A criterion for the unique solvability of the Dirichlet spectral problem in a cylindrical domain for multidimensional hyperbolic equations with wave operator

Full Text

Двумерные спектральные задачи для гиперболических уравнений интенсивно изучаются (см., например работы [1-4]), а их многомерные аналоги [5-7], насколько известно автору, исследованы мало. Это связано с тем, что в случае трёх и более независимых переменных возникают трудности принципиального характера, так как весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных уравнений, применяемый для двумерных задач, здесь не может быть использован из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. Теория многомерных сферических функций, напротив, достаточно полно изучена. Эти функции имеют важные приложения в математической физике, в теоретической физике и в теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. Автор предлагает при решении спектральных задач Дирихле для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором использовать разложения по сферическим функциям. 1. Постановка задачи. Пусть Dα - цилиндрическая область евклидова пространства Em+1 точек (x1 , . . . , xm , t), ограниченная цилиндром Γ = {(x, t) : |x| = 1} © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: А л д а ш е в С. А. Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 21-30. doi: 10.14498/vsgtu1300. 21 А л д а ш е в С. А. и плоскостями t = α > 0, t = 0; здесь |x| - длина вектора x = (x1 , . . . , xm ). Части этих поверхностей, образующих границу ∂Dα области Dα , обозначим через Γα , Sα , S0 соответственно. В области Dα рассмотрим взаимно сопряженные многомерные гиперболические уравнения со спектральным действительным параметром γ: m Lu ≡ ∆x u - utt + ai (x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = γu, (1) ai (x, t)υxi - b(x, t)υt - d(x, t)υ = γυ, (2) i=1 m L∗ υ ≡ ∆x υ - υtt - i=1 где u = u(x, t); υ = υ(x, t); ∆x - оператор Лапласа по переменным x1 , . . . , xm ; m 2, d(x, t) = c - m ai (x, t)xi - bt . i=1 В качестве многомерной спектральной задачи Дирихле рассмотрим следующую задачу. ¯ Задача D. Найти решение уравнения (1) в области Dα из класса C 1 (Ωα )∩ 2 (D ), удовлетворяющее краевым условиям C α u Sα = 0, u Γα = 0, u S0 = 0. (3) В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1 , . . . , xm , t к сферическим r, θ1 , . . . , θm-1 , t; r 0, 0 θ1 < 2π, 0 θi π, i = 2, 3, . . . , m-1, θ = (θ1 , . . . , θm-1 ). k Пусть {Yn,m (θ)} - система линейно независимых сферических функций l порядка n; 1 k kn ; (m - 2)!n!kn = (n + m - 2)!(2n + m - 2); W2 (S0 ), l = 0, 1, . . . - пространства Соболева. Имеет место следующая лемма [8]. l Лемма 1. Пусть f (r, θ) ∈ W2 (S0 ). Если l ∞ m - 1, то ряд kn k k fn (r)Yn,m (θ), f (r, θ) = (4) n=0 k=1 а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p сходятся абсолютно и равномерно. l-m+1, l Лемма 2. Для того чтобы f (r, θ) ∈ W2 (S0 ), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам ∞ 1 |f0 (r)| kn k n2l |fn (r)|2 c1 , c2 , c1 , c2 = const. n=1 k=1 Через ak (r, t), ak (r, t), bk (r, t), dk (r, t), ρk , обозначим коэффициенты разn n n in in ложения ряда (4) соответственно функций ai (r, θ, t)ρ(θ), ai (r, θ, t)ρ(θ)xi /r, b(r, θ, t)ρ(θ), c(r, θ, t)ρ(θ), d(r, θ, t)ρ(θ), ρ(θ), i = 1, . . . , m, причем ρ(θ) ∈ C ∞ (H), H - единичная сфера в Em . l ¯ Пусть ai (x, t), b(x, t), c(x, t) ∈ W2 (Dα ) ⊂ C(Dα ), l m + 1, i = 1, . . . , m. Тогда справедлива следующая теорема. 22 Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле . . . Теорема. 1) Если γ -µ2 , то задача D имеет только нулевое решение. s,n 2) При γ > -µ2 задача D имеет только тривиальное решение тогда и s,n только тогда, когда γ + µ2 = 0, s,n sin α s = 1, 2, . . . , (5) где µs,n - положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+(m-2)/2 (z). 2. Разрешимость задачи D. В сферических координатах уравнение (1) имеет вид Lu ≡ urr + 1 m-1 ur - 2 δu - utt + r r m + ai (r, θ, t)uxi + b(r, θ, t)ut + c(r, θ, t)u = γu, (6) i=1 где m-1 δ≡- 1 m-j-1 j=1 g1 = 1, gj sin ∂ ∂ sinm-j-1 , ∂θj ∂θj θj gj = (sin θ1 · · · sin θj-1 )2 , j > 1. Известно [8], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = = n(n + m - 2), n = 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонорk мированных собственных функций Yn,m (θ). Искомое решение задачи D будем искать в виде ∞ kn k uk (r, t)Yn,m (θ), ¯n u(r, θ, t) = (7) n=0 k=1 где uk (r, t) - функции, подлежащие определению. ¯n Подставив (7) в (6), умножив полученное выражение на ρ(θ) = 0 и проинтегрировав по единичной сфере H, для uk получим [5, 6] n ρ1 u1 - ρ1 u1 + 0 ¯0rr 0 ¯0tt ∞ m-1 1 ρ0 + r m a1 u1 + ˜1 u1 + c1 u1 - γρ1 u1 + b0 ¯0t ˜0 ¯0 i0 ¯0r 0 ¯0 i=1 kn m-1 k ρn + r ρk uk - ρk uk + n ¯nrr n ¯ntt + n=1 k=1 + ck - ˜n ρk λn n r2 m ak uk + ˜k uk + bn ¯nt in ¯nr i=1 m (˜k ain-1 - nak ) uk - γρk uk n ¯n n ¯n + = 0. (8) i=1 Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений ρ1 u1 - ρ1 u1 + 0 ¯0rr 0 ¯0tt (m - 1) 1 1 ρ0 u0r = γρ1 u1 ; ¯ 0 ¯0 r (9) 23 А л д а ш е в С. А. (m - 1) k k λ1 ¯ ρ1 u1r - 2 ρk uk = ¯ r r 1 1 m 1 = γρ1 uk - ¯1 a1 u1 + ˜1 u1 + c1 u1 , b0 ¯0t ˜0 ¯0 1 i0 ¯0r k1 ρk uk - ρk uk + 1 ¯1rr 1 ¯1tt n = 1; k = 1, . . . k1 ; (10) i=1 ρk uk - ρk uk + n ¯nrr n ¯ntt = m-1 k k λn ρn unr - 2 ρk uk = ¯ ¯ r r n n γρk uk n ¯n 1 - kn kn-1 m ˜k ¯k ak uk in-1 ¯n-1r + bn-1 un-1t + k=1 i=1 m + ck + ˜n-1 (˜k ain-2 - (n - 1)ak ) uk n-1 ¯n-1 , k = 1, . . . , kn ; n = 2, 3, . . . . i=1 (11) Суммируя уравнения (10) от 1 до k1 , а уравнения (11) от 1 до kn , а затем сложив полученное выражение вместе с (9), приходим к уравнению (8). Отсюда следует, что если uk , k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . - решение си¯n стемы (9)-(11), то оно является и решением уравнения (8). Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (9)-(11) можно представить в виде uk - uk + ¯nrr ¯ntt λn m-1 k unr - 2 uk = γ uk + fn (r, t), ¯ ¯ ¯n ¯k r r n (12) ¯k где fn (r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом ¯1 (r, t) ≡ 0. f0 Далее, из краевого условия (13) в силу (7) будем иметь uk (r, α) = 0, ¯n uk (1, t) = 0, ¯n uk (r, 0) = 0, ¯n k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . . (13) Произведя замену uk (r, t) = r(1-m)/2 uk (r, t) в (12), (13), получим ¯n n ¯ λn k k u = γuk + fn (r, t), (14) n r2 n uk (r, α) = 0, uk (1, t) = 0, uk (r, 0) = 0, k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . ,(15) n n n (m-1) [(m - 1)(3 - m) - 4λn ] k ¯ ¯k λn = , fn (r, t) = r 2 fn (r, t). 4 Luk ≡ uk - uk + n nrr ntt Решение задачи (14), (15) будем искать в виде ∞ uk (r, t) = n Rs (r)Ts (t), (16) ak (t)Rs (r). ns (17) s=1 при этом пусть ∞ k fn (r, t) = s=1 24 Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле . . . Подставляя (16) в (14), (15), с учетом (17) получим Rsrr + ¯ λn Rs + (µ - γ)Rs = 0, 0 < r < 1, r2 Rs (1) = 0, |Rs (0)| < ∞, -ak (t), ns Tstt + µTs (t) = 0 < t < α, Ts (α) = Ts (0) = 0. Ограниченным решением задачи (18), (19) является (см. [9]) √ Rs (r) = rJν (µs,n r), 0 < r < 1, (18) (19) (20) (21) (22) где ν = n + (m - 2)/2, µ = γ + µ2 . s,n Общее решение уравнения (20) представимо в виде [9] √  t √  c cos √µt + c sin √µt + cos µt  ak (ξ) sin µξdξ- √ 2s  1s ns  µ  0  √   sin µt t k √   - √ ans (ξ) cos µξdξ, µ > 0,    µ 0   t  c1s + c2s t - ak (ξ)(t - ξ)dξ, µ = 0, Ts,n (t) = ns  0   t    c1s ch |µ|t + c2s sh |µ|t + ch |µ|t ak (ξ) sh |µ|ξdξ-  ns   |µ| 0     sh |µ|t t k   ans (ξ) ch |µ|ξdξ, - µ < 0,  |µ| 0 (23) где c1s , c2s - произвольные постоянные. Удовлетворяя условию (21), будем иметь  α √  c = 0, √µc sin √µα = sin √µα  1s ak (ξ) cos µξdξ-  2s ns   0  α  √    ak (ξ) sin µξdξ, µ > 0, - cos µα ns    0  α c2s α = ak (ξ)(α - ξ)dξ, µ = 0, (24) ns  0  α    |µ|c sh |µ|α = sh |µ|α  ak (ξ) ch |µ|ξdξ- 2s  ns   0  α     - ch |µ|α ak (ξ) sh |µ|ξdξ, µ < 0. ns 0 Подставляя (22) в (17), получим ∞ k r-1/2 fn (r, t) = ak (t)Jν (µs,n r). ns (25) s=1 Разложение (25), в котором коэффициенты ak (t) определяются по форns муле 1 2 k ak (t) = ξfn (ξ, t)Jν (µs,n ξ)dξ, (26) ns [Jν+1 (µs,n )]2 0 25 А л д а ш е в С. А. k является разложением функции r-1/2 fn (r, t) в ряд Фурье-Бесселя [10]. Здесь µs,n s = 1, 2, . . . - положительные нули функций Бесселя Jν (z), расположенные в порядке возрастания их величины. Из (22), (23), (24) найдем решение задачи (14), (15): ∞ uk (r, t) = n √ rTs,n (t)Jν (µs,n r), (27) s=1 где ak (t) находится из (26). ns Следовательно, сначала решив задачу (9), (13) (n = 0), а затем (10), (13) (n = 1) и т. д., найдем последовательно все uk (r, t) из (27), k = 1, . . . , kn , n n = 0, 1, . . . . Итак, в области Dα имеет место выражение ρ(θ)(L - γ)udH = 0. (28) H Пусть f (r, θ, t) = R(r)ρ(θ)T (t), причем R(r) ∈ V0 , V0 - плотно в L2 (0, 1), ρ(θ) ∈ C ∞ (H), C ∞ (H) - плотно в L2 (H), а T (t) ∈ V1 , V1 - плотно в L2 (0, α). Тогда f (r, θ, t) ∈ ∈ V , V = V0 ⊗ H ⊗ V1 - плотно в L2 (Dα ) [11]. Отсюда и из (28) следует f (r, θ, t)(L - γ)udDα = 0 Dα и Lu = γu ∀ (r, θ, t) ∈ Dα . Таким образом, решением задачи D является функция ∞ kn ∞ k r(2-m)/2 Ts,n (t)Jn+(m-2)/2 (µs,n r)Yn,m (θ), u(r, θ, t) = (29) n=0 k=1 s=1 где Ts,n (t) определяется из (23). Из (5), (24) следует, что c2s = 0 при µ 0, а для µ > 0 c2s = 0, если выполняется условие (5). Следовательно, из (23), (27) следует, что Ts,n (t) = 0 и uk (r, t) = ak (t) = 0, s = 1, 2, . . . , k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . . n ns Далее, из (29), в свою очередь, получим u = 0 в Dα . Пусть теперь условие (5) нарушено хотя бы для одного s = l. Тогда, если решение задачи D будем искать в виде (7), то приходим к краевой задаче (14), (15). В силу (23), (24) ее решением является функция uk (r, t) n = √ √ cos µt t k √ anl (ξ) sin µξdξ- r sin µt + √ µ 0 t √ sin µt √ - √ ak (ξ) cos µξdξ Jn+(m-2)/2 µl,n r), nl µ √ 0 26 µ = γ + µ2 . l,n Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле . . . Следовательно, нетривиальные решения задачи D записываются в виде ряда ∞ kn k n-ρ r(1-m)/2 uk (r, t)Yn,m (θ). n u(r, θ, t) = (30) n=1 k=1 Учитывая формулу 2Jν (z) = Jν-1 (z) - Jν+1 (z) (см. [10], формула 7.2 (57)), оценки [8, 12] 2 π π 1 cos z - ν - + O 3/2 , ν 0; πz 2q 4 z m ∂ k c2 n 2 -1+q , |kn | c1 nm-2 , q Yn,m (θ) ∂θj c1 , c2 = const, j = 1, . . . , m - 1, q = 0, 1, . . . , Jν (z) = (31) а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (1), как в [13], можно показать, что если p > 3m/2, то функция (30) принадлежит искомому ¯ классу C 1 (Dα ) ∩ C 2 (Dα ). Разрешимость задачи D установлена. 3. Единственность решения задачи D. Сначала построим решение задачи Дирихле для уравнения (2) с условиями υ Sα ∪Γα = 0, υ S0 k k = τ (r, θ) = τn (r)Yn,m (θ), k = 1, . . . kn , n = 0, 1, . . . , (32) где τn (r) ∈ G, G - множество функций τ (r) из класса C 1 [0, 1])∩C 2 (0, 1). Мно¯k жество G плотно всюду в L2 (0, 1) [11]. Решение задачи (2), (32) будем искать в виде (7), где функции υn (r, t) будут определены ниже. Тогда, аналогично ¯k k (r, t) удовлетворяют системам уравнений (9)-(11), где ak , п. 2, функции υn ¯ ˜in k , ˜k заменены соответственно на -˜k , -ak , -˜k , а ck на dk , i = 1, . . . , m, ˜ ˜n ain bn ain bn n in k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . . Из краевого условия (13) в силу (7) получим υn (r, α) = υn (1, t) = 0, ¯k ¯k υn (r, 0) = τn (r), ¯k ¯k k = 1, . . . , kn , n = 0, 1, . . . . (33) Как ранее замечено, каждое уравнение системы (9)-(11) представимо в виде (12). Далее задача (12), (33) решается аналогично тому, как решалась задача (14), (15) из п. 2. Таким образом, в виде ряда (29) построено решение задачи (2), (32) , ¯ которая в силу оценок (31), как показано в [13], принадлежит классу C 1 (Dα )∩ 2 (D ). C α Из определения сопряженных операторов L, L∗ [14] υLu - uL∗ υ = -υP (u) + uP (υ) - uυQ, где m uxi cos(N ⊥ , xi ) - ut cos(N ⊥ , t), P (u) = i=1 27 А л д а ш е в С. А. m ai cos(N ⊥ , xi ) - b cos(N ⊥ , t), Q= i=1 N ⊥ - внутренняя нормаль к границе ∂Dα , по формуле Грина имеем (υLu - uL∗ υ) dDα = Dα υ ∂Dα ∂υ ∂u -u M + uυQ ds, ∂N ∂N (34) где ∂ = ∂N m cos(N ⊥ , xi ) i=1 m ∂ ∂ - cos(N ⊥ , t) , ∂xi ∂t cos2 (N ⊥ , xi ) + cos2 (N ⊥ , t). M2 = i=1 Из (34), принимая во внимание граничные условия (3) и условия (32), получим τ (r, θ)ut (r, θ, 0)ds = 0. (35) S0 k Поскольку линейная оболочка системы функций {¯n (r)Yn,m (θ)} плотна в τk L2 (S0 ) [11], из (35) заключаем, что ut (r, θ, 0) = 0 ∀ (r, θ) ∈ S0 . Следовательно, в силу единственности решения задачи Коши u(x, 0) = = ut (x, 0) = 0 для уравнения (1) [14] будем иметь u(x, t) = 0 ∀ (x, t) ∈ Dα . Таким образом, единственность решения задачи D показана. Теорема доказана полностью. В заключение отметим, что при γ = 0 теорема согласуется с результатами работ [13, 15]

About the authors

Serik A Aldashev

Kazakh National Pedagogical University

Email: aldash51@mail.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; aldash51@mail.ru), Head of Dept., Dept. of Fundamental and Applied Mathematics 114, prosp. Dostyk, Almaty, 480100, Kazakhstan

References

Supplementary files