A criterion for the unique solvability of the Dirichlet spectral problem in a cylindrical domain for multidimensional hyperbolic equations with wave operator

Abstract


We consider the Dirichlet spectral problem with the homogeneous boundary conditions in a cylindrical domain of Euclidean space for multidimensional hyperbolic equation with wave operator. We construct the solution as an expansion in multidimensional spherical functions; prove the existence and uniqueness theorems. The obtained conditions of the problem unique solvability essentially depend on the “height” of the cylinder.

Full Text

Двумерные спектральные задачи для гиперболических уравнений интенсивно изучаются (см., например работы [1-4]), а их многомерные аналоги [5-7], насколько известно автору, исследованы мало. Это связано с тем, что в случае трёх и более независимых переменных возникают трудности принципиального характера, так как весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных уравнений, применяемый для двумерных задач, здесь не может быть использован из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. Теория многомерных сферических функций, напротив, достаточно полно изучена. Эти функции имеют важные приложения в математической физике, в теоретической физике и в теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. Автор предлагает при решении спектральных задач Дирихле для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором использовать разложения по сферическим функциям. 1. Постановка задачи. Пусть Dα - цилиндрическая область евклидова пространства Em+1 точек (x1 , . . . , xm , t), ограниченная цилиндром Γ = {(x, t) : |x| = 1} © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: А л д а ш е в С. А. Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 21-30. doi: 10.14498/vsgtu1300. 21 А л д а ш е в С. А. и плоскостями t = α > 0, t = 0; здесь |x| - длина вектора x = (x1 , . . . , xm ). Части этих поверхностей, образующих границу ∂Dα области Dα , обозначим через Γα , Sα , S0 соответственно. В области Dα рассмотрим взаимно сопряженные многомерные гиперболические уравнения со спектральным действительным параметром γ: m Lu ≡ ∆x u - utt + ai (x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = γu, (1) ai (x, t)υxi - b(x, t)υt - d(x, t)υ = γυ, (2) i=1 m L∗ υ ≡ ∆x υ - υtt - i=1 где u = u(x, t); υ = υ(x, t); ∆x - оператор Лапласа по переменным x1 , . . . , xm ; m 2, d(x, t) = c - m ai (x, t)xi - bt . i=1 В качестве многомерной спектральной задачи Дирихле рассмотрим следующую задачу. ¯ Задача D. Найти решение уравнения (1) в области Dα из класса C 1 (Ωα )∩ 2 (D ), удовлетворяющее краевым условиям C α u Sα = 0, u Γα = 0, u S0 = 0. (3) В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1 , . . . , xm , t к сферическим r, θ1 , . . . , θm-1 , t; r 0, 0 θ1 < 2π, 0 θi π, i = 2, 3, . . . , m-1, θ = (θ1 , . . . , θm-1 ). k Пусть {Yn,m (θ)} - система линейно независимых сферических функций l порядка n; 1 k kn ; (m - 2)!n!kn = (n + m - 2)!(2n + m - 2); W2 (S0 ), l = 0, 1, . . . - пространства Соболева. Имеет место следующая лемма [8]. l Лемма 1. Пусть f (r, θ) ∈ W2 (S0 ). Если l ∞ m - 1, то ряд kn k k fn (r)Yn,m (θ), f (r, θ) = (4) n=0 k=1 а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p сходятся абсолютно и равномерно. l-m+1, l Лемма 2. Для того чтобы f (r, θ) ∈ W2 (S0 ), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам ∞ 1 |f0 (r)| kn k n2l |fn (r)|2 c1 , c2 , c1 , c2 = const. n=1 k=1 Через ak (r, t), ak (r, t), bk (r, t), dk (r, t), ρk , обозначим коэффициенты разn n n in in ложения ряда (4) соответственно функций ai (r, θ, t)ρ(θ), ai (r, θ, t)ρ(θ)xi /r, b(r, θ, t)ρ(θ), c(r, θ, t)ρ(θ), d(r, θ, t)ρ(θ), ρ(θ), i = 1, . . . , m, причем ρ(θ) ∈ C ∞ (H), H - единичная сфера в Em . l ¯ Пусть ai (x, t), b(x, t), c(x, t) ∈ W2 (Dα ) ⊂ C(Dα ), l m + 1, i = 1, . . . , m. Тогда справедлива следующая теорема. 22 Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле . . . Теорема. 1) Если γ -µ2 , то задача D имеет только нулевое решение. s,n 2) При γ > -µ2 задача D имеет только тривиальное решение тогда и s,n только тогда, когда γ + µ2 = 0, s,n sin α s = 1, 2, . . . , (5) где µs,n - положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+(m-2)/2 (z). 2. Разрешимость задачи D. В сферических координатах уравнение (1) имеет вид Lu ≡ urr + 1 m-1 ur - 2 δu - utt + r r m + ai (r, θ, t)uxi + b(r, θ, t)ut + c(r, θ, t)u = γu, (6) i=1 где m-1 δ≡- 1 m-j-1 j=1 g1 = 1, gj sin ∂ ∂ sinm-j-1 , ∂θj ∂θj θj gj = (sin θ1 · · · sin θj-1 )2 , j > 1. Известно [8], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = = n(n + m - 2), n = 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонорk мированных собственных функций Yn,m (θ). Искомое решение задачи D будем искать в виде ∞ kn k uk (r, t)Yn,m (θ), ¯n u(r, θ, t) = (7) n=0 k=1 где uk (r, t) - функции, подлежащие определению. ¯n Подставив (7) в (6), умножив полученное выражение на ρ(θ) = 0 и проинтегрировав по единичной сфере H, для uk получим [5, 6] n ρ1 u1 - ρ1 u1 + 0 ¯0rr 0 ¯0tt ∞ m-1 1 ρ0 + r m a1 u1 + ˜1 u1 + c1 u1 - γρ1 u1 + b0 ¯0t ˜0 ¯0 i0 ¯0r 0 ¯0 i=1 kn m-1 k ρn + r ρk uk - ρk uk + n ¯nrr n ¯ntt + n=1 k=1 + ck - ˜n ρk λn n r2 m ak uk + ˜k uk + bn ¯nt in ¯nr i=1 m (˜k ain-1 - nak ) uk - γρk uk n ¯n n ¯n + = 0. (8) i=1 Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений ρ1 u1 - ρ1 u1 + 0 ¯0rr 0 ¯0tt (m - 1) 1 1 ρ0 u0r = γρ1 u1 ; ¯ 0 ¯0 r (9) 23 А л д а ш е в С. А. (m - 1) k k λ1 ¯ ρ1 u1r - 2 ρk uk = ¯ r r 1 1 m 1 = γρ1 uk - ¯1 a1 u1 + ˜1 u1 + c1 u1 , b0 ¯0t ˜0 ¯0 1 i0 ¯0r k1 ρk uk - ρk uk + 1 ¯1rr 1 ¯1tt n = 1; k = 1, . . . k1 ; (10) i=1 ρk uk - ρk uk + n ¯nrr n ¯ntt = m-1 k k λn ρn unr - 2 ρk uk = ¯ ¯ r r n n γρk uk n ¯n 1 - kn kn-1 m ˜k ¯k ak uk in-1 ¯n-1r + bn-1 un-1t + k=1 i=1 m + ck + ˜n-1 (˜k ain-2 - (n - 1)ak ) uk n-1 ¯n-1 , k = 1, . . . , kn ; n = 2, 3, . . . . i=1 (11) Суммируя уравнения (10) от 1 до k1 , а уравнения (11) от 1 до kn , а затем сложив полученное выражение вместе с (9), приходим к уравнению (8). Отсюда следует, что если uk , k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . - решение си¯n стемы (9)-(11), то оно является и решением уравнения (8). Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (9)-(11) можно представить в виде uk - uk + ¯nrr ¯ntt λn m-1 k unr - 2 uk = γ uk + fn (r, t), ¯ ¯ ¯n ¯k r r n (12) ¯k где fn (r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом ¯1 (r, t) ≡ 0. f0 Далее, из краевого условия (13) в силу (7) будем иметь uk (r, α) = 0, ¯n uk (1, t) = 0, ¯n uk (r, 0) = 0, ¯n k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . . (13) Произведя замену uk (r, t) = r(1-m)/2 uk (r, t) в (12), (13), получим ¯n n ¯ λn k k u = γuk + fn (r, t), (14) n r2 n uk (r, α) = 0, uk (1, t) = 0, uk (r, 0) = 0, k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . ,(15) n n n (m-1) [(m - 1)(3 - m) - 4λn ] k ¯ ¯k λn = , fn (r, t) = r 2 fn (r, t). 4 Luk ≡ uk - uk + n nrr ntt Решение задачи (14), (15) будем искать в виде ∞ uk (r, t) = n Rs (r)Ts (t), (16) ak (t)Rs (r). ns (17) s=1 при этом пусть ∞ k fn (r, t) = s=1 24 Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле . . . Подставляя (16) в (14), (15), с учетом (17) получим Rsrr + ¯ λn Rs + (µ - γ)Rs = 0, 0 < r < 1, r2 Rs (1) = 0, |Rs (0)| < ∞, -ak (t), ns Tstt + µTs (t) = 0 < t < α, Ts (α) = Ts (0) = 0. Ограниченным решением задачи (18), (19) является (см. [9]) √ Rs (r) = rJν (µs,n r), 0 < r < 1, (18) (19) (20) (21) (22) где ν = n + (m - 2)/2, µ = γ + µ2 . s,n Общее решение уравнения (20) представимо в виде [9] √  t √  c cos √µt + c sin √µt + cos µt  ak (ξ) sin µξdξ- √ 2s  1s ns  µ  0  √   sin µt t k √   - √ ans (ξ) cos µξdξ, µ > 0,    µ 0   t  c1s + c2s t - ak (ξ)(t - ξ)dξ, µ = 0, Ts,n (t) = ns  0   t    c1s ch |µ|t + c2s sh |µ|t + ch |µ|t ak (ξ) sh |µ|ξdξ-  ns   |µ| 0     sh |µ|t t k   ans (ξ) ch |µ|ξdξ, - µ < 0,  |µ| 0 (23) где c1s , c2s - произвольные постоянные. Удовлетворяя условию (21), будем иметь  α √  c = 0, √µc sin √µα = sin √µα  1s ak (ξ) cos µξdξ-  2s ns   0  α  √    ak (ξ) sin µξdξ, µ > 0, - cos µα ns    0  α c2s α = ak (ξ)(α - ξ)dξ, µ = 0, (24) ns  0  α    |µ|c sh |µ|α = sh |µ|α  ak (ξ) ch |µ|ξdξ- 2s  ns   0  α     - ch |µ|α ak (ξ) sh |µ|ξdξ, µ < 0. ns 0 Подставляя (22) в (17), получим ∞ k r-1/2 fn (r, t) = ak (t)Jν (µs,n r). ns (25) s=1 Разложение (25), в котором коэффициенты ak (t) определяются по форns муле 1 2 k ak (t) = ξfn (ξ, t)Jν (µs,n ξ)dξ, (26) ns [Jν+1 (µs,n )]2 0 25 А л д а ш е в С. А. k является разложением функции r-1/2 fn (r, t) в ряд Фурье-Бесселя [10]. Здесь µs,n s = 1, 2, . . . - положительные нули функций Бесселя Jν (z), расположенные в порядке возрастания их величины. Из (22), (23), (24) найдем решение задачи (14), (15): ∞ uk (r, t) = n √ rTs,n (t)Jν (µs,n r), (27) s=1 где ak (t) находится из (26). ns Следовательно, сначала решив задачу (9), (13) (n = 0), а затем (10), (13) (n = 1) и т. д., найдем последовательно все uk (r, t) из (27), k = 1, . . . , kn , n n = 0, 1, . . . . Итак, в области Dα имеет место выражение ρ(θ)(L - γ)udH = 0. (28) H Пусть f (r, θ, t) = R(r)ρ(θ)T (t), причем R(r) ∈ V0 , V0 - плотно в L2 (0, 1), ρ(θ) ∈ C ∞ (H), C ∞ (H) - плотно в L2 (H), а T (t) ∈ V1 , V1 - плотно в L2 (0, α). Тогда f (r, θ, t) ∈ ∈ V , V = V0 ⊗ H ⊗ V1 - плотно в L2 (Dα ) [11]. Отсюда и из (28) следует f (r, θ, t)(L - γ)udDα = 0 Dα и Lu = γu ∀ (r, θ, t) ∈ Dα . Таким образом, решением задачи D является функция ∞ kn ∞ k r(2-m)/2 Ts,n (t)Jn+(m-2)/2 (µs,n r)Yn,m (θ), u(r, θ, t) = (29) n=0 k=1 s=1 где Ts,n (t) определяется из (23). Из (5), (24) следует, что c2s = 0 при µ 0, а для µ > 0 c2s = 0, если выполняется условие (5). Следовательно, из (23), (27) следует, что Ts,n (t) = 0 и uk (r, t) = ak (t) = 0, s = 1, 2, . . . , k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . . n ns Далее, из (29), в свою очередь, получим u = 0 в Dα . Пусть теперь условие (5) нарушено хотя бы для одного s = l. Тогда, если решение задачи D будем искать в виде (7), то приходим к краевой задаче (14), (15). В силу (23), (24) ее решением является функция uk (r, t) n = √ √ cos µt t k √ anl (ξ) sin µξdξ- r sin µt + √ µ 0 t √ sin µt √ - √ ak (ξ) cos µξdξ Jn+(m-2)/2 µl,n r), nl µ √ 0 26 µ = γ + µ2 . l,n Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле . . . Следовательно, нетривиальные решения задачи D записываются в виде ряда ∞ kn k n-ρ r(1-m)/2 uk (r, t)Yn,m (θ). n u(r, θ, t) = (30) n=1 k=1 Учитывая формулу 2Jν (z) = Jν-1 (z) - Jν+1 (z) (см. [10], формула 7.2 (57)), оценки [8, 12] 2 π π 1 cos z - ν - + O 3/2 , ν 0; πz 2q 4 z m ∂ k c2 n 2 -1+q , |kn | c1 nm-2 , q Yn,m (θ) ∂θj c1 , c2 = const, j = 1, . . . , m - 1, q = 0, 1, . . . , Jν (z) = (31) а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (1), как в [13], можно показать, что если p > 3m/2, то функция (30) принадлежит искомому ¯ классу C 1 (Dα ) ∩ C 2 (Dα ). Разрешимость задачи D установлена. 3. Единственность решения задачи D. Сначала построим решение задачи Дирихле для уравнения (2) с условиями υ Sα ∪Γα = 0, υ S0 k k = τ (r, θ) = τn (r)Yn,m (θ), k = 1, . . . kn , n = 0, 1, . . . , (32) где τn (r) ∈ G, G - множество функций τ (r) из класса C 1 [0, 1])∩C 2 (0, 1). Мно¯k жество G плотно всюду в L2 (0, 1) [11]. Решение задачи (2), (32) будем искать в виде (7), где функции υn (r, t) будут определены ниже. Тогда, аналогично ¯k k (r, t) удовлетворяют системам уравнений (9)-(11), где ak , п. 2, функции υn ¯ ˜in k , ˜k заменены соответственно на -˜k , -ak , -˜k , а ck на dk , i = 1, . . . , m, ˜ ˜n ain bn ain bn n in k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . . Из краевого условия (13) в силу (7) получим υn (r, α) = υn (1, t) = 0, ¯k ¯k υn (r, 0) = τn (r), ¯k ¯k k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . . (33) Как ранее замечено, каждое уравнение системы (9)-(11) представимо в виде (12). Далее задача (12), (33) решается аналогично тому, как решалась задача (14), (15) из п. 2. Таким образом, в виде ряда (29) построено решение задачи (2), (32) , ¯ которая в силу оценок (31), как показано в [13], принадлежит классу C 1 (Dα )∩ 2 (D ). C α Из определения сопряженных операторов L, L∗ [14] υLu - uL∗ υ = -υP (u) + uP (υ) - uυQ, где m uxi cos(N ⊥ , xi ) - ut cos(N ⊥ , t), P (u) = i=1 27 А л д а ш е в С. А. m ai cos(N ⊥ , xi ) - b cos(N ⊥ , t), Q= i=1 N ⊥ - внутренняя нормаль к границе ∂Dα , по формуле Грина имеем (υLu - uL∗ υ) dDα = Dα υ ∂Dα ∂υ ∂u -u M + uυQ ds, ∂N ∂N (34) где ∂ = ∂N m cos(N ⊥ , xi ) i=1 m ∂ ∂ - cos(N ⊥ , t) , ∂xi ∂t cos2 (N ⊥ , xi ) + cos2 (N ⊥ , t). M2 = i=1 Из (34), принимая во внимание граничные условия (3) и условия (32), получим τ (r, θ)ut (r, θ, 0)ds = 0. (35) S0 k Поскольку линейная оболочка системы функций {¯n (r)Yn,m (θ)} плотна в τk L2 (S0 ) [11], из (35) заключаем, что ut (r, θ, 0) = 0 ∀ (r, θ) ∈ S0 . Следовательно, в силу единственности решения задачи Коши u(x, 0) = = ut (x, 0) = 0 для уравнения (1) [14] будем иметь u(x, t) = 0 ∀ (x, t) ∈ Dα . Таким образом, единственность решения задачи D показана. Теорема доказана полностью. В заключение отметим, что при γ = 0 теорема согласуется с результатами работ [13, 15]

About the authors

Serik A Aldashev

Kazakh National Pedagogical University

Email: aldash51@mail.ru
114, prosp. Dostyk, Almaty, 480100, Kazakhstan
(Dr. Phys. & Math. Sci.; aldash51@mail.ru), Head of Dept., Dept. of Fundamental and Applied Mathematics

References

  1. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: МГУ, 1988. 150 с.
  2. Кальменов Т. Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. Шымкент: Гылым, 1993. 328 с.
  3. Хе К. Ч. О собственных функциях однородных краевых задач для эллиптического уравнения с операторами Бесселя / Неклассич. уравнения матем. физ. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2000. 128-135 с.
  4. Сабитов К. Б., Ильясов Р. Р. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений // Изв. вузов. Матем., 2001. № 5. С. 59-63.
  5. Алдашев С. А. Спектральные задачи Дарбу-Проттера для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Укр. мат. ж., 2003. Т. 55, № 1. С. 100-107.
  6. Алдашев С. А. Критерий существования собственных функций спектральной задачи Дарбу-Проттера для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений // Диффер. уравн., 2005. Т. 41, № 6. С. 795-801.
  7. Алдашев С. А. Критерий существования собственных функций спектральных задач Дарбу-Проттера для многомерного уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона // Изв. вузов. Матем., 2006. № 2. С. 3-10.
  8. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.
  9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с.
  10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966. 296 с.
  11. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
  12. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.
  13. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2011. Т. 13, № 1. С. 21-29.
  14. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4, Ч. 2. М.: Наука, 1981. 550 с.
  15. Aldashev S. A. The Well-Posedness of the Dirichlet Problem in the Cylindric Domain for the Multidimensional Wave Equation // Mathematical Problems in Engineering, 2010. vol. 2010, 653215. 7 pp. doi: 10.1155/2010/653215.

Statistics

Views

Abstract - 16

PDF (Russian) - 3

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies