Reliability evaluation of stochastically heterogeneous thick-walled pipe by long-term strength criterion

Abstract


We have developed a method of probabilistic reliability evaluation of microheterogeneous thick-walled pipe, based on the already received solution of the stochastic creep boundary value problem. The rheological properties of the material were described using random function of one variable (radius $r$). Damage parameter $0< \omega(t) <1$ was introduced here to study the process of degradation of the material during creep stage. Also the power law of the rate of $\omega(t)$ change on the equivalent stress σe , determined by Sdobyrev criterion, is assigned. The reliability evaluation is made by the mean integral value of the equivalent stress. We have found a random time before destruction and its distribution function, which was approximated by lognormal law. The problem of the probability of failure-free operation was calculated for a thick-walled microheterogeneous pipe with the specified parameters. The obtained results allow to evaluate reliability of stochastically inhomogeneous axisymmetric structural elements if necessary statistical data are obtained from the experiment.

Full Text

В условиях длительного действия нагрузки при повышенной температуре с некоторого момента скорость ползучести начинает возрастать (третья стадия), и процесс ползучести заканчивается разрушением. В силу стохастической неоднородности материала время до разрушения будет являться случайной величиной. Для описания процесса разрушения при ползучести введем параметр поврежденности материала 0 ω(t) 1 и используем кинетическое уравнение Работнова [1]. dω σэ k =B , (1) dt 1-ω где σэ - эквивалентное напряжение, задаваемое в виде некоторого соотношения между компонентами тензора напряжений; B, k - постоянные материаISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1202 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: Н. Н. П о п о в, Л. В. К о в а л е н к о, “Оценка над¨жности стоe хастически неоднородной толстостенной трубы по критерию длительной прочности” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 86-92. 86 Оценка надёжности стохастически неоднородной толстостенной трубы. . . ла. В данной статье рассматривается оценка надёжности по критерию длительной прочности толстостенной трубы из микронеоднородного материала, находящейся под действием внутреннего давления q. Предполагается, что в трубе осуществляется плоская деформация и в традиционной цилиндрической системе координат полагается, что компонента тензора деформаций εz = 0. При этом реологические свойства материала описываются при помощи случайной функции радиуса r. В работе [2] рассматривалось решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести толстостенной трубы. Определяющие соотношения для деформаций ползучести εr и εϕ принимаются в соответствии с теорией вязкого течения в стохастической форме εϕ = -εr = cS n-1 (σϕ - σr )(1 + αU ), ˙ ˙ где σr√ σϕ - радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжений, и S = ( 3/2)(σϕ -σr ) - интенсивность напряжений, U (r) - случайная однородная функция, описывающая флуктуации реологических свойств материала с математическим ожиданием U = 0 и дисперсией U 2 = 1, α - коэффициент вариации этих свойств (малый параметр), c, n - постоянные материала. Аналогичная задача по оценке надёжности толстостенной трубы по критерию деформационного типа, когда ограничение накладывалось на случайное радиальное перемещение, рассматривалась в работе [3]. Случайные напряжения σr и σϕ , найденные в работе [2] на основе первого приближения метода малого параметра, имеют вид: σr = A 1 - σϕ = A 1 + A= β r 2/n + 2Aβ 2/n α (1 - r-2/n )H - I(r) , n2 (2) 2 -1 n β 2/n + r 2Aβ 2/n α 2 + 1+ - 1 r-2/n H - I(r) - U r-2/n , (3) 2 n n q β 2/n - 1 r , I(r) = U (x) x-1-2/n dx, H= 1 I(β) . 1 - β -2/n Здесь r - безразмерный радиус (r ∈ [1, β]), β = b/a, a и b - внутренний и внешний радиусы трубы, q - давление. В работе [2] также найдены статистические характеристики случайных напряжений σr и σϕ c математическими ожиданиями σr = A 1 - β r 2/n , σϕ = A 1 + 2 -1 n β r 2/n и дисперсиями D[σr ] = 4A2 β 4/n α2 (1 - r-2/n )2 H 2 - 2(1 - r-2/n ) I(r)H + I 2 (r) , (4) n4 87 Н. Н. П о п о в, Л. В. К о в а л е н к о D[σϕ ] = 4A2 β 4/n α2 n4 2 - 1 r-2/n n 1+ 2 2 - 1 r-2/n n + I 2 (r) + r-4/n - 2 1 + 2 - 1 r-2/n n -2 1+ H2 + I(r)H - HU r-2/n + 2r-2/n I(r)U , (5) где H2 = β 1 1- 2 β -2/n 1 r I(r)H = -1-2/n -1-2/n x2 dx1 dx2 , K(x2 - x1 )x1 1 r I 2 (r) = 1 β 1 1 1 - β -2/n -1-2/n -1-2/n x2 dx1 dx2 , K(x2 - x1 )x1 r 1 β -1-2/n -1-2/n x2 dx1 dx2 , K(x2 - x1 )x1 1 β 1 HU = 1 - β -2/n r I(r)U = K(x - r)x-1-2/n dx, 1 K(x - r)x-1-2/n dx, 1 K(x2 - x1 ) - корреляционная функция случайной функции U (r). Эквивалентное напряжение σэ , входящее в кинетическое уравнение (1), будем определять по критерию Сдобырева, который довольно часто применяется для описания закономерности изменения длительной прочности при сложном напряженном состоянии [4]: σэ = σ1 + S , 2 где σ1 - наибольшее нормальное напряжение, которое для толстостенной трубы равно σϕ . В общем случае эквивалентное напряжение σэ является случайной функцией радиуса r и времени t. Её характеристики можно найти из соответствующей стохастической краевой задачи, при решении которой возникают непреодолимые трудности. В связи с этим предлагается использовать введённое в работе [5] интегрально-среднее значение эквивалентного напряжения: σэ = 1 β-1 β σэ (r)dr. (6) 1 В работе [6] показано, что в детерминированной постановке σэ является практически постоянной для толстостенной трубы при ползучести от момента t = 0 вплоть до разрушения для широкого диапазона изменения параметров n и β. Поэтому вводится гипотеза, что и в стохастической постановке σ э считается случайной величиной, но не зависящей от времени, которую можно вычислить, например, на стадии установившейся ползучести. В дальнейшем теория длительной прочности строится на основе интегрально-среднего значения эквивалентного напряжения σ э , статистические характеристики которого могут быть найдены исходя из (2) и (3). 88 Оценка надёжности стохастически неоднородной толстостенной трубы. . . Согласно (2), (3) и (6) величина эквивалентного напряжения σ э определяется формулой 1 σэ = 2(β - 1) √ β 3 (σϕ - σr ) dr = 2 1 √ 2 β 2/n 1 - n A 2+ 3 1 -1 + = 1+ -1 1-2/n 2 β-1 n β √ β Aβ 2/n α 2+ 3 + 2 1+ - 1 r-2/n H- n (β - 1) 1 n √ 3 - I(r) - 1 + U r-2/n dr. (7) 2 σϕ + Решая дифференциальное уравнение (1) при ω(0) = 0 и считая, что в момент разрушения ω(tp ) = 1, можно найти случайное время до разрушения tp = 1 . B(k + 1)σ k э Время до разрушения tp было аппроксимировано логарифмически нормальным законом, функция распределения которого имеет вид F (t) = √ t 1 2πd 0 1 (ln z - m)2 exp - dz. z 2d2 (8) Для того чтобы найти параметры m и d распределения (8), разложим величину ln σэ по малому параметру α и ограничимся членами только первого порядка относительно α: ln σэ = ln σ 0 + ασ ∗ = ln σ 0 + ln 1 + э э э ασ ∗ э σ0 э = ln σ 0 + э ασ ∗ э + o(α), σ0 э (9) где σ0 э = σэ β 2/n 1 - A = 1+ 2 β-1 2 n √ 2+ 3 -1 n 1 β 1-2/n -1 , σ ∗ = 0. э Используя разложение (9), вычислим параметры распределения (8): m = ln tp = - ln (B(k + 1)) - k ln σ 0 , э d2 = D [ln tp ] = k 2 α2 D [σ ∗ ] , э σ0 э где дисперсия D [σ ∗ ] определяется согласно (7): э D [σ ∗ ] э 1 = D [σ э ] = β-1 β 1 √ 1 3 1+ 4 2 2 √ 3 3 D [σϕ ] + D [σr ] - σϕ σr dr. 16 2 89 Н. Н. П о п о в, Л. В. К о в а л е н к о Здесь величины D [σϕ ] и D [σr ] вычисляются по формулам (4) и (5) соответственно. Момент σϕ σr можно найти, используя (2) и (3): σϕ σr = 4A2 β 4/n α2 2 (1 - r-2/n ) 1 + - 1 r-2/n H 2 - 2 n n 1 -2 1+ - 1 r-2/n I(r)H + I 2 (r) + n + I(r)U r-2/n - 1 - r-2/n r-2/n HU . Рассмотрим модельную задачу оценки надёжности для толстостенной трубы из стали 12ХМФ при T = 590 ℃ с постоянными материала n = 7.1, c = = 2.762·10-21 , внутренним и внешним радиусами a = 14 мм и b = 21 мм соответственно, находящейся под действием внутреннего давления q = 70 МПа. Исходные данные для расчёта взяты из монографии [7]. Параметры кинетического уравнения (1) считались равными B = 2.54 · 10-12 , k = 3.04. Корреляционная функция случайной функции U (r) была взята в виде K(r) = exp (-10|r|) (cos 20r + 0.5 sin 20|r|) , r = x2 - x1 . На рисунке представлена функция надёжности P (t) = 1 - F (t), где F (t) определяется по формуле (8) при степени неоднородности материала α = = 0.3. Функцию надёжности P (t) можно использовать для назначения ресурса толстостенной трубы. Назначенный ресурс T∗ определяют так, чтобы вероятность обеспечения T∗ была равна заданному значению p∗ вероятности безотказной работы (пунктирные линии на графике). При заданном значении p∗ = 0.95 ресурс для рассматриваемой трубы составляет 19 475 часов. Функция надёжности P (t) [Reliability function vs time] Полученные результаты позволяют оценивать надёжность стохастически неоднородных осесимметричных элементов конструкций при условии, что необходимые статистические данные будут получены экспериментальным путём.

About the authors

Nikolay N Popov

Samara State Technical University

Email: ponick25@gmail.com
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Ludmila V Kovalenko

Samara State Technical University

Email: flytitmouse@mail.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Assistant, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

References

  1. Ю. Н. Работнов, Ползучесть элементов конструкций, М.: Наука, 1966. 752 с.
  2. Н. Н. Попов, В. П. Радченко, “Построение аналитического решения стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы” // ПММ, 2012. Т. 76, No 6. С. 1023-1031.
  3. Н. Н. Попов, Л. В. Коваленко, “Оценка надёжности осесимметричных стохастических элементов конструкций при ползучести по теории выбросов” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. No 2(27). С. 72-77. doi: 10.14498/vsgtu1090.
  4. В. П. Сдобырев, “Критерий длительной прочности для некоторых жаропрочных сплавов при сложном напряжённом состоянии” // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1959. No 6. С. 93-99.
  5. А. Н. Локощенко, C. Ф. Шестериков, “Стандартизация критериев длительной прочности” / Унифицированные методы определения ползучести и длительной прочности. Вып. 7, М.: Изд-во стандартов, 1986. С. 3-15.
  6. В. П. Радченко, Е. В. Башкинова, С. Н. Кубышкина, “Об одном подходе к оценке длительной прочности толстостенных труб на основе интегрально-средних напряженных состояний” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2002. No 16. С. 96-104. doi: 10.14498/vsgtu105.
  7. В. П. Радченко, Ю. А. Еремин, Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций, М.: Машиностроение-1, 2004. 265 с.

Statistics

Views

Abstract - 18

PDF (Russian) - 10

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies