Inverse problem for a Fredholm third order partial integro-differential equation

Full Text

C точки зрения физических приложений представляют большой интерес дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Изучение многих задач газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков [1]. Дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка рассматриваются при решении задач теории нелинейной акустики и в гидродинамической теории космической плазмы. Часто изучение задач моделирования фильтрации жидкоISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1299 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: Т. К. Ю л д а ш е в, “Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 56-65. 56 Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения . . . сти в пористых средах сводится к рассмотрению дифференциальных уравнений третьего порядка [2]. К дифференциальным уравнениям в частных производных третьего порядка также сводятся задачи изучения распространения волн в слабодиспергирующих средах, в холодной плазме и магнитной гидродинамике. Изучению дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка посвящено большое количество работ (см., напр. [3-12]). Но изучению интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма в частных производных третьего порядка посвящено гораздо меньше работ. Интегро-дифференциальные уравнения имеют особенности в вопросе однозначной разрешимости [13, 14]. В настоящей работе изучается нелинейная обратная задача для интегродифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка. 1. Постановка задачи. В области Ω ≡ ΩT × R рассматривается интегродифференциальное уравнение Фредгольма вида ∂ ∂ 2 u(t, x) +λ ∂t ∂t2 T K(t, s) 0 ∂ 2 u(s, x) ds ∂x2 T K0 (s)σ(s - τ )ds = f t, x, (1) 0 с начальными условиями u(0, x) = φ1 (x), ut (0, x) = φ2 (x), utt (0, x) + λa(0)c(x) = φ3 (x), x ∈ R, (2) t u(t, 0) = h(t, 0) - N1 q(t) + 0 (t - s)2 f s, 0, 2 t ux (t, 0) = hx (t, 0) - N2 q(t) + 0 T K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds, (3) 0 (t - s)2 fx s, 0, 2 T K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds (4) 0 и дополнительными условиями u(t, x0 ) = ψ(t), t ∈ ΩT , x0 = 0, σ(t) = σ0 (t), t ∈ [-τ, 0], (5) (6) где f (t, x, ϑ) ∈ C 0,2,0 (Ω × R); φi (x) ∈ C 2 (R), i = 1, 2, 3; K(t, s) = a(t)b(s), a(t), b(s) ∈ C(ΩT ); σ(t) - восстанавливаемая функция; σ0 (t) ∈ C[-τ ; 0] - заданная начальная функция; Ni - заданные постоянные, i = 1, 2; K0 (t) ∈ C ΩT - заданная функция; ΩT ≡ [0, T ], 0 < T < ∞; λ - параметр; t2 , q(t) = λ 2 ∂ 2 u(s, x) b(s) ds. ∂x2 t (t - s)a(s)ds, h(t, x) = φ1 (x) + φ2 (x)t + φ3 (x) T c(x) = 0 0 (7) Отметим, что изучению разрешимости обратных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных посвящено большое количество работ. Обратную задачу назовем линейной, если функция восстановления входит в уравнение линейно. Библиографию многих публикаций, посвящённых теории линейных обратных задач, можно найти, например в [15-17]. 57 Т. К. Ю л д а ш е в В работе [18] изучена однозначная разрешимость линейной обратной задачи для одного квазилинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма третьего порядка. В настоящей работе изучается обратная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных производных третьего порядка, где восстанавливаемая функция входит в уравнение нелинейно и с запаздыванием. Основной подход данной работы состоит в том, что при решении нелинейной обратной задачи относительно восстанавливаемой функции из условия (5) получится нелинейное интегральное уравнение Вольтерры первого рода, которое с помощью неклассического интегрального преобразования сводится к нелинейному интегральному уравнению Вольтерры второго рода. Задание начального условия (6) при интегральном преобразовании обеспечивает единственность решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерры первого рода и определяет значение неизвестной функции на заданном начальном отрезке [-τ ; 0]. Определение. Решением обратной задачи (1)-(6) называется пара функций u(t, x) ∈ C 3,2 (Ω), σ(t) ∈ C(ΩT ) , удовлетворяющая уравнению (1) и условиям (2)-(6). 2. Начальная задача (1)-(4). Будем использовать метод интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром [19]. При помощи обозначения (7) интегро-дифференциальное уравнение Фредгольма (1) переписывается в виде T ∂ ∂ 2 u(t, x) + λa(t)c(x) = f t, x, K0 (s)σ(s - τ )ds . ∂t ∂t2 0 С учётом условия (2) трёхкратное интегрирование по t последнего равенства даёт t u(t, x) = h(t, x) - c(x)q(t) + 0 T (t - s)2 f s, x, 2 K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds. (8) 0 Продифференцируем (8) два раза по x: t ux (t, x) = h x (t, x)-c (x)q(t)+ 0 (t - s)2 fx s, x, 2 T K0 (θ)σ(θ -τ )dθ ds, (9) 0 uxx (t, x) = hxx (t, x) - c (x)q(t)+ t + 0 (t - s)2 fxx s, x, 2 T K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds. (10) 0 Подставляя (10) в (7), имеем T b(s) hxx (s, x) - c (x)q(s)+ c(x) = 0 s + 0 58 (s - θ)2 fxx θ, x, 2 T K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθ ds. (11) 0 Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения . . . Пусть T b(s)q(s)ds > 0. A= (12) 0 Тогда для определения c(x) в (7) получаем из (11) следующее дифференциальное уравнение: c (x) + Bc(x) = F (x), (13) где B = A-1 , F (x) = BF0 (x), T b(s)hxx (s, x)ds+ F0 (x) = 0 T + s b(s) 0 0 T (s - θ)2 fxx θ, x, 2 K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθds. 0 Решая дифференциальное уравнение (13) методом вариации произвольных постоянных, получаем c(x) = D1 cos νx + D2 sin νx + 1 ν x F (y)Q(x, y)dy, (14) 0 √ где Q(x, y) = sin ν(x - y), ν = B, коэффициенты D1 , D2 подлежат определению. Из (14) имеем c(0) = D1 , c (0) = νD2 . (15) С учётом (15) из (8) и (9) получаем t u(t, 0) = h(t, 0) - D1 q(t) + 0 t ux (t, 0) = hx (t, 0)-νD2 q(t)+ 0 T (t - s)2 f s, 0, 2 K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds, (16) 0 (t-s)2 fx s, 0, 2 T K0 (θ)σ(θ-τ )dθ ds.(17) 0 Сравнение соотношений (16) и (17) с заданными условиями (3) и (4) даёт D1 = N1 , D2 = N2 /ν. Тогда (14) принимает вид c(x) = N1 cos νx + N2 1 sin νx + ν ν x F (y)Q(x, y)dy. (18) 0 Подстановка (18) в (8) даёт t u(t, x) = h(t, x) + 0 (t - s)2 f s, x, 2 - q(t) N1 cos νx + N2 sin νx - ν ν x +ν K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds- 0 T x b(s) 0 Q(x, y)h yy (s, y)dsdy+ 0 T Q(x, y) 0 T b(s)× 0 59 Т. К. Ю л д а ш е в s × 0 T (s - θ)2 fyy θ, y, 2 K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθdsdy . (19) 0 3. Восстанавливаемая функция. В силу условия (5) из (19) получаем t 0 (t - s)2 f (s, x0 , σ(s))ds = 2 x0 T = g(t) + νq(t) Q(x0 , y) 0 s × 0 b(s)× 0 T (s - θ)2 fyy θ, y, 2 K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθdsdy, (20) 0 где g(t) = ψ(t) - h(t, x0 ) + q(t) N1 cos νx0 + N2 sin νx0 + ν T +ν x0 b(s) 0 Q(x0 , y)hyy (s, y)dsdy . 0 Нелинейное интегральное уравнение первого рода (20) при начальном условии (6) эквивалентно следующему интегральному уравнению второго рода (см., напр. [20-22]): t σ(t) ≡ Θ(t; σ(t)) = σ(t) + G(s)σ(s)ds- 0 t - 0 x0 + νq(t) s × 0 t + (s - 2 K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds+ 0 T Q(x0 , y) 0 θ)2 T (t - s)2 f s, x0 , 2 b(s)× 0 T fyy θ, y, K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθdsdy + g(t) e-µ(t) + 0 t G(s)e-µ(t-s) σ(t) - σ(s) + 0 t - 0 s + 0 x0 + νq(t) s × 0 60 G(θ)σ(θ)dθ- 0 K0 (θ)σ(θ - τ )dθ ds+ 0 T (s - θ)2 f θ, x0 , 2 K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθ+ 0 T Q(x0 , y) 0 0 T (t - s)2 f s, x0 , 2 s G(s)σ(s)ds - b(s)× 0 (s - θ)2 fyy θ, y, 2 T K0 (ξ)σ(ξ - τ )dξ dθdsdy- 0 Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения . . . T x0 - νq(s) b(θ)× Q(x0 , y) 0 0 θ × 0 (θ - ξ)2 fyy ξ, y, 2 T K0 (ζ)σ(ζ - τ )dζ dξdθdy+ 0 + g(t) - g(s) ds, (21) где t G(s)ds > 0 µ(t) = 0 такая, что t e-µ(t) 1; 2 G(s)e-µ(t-s) ds 1. 0 Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: max |g(t)| : t ∈ ΩT δ < ∞; max |f (t, x, ϑ)|; |f xx (t, x, ϑ)| ∆ < ∞; f (t, x, ϑ) ∈ Lip{L1|ϑ }, 0 < L1 = const < ∞; f xx (t, x, ϑ) ∈ Lip{L2|ϑ }, 0 < L2 = const < ∞; x0 T 3 T3 s 5) ρ = 1 + µ0 + L1 + νq0 L2 Q(x0 , y) b(s)dsdy P (T ) < 1, 6 6 0 0 где µ0 = max µ(t) : t ∈ ΩT , q0 = max |q(t)| : t ∈ ΩT , 1) 2) 3) 4) t P (t) = e-µ(t) + 2 G(s)e-µ(t-s) ds, T Li = Li K0 (s) ds, i = 1, 2. 0 0 Тогда нелинейное интегральное уравнение (21) имеет единственное решение на отрезке ΩT . Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом последовательных приближений. Рассмотрим следующий итерационный процесс Пикара: t σ0 (t) = 0, (t - s)2 f (s, x0 , 0)ds+ 2 σ1 (t) = 0 x0 + νq(t) T Q(x0 , y) 0 t + G(s)e-µ(t-s) 0 s (s - θ)2 fyy (θ, y, 0)dθdsdy + g(t) e-µ(t) + 2 0 s (t - s)2 (s - θ)2 f (s, x0 , 0)ds - f (θ, x0 , 0)dθ+ 2 2 0 b(s) 0 t 0 x0 + νq(t) T Q(x0 , y) 0 0 x0 - νq(s) s b(s) 0 (s - θ)2 fyy (θ, y, 0)dθdsdy- 2 T Q(x0 , y) 0 b(θ)× 0 θ × 0 (θ - ξ)2 fyy (ξ, y, 0)dξdθdy + g(t) - g(s) ds, (22) 2 61 Т. К. Ю л д а ш е в σk (t) = Θ(t; σk-1 (t)), k = 2, 3, 4, . . . . (23) В силу условий теоремы из последовательных приближений (22) и (23) получаем σ1 (t) - σ0 (t) σk (t) - σk-1 (t) ∆ 1 + µ 0 + L1 T x0 T3 + νq0 ∆ 6 Q(x0 , y) 0 0 T3 + 6 x0 + νq0 L2 s3 b(s)dsdy + δ P (T ); (24) 6 T Q(x0 , y) 0 0 s3 b(s)dsdy × 6 × P (T ) σk-1 (t) - σk-1 (t) . (25) Из оценок (24) и (25) следует, что оператор в правой части (21) является сжимающим. Следовательно, интегральное уравнение (21) имеет единственное решение на отрезке ΩT . 4. Разрешимость обратной задачи (1)-(6). Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1, (12) и условия 1) max |φi (x)| < ∞, i = 1, 2, 3; x Q(x, y)hyy (s, y)dy < ∞; 2) 0 x Q(x, y)fyy (t, y, ϑ)dy < ∞. 3) 0 Тогда в области Ω существует единственное решение начальной задачи (1)-(4). Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2 следует из того, что, подставляя в (19) решение интегрального уравнения (21), однозначно получаем искомую функцию u(t, x). Из справедливости приведенных выше двух теорем следует, что справедлива Теорема 3. Пусть выполняются все условия теоремы 2. Тогда существует единственная пара решений u(t, x) ∈ C 3,2 (Ω), σ(t) ∈ C(ΩT ) обратной задачи (1)-(6).

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics 31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation

References

Supplementary files