On the determination of the unknown coefficients of the highest derivatives in a linear elliptic equation

Abstract


Inverse problems on restoration of coefficients to the differential equations with partial derivatives are of interest in many applied researches. These problems lead to necessity of the approached decision of inverse problems for the equations of mathematical physics which are incorrect in classical sense. In the article the existence, uniqueness and stability of the solution of the given inversion problem for the elliptic equation are proved.

Full Text

Введение. Обратные задачи по определению коэффициентов дифференциальных уравнений с частными производными представляют интерес во многих прикладных исследованиях [1, 2]. Эти задачи приводят к необходимости приближенного решения обратных задач математической физики, которые некорректны в классическом смысле. К ним относятся задачи идентификации неизвестных плотностей источников и коэффициентов уравнения. Большое значение имеют коэффициентные задачи для эллиптических уравнений, в которых неизвестные коэффициенты не зависят от одной переменной. Такие модели характерны для задач теории фильтрации. В частности, определение теплофизических характеристик сред в стационарном случае приводит к обратным задачам для эллиптических уравнений [3-9]. Отметим также цикл работ [10-22], посвященный теоретическому и численному исследованию обратных задач для линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа. Исследование таких задач вызвано как теоретическим интересом, так и практической необходимостью. Целью данной работы является доказательство единственности и существования решений обратной краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка с дополнительным условием. © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: А л и е в Р. А. Об определении неизвестных коэффициентов при старших производных в линейном эллиптическом уравнении // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 31-43. doi: 10.14498/vsgtu1332. 31 А л и е в Р. А. 1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу определения функций {a1 (x2 ), a2 (x2 ), u(x1 , x2 )} из следующих условий: -a1 (x2 )ux1 x1 - a2 (x2 )ux2 x2 + c(x2 )u = h(x1 , x2 ), u(0, x2 ) = φ1 (x2 ), u(l1 , x2 ) = φ2 (x2 ), 0 u(x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), u(x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 a1 (x2 )ux1 (0, x2 ) = g1 (x2 ), 0 x2 a2 (x2 )ux1 (l1 , x2 ) = g2 (x2 ), 0 x1 (x1 , x2 ) ∈ D; x2 l2 ; x1 l 1 ; l2 ; l2 , (1) (2) (3) (4) (5) причём ϕ1 (0) = φ1 (0), ϕ2 (l1 ) = φ2 (l2 ), ϕ1 (l1 ) = φ2 (0), ϕ2 (0) = φ1 (l2 ). Здесь D = {(x1 , x2 ) | 0 < x1 < l1 , 0 < x2 < l2 }; c(x2 ) ∈ C α [0, l2 ], h(x1 , x2 ), hx1 x1 (x1 , x2 ) ∈ C α (D), gi (x2 ) ∈ C α [0, l2 ], φi (x2 ) ∈ C 2+α (0, l2 ) ∩ C[0, l2 ], ϕi (x1 ) ∈ C 2+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ] - заданные функции; i = 1, 2; 0 < α < 1. Определение 1. Функции {a1 (x2 ), a2 (x2 ), u(x1 , x2 )} назовём решением за¯ дачи (1)-(5), если u(x1 , x2 ) ∈ C 2 (D) ∩ C(D), 0 < ai (x2 ) ∈ C[0, l2 ], i = 1, 2, и удовлетворяются соотношения (1)-(5). Нетрудно проверить, что если решение задачи (1)-(5) существует, то при принятых предположениях о гладкости данных в задаче ai (x2 ) ∈ C α [0, l2 ], i = 1, 2, u(x1 , x2 ) ∈ C 2+α (D). Действительно, при принятых предположениях 2 из общей теории эллиптических уравнений следует, что u(x1 , x2 ) ∈ Wp (D) ⊂ 1+α (D) при p > 2 [23, c. 283]. Поэтому из дополнительных условий (4) и (5) ¯ C следует, что ai (x2 ) ∈ C α [0, l2 ], i = 1, 2. Поэтому u(x1 , x2 ) ∈ C 2+α (D). 2. Единственность и устойчивость решения. Пусть кроме задачи (1)-(5) задана еще задача (¯ ¯ где все функции, входящие в (1)-(5), заменены 1)-(5), соответствующими функциями с чертой. Положим Z(x1 , x2 ) = u(x1 , x2 ) - u(x1 , x2 ), ¯ λi (x2 ) = ai (x2 ) - ai (x2 ), ¯ ¯ δ1 (x2 ) = c(x2 ) - c(x2 ), δ2 (x1 , x2 ) = h(x1 , x2 ) - h(x1 , x2 ), ¯ ¯ δi+2 (x2 ) = φi (x2 ) - φi (x2 ), δi+4 (x1 ) = ϕi (x1 ) - ϕi (x1 ), ¯ δi+6 (x2 ) = gi (x2 ) - gi (x2 ), ¯ i = 1, 2. ˜ Через δ2 (x1 , x2 ) обозначим функцию на границе, совпадающую соответ¯ ственно с δi+2 (x2 ), δi+4 (x1 ), i = 1, 2, и принадлежащую C 2+α (D). Лемма 1. Пусть решения задачи (1)-(5) существуют. Тогда верны следующие оценки: |u(x1 , x2 )| |ux1 x1 (x1 , x2 )| max max D h(x1 , x2 ) , max max |ϕi (x1 )|, max max |φi (x2 )| , x1 x2 i i c(x2 ) max max D hx1 x1 (x1 , x2 ) , max max |ϕix1 x1 (x1 )|, x1 i c(x2 ) max |θ10 (0, x2 )|, max |θ20 (l1 , x2 )| , x2 32 x2 Об определении неизвестных коэффициентов . . . |ux2 x2 (x1 , x2 )| max max D 1 |a1 (x2 )ux1 x1 + c1 (x2 )u(x1 , x2 ) - h(x1 , x2 )|, a2 (x2 ) max max |φix1 x1 |, max |θ11 (x1 ,0)|, max |θ21 (x1 , l2 )| ; i x1 x1 x1 здесь θik (x1 , x2 ) = 1 (1 - k) -a2 (x2 )φix2 x2 (x2 ) + c(x2 )φi (x2 ) + ak+1 (x2 ) + k -a1 (x2 )ϕix1 x1 (x1 ) + c(x2 )ϕi (x1 ) - h(x1 , x2 ) , i = 1, 2, k = 0, 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое неравенство получается из принципа максимума. Уравнение (1) продифференцируем дважды по x1 , учитывая условия (3) и обозначая υ(x1 , x2 ) = ux1 x1 , получим -a1 (x2 )υx1 x1 - a2 (x2 )υx2 x2 + c(x2 )u = hx1 x1 (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ D; υ(0, x2 ) = θ10 (0, x2 ), υ(l1 , x2 ) = θ20 (l1 , x2 ), 0 x2 l2 ; υ(x1 ,0) = ϕ1x1 x1 (x1 ), u(x1 , l2 ) = ϕ2x1 x1 (x1 ), 0 x1 l1 . Используя принцип максимума, получим вторую оценку. Последнее неравенство получается из уравнения. Лемма 1 доказана. Единственность решения обратной задачи (1)-(5) в предположении его существования устанавливает следующая теорема. Теорема 1. Пусть g1 (x2 ) = 0, g2 (x2 ) = 0, N mes D < 1. Тогда решение задачи (1)-(5) единственно и верна следующая оценка: 2 ai (x2 ) - ai (x2 ) ¯ C[0,l2 ] + u-u ¯ C(D) N1 c(x2 ) - c(x2 ) ¯ C[0,l2 ] + i=1 2 ¯ + h(x1 , x2 ) - h(x1 , x2 ) C(D) ¯ φi (x2 ) - φi (x2 ) + C 2 [0,l2 ] + i=1 2 + ϕi (x1 ) - ϕi (x1 ) ¯ C 2 [0,l1 ] gi (x2 ) - gi (x2 ) ¯ + C[0,l2 ] , (6) i=1 где N, N1 - положительные постоянные, зависящие от данных и решения задачи. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (¯ ¯ соответственно вычтем (1)-(5) и поло1)-(5) ˜2 (x1 , x2 ). Тогда получим жим Z1 (x1 , x2 ) = Z(x1 , x2 ) - δ - a1 (x2 )Z1x1 x1 - a2 (x2 )Z1x2 x2 = ¯ ¯ 2 ˜ = δ9 (x1 , x2 ) - c(x2 )δ2 (x1 , x2 ) - c(x2 )Z1 + ¯ ¯ αi (x1 , x2 )λi (x2 ); (7) i=1 33 А л и е в Р. А. Z1 (0, x2 ) = 0, Z1 (l1 , x2 ) = 0; Z1 (x1 ,0) = 0, Z1 (x1 , l2 ) = 0; λi (x2 ) = δi+9 (x2 ) + γi (x2 )Z1x1 [(i - 1)l1 , x2 ], i = 1, 2. (8) (9) (10) Здесь 2 ˜ ai (x2 )δ2xi xi (x1 , x2 ), ¯ δ9 (x1 , x2 ) = -δ1 (x2 )u + δ2 (x1 , x2 ) + αi (x1 , x2 ) = uxi xi , i=1 γi (x2 ) = ai (x2 ){-ux1 [(i - 1)l1 , x2 ]}-1 , ¯ ˜ δi+9 (x2 ) = γi (x2 ) [-¯i (x2 )]-1 δi+6 (x2 ) + δ2x1 [(i - 1)l1 , x2 ] , a i = 1, 2. Обозначим Lik (xj ) = k(j-1) (2 xj i - i)lj - (-1)i+1 (1/2)k(j-1) xj , lj (3-2i)(j-1) (i-1)(j-1) xj , Xj = xj+(-1)j+1 , k k)δ6-k [(i - 1)l1 ] + [(-1) (1 - j) + 1 - k]δ(i+2)x2 (kl2 ), Pi (xj ) = (-1)(j+1)i lj tijk = (1 - j + i, j = 1, 2, k = 0, 1. ˜ Функция δ2 (x1 , x2 ) определяется следующим образом: 2 2 ˜ δ2 (x1 , x2 ) = Li0 (xj ) δi+2j (Xj ) + (1 - j)Li0 (x1 )δi+2j (0) + i=1 j=1 + (-1)i+1 x1 x1 x2 δ4 [(i - 1)l2 ] - δ4 (0). l1 l2 l1 При помощи функции Грина [24] из (7)-(9) определим функцию Z1 (x1 , x2 ) через правую часть равенства и это выражение подставим в условие (10). Тогда получим ˜ Z(x1 , x2 ) = δ2 (x1 , x2 ) + G(x1 , x2 , ξ1 , ξ2 ) δ9 (ξ1 , ξ2 ) - c(ξ2 )Z(ξ1 , ξ2 )+ ¯ D 2 + αi (ξ1 , ξ2 )λi (ξ2 ) dξ1 dξ2 , i=1 (11) Gx1 [(i - 1)l1 , x2 , ξ1 , ξ2 ] δ9 (ξ1 , ξ2 )- λi (x2 ) = δi+9 (x2 ) + γi (x2 ) D 2 -¯(ξ2 )Z(ξ1 , ξ2 ) + c αi (ξ1 , ξ2 )λi (ξ2 ) dξ1 dξ2 , i = 1, 2. i=1 Функция Грина имеет следующие оценки [24]: |G(x1 , x2 , ξ1 , ξ2 )| 34 M1 ln 1 (x1 - ξ1 )2 + (x2 - ξ2 )2 , Об определении неизвестных коэффициентов . . . M2 [(x1 - ξ1 )2 + (x2 - ξ1 )2 ]-1/2 , |Gx1 (x1 , x2 , ξ1 , ξ2 )| Mi > 0, i = 1, 2. При достаточно малой мере D для указанных интегралов в (11) существуют оценки Ni [mes D]1/2 , Ni > 0, i = 2, 3, 4. Теперь в системе (11) положим 2 χ = max |Z(x1 , x2 )| + x1 ,x2 max |λi (x2 )|. i=1 x2 Из системы (11) получим χ δ1 (x2 ) N5 C[0,l2 ] + δ1 (x1 , x2 ) C(D) ˜ + δ2 (x1 , x2 ) ¯ + C 2 (D) 3 + δi+6 (x2 ) + χN6 [mes D]1/2 , C[0,l2 ] i=1 2 где N5 , N6 - некоторые положительные числа. Обозначим N = N6 . По усло1/2 < 1. Отсюда получим, что вию теоремы N mes D < 1, поэтому N6 [mesD] ¯ при (x1 , x2 ) ∈ D верна оценка устойчивости (6). Единственность решения задачи следует из оценки (6). Теорема 1 доказана. 3. Метод последовательных приближений. Метод последовательных приближений для решения задачи (1)-(5) применяется по следующей схеме: (s) (s) -a1 (x2 )u(s+1) - a2 (x2 )u(s+1) + c(x2 )u(s+1) =h(x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ D; (12) x1 x1 x2 x2 u(s+1) (0, x2 ) = φ1 (x2 ), (s+1) u (x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), (s+1) a1 (s+1) a2 u(s+1) (l1 , x2 ) = φ2 (x2 ), (s+1) u (x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 x2 l2 ; (13) 0 x1 l1 ; (14) (x2 )u(s+1) (0, x2 ) = g1 (x2 ), x1 0 x2 l2 ; (15) (x2 )u(s+1) (l1 , x2 ) = g2 (x2 ), x1 0 x2 l2 . (16) По схеме (12)-(16) последовательные итерации проводятся следующим (0) образом. Сперва выбираются некоторые ai (x2 ) > 0, i = 1, 2, принадлежащие C α [0, l2 ], и подставляются в уравнение (12). Далее решается задача (12)-(14) (1) (1) и находится u1 (x1 , x2 ). По функциям ux1 (0, x2 ), ux1 (l1 , x2 ) из условий (15)- (1) (1) (16) находятся a1 (x2 ), a2 (x2 ) и эти функции используются для проведения следующего шага итерации. Теорема 2. Пусть решение задачи (1)-(5) существует и при всех s = 0, 1 (s) (s) и т.д. u(s) (x1 , x2 ) ∈ C 2 (D), ai (x2 ) ∈ C α [0, l2 ], i = 1, 2, g1 (x2 )ux1 (0, x2 ) > 0, (s) g2 (x2 )ux1 (l1 , x2 ) > 0, N mes D < 1, а производные u(s) (x1 , x2 ) по x1 , x2 до (s) (s) второго порядка равномерно ограничены. Тогда функции {a1 (x2 ), a2 (x2 ), u(s) (x1 , x2 )}, полученные методом последовательных приближений (12)-(16), при s → +∞ равномерно сходятся к решению задачи (1)-(5) со скоростью геометрической прогрессии. N - положительная постоянная, зависящая от данных задачи. 35 А л и е в Р. А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим (s) (s) Z (s) (x1 , x2 ) = u(x1 , x2 ) - u(s) (x1 , x2 ), λi (x2 ) = ai (x2 ) - ai (x2 ), i = 1, 2. Легко проверить, что эти функции удовлетворяют системе 2 (s) (s+1) (s+1) -a1 (x2 )Zx1 x1 - a2 (x2 )Zx2 x2 + c(x2 )Z (s+1) = (s) αi (x1 , x2 )λi (x2 ); (17) i=1 Z (s+1) (0, x2 ) = 0, (s+1) (s) (18) Z (s+1) (x1 ,0) = 0, λi Z (s+1) (l1 , x2 ) = 0, Z (s+1) (x1 , l2 ) = 0, (19) (s) (s+1) (x2 ) = γi (x2 )Zx1 [(i - 1)l1 , x2 ], (s+1) (s) i = 1, 2, (20) (s+1) где αi0 (x1 , x2 ) = uxi xi , γi (x2 ) = ai (x2 ){-ux1 [(i - 1)l1 , x2 ]}-1 , i = 1, 2. С помощью функции Грина из (17)-(19) определим Z (s+1) (x1 , x2 ) через правую часть равенства (17) и подставим это выражение в условия (20). Тогда получим (s+1) λi (s) (x2 ) = γi (x2 ) Gx1 (i - 1)l1 , x2 , ξ1 , ξ2 × D 2 (s) × (s) αi (ξ1 , ξ2 )λi (ξ2 )dξ1 dξ2 , i = 1, 2. (21) i=1 Положим 2 (s) χ (s) max λi (x2 ) . = i=1 x2 Аналогично из системы (21) следует, что χ(s+1) χ(s) N6 [mes D]1/2 . Таким образом, теорема 2 доказана. 4. Существование решения. Пусть m(x2 ) ∈ C 2 [0, l2 ], m(x2 ) > 0, m (0) > 0, m (l2 ) < 0, m (x2 ) 0. Введём следующие обозначения: 3 η(x1 ) = µ-1 (x1 - l1 )2 , βi+2n = m(n) (il2 - l2 ), 2 0 -1 ξin (x1 ) = η(x1 )ϕi (l1 ) + βi+2n l1 (l1 - x1 ), pi (xi ) = (2 - i)ξ10 (x1 ) + (i - 1)ξ21 (x1 ), -1 M1 = max l1 [φ1 (x2 ) - φ2 (x2 )], x2 M = max Mk , k=2,3 Mi+1 = max[M1 , max |ϕix1 (x1 )|], x1 i, j = 1, 2, n = 0, 1. Лемма 2. Пусть задача -a1 (x2 )ux1 x1 - a2 (x2 )ux2 x2 + u = 0, (x1 , x2 ) ∈ D; u(0, x2 ) = φ1 (x2 ), u(l1 , x2 ) = φ2 (x2 ), 0 x2 l2 ; 36 Об определении неизвестных коэффициентов . . . u(x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), u(x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 x1 l1 , удовлетворяющая условиям ϕ1 (0) = φ1 (0), ϕ1 (l1 ) = φ2 (0), ϕ2 (l1 ) = φ2 (l2 ), φ1 (l2 ) = ϕ2 (0), при заданных a1 (x2 ), a2 (x2 ) µ0 > 0 имеет решение, которое принадлежит классу C 2 (D) ∩ C(D), и выполняются условия 0 < l1 < 1, µ-1 l1 < 1, 0 1 φ2 (x2 ) 2 m(x2 ) 1 -1 M - l1 m(x2 ) , 3 1 ϕi (l1 ) 2 1 -1 M - βi l1 , 3 m(x2 ) + η(0)φ2 (x2 ) φ1 (x2 ) - φ2 (x2 ) βi -1 x1 l1 βi ξi0 (x1 ) ϕi (0) - ϕi (x1 ) ϕi (x1 ) - ϕi (l1 ) φix2 x2 (x2 ) = 0, тогда M l1 , M x1 , M (l1 - x1 ), i = 1, 2, -M - φi (x2 )(2µ0 )-1 l1 ux1 (il1 - l1 , x2 ) i = 1, 2, 0 < x2 < l2 . -1 -m(x2 )l1 , (22) Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим -1 υi (x1 , x2 ) = u(x1 , x2 ) + m(x2 )l1 (x1 - il1 + l1 ) - φi (x2 ) - (i - 1)η(x1 )φi (x2 ), Vi (x1 , x2 ) = -u(x1 , x2 ) + φi (x2 ) - M (x1 - il1 + l1 )+ + (-1)i (2µ0 )-1 x1 (l1 - x1 )φi (x2 ), i = 1,2. Нетрудно проверить, что υ1 (x1 , x2 ) удовлетворяет условиям задачи -a1 (x2 )υ1x1 x1 - a2 (x2 )υ1x2 x2 + υ1 = υ1 (0, x2 ) = 0, -1 -1 = -φ1 (x2 ) + m(x2 )x1 l1 - a2 (x2 )m (x2 )x1 l1 , υ1 (l1 , x2 ) = -φ1 (x2 ) + m(x2 ) + φ2 (x2 ), -1 υ1 (x1 , 0) = ϕ1 (x1 ) - ϕ1 (0) + m(0)x1 l1 , -1 υ1 (x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ) - ϕ2 (0) + m(l2 )x1 l1 . Поэтому, по условию леммы, наибольшее положительное значение функции υ1 (x1 , x2 ) достигается при x1 = 0. Тогда υ1x1 (0, x2 ) 0, другими словами, ux1 (0, x2 ) -1 -m(x2 )l1 . (23) 37 А л и е в Р. А. Аналогично прежнему, подставляя V1 (x1 , x2 ) и учитывая условия леммы, получаем, что наибольшее положительное значение функции V1 (x1 , x2 ) достигается при x1 = 0. Поэтому V1x1 (0, x2 ) 0 или -M - φ1 (x2 )(2µ0 )-1 l1 ux1 (0, x2 ). (24) Объединяя оценки (23) и (24), получим оценку (22) при i = 1. Аналогично прежнему получим оценку (22) при i = 2. Лемма 2 доказана. Теорема 3. Пусть φi (x2 ) ∈ C 2+α (0, l2 ) ∩ C[0, l2 ], µ-1 l1 < 1, 0 0 < l1 < 1, m(x2 ) -1 x1 l1 βi ϕi (x1 ) ∈ C 2+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], c(x2 ) = 1, h(x1 , x2 ) = 0, 1 1 1 1 -1 -1 φ2 (x2 ) M - l1 m(x2 ) , βi ϕi (l1 ) M - βi l1 , 2 3 2 3 m(x2 ) + η(0)φ2 (x2 ) φ1 (x2 ) - φ2 (x2 ) M l1 , ϕi (0) - ϕi (x1 ) M x1 , gi (x2 ) < 0, g0 ϕix1 (jl1 - l1 ) < 0, ξi0 (x1 ) ϕi (x1 ) - ϕi (l1 ) M (l1 - x1 ), 1 -gi (x2 ) - φi (x2 )l1 , 2 φix2 x2 (x2 ) = 0, i, j = 1, 2; m(x2 ) - неотрицательная функция такая, что gi (x2 )[m(x2 )]-1 , i = 1, 2, ограниченны; g0 - положительное число. Тогда задача (1)-(5) имеет хотя бы одно решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно видеть, что aj (il2 - l2 ) = gj (il2 - l2 )[ϕix1 (jl1 - l1 )]-1 , i, j = 1, 2. Доказательство проводится методом последовательных приближений. Из утверждения леммы 2 следует, что -M 1 + φ1 (x2 )(2g0 )-1 l1 u(s+1) (il1 - l1 , x2 ) x1 -1 -m(x2 ) · l1 , i = 1, 2, 0 < x2 < l2 , тогда g0 M -1 (s+1) ai (x2 ) max [-gi (x2 )] · [m(x2 )]-1 · l1 , i = 1, 2, 0 < x2 < l2 . x2 (s) (s) (s) (s) Таким образом, при всех приближениях a1 (x2 ), a2 (x2 ) - строго положительные, непрерывные и равномерно ограниченные функции. Тогда из общей теории эллиптических уравнений следует, что при условиях теоремы 2 последовательность {u(s) (x1 , x2 )} равномерно ограничена по норме Wp (D) (s) (x , x )} компактна в C 1 (D). При этом из условий (15), ∀p > 2. Поэтому {u 1 2 (s) (s) (16) следует, что {a1 (x2 ), a2 (x2 )} будет компактна в C[0, l2 ]. Отсюда и из (12)-(14) вытекает компактность {u(s) (x1 , x2 )} в C 2 (D). В системе (4)-(16), переходя к пределу при s → +∞, получим, что существует пара функции 38 Об определении неизвестных коэффициентов . . . {a1 (x2 ), a2 (x2 ), u(x1 , x2 )}, удовлетворяющая условиям (1)-(5). Теорема 3 доказана. Вместо условия (3) можно выбрать одно из следующих условий: ux2 (x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), ux2 (x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 x1 l1 ; ux2 (x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), u(x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 x1 l1 ; u(x1 ,0) = ϕ1 (x1 ), ux2 (x1 , l2 ) = ϕ2 (x1 ), 0 x2 l1 . (25) (26) (27) ˜ Для таких задач δ2 (x1 , x2 ) определяются соответственно в следующем виде: 2 ˜ δ2 (x1 , x2 ) = Li1 (xj )δi+2j (Xj )+ i,j=1 +(-1)j+1 x2 x2 + j - 2 Li1 (x1 )δ(i+2)x (j - 1)l2 , 2 2l2 2 j-1 2-j Pi (xj )Li0 (xj )δi+2j (Xj ) + l2 tij0 Li0 (x1 )[Lj0 (x2 )]2 ˜ δ2 (x1 , x2 ) = i,j=1 2 (i-1)(j-1) ˜ δ2 (x1 , x2 ) = lj Li0 (xj ) 2(2-i)(j-1) , δi+2j (Xj )- i,j=1 j-1 -l2 tij1 Li0 (x1 ) Lj0 (x2 ) . Аналогично теореме 3 можно доказать следующие теоремы существования для соответствующих задач. Теорема 4. Пусть φi (x2 ) ∈ C 1+α (0, l2 ) ∩ C[0, l2 ], 0 < l1 < 1, µ-1 l1 < 1, 0 c(x2 ) = 1, ϕi (x1 ) ∈ C 2+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], h(x1 , x2 ) = 0, ϕ1 (0) 0, ϕ2 (0) 0, 1 -1 [M - l1 m(x2 )], 3 2 2 -1 -1 - βi+2 l1 (2 - i) ϕi (l1 ) - βi+2 l1 (i - 1), 3 3 η(0)φ2 (x2 ) + m(x2 ) φ1 (x2 ) - φ2 (x2 ) M1 l1 , m(x2 ) 1 φ2 (x2 ) 2 -1 x1 l1 βi+2 (2i - 3) (i - 1)ξi1 (x1 ) ϕi (2x1 - ix1 ) - ϕi (ix1 - x1 ) ϕi (x1 ) - ϕi (l1 ) 0, (2 - i)ξi1 (x1 ), 1 -gi (x2 ) - φi (x2 )l1 , φix2 x2 (x2 ) = 0, i = 1, 2; 2 m(x2 ) - неотрицательная функция такая, что gi (x2 )[m(x2 )]-1 , i = 1, 2, ограниченны; g0 - положительное число. Тогда задача (1)-(2), (4)-(5) и (25) имеет хотя бы одно решение. gi (x2 ) < 0, g0 Теорема 5. Пусть φi (x2 ) ∈ C 2+α (0, l2 ) ∩ C[0, l2 ], ϕ1 (x1 ) ∈ C 1+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], 39 А л и е в Р. А. ϕ2 (x1 ) ∈ C 2+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], c(x2 ) = 1, h(x1 , x2 ) = 0, 0 < l1 < 1, c(x2 ) = 1, ϕ1 (0) µ-1 l1 < 1, 0 0, ϕ2 (0) 0, 1 φ2 (x2 ) 2 1 -1 [M3 - l1 m(x2 )], 3 2 2 -1 -1 - βi+2 l1 (2 - i) ϕi (l1 ) - βi M3 - l1 βi (i - 1), 3 3 η(0)φ2 (x2 ) + m(x2 ) φ1 (x2 ) - φ2 (x2 ) M3 l1 , m(x2 ) -1 (-1)i β(i+2)/i x1 l1 ξi0 (x1 )(i - 1) ϕi (2x1 - ix1 ) - ϕi (ix1 - x1 ) ϕi (x1 ) - ϕi (l1 ) gi (x2 ) < 0, g0 M3 x1 (i - 1), ξi1 (x1 )(2 - i) + M3 (l1 - x1 )(i - 1), 1 -gi (x2 ) - φi (x2 )l1 , ϕ2x1 (il1 - l1 ) < 0, 2 φix2 x2 (x2 ) = 0, i = 1, 2; m(x2 ) - неотрицательная функция такая, что gi (x2 )[m(x2 )]-1 , i = 1, 2, ограниченны; g0 - положительное число. Тогда задача (1)-(2), (4)-(5) и (26) имеет хотя бы одно решение. Теорема 6. Пусть φi (x2 ) ∈ C 2+α (0, l2 ) ∩ C[0, l2 ], ϕ1 (x1 ) ∈ C 2+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], ϕ2 (x1 ) ∈ C 1+α (0, l1 ) ∩ C[0, l1 ], c(x2 ) = 1, h(x1 , x2 ) = 0, 0 -1 x1 l1 βi2 gi (x1 ) < 0, g0 2 -1 [-βi2 l1 + M2 (2 - i)], 3 M2 (l1 - x1 )(2 - i), ϕi (0) - ϕi (x1 ) η(0)φ2 (x2 ) + m(x1 ) µ-1 l1 < 1, 0 ϕi (l1 ) ϕi (x1 ) - ϕi (l1 ) pi (x1 ) 0 < l1 < 1, (2 - i)M2 x1 , φ1 (x2 ) - φ2 (x2 ) M2 l1 , 1 -gi (x2 ) - φi (x2 )l1 , ϕ1x1 (il1 - l1 ) < 0, 2 φix2 x2 (x2 ) = 0, i = 1, 2; m(x2 ) - неотрицательная функция такая, что gi (x1 )[m(x2 )]-1 , i = 1, 2, ограниченны; g0 - положительные числа. Тогда задача (1)-(2), (4)-(5) и (27) имеет хотя бы одно решение.

About the authors

Ramiz A Aliyev

Azerbaijan University of Cooperation

Email: ramizaliyev3@rambler.ru
8v, Narimanova str., Baku, AZ 1106, Azerbaijan
(Cand. Phys. & Math. Sci.; ramizaliyev3@rambler.ru), Associate Professor, Dept. of Informatics

References

  1. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.
  2. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. М.: Наука, 2009. 458 с.
  3. Искендеров А. Д. Некоторые обратные задачи об определении правых частей дифференциальных уравнений // Изв. Акад. наук Азерб. ССР, 1976. № 2. С. 58-63.
  4. Искендеров А. Д. Обратная задача об определении коэффициентов квазилинейного эллиптического уравнения // Изв. Акад. наук Азерб. ССР, 1978. № 2. С. 80-85.
  5. Искендеров А. Д. Обратная задача об определении коэффициентов эллиптического уравнения // Диффер. уравн., 1979. Т. 15. С. 858-867.
  6. Темирбулатов С. И. Обратные задачи для эллиптических уравнений. Алма-Ата: Казах. ун-т, 1975. 72 с.
  7. Клибанов М. В. Двумерная обратная задача для одного эллиптического уравнения // Диффер. уравн., 1983. Т. 19, № 6. С. 1072-1074.
  8. Клибанов М. В. Обратные задачи в целом и карлемановские оценки // Диффер. уравн., 1984. Т. 20, № 6. С. 1035-1041.
  9. Клибанов М. В. Единственность в целом обратных задач для одного класса дифференциального уравнения // Диффер. уравн., 1984. Т. 20, № 11. С. 1947-1953.
  10. Хайдаров А. Один класс обратных задач для эллиптических уравнений // Докл. Акад. наук СССР, 1984. Т. 277, № 6. С. 1335-1337.
  11. Хайдаров А. Об одной обратной задаче для эллиптических уравнений / Некоторые задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1984. С. 245-249.
  12. Вабищевич П. Н. Обратная задача восстановления правой части эллиптического уравнения и ее численные решения // Диффер. уравн., 1985. Т. 21, № 2. С. 277-284.
  13. Вабищевич П. Н. О единственности некоторых обратных задач для эллиптических уравнений // Диффер. уравн., 1988. Т. 24, № 12. С. 2125-2129.
  14. Соловьев В. В. Обратные задачи для эллиптических уравнений на плоскости. I // Диффер. уравн., 2006. Т. 42, № 8. С. 1106-1114.
  15. Соловьев В. В. Обратные задачи определения источника и коэффициента в эллиптическом уравнении в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2007. Т. 47, № 8. С. 1365-1377.
  16. Sylvester J., Uhlmann G. A Global Uniqueness Theorem for an Inverse Boundary Value Problem // Annals of Mathematics. vol. 125, no. 1. pp. 153-169. doi: 10.2307/1971291.
  17. Yang R., Ou Y. Inverse coefficient problems for nonlinear elliptic equations // ANZIAM Journal, 2008. vol. 49, no. 02. pp. 271-279. doi: 10.1017/s1446181100012839.
  18. Вахитов И. С. Обратная задача идентификации старшего коэффициента в уравнении диффузии-реакции // Дальневост. матем. журн., 2010. Т. 10, № 2. С. 93-105.
  19. Козлов В. А., Мазья В. Г., Фомин А. В. Об одном итерационном методе решения задачи Коши для эллиптических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1991. Т. 31, № 1. С. 64-74.
  20. Johansson T. An iterative procedure for solving a Cauchy problem for second order elliptic equations // Mathematische Nachrichten, 2004. vol. 272, no. 1. pp. 46-54. doi: 10.1002/mana.200310188.
  21. Алиев Р. А. Теорема единственности одной обратной задачи для квазилинейного уравнения эллиптического типа // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2012. № 5. С. 5-10.
  22. Алиев Р. А. Теорема единственности одной обратной задачи для квазилинейного уравнения эллиптического типа / Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2010. С. 13-15.
  23. Ладыженская О. Г., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
  24. Miranda C. Partial differential equations of elliptic type. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1970. xii+370 pp.

Statistics

Views

Abstract - 12

PDF (Russian) - 16

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies