On nonlinear strain vectors and tensors in continuum theories of mechanics

Abstract


A non-linear mathematical model of hyperbolic thermoelastic continuum with fine microstructure is proposed. The model is described in terms of 4-covariant field theoretical formalism. Fine microstructure is represented by d-tensors, playing role of extra field variables. A Lagrangian density for hyperbolic thermoelastic continuum with fine microstructure is given and the corresponding least action principle is formulated. 4-covariant field equations of hyperbolic thermoelasticity are obtained. Constitutive equations of microstructural hyperbolic thermoelasticity are discussed. Virtual microstructural inertia is added to the considered action density. It is also concerned to the thermal inertia. Variational symmetries of the thermoelastic action are used to formulate covariant conservation laws in a plane space-time. For micropolar type II thermoelastic Lagrangians following the usual procedure independent rotationally invariant functional arguments are obtained. Objective forms of the Lagrangians satisfying the frame indifference principle are given. Those are derived by using extra strain vectors and tensors.

Full Text

О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума 1. Вводные замечания. Поиск нелинейных представлений для лагранжианов, гамильтонианов, экстра-напряжений и экстра-деформаций, справедливых в самом общем случае конечных деформаций и поворотов, для континуумов с микроструктурой выступает в настоящее время как одна из важнейших задач теории и механики сплошных сред. Последние годы отмечены весьма интенсивным развитием механики метаматериалов, обладающих весьма необычной микроструктурой и аномальным механическим поведением. Под микроструктурой континуума обычно понимается существование нескольких различных физических масштабов (структурных уровней), определяющих состояние континуума, их самосогласованное взаимодействие и возможность передачи энергии с одного структурного уровня на другой. Теория таких континуумов основывается на необходимости допустить существование дополнительных (экстра) степеней свободы и возможности исследовать физически бесконечно малый объем не как материальную точку, а как существенно более сложный объект с присущими ему дополнительными степенями свободы (ротационными, осцилляционными), как своего рода микроконтинуум, обладающий возможностью дополнительной (экстра) микродеформации. Вопросы, связанные с изучением континуума с микроструктурой, находятся в русле тех течений в механике деформируемого твердого тела, которые отдают приоритет структурному моделированию. При этом необходимо учитывать, что существенной особенностью современного состояния естественных наук является явно просматриваемая тенденция решения нелинейных проблем (в том числе и проблем механики деформируемого твердого тела) вне рамок имеющегося физически надежно обоснованного набора математических моделей. Конечной целью математического моделирования обычно ставится формулировка замкнутых систем уравнений, без чего в принципе невозможны постановка и решение прикладных задач. Корректное построение новых математических моделей континуума, в свою очередь, должно опираться на проверенные временем принципы и методы. Не последняя роль здесь принадлежит методам теории поля. Часто эти методы выступают как единственный инструмент вывода физически приемлемых уравнений. Целью настоящей работы является построение нелинейной теоретико-полевой модели термоупругого континуума с «тонкой» микроструктурой, представляемой конечным набором тензоров, ранг которых может быть сколь угодно высоким. Теоретико-полевые формулировки всегда подразумевают существенное и интенсивное использование понятий и формализма вариационного исчисления [1]. Наличие конечных геометрических ограничений (связей), накладываемых на микроструктурные параметры, предполагает формулировку проблемы как связанной задачи вариационного исчисления (calculus of variations with constraints). Такая постановка впервые была предложена Лагранжем. Ограничения при этом могут накладываться в форме конечных либо дифференциальных уравнений и неравенств. Решение подобного рода задач обычно выполняется с помощью правила множителей Лагранжа (см., 67 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в например, [2, с. 114-129]). Рассмотрение вариационных задач для интегрального функционала с ограничениями типа равенств и неравенств на уровне необходимых условий сводится к проблеме безусловного экстремума с помощью правила Лагранжа. Оказывается, что этот принцип распространяется на задачи весьма сложной природы. 2. Теоретико-полевой подход в механике континуума, вариационные симметрии действия и законы сохранения. Ключевое положение классической теории поля (см., например, монографии [3, 4]) заключается в том, что непрерывное физическое поле математически представляется некоторым интегральным функционалом I, который по историческим причинам называется действием (action): I= L(ϕk , ∂α ϕk , ∂γ ∂α ϕk , ... , X β )d4 X. (1) Здесь характерная для теории поля символика, развитая в [3, 4], имеет следующий смысл: L - «естественная» плотность лагранжиана (плотность действия); ϕk - упорядоченный массив физических полевых переменных; X β (β = 1, 2, 3, 4) - четыре пространственно-временные координаты; d4 X - «естественный» элемент объема четырехмерного пространства-времени. Заметим, что в традиционных текстах, посвященных классической теории поля, действие и функционал действия обычно обозначаются через S. Символ d4 X в (1) указывает на «естественный» пространственно-временной элемент объема и представляет собой обычное произведение дифференциалов пространственно-временных координат: d4 X = dX 1 dX 2 dX 3 dX 4 . Через ∂β в математическом оформлении действия, данном (1) и далее, обозначается оператор полного дифференцирования по пространственно-временной координате X β ; в соответствии с цепным правилом дифференциального исчисления находим expl ∂β = ∂β + ∂α1 ∂α2 ...∂αs ∂β ϕl s 0 ∂ , ∂(∂α1 ∂α2 ...∂αs ϕl ) expl ∂β где символом указывается оператор частного дифференцирования по явному вхождению переменной X β . Четвертую по счету координату в дальнейшем будем ассоциировать со временем, которое, возможно, будет трансформироваться с помощью размерной постоянной так, чтобы уравнять физические размерности всех четырех пространственно-временных координат. Полное дифференцирование по времени будет обозначаться как символом ∂4 , так и традиционной точкой. В теориях поля лагранжиан L всегда приходится рассматривать как функцию следующего набора переменных: ϕs , ∂α1 ϕs , ∂α1 ∂α2 ϕs , . . . , X γ . (2) Обычно лагранжиан подбирают так, чтобы получить известные уравнения поля, или конструируют, обеспечивая заданную симметрию и выполнение 68 О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума некоторых дополнительных требований, например, чтобы получались линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Построение принципиально новых лагранжианов, описывающих нелинейные физические процессы, является, в известном смысле, достаточно сложным видом искусства. Вариационное описание поля не может быть осуществлено без предварительного указания пространственно-временного многообразия с возможностью измерения в нем элементарных длин и объемов. Пространство-время обладает рядом фундаментальных особенностей: пространство и время однородны (отсутствуют привилегированные места в пространстве и избранные точки отсчета времени); пространство изотропно (нет избранных преимущественных направлений); четырехмерное пространство-время изотропно; пространство, возможно, обладает некоторыми скрытыми симметриями; направление хода времени не регламентировано. Перечисленные свойства пространства-времени могут быть сформулированы на языке групп преобразований пространственно-временных координат. Преобразование пространственно-временных координат и физических полевых переменных X β = X β (ϕs , X γ , ε), ϕk = Φk (ϕs , X γ , ε) (3) порождает, очевидно, преобразование всего комплекса переменных (2): X γ , ϕs , ∂α1 ϕs , ∂α1 ∂α2 ϕs , ... ↓ γ , ϕs , ∂ ϕs , ∂ ∂ ϕs , ... . X α1 α1 α2 Чаще всего предполагается, что преобразования (3) образуют однопараметрическую группу преобразований (группу преобразований Ли). Полные вариации полевых переменных и пространственно-временных координат, отвечающие их преобразованию в соответствии с (3), вычисляются согласно ∂Φk (ϕs , X γ , ε) ∂X β (ϕs , X γ , ε) , δϕk = ε . ∂ε ∂ε ε=0 ε=0 Для теории поля числовая величина действия не столь важна, как его форма, задаваемая лагранжианом L, который определяется (помимо всего прочего) выбором тех или иных координатных систем в пространственновременном многообразии и математического представления полевых переменных. В новых переменных, вообще говоря, изменяется форма лагранжиана L: L → L, δX β = ε где L - «естественная» плотность лагранжиана, выраженная с помощью новых пространственно-временных координат X β и физических полей ϕk . Однако величина действия должна оставаться неизменной (так называемая эквивалентность действия относительно группы преобразований (3)). Таким образом, функционалы L(ϕk , ∂α ϕk , ∂γ ∂α ϕk , . . . , X β )d4 X, I= D 69 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в L(ϕk , ∂α ϕk , ∂γ ∂α ϕk , . . . , X β )d4 X I= D называются эквивалентными при их преобразовании группой (3) тогда и только тогда, когда выполняется равенство I = I. Математическое описание поля представляет собой вариационный принцип, который по соображениям исторического характера называется вариационным принципом Гамильтона-Остроградского (или принципом наименьшего действия). Действительное поле реализуется в пространстве-времени таким образом, что действие оказывается экстремальным, т.е. первая вариация действия обращается в нуль для всех допустимых вариаций физических полей ϕk при неварьируемых пространственно-временных координатах и четырехмерной области, выступающей в качестве носителя поля: δI = 0. В аналитической механике такому способу варьирования отвечают так называемые изохронные вариации. Из принципа наименьшего действия получаются ковариантные дифференциальные уравнения поля в форме уравнений Эйлера-Лагранжа Ek (L) = 0, (4) где ∂L ∂L ∂L - ∂β + ∂γ ∂β -··· k k) ∂ϕ ∂(∂β ϕ ∂(∂γ ∂β ϕk ) есть один из самых важных дифференциальных операторов математической физики - оператор Эйлера. Действительные физические поля (при условии их гладкости) обязаны удовлетворять системе дифференциальных уравнений Эйлера-Лагранжа (4). Структура дифференцирований в операторе Эйлера становится более понятной и обозримой, если ввести обозначения (см. [5]) Ek (L) ≡ ∂ ∂ = ∂l, = ∂ α1 α2 ...αs l l ∂ϕ ∂(∂α1 ∂α2 ...∂αs ϕl ) s 0 и записать его символически в форме (-1)s ∂α1 ∂α2 ...∂αs ∂ α1 α2 ...αs . l El = s 0 s Здесь в сумме при s = 0 подразумевается слагаемое ∂ l , обозначающее частное 0 дифференцирование по полевой переменной ϕl . Заметим, что принцип наименьшего действия ограничивает физически допустимые лагранжианы. Так, недопустимы лагранжианы, для которых соответствующие интегральные функционалы не имеют экстремалей ни при каких вещественных полевых переменных или для которых дифференциальные уравнения поля (4) противоречивы. 70 О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума В современной научной литературе часто говорится об инвариантности уравнений Эйлера-Лагранжа. Однако это противоречит действительному положению дел. Математически строгое определение инвариантности системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно группы преобразований известно из группового анализа и означает сохранение формы уравнений при их преобразовании к новым переменным согласно (3). Относительно произвольной однопараметрической геометрической группы преобразований (3) уравнения Эйлера-Лагранжа, вообще говоря, неинвариантны, но они ковариантны (при условии, что действие удовлетворяет принципу эквивалентности, гарантирующему при, возможно, изменяющейся «естественной» плотности лагранжиана постоянство величины действия относительно произвольных геометрических преобразований пространственновременных координат и полевых переменных), поскольку в новых переменных правило их составления остается прежним. Исключительный интерес в теории вариационных симметрий представляют однопараметрические геометрические группы преобразований, которые при неизменности формы функционала действия сохраняют его величину при преобразовании координат и полей согласно (3) и соответствии пространственно-временных 4-областей интегрирования в переменных X β и X β . Указанные группы обычно называют геометрическими группами абсолютной инвариантности функционала действия, а также абсолютными геометрическими симметриями действия по Гамильтону (или просто вариационными симметриями действия). Инвариантность функционала действия (вариационная симметрия действия) относительно однопараметрической геометрической группы преобразований (3) порождает некоторый дивергентный закон сохранения. Общая теория законов сохранения для систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые получаются как уравнения Эйлера-Лагранжа некоторой вариационной задачи, следующих из существования геометрических вариационных симметрий действия, излагается, например, в [5, с. 377-386]. Дивергентный закон сохранения является обобщением известного из теории обыкновенных дифференциальных уравнений понятия первого интеграла и всегда имеет форму дивергентного дифференциального уравнения ∂β J β = 0, (5) где J β (ϕk , ∂α ϕk , ∂γ ∂α ϕk , . . . , X µ ) - 1-контравариантный пространственновременной 4-вектор, которое должно удовлетворяться для любого решения уравнений поля. Вектор J β - дифференциальная функция, зависящая от градиентов полевых переменных, наивысший порядок которых на единицу меньшего порядка уравнений поля; этот вектор называется вектором тока (или 4-током). Классический метод поиска законов сохранения с помощью вариационных симметрий действия кратко может быть описан следующим образом. Критерий инвариантности интегрального функционала действия (1) относительно геометрической группы преобразований (3) имеет вид δL + L ∂(δX γ ) = 0, ∂X γ (6) 71 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в где вариация лагранжиана δL - линейная по ε часть приращения L(ϕk , ∂α ϕk , ∂γ ∂α ϕk , . . . , X β ) - L(ϕk , ∂α ϕk , ∂γ ∂α ϕk , . . . , X β ). Если лагранжиан зависит от градиентов поля порядка не выше первого, то вариация лагранжиана, очевидно, записывается в виде δL = ∂L ∂X γ expl δX γ + ∂L ∂L k δϕ + δ(∂β ϕk ). ∂ϕk ∂(∂β ϕk ) Учитывая затем формулу для полной вариации первых градиентов поля δ(∂β ϕk ) = ∂β (δϕk ) + (∂γ ∂β ϕk )δX γ , где вариации δϕk и δϕk связаны уравнением δϕk = δϕk + (∂γ ϕk )δX γ , получаем δL = (∂γ L)δX γ + ∂L ∂L k δϕ + ∂β (δϕk ) k ∂ϕ ∂(∂β ϕk ) или ∂L ∂L ∂L δϕk + (∂γ L)δX γ + ∂β δϕk . - ∂β ∂ϕk ∂(∂β ϕk ) ∂(∂β ϕk ) В результате, когда вариационная симметрия действия известна и лагранжиан зависит от градиентов поля порядка не выше первого, уравнение (6) преобразуется к δL = Ej (L)δϕj + ∂β LδX β + ∂L δϕk = 0. ∂(∂β ϕk ) (7) Разделив затем левые и правые части (7) на параметр ε и обозначая Qj = δϕj , ε Jβ = L δX β ∂L δϕk + , ε ∂(∂β ϕk ) ε приходим к равенству Qj Ej (L) = ∂β (-J β ). Таким образом, при выполнении уравнений поля (4) будет справедлив дивергентный закон сохранения (5). 3. Физическая полевая теория термоупругого континуума с «тонкой» микроструктурой. Одним из самых распространенных подходов к изучению деформации континуума является концепция сравнения пространственных положений составляющих его точек. В этом плане необходимы инструменты, позволяющие однозначно идентифицировать все точки, совокупность которых образует континуум. В качестве одного из способов индивидуализации, 72 О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума широко используемых в механике деформируемого твердого тела, обычно выступают метки, частным вариантом которых являются лагранжевы координаты-метки. Однако в некоторых случаях механизм идентификации заранее может быть не вполне ясным, как это видно на примере перемещения тени, отбрасываемой некоторым движущимся от системы источников света телом. В теориях континуума с микроструктурой (см., например, [6]) произвольная «конечная» деформация континуума, представляемая чисто геометрическим преобразованием x = x(X, t) (8) положения X отсчетной конфигурации в соответствующее актуальное место x пространства, сопровождается экстра-деформацией, проявляющейся в форме нарушений взаимной ориентации и метрических характеристик системы трех некомпланарных d-векторов d (a = 1, 2, 3), связанных с микроэлеменa том: (9) d = d(X, t). a a Система трех пространственных полярных d-векторов, ассоциированных с каждой точкой континуума, задает микрополярную структуру континуума. Эта система в самом общем случае предполагается «мягкой». Переменные X и x (и позиционные координаты X α , xj ) выступают как соответственно лагранжева (отсчетная, референциальная) и эйлерова (пространственная) переменные, если воспользоваться стандартной терминологиней механики континуума [7, 8]. С этими переменными связаны метрики: отсчетная метрика gαβ и пространственная метрика gij . Конвективная (сопутствующая) метрика характеризуется метрическим тензором gαβ и, в отличии от gαβ и gij , определяется деформацией (8). Как ясно из предложенных обозначений, эйлеровы пространственные индексы всегда будут обозначаться латинскими буквами, греческие буквы всегда будут указывать на отсчетные или сопутствующие индексы. Деформация и экстра-деформация в координатах X α , xj имеют следующий вид: xj = xj (X α , t), j j α d = d (X , t). a a Следуя известным схемам построения математических теорий континуумов, введем градиент «конечной» деформации (градиент места, position gradient) или «дисторсию» [2, 9] ∂α xj (j, α = 1, 2, 3) и соответствующий якобиан J = det (∂α xj ). Конвективная метрика вычисляется с помощью градиента деформации согласно формуле gαβ = gij (∂α xi )(∂β xj ) и в силу своего определения ротационно инвариантна при произвольных поворотах эйлеровой координатной системы. 73 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в Заметим, что лагранжевы переменные X α (α = 1, 2, 3), дополненные четвертой временной координатой, выступают как пространственно-временные координаты. Эйлеровы переменные xj (j = 1, 2, 3) представляют собой физические поля. То же самое относится к «мягкой» системе d-векторов d (a = a = 1, 2, 3). Но они классифицируются нами как экстра-полевые (сверх переменных xj ) переменные и вводятся в формализм теории поля с помощью контравариантных пространственных компонент dj (a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). a Система трех d-векторов, ассоциированных с каждой точкой континуума, собственно и задает микроструктуру континуума. С теоретико-полевой точки зрения наличие микроструктуры приводит лишь к увеличению числа полевых переменных и, возможно, повышению максимального порядка дифференцирований в «естественной» плотности лагранжиана. «Тонкая» (fine) микроструктура континуума представляется экстра-полями контравариантных тензоров (d-тензоров) сколь угодно высоких рангов j1 j2 ··· (c = 1, 2, 3, ... ). d c Выбранная здесь схема описания микроструктуры и возможность ее математического представления d-тензорами произвольно высоких четных рангов (симметричными по всем индексам) подробно описана в работе [10]. Экстра-деформация, обусловленная наличием «тонкой» микроструктуры, математически описывается отображениями, подобными (9). Поведение репера d (a = 1, 2, 3) характеризуется как его возможной «чиa стой» деформацией (сдвигами трехгранника и удлинениями его ребер), так и поворотом. Ясно, что каждый элемент континуума с микроструктурой обладает большим числом степеней свободы, чем классический континуум. С дополнительными степенями свободы, которыми обладает микроэлемент, связаны, естественно, и дополнительные инерция, импульс, кинетическое и деформационное действие (кинетическая энергия и свободная энергия). Трансформация репера d (a = 1, 2, 3) может сводиться только к его «жестким» a поворотам в пространстве; в этом случае [11] помимо трех трансляционных степеней свободы микроэлемент будет обладать лишь тремя дополнительными ротационными степенями свободы. Возможность исключительно «жесткой» трансформации указанного репера можно выразить уравнениями gij di dj = δ a b (a, b = 1, 2, 3), (10) ab где gij - компоненты эйлеровой пространственной метрики, δ - символ Кроab некера, которые, очевидно, имеют смысл дополнительных кинематических ограничений, накладываемых на экстра-полевые переменные d (a = 1, 2, 3). a В более широком смысле дополнительное кинематическое ограничение может накладываться на экстра-деформацию континуума с микроструктурой в форме конечного уравнения F(dj1 j2 ··· , dj1 j2 ··· , . . . ) = 0, 1 2 связывающего экстра-полевые переменные dj1 j2 ··· (c = 1, 2, 3, ... ). c 74 О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума В качестве основной термической полевой переменной примем температурное смещение ϑ, которое определяется как первообразная по времени (при фиксированных лагранжевых переменных) от абсолютной температуры θ. Именно такой подход характерен для теоретико-полевых формулировок термомеханики [12-15]. Перечислим далее все определяющие переменные термоупругого континуума с «тонкой» микроструктурой. Помимо переменных xj и ϑ, к ним относятся: - градиент деформации ∂α xj (j, α = 1, 2, 3); - d-векторы dj (a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) вместе с их референциальными a градиентами ∂α dj (a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3; α = 1, 2, 3); a - d-тензоры dj1 j2 ··· (c = 1, 2, 3, . . . ; j1 , j2 , · · · = 1, 2, 3) и их референциальc ные градиенты ∂α dj1 j2 ··· (c = 1, 2, 3, . . . ; α = 1, 2, 3; j1 , j2 , · · · = 1, 2, 3); c - референциальный градиент температурного смещения ∂α ϑ (α = 1, 2, 3); - скорость температурного смещения ∂4 ϑ. В терминах отсчетных переменных X α (α = 1, 2, 3), эйлеровых переменных xj (j = 1, 2, 3), экстра-полевых d-переменных и температурного смещения ϑ «естественная» плотность действия (лагранжиан) в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии должна иметь форму j j j ··· ˙ L = L(X β , xj , dj , dj1 j2 ··· , ϑ, xj , d , d 1 2 , ϑ, ∂α xj , ∂α dj , ∂α dj1 j2 ··· , ∂α ϑ). ˙ ˙ ˙ a c a c a c (11) Более специальная форма получается, если рассматривать плотность действия как разность плотности кинетической энергии и свободной энергии Гельмгольца: ab i j 1 1 1 ˙ ˙ ˙ ˙ L = ρR gkj xk xj + ρR gij J d d + ρR 2 2 2 a b cd ˙ j j ··· ˙ k k ··· gj1 k1 gj2 k2 · · · J d 1 2 d 1 2 · · · - κ j1 j2 ··· - ψ(X β , xj , dj , d c a κ c d ˙ , ϑ, ϑ, ∂α xj , ∂α dj , ∂α dj1 j2 ··· , ∂α ϑ). a c Здесь точкой обозначается частное дифференцирование по времени ∂4 при постоянных лагранжевых координатах X α ; ρR - референциальная плотность; ab cd J, J - тензоры инерции микроэлемента. κ Вариационный интеграл термоупругого действия в силу указанной формулой (11) плотности действия будет иметь следующий вид: I= j j j ··· ˙ L(X β , xj , dj , dj1 j2 ··· , ϑ, xj , d , d 1 2 , ϑ, ∂α xj , ∂α dj , ∂α dj1 j2 ··· , ∂α ϑ)d4 X ˙ ˙ ˙ a c a c a c (a = 1, 2, 3; c = 1, 2, 3, . . . ; α, β = 1, 2, 3; j, j1 , j2 , · · · = 1, 2, 3). (12) Соответствующие вариационному интегралу (12) и принципу наименьшего действия связанные уравнения поля получаются в ковариантной форме и 75 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в распадаются на следующие четыре группы: ∂L α· ˙ ∂α S·j - Pj = - j ∂x a a a ∂α Mα· + Aj - ∂4 Qj = 0 ·j c c (α = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), (a = 1, 2, 3; α = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), c (13) ∂α Mα··j······ + Aj1 j2 ··· - ∂4 Qj1 j2 ··· = 0 (c = 1, 2, 3, . . . ; α = 1, 2, 3; ·j1 2 j1 , j2 , · · · = 1, 2, 3), ∂L α ∂α j R + s = ˙ (α = 1, 2, 3). ∂ϑ Лагранжев полевой формализм исключительно удобен тем, что определяющие уравнения континуума выступают просто как обозначения для полевых частных производных, которые вводятся для записи дифференциальных уравнений поля (13): Pj = ∂L , ∂ xj ˙ a Qj = ∂L , ˙j ∂d c Qj1 j2 ··· = a ∂L , ˙ j j ··· ∂d 1 2 c a ∂L ∂L , Mα· = - , =- ·j j) ∂(∂α x ∂(∂α dj ) a a c ∂L ∂L Aj = j , Aj1 j2 ··· = j1 j2 ··· , ∂d ∂d a c ∂L ∂L α s= , jR = . ˙ ∂(∂α ϑ) ∂ϑ α· S·j c α·· ··· M·j1 j2 ··· = - ∂L , ∂(∂α dj1 j2 ··· ) (14) c В приведенных выше определяющих уравнениях (14) приняты следующие обозначения: Pj - обобщенный импульс, соответствующий трансляционa c ным степеням свободы; Qj , Qj1 j2 ··· - обобщенные экстраимпульсы, соответствующие дополнительным (в том числе ротационным) степеням свободы; a c α· S·j - первый тензор напряжений Пиола-Кирхгофа; Mα· , Mα··j······ - «пер·j ·j1 2 a c вые» тензоры экстранапряжений; Aj , Aj1 j2 ··· - обобщенные силы-моменты, сопряженные экстра-полевым переменным dj (a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), dj1 j2 ··· a c (c = 1, 2, 3, . . . ; j1 , j2 , · · · = 1, 2, 3); s - плотность энтропии (в расчете на едиα ницу объема в отсчетном состоянии); jR - референциальный вектор потока энтропии (в единицу времени через единицу площади в отсчетном состоянии). Полевое уравнение в последней строке (13) выражает баланс энтропии. Если плотность действия не содержит явных вхождений температурного смещения, то производство энтропии будет равно нулю. Таким образом, уравнение транспорта тепла будет иметь гиперболический аналитический тип так же, как это имеет место в гиперболической термоупругости [4]. Рассмотрим важный и сравнительно простой случай, когда параметрами микрострукутры являются только d-векторы dj (a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), не a подчиняющиеся никаким дополнительным ограничениям. В этом случае си76 О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума стема дифференциальных уравнений поля (13) будет иметь следующий вид: ∂L (α = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), ∂xj a a a ∂α Mα· + Aj - ∂4 Qj = 0 (a = 1, 2, 3; α = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), ·j ∂L α ∂α j R + s = ˙ (α = 1, 2, 3). ∂ϑ α· ˙ ∂α S·j - Pj = - (15) 4. Плоское пространство-время. Законы сохранения. В дальнейшем будем считать пространство-время плоским. В этом случае выполняется условие трансляционной инвариантности действия. Поэтому можно ввести 4-ковариантный тензор энергии-импульса и сформулировать с его помощью законы сохранения, соответствующие сдвигами всех четырех пространственновременных координат [4]. Следуя [4], определим компоненты канонического µ· тензора энергии-импульса термоупругого поля T·λ (λ, µ = 1, 2, 3, 4) в континууме с микроструктурой. Всего имеются следующие четыре группы соотношений: a c µ· µ µ· µ T·λ = Lδλ + S·l (∂λ xl ) + Mµ· (∂λ dl ) + Mµ··j······ (∂λ dj1 j2 ··· ) - jR (∂λ ϑ) ·j1 2 ·l a c (16) (λ, µ = 1, 2, 3); a c µ· µ ˙ µ· ˙l ˙ j j ··· ˙ T·4 = S·l xl + Mµ· d + Mµ··j······ d 1 2 - jR ϑ (λ = 4; µ = 1, 2, 3); ·j1 2 ·l a c a (17) c 4· T·λ = -(∂λ xl )Pl - (∂λ dl )Ql - (∂λ dj1 j2 ··· )Qj1 j2 ··· - s(∂λ ϑ) a c (18) (λ = 1, 2, 3; µ = 4); a c 4· ˙ ˙l ˙ j j ··· T·4 = L - xl Pl - d Ql - d 1 2 Qj1 j2 ··· - sϑ (λ = 4; µ = 4). ˙ a c (19) Приведенные выше компоненты тензора энергии-импульса термоупругого поля позволяют быстро найти полный гамильтониан поля H, вектор псевдоимпульса поля Pλ , вектор Умова-Пойнтинга Γµ и тензор напряжений µ· Эшелби P·λ . Так, компонента (19) тензора энергии-импульса представляет собой взятую с отрицательным знаком плотность гамильтониана: la j1 j2 ··· c ˙ Qj1 j2 ··· + ϑs - L. ˙ ˙ H = xl Pl + d Q l + d ˙ a c Компоненты (18) определяют ковариантный вектор псевдоимпульса поля согласно формуле a c Pλ = -(∂λ xl )Pl - (∂λ dl )Ql - (∂λ dj1 j2 ··· )Qj1 j2 ··· - s(∂λ ϑ) (λ = 1, 2, 3). a c Из компонент (17) формируется контравариантный вектор Умова-Пойнтинга: a c µ ˙ µ· ˙l ˙ j j ··· Γµ = S·l xl + Mµ· d + Mµ··j······ d 1 2 - jR ϑ (µ = 1, 2, 3). ˙ ·j1 2 ·l a c 77 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в Компоненты (16) тензора энергии-импульса, взятые с противоположным знаком, дают возможность вычислить тензор напряжений Эшелби: a c µ µ· µ µ· -P·λ = Lδλ +S·l (∂λ xl )+Mµ· (∂λ dl )+Mµ··j······ (∂λ dj1 j2 ··· )-jR (∂λ ϑ) (λ, µ = 1, 2, 3). ·j1 2 ·l a c 4-ковариантный закон сохранения, соответствующий вариационным симметриям действия в форме трансляций пространственно-временных координат µ· ∂µ T·λ = 0 (λ, µ = 1, 2, 3, 4), естественным образом распадается на два симметричных канонических уравнения баланса энергии и псевдоимпульса термоупругого поля: ˙ -H + ∂µ Γµ = 0, ˙ -Pλ + ∂µ P µ· = 0. ·λ Теоретико-полевой подход (и лагранжев формализм) применим только к тем полям, в которых сохраняется постоянной полная энергия. Он не отражает того обстоятельства, что в реальном эволюционирующем поле полная энергия убывает, трансформруясь в другие виды энергии, например, в тепловую энергию, т.е. происходит рассеяние энергии, сопровождающееся возрастанием энтропии. Однако не стоит и сужать возможности такого подхода. Возможность освобождения (стока) энергии может быть учтена не столько в уравнениях поля, сколько сингулярностями поля. 5. Уравнения поля при наличии кинематических ограничений. Дополнительные связи между экстра-полевыми d-переменными могут учитываться с помощью правила множителей Лагранжа [1, 2]. В том важном и сравнительно простом случае, когда параметрами микрострукутры являются только d-векторы dj (a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), а кинеa матические связи задаются уравнениями (10), система дифференциальных уравнений поля (15) подлежит некоторой модификации, поскольку согласно правилу множителей лагранжиан L подлежит замене на новый лагранжиан L : 1 cb L → L = L - λ (gkl dk dl - δ ) (c, b = 1, 2, 3). 2 c b cb cb Здесь λ - множители Лагранжа, которые представляют собой функции пространственно-временных координат. Их можно считать симметричными при перестановке индексов: bc cb λ=λ (c, b = 1, 2, 3). Вычислим прежде всего требуемые для модификации уравнений поля полевые производные. Нас интересует производная лагранжиана L по полевой переменной xj : ∂L ∂L 1 cb ∂gkl = - λ j dk dl . j j ∂x ∂x 2 ∂x c b 78 О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума Полученное выражение преобразуем, принимая во внимание (Γs - символы kj Кристоффеля второго рода пространственной метрики) ∂gkl = Γs gsl + Γs gks , kj lj ∂xj cb а также симметрию множителей λ . В итоге приходим к следующему выражению: ∂L cb s k ∂L = - λ Γkj d ds . j ∂x ∂xj c b Интерес представляет также производная лагранжиана L по экстраполевой переменной dj : a ∂L 1 cb ∂L k l = j - λ (gkl δj dl δ + gkl δj dk δ ). j ∂d ∂d 2 c ab b ac a a cb Привлекая затем соглашение о симметрии множителей λ , получаем ∂L 1 cb ∂L = j - λ (gjl dl δ + gjk dk δ ) j ∂d ∂d 2 c ab b ac a и a ∂L ∂L ab = j - λdj . j ∂d ∂d b a a В результате вместо (15) дифференциальные уравнения поля получаются в виде следующей системы уравнений: ∂L α· ˙ ∂α S·j - Pj = - j + Γs λds dk (α = 1, 2, 3; j, s, k = 1, 2, 3), kj ∂x b c a a a α· + (a = 1, 2, 3; α = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), ∂α M·j Aj - ∂4 Qj = 0 α + s = ∂L ∂α jR ˙ (α = 1, 2, 3), ∂ϑ bc где a Aj = ∂L ab - λdj . ∂ dj b a Сворачивая левую и правую части последнего равенства с вектором dj , a на основании уравнений связей gkl dk dl - δ = 0, c b cb откуда находим a ab a (Aj - Aj )dj = - λ δ . a ab 79 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в 6. Ротационная инвариантность действия и плотности действия относительно поворотов эйлеровой координатной системы. «Естественная» плотность действия в форме (11) пока еще не позволяет вести речь о ее объективности в том смысле, что в разных эйлеровых координатных системах эта форма будет сохраняться. Ясно, что вывод объективных форм лагранжиана представляет собой первый и весьма важный шаг на пути построения объективных форм определяющих уравнений, первоначально задаваемых уравнениями (14). Ограничимся случаем, когда параметрами микроструктуры являются только d-векторы dj (a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). При этом «естественная» a плотность действия микрополярного термоупругого континуума второго типа может быть представлена в виде следующей функции с явно перечисленными вхождениями определяющих переменных: j L = L(X β , xj , dj , ϑ, xj , d , ϑ, ∂α xj , ∂α dj , ∂α ϑ). ˙ ˙ ˙ a a a (20) В теориях континуумов лагранжиан имеет несколько более специальную форму, чем (20), разности плотности кинетической энергии и свободной энергии Гельмгольца: ab i j 1 1 ˙ ˙ ˙ L = ρR gkj xk xj + ρR gij I d d - ψ(X β , xj , dj , ϑ, ϑ, ∂α xj , ∂α dj , ∂α ϑ). ˙ ˙ 2 2 a b a a Для изображения состояний и процессов в механике континуума используется трехмерное плоское пространство-время и независимое время. Поскольку выбор эйлеровых координат произволен и не должен никак сказываться на физических следствиях дифференциальных уравнений поля, действие и лагранжиан обязаны обладать определенными свойствами инвариантности по отношению к выбору эйлеровой координатной системы и начала отсчета времени, т.е. по отношению к так называемым «движениям» эйлерова пространства. Существуют два принципиально различных вида «движений»: трансляционные и спинорные. Первые определяются заданием векторов положений и описывают перемещения (трансляции) тел в эйлеровом пространстве. Спинорные «движения» определяются заданием тензорных функций времени, значениями которых являются собственно ортогональные тензоры размерности три (тензоры поворота). Вводя в пространстве прямоугольные декартовы координаты xj , заметим, что одно из таких свойств инвариантности проявляется в форме трансляционной инвариантности интегрального функционала действия относительно произвольных сдвигов переменных xj и времени t. Другое, как хорошо известно, - в форме ротационной инвариантности относительно произвольных поворотов эйлеровой координатной системы xj . Инвариантность действия относительно поворотов эйлерова координатного репера является проявлением изотропии эйлерова координатного пространства, т.е. отсутствия предпочтительных направлений в этом пространстве. Инвариантность действия относительно преобразований лагранжевых переменных связана с симметрией физических свойств континуума. Так, трансляционная инвариантность действия относительно произвольных сдвигов координат X α означает, что континуум однороден. Ротационная инвариантность относительно произвольных поворотов лагранжевой координатной системы указывает на изотропность континуума. 80 О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума Таким образом, действие, в частности, должно быть инвариантно относительно преобразований сдвигов и поворотов координатной системы наблюдателя (принцип объективности) и сдвигов времени: i i xi = Rj xj + C i , i j d = Rj d , a t = t + C. a (21) В приведенных выше формулах преобразования C i , C есть произвольные поi стоянные; Rj - произвольная постоянная собственно ортогональная матрица. Действие и плотность действия L инвариантны относительно преобразований (21) тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: ∂L = 0, ∂xk expl ∂4 L = 0, K[ij] = 0, (22) где тензор Kij определяется согласно Kij = xi ∂L ∂L ∂L ∂L ∂L ∂L ˙ + di j + xi j + di j + (∂α xi ) ˙ + (∂α di ) j j) ∂x ∂x ˙ ∂(∂α x a ∂d a ∂(∂α dj ) a ∂d ˙ a a a и в (22) по индексам, заключенным в квадратные скобки, выполняется антисимметризация. Заметим, что в силу (22) и в обозначениях (14) тензор Kij сводится к a a a α· ˙ Kij = di Aj + xi Pj + di Qj - (∂α xi )S·j - (∂α di )Mα· . ˙ ·j a a a Ясно, что в том случае, когда плотность действия не зависит явно от ди˙ ректоров dj , их производных по времени dj и референциальных градиентов a a ∂α dj , последнее в группе условий (22) позволяет сразу же установить симa метрию тензора напряжений Коши ∂L (β = 1, 2, 3). ∂(∂β xk ) Инвариантность действия относительно трансляций эйлеровых координат, известная как принцип галилеевой инвариантности действия (принцип относительности Галилея), мы дополним требованием инвариантности действия относительно сдвигов температурного смещения (C - произвольная постоянная): ϑ=ϑ+C , (23) l· T·k = -J -1 (∂β xl ) что обеспечивается выполнением следующего условия: ∂L = 0. ∂ϑ Поскольку кинетическая составляющая плотности действия инвариантна относительно преобразований (21), (23), плотность свободной энергии Гельмгольца (α, β = 1, 2, 3) ˙ ψ = ψ(X β , dj , ϑ, ∂α xj , ∂α dj , ∂α ϑ), a a 81 В. А. К о в а л е в, Ю. Н. Р а д а е в в свою очередь, обязана выдерживать преобразования вида (21), (23), т.е. i i ˙ ˙ i ψ(X β , Rj dj , ϑ, Rj ∂α xj , Rj ∂α dj , ∂α ϑ) = ψ(X β , dj , ϑ, ∂α xj , ∂α dj , ∂α ϑ). a a a a Последнее обстоятельство означает, что свободная энергия Гельмгольца ˙ является некоторой функцией от переменных X β , ϑ, ∂α ϑ, в запись которых не входят эйлеровы индексы, а также следующих инвариантных относительно вращений эйлеровой координатной системы аргументов: gαβ = gij (∂α xi )(∂β xj ), Rα = gij (∂α xi )dj , a T αβ a a (24) = gij (∂α xi )(∂β dj ). a Каждая из величин, перечисленных в (24), действительно инвариантна относительно произвольных вращений эйлеровой координатной системы, поскольку по всем эйлеровым индексам производится сворачивание с помощью эйлеровых метрических коэффициентов gij . Заметим, что в списке инвариантных аргументов (24) отсутствуют тензоры R = gij di dj , ab a b Rα = gij (∂α di )dj , a ab b T αβ = gij (∂α di )(∂β dj ). a ab b Рациональной основой для этого выступает требование того, чтобы экстрадеформация континуума была невозможна, если отсутствует деформация (gαβ = gαβ ). Заметим также, что кинематическое ограничение R= δ ab ab устанавливает, что d-векторы составляют «жесткий» репер, поэтому экстрадеформация континуума сводится лишь к вращениям составляющих его элементов. В итоге, считая, что континуум однороден, т. е. expl ∂β L = 0 (β = 1, 2, 3), и, следовательно, все лагранжевы переменные X β являются циклическими (игнорируемыми), получаем следующую удовлетворяющую принципу объективности ротационно-инвариантную форму свободной энергии Гельмгольца (a = 1, 2, 3; α, β = 1, 2, 3): ˙ ψ = ψ(gαβ , Rα , T αβ , ϑ, ∂α ϑ). a a (25) Мы неявно подразумеваем, что приведенная форма (25) должна зависеть также от отсчетной метрики gαβ и референциального положения d-векторов dj (a = 1, 2, 3). a 82 О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума В форме (25) ротационно-инвариантный аргумент gαβ без ограничения общности может быть заменен на 1 αβ = (gαβ - gαβ ). 2 Компоненты αβ преобразуются по тензорному закону при заменах лагранжевых координат. Тензор αβ называется тензором деформации Грина. Использование тензора деформации Грина в качестве ротационно инвариантного аргумента лагранжиана исключительно удобно, т. к. он в силу своего определения учитывает только ту часть деформации континуума, которая наблюдается относительно некоторой фиксированной референциальной конфигурации. По аналогичным соображениям вместо векторной меры экстра-деформации Rα следует использовать относительный вектор экстра-деформации a -γ α = Rα - gαβ dβ . a a a β Здесь векторы d указывают референциальное состояние системы d-векторов. a Вектор γ α оказывается нулевым, только если каждый из d-векторов повораa чивается и удлиняется так, как это в точности предписывается деформацией континуума. Если последнее обстоятельство имеет место, то i i α d - (∂α x ) d = 0; a a умножая обе части полученного равенства на компоненты дисторсии ∂β xj и сворачивая с gij , находим α Rβ - gβα d = 0, a a т.е. относительный вектор экстра-деформации становится равным нулю: γ β = 0. a Таким образом, окончательно ротационно инвариантная форма свободной энергии Гельмгольца получается в виде ˙ ψ = ψ( αβ , γ α , T αβ , ϑ, ∂α ϑ) (a = 1, 2, 3; α, β = 1, 2, 3). a a Полученная форма указывает на явную зависимость свободной энергии ˙ Гельмгольца от одного скалярного аргумента ϑ; четырех векторных аргуменγ α (a = 1, 2, 3; α = 1, 2, 3) и четырех тензорных аргументов αβ , T αβ тов ∂α ϑ, a a (a = 1, 2, 3; α, β = 1, 2, 3).

About the authors

Vladimir A Kovalev

Moscow City Government University of Management

Email: kovalev.kam@gmail.com (V.A.Kovalev
28, Sretenka st., Moscow, 107045, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Professor, Dept. of Applied Mathematics and Analytical Support of Making Decisions

Yuriy N Radayev

A. Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: radayev@ipmnet.ru. y.radayev@gmail.com
101, pr. Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Leading Researcher, Lab. of Modeling in Solid Mechanics

References

  1. Н. М. Гюнтер, Курс вариационного исчисления, Гостехтеоретиздат, 1941. 308 с.
  2. В. Л. Бердичевский, Вариационные принципы механики сплошной среды, М.: Наука, 1983. 448 с.
  3. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, Элементы теории поля: вариационные симметрии и геометрические инварианты, М.: Физматлит, 2009. 156 с.
  4. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, Волновые задачи теории поля и термомеханика, Саратов: Сарат. ун-т, 2010. 328 с.
  5. Л. В. Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, Наука: М., 1978. 400 с.
  6. R. A. Toupin, “Theories of elasticity with couple-stress”, Arch. Rational Mech. Anal., 1964, vol. 17, no. 5, pp. 85-112. doi: 10.1007/BF00253050.
  7. Л. И. Седов, Введение в механику сплошных сред, М.: Физматгиз, 1962. 284 с.
  8. А. А. Ильюшин, Механика сплошных сред, М.: Москов. ун-т, 1978. 287 с.
  9. A. E. Green, J. E. Adkins, Large elastic deformations and non-linear continuum mechanics, Oxford, Claredon Press, 1960, xiii+348 pp. [А. Грин, Дж. Адкинс, Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды, М.: Мир, 1965. 456 с.]
  10. Ю. Н. Радаев, Континуальные модели поврежденности твердых тел: Дис. ... доктора физ.-мат. наук, М.: Институт проблем механики РАН, 1999. 380 с.
  11. E. Cosserat, F. Cosserat, Théorie des corps déformables, Paris, Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909, 226 pp. (Reprint, 2009)
  12. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, “Вывод тензоров энергии-импульса в теориях микрополярной гиперболической термоупругости” // Изв. РАН. Мех. тверд. тела, 2011. No 5. С. 58-77.
  13. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, “Теоретико-полевые формулировки и модели нелинейной гиперболической микрополярной термоупругости” / Сб. докладов XXXVI Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е. В. Золотова (4-10 сентября 2012 г., Владивосток), Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2012. 137-142 с.
  14. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, “Точно сохраняющиеся инварианты связанного микрополярного термоупругого поля” // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2012. Т. 12, No 4. С. 71-79.
  15. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, “Ковариантная форма уравнений совместности на поверхностях сильного разрыва в микрополярном термоупругом континууме: гиперболическая теория” / Труды XVI Межд. конф. Современные проблемы механики сплошной среды. Т. 2 (16-19 октября 2012 г., г. Ростов-на-Дону), Ростов-на-Дону: Южный федеральный ун-т, 2012. С. 99-103.

Statistics

Views

Abstract - 26

PDF (Russian) - 10

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies