.14498/vsgtu1238.
  5. Т. Д. Джураев, Ю. П. Апаков, “Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007. No 2(15). С. 18-26. doi: 10.14498/vsgtu525.
  6. К. Б. Сабитов, “Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка” // Докл. РАН, 2009. Т. 427, No 5. С. 593-596.
  7. К. Б. Сабитов, “Задача Дирихле для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области” // Дифференц. уравн., 2011. Т. 47, No 5. С. 705-713.
  8. К. Б. Сабитов, Г. Ю. Удалова, “Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. No 3(32). С. 29-45. doi: 10.14498/vsgtu1220.
  9. О. А. Репин, С. К. Кумыкова, “Задача со смещением для уравнения третьего порядка с разрывными коэффициентами” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. No 4(29). С. 17-25. doi: 10.14498/vsgtu1123.
  10. А. Сопуев, Н. К. Аркабаев, “Задачи сопряжения для линейных псевдопараболических уравнений третьего порядка” // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2013. No 1. С. 16-23.
  11. D. Colton, “Pseudoparabolic equations in one space variable”, J. Differ. Equation, 1972, vol. 12, no. 3, pp. 559-565. doi: 10.1016/0022-0396(72)90025-3.
  12. D. Colton, “Integral operators and the first initial boundary value problem for pseudoparabolic equations with analytic coefficients”, J. Differ. Equation, 1973, vol. 13, no. 3, pp. 506-522. doi: 10.1016/0022-0396(73)90009-0.
  13. Я. В. Быков, О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений, Фрунзе: КиргГУ, 1957. 328 с.
  14. М. Иманалиев, Колебания и устойчивость решений сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем, Фрунзе.: Илим, 1974. 352 с.
  15. А. М. Денисов, Введение в теорию обратных задач, М.: МГУ, 1994. 285 с.
  16. В. Г. Романов, Обратные задачи для математической физики, М.: Наука, 1984. 264 с.
  17. М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев, Линейные операторы и некорректные задачи, М.: Наука, 1999. 330 с.
  18. Т. К. Юлдашев, “Обратная задача для одного нелинейного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка” // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2013. No 9-1 (110). С. 58-66.
  19. Т. К. Юлдашев, “О разрешимости смешанной задачи для линейного параболо-гиперболического интегро-дифференциального уравнения Фредгольма” // Журнал СВМО, 2013. Т. 15, No 3. С. 158-163.
  20. Т. К. Юлдашев, “Неявное эволюционное интегральное уравнение Вольтерра первого рода с нелинейным интегральным отклонением” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. No 2(19). С. 38-44. doi: 10.14498/vsgtu672.
  21. Т. К. Юлдашев, “Обратная задача для нелинейного уравнения с псевдопараболическим оператором высокого порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. No 3(28). С. 17-29. doi: 10.14498/vsgtu1041.
  22. Т. К. Юлдашев, А. И. Середкина, “Обратная задача для квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. No 3(32). С. 46-55. doi: 10.14498/vsgtu1133.

Statistics

Views

Abstract - 12

PDF (Russian) - 8

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies