Contact problem of torsion of a multilayer base with elastic connections between layers

Full Text

Введение. Проектирование дорожных и аэродромных покрытий, слоистых полов промышленных зданий, гидротехнических сооружений, плотин, деталей машин связано с решением различных задач теории упругости для многослойных оснований, в том числе и контактных. В большинстве работ, посвященных исследованию напряжённо-деформированного состояния слоистых сред, рассматривается идеальный, или скользящий, контакт между слоями. В реальных конструкциях между слоями часто присутствует некий промежуточный слой, наличие которого необходимо учитывать при расчете напряжённо-деформированного состояния инженерных объектов. В данной статье в рамках модели деформируемого слоистого тела при наличии упругой прослойки, предложенной в [1], рассматривается контактная задача кручения многослойного основания с упругими связями между слоями. Будем говорить, что между двумя соседними слоями основания существуют упругие связи, если разности перемещений точек верхней границы нижнего слоя и нижней границы верхнего слоя пропорциональны соответствующим напряжениям в точках их общей границы. Первые работы, поcвящённые контактным задачам кручения, были посвящены кручению изотропного однородного упругого полупространства [2, 3]. Существуют статьи, в которых исследовалось кручение неоднородного полупространства (трансверсально-изотропное, ортотропное, неоднородное по глубине полупространство) [4-12]. Кручению слоя посвящены работы [13, 14]. Случай кручения жёстким штампом двухслойной среды, состоящей из упругого слоя и упругого полупространства, изучен в [15]. Обзор работ до 1976 года, посвященных кручению слоистых сред, приведён в [16]. Кручение многослойного основания рассматривалось в статьях [17, 18]. Кручению упругого полупространства с многослойным покрытием периодической структуры посвящена работа [19]. В [20] рассмотрено кручение круглым штампом трансверсально-изотропного упругого полупространства с неоднородным трансверсально-изотропным покрытием. Во всех указанных выше работах предполагалось, что контакт между слоями слоистой среды полный. В [21] были предложены две упрощённые модели трёхслойных оснований с тонким средним слоем, которые можно также рассматривать как модели двухслойных оснований с неидеальной механической связью между слоями. Неидеальность математически выражалась тем, что вместо условий совпадения напряжений и перемещений на плоскости контакта слоёв ставились некоторые дифференциальные условия связи между напряжениями и перемещениями. Контактная задача кручения многослойного основания с упругими связями между слоями рассматривается впервые. 1. Постановка задачи. Под многослойным основанием будем понимать пакет упругих слоёв, лежащих на полупространстве. Контакт между слоями - упругий. Материал слоёв однородный и изотропный. Каждый слой характеризуется толщиной h и модулем сдвига µ. С основанием сцеплен штамп цилиндрической формы радиуса R с плоской подошвой. Штамп поворачивается на угол ψ относительно своей оси. Необходимо определить напряжения 67 А н т о н е н к о Н. Н., В е л и ч к о И. Г. и перемещения в слоях основания. Нумерацию слоёв будем проводить сверху вниз, начиная с единицы. Все величины, которые относятся к k-тому слою, будем обозначать нижним индексом k. В каждом слое введём локальную цилиндрическую систему координат с осями Ozk , которые лежат на одной прямой и направлены вглубь слоёв (рис. 1). Граничные условия на верхней границе основания: uϕ1 (ρ, 0) = ρψ, τϕ1 (ρ, 0) = 0, ρ < R, ρ > R. (1) Условия сопряжения слоёв: uϕk+1 (ρ, 0) = uϕk (ρ, hk ) + mk τϕzk (ρ, hk ), τϕzk+1 (ρ, 0) = τϕzk (ρ, hk ), где mk 0 - коэффициенты упругих связей. Отметим, что если mk = 0, то мы получим условия сопряжения слоёв для основания с идеальным контактом между слоями. Задача об определении напряжённо-деформированного состояния изотропного слоя, который скручивается касательными усилиями, приложенными к граничным плоскостям z = 0 и z = h и зависящими лишь от радиальной координаты ρ, сводится к решению следующего дифференциального уравнения [22]: u ∂2u ∂ 2 u 1 ∂u + - 2 + 2 = 0, ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ ∂z где u(ρ, z) = uϕ (ρ, z). Рис. 1. Схема скручивания штампом многослойного основания и локальные цилиндрические координаты 68 Контактная задача о кручении многослойного основания с упругими связями между слоями Ненулевые компоненты напряжённо-деформированного состояния связаны с функцией u(ρ, z) соотношениями τϕρ = µ ∂u u - ∂ρ ρ , τϕz = µ ∂u . ∂z 2. Метод решения. Для решения задачи воспользуемся интегральным преобразованием Ханкеля первого порядка: +∞ +∞ ρf (ρ)J1 (pρ)dρ, f (ρ) = f (p) = 0 pf (p)J1 (pρ)dp, 0 где p - параметр интегрального преобразования. Рассмотрим слой с номером k. Как показано в [18], в пространстве трансформант напряжения и перемещения в слое можно представить в виде линейных комбинаций двух вспомогательных функций γk (p) и δk (p), связанных с напряжениями и перемещениями на верхней границе слоя следующими соотношениями: 1 (γk ch pz + δk sh pz) , µk τ ϕzk (p, z) = p (γk sh pz + δk ch pz) , uk (p, z) = где γk = µk uk (p, 0), δk = 1 τ ϕzk (p, 0). p (4) Таким образом, для решения задачи необходимо знать по две вспомогательные функции для каждого из слоёв основания. Следовательно, задача об определении напряжённо-деформированного состояния n-слойного основания сводится к нахождению 2n вспомогательных функций. Построим рекуррентные соотношения, которые связывают вспомогательные функции kтого и k + 1-го слоёв. Запишем условия сопряжения слоёв в пространстве трансформант Ханкеля: uϕk+1 (p, 0) = uϕk (p, hk ) + mk τ ϕzk (p, hk ), τ ϕzk+1 (p, 0) = τ ϕzk (p, hk ). С учётом (2)-(4) последние соотношения можно представить в виде µk+1 µk+1 Ck + µk+1 mk pSk γk + Sk + µk+1 mk pCk δk , µk µk = Sk γk + Ck δk , γk+1 = δk+1 (5) где Ck = ch pk , Sk = sh pk , pk = phk . Из граничных условий можно определить одну вспомогательную функцию δ1 , и тогда задача сведётся к нахождению γ1 . Остальные вспомогательные функции можно найти по рекуррентным формулам (5). Можно доказать, что как и в случае идеального контакта слоёв основания, вспомогательные функции слоя линейно зависимы и связаны следующим соотношением [18]: γk = -Ak δk , (6) 69 А н т о н е н к о Н. Н., В е л и ч к о И. Г. где Ak - функции податливости многослойного основания. Построим рекуррентные соотношения, которые связывают функции податливости соседних слоёв. Вычислим γk+1 двумя способами. С одной стороны, γk+1 = -Ak+1 δk+1 = -Ak+1 (Sk γk + Ck δk ) = Ak+1 (Sk Ak - k )δk . (7) С другой стороны, γk+1 = -Ak µk+1 µk+1 Ck + µk+1 mk pSk + Sk + µk+1 mk pCk µk µk δk . (8) Из соотношений (7) и (8) находятся рекуррентные соотношения, которые связывают функции податливости соседних слоёв основания: Ak = Ak+1 Ck + Ak+1 Sk + µk+1 µk Sk µk+1 µ k Ck + µk+1 mk pCk + µk+1 mk pSk = Tk + 1+ µk µk+1 Ak+1 µk µk+1 Ak+1 Tk + µk mk p + µk mk pTk , (9) где Tk = th pk . Отметим, что при mk = 0 мы получаем формулы, которые совпадают с известными для задачи о кручении многослойного основания с идеальным контактом между слоями [18]. Методом математической индукции можно доказать, что функции податливости обладают свойством lim Ak (p) = 1. (10) p→∞ Для начала расчёта функций податливости необходимо знать функции податливости полупространства. Если полупространство абсолютно жёсткое, то перемещения на его верхней границе отсутствуют, следовательно, γn+1 = 0. Поэтому его функция податливости равна нулю - An+1 = 0. Для определения функции податливости упругого полупространства рассмотрим слой, лежащий на абсолютно жёстком полупространстве. Устремив толщину слоя к бесконечности, получим, что функция податливости упругого полупространства An+1 = 1. Таким образом, определив матрицы податливости по формулам (9), можно найти вспомогательные функции слоёв по формулам (5), которые с учётом соотношений (9) представляются в такой форме: δk+1 = Sk γk + Ck δk = (Ck - Sk Ak )δk . Функции γk находятся из соотношений (6). 3. Вывод интегрального уравнения задачи. Введём неизвестную функцию τ (ρ), связанную с напряжениями на верхней границе основания соотношением τ (ρ) = τϕz1 (ρ, 0), ρ < R. Выразим вспомогательные функции γ1 и δ1 через новую функцию τ (ρ): δ1 = 1 1 τ ϕz1 (ρ, 0) = p p +∞ ρτϕz1 (ρ, 0)J1 (pρ)dρ = 0 1 γ1 = µ1 u1 (p, 0) = -A1 (p)δ1 = -A1 (p) p 70 R 1 p R ρτ (ρ)J1 (pρ)dρ, 0 ρτ (ρ)J1 (pρ)dρ. 0 (11) Контактная задача о кручении многослойного основания с упругими связями между слоями Применяя к соотношениям (11) обратное преобразование Ханкеля, запишем перемещения точек верхней границы основания u1 (ρ, 0): +∞ pu1 (p, 0)J1 (pρ)dp = µ1 u1 (ρ, 0) = µ1 0 R =- +∞ sτ (s) 0 A1 (p)J1 (ps)J1 (pρ)dp ds. 0 Воспользовавшись свойством (10), перепишем последнее равенство в форме R µ1 u1 (ρ, 0) = - +∞ sτ (s) 0 J1 (ps)J1 (pρ)dp + 0 +∞ + a1 (p)J1 (ps)J1 (pρ)dp ds, (12) 0 где a1 (p) = A1 (p) - 1. Из соотношения (12) с учётом граничного условия (1) получаем интегральное уравнение R 0 sτ (s) W11 (ρ, s) + K(ρ, s) ds = -µ1 ρψ, ρ < R, 0 +∞ 0 где W11 (ρ, s) = +∞ K(ρ, s) = J1 (ps)J1 (pρ)dp - интеграл Вебера-Сонина, 0 a1 (p)J1 (ps)J1 (pρ)dp. 0 По аналогии с [18] неизвестные контактные напряжения будем искать в виде f (s) τ (s) = √ . (13) R 2 - s2 С учётом соотношения (13) интегральное уравнение задачи принимает вид R s√ 0 f (s) 0 W11 (ρ, s) + K(ρ, s) ds = -µ1 ρψ, R 2 - s2 ρ < R. (14) Введём новые переменные t = s/R, r = ρ/R и перепишем интегральное уравнение (14) в них: 1 t√ 0 g(t) 0 W11 (r, t) + M (r, t) dt = -µ1 rψ, 2 1-t r < 1, (15) 0 0 где g(t) = f (Rt), M (r, t) = K(Rr, Rt), W11 (ρ, s) = W11 (r, t)/R. Решение полученного интегрального уравнения найдём методом механических квадратур, предложенным для уравнений с сингулярностью такого 71 А н т о н е н к о Н. Н., В е л и ч к о И. Г. типа в [18]. Квадратурную формулу для интеграла с ядром Сонина-Вебера будем искать в виде 1 0 n g(t) 0 W11 (r, t)dt ≈ t√ Bk (r)g(tk ), 1 - t2 k=1 (16) где Bk (r) - неизвестные полиномы, g(tk ) - значения неизвестной функции в узлах tk . 3/2 √ В последнюю формулу вместо g(t) подставим выражение tC2m 1 - t2 , m = 0, . . . , n - 1, и потребуем, чтобы приближенное равенство выполнялось точно: √ n 1 t2 C 3/2 1 - t2 3/2 2m 0 √ Bk (r)tk C2m W11 (r, t)dt = 1 - t2 . k 1 - t2 0 k=1 Левую часть можно выразить, используя спектральные соотношения [23]: √ 1 t2 C 3/2 2m √ 0 1 - t2 1 - t2 3/2 0 W11 (r, t)dt Γ(m + 3/2)Γ(m + 1/2)rC2m = 2m!(m + 1)! √ 1 - r2 . С учётом этого получим n 3/2 Bk (r)akm = bm rC2m ( 1 - r2 ), m = 0, . . . , n - 1. k=1 где bm = Γ(m + 3/2)Γ(m + 1/2) , 2m!(m + 1)! 3/2 akm = tk C2m 1 - t2 . k Задавшись узлами rm и решая последнюю систему, можно найти значения bkm = Bk (rm ). Узлы rm выбираются таким образом, чтобы круг единичного радиуса разбивался на круг и n - 1 кольцо одинаковой площади. Значения радиусов колец как раз и будут значениями узлов rm . Второе слагаемое в уравнении (15) заменим квадратурной суммой [18]: n 1 t√ 0 g(t) M (r, t)dt = Lk M (rk , tk )g(tk ), 1 - t2 k=1 (17) √ 2 где Lk = Ak tk / 1 + tk , tk = 1 - ξk , ξk - k-тый положительный корень функции P2n (ξ) - полинома Лежандра порядка 2n; Ak = 2Wk , Wk - соответствующие весовые коэффициенты квадратурной формулы Гаусса для промежутка (-1; 1). Заменяя интегралы, входящие в интегральное уравнение (15), квадратурными суммами (16) и (17), получим уравнение n u(tk )(bkm + Lk M (rm , tk )) = -µ1 rm ψ, k=1 72 m = 1, 2, . . . , n. Контактная задача о кручении многослойного основания с упругими связями между слоями Подставляя в это уравнение вместо rm последовательно r1 , r2 , . . . , rn-1 , получим систему n линейных алгебраических уравнений относительно u(tk ). Решая эту систему, находим приближённые значения u(tk ) в узлах tk и затем восстанавливаем искомую функцию. В данной статье расчеты проводились при n = 6. Значения rm и bkm приведены в таблице. m 1 2 3 4 5 6 Значения узлов rm и коэффициентов bkm rm b1m b2m b3m 0.408282905 0.07871769135 0.08831555335 0.1199919645 0.5773502692 0.1211066268 0.1406298922 0.2345741553 0.7071067812 0.1632872325 0.2166388620 0.3175338764 0.8164965809 0.2189075481 0.3290180214 0.2258865716 0.9128709292 0.3288871893 0.3941552124 -0.004445110887 1 0.5893192067 0.1202303455 0.2302120555 m 1 2 3 4 5 6 rm 0.408282905 0.5773502692 0.7071067812 0.8164965809 0.9128709292 1 b4m 0.2193035489 0.1838930058 -0.1044529281 -0.1120803940 0.3552528030 -0.4463055204 b5m -0.0602368187 -0.2309637440 0.6444752628 0.5971786813 -1.469141755 2.178142046 b6m 0.270190969 0.7186193170 -2.075093388 -1.917236996 4.895390232 -7.262260271 4. Результаты численных расчётов. Численные расчёты проводились для контактных задач о кручении штампом радиуса R следующих оснований: 1) упругий слой, упруго сцепленный с полупространством; упругие характеристики слоя и полупространства одинаковые (µ1 = µ2 ); результаты расчётов представлены на рис. 2; 2) двухслойный пакет, упруго сцепленный с полупространством; характеристики основания: h1 = h2 = R, µ1 = µ3 , µ2 = 0.1µ1 (рис. 3, a); 3) двухслойный пакет, упруго сцепленный с полупространством; характеристики основания: h1 = h2 = R, µ1 = µ3 , µ2 = 10µ1 (рис. 3, b). Рис. 2. Графики функции (18) для однослойного основания в зависимости от коэффициентов упругих связей: 1 - m1 µ1 /R = 0, h1 /R = 1; 2 - m1 µ1 /R = 0.1, h1 /R = 1; 3 - m1 µ1 /R = 1, h1 /R = 1; 4 - m1 µ1 /R = 10, h1 /R = 1; 5 - m1 µ1 /R = 1, h1 /R = 0.1; 6 - m1 µ1 /R = 1, h1 /R = 10 73 А н т о н е н к о Н. Н., В е л и ч к о И. Г. a b Рис. 3. Графики функции (18) для двухслойного основания в зависимости от коэффициентов упругих связей: 1 - m1 µ1 /R = 0, m2 µ1 /R = 0; 2 - m1 µ1 /R = 0.1, m2 µ1 /R = 0; 3 - m1 µ1 /R = 1, m2 µ1 /R = 0; 4 - m1 µ1 /R = 10, m2 µ1 /R = 0; 5 - m1 µ1 /R = 0, m2 µ1 /R = 0.1; 6 - m1 µ1 /R = 0, m2 µ1 /R = 1; 7 - m1 µ1 /R = 0, m2 µ1 /R = 10 На рис. 2 и 3 в качестве результатов расчётов приведены графики функции τϕz1 (ρ/R, 0) R2 - ρ2 f (ρ/R) = (18) µ1 ψR при соответствующих значениях параметров. Анализ рис. 2 (графиков функции (18)) позволяет сделать такие выводы: наличие упругих связей приводит к уменьшению контактных напряжений по сравнению со случаем идеального контакта слоя и полупространства; увеличение коэффициентов упругих связей или увеличение толщины слоя - к уменьшению контактных напряжений. Из анализа графиков, приведенных на рис. 3, заключаем, что наличие упругих связей между нижним слоем двухслойного основания и полупространством менее существенно влияет на распределение контактных напряжений по сравнению с упругими связями на границе слоев. Наличие упругих связей, как и для случая однослойного основания, вызывает уменьшение контактных напряжений по сравнению со случаем идеального контакта слоев, причем влияние связей более существенно для случая, когда модуль сдвига верхнего слоя основания меньше модуля сдвига второго слоя. Выводы. В статье предложен способ решения контактной задачи о кручении многослойного основания с упругими связями между слоями. Из результатов численного анализа следует, что в любом случае наличие упругих связей приводит к уменьшению контактных напряжений по сравнению со случаем идеального контакта. Однако этот эффект практически заметен только при относительно малой толщине верхнего слоя. В трехслойной конструкции, в которой верхний слой и полупространство имеют одинаковые модули сдвига, эффект от наличия упругих связей существенен только в том случае, когда модуль сдвига среднего слоя существенно превосходит модули сдвига внешних слоев. 74 Контактная задача о кручении многослойного основания с упругими связями между слоями

About the authors

Nina N Antonenko

Zaporizhzhya National Technical University

Email: antonenkonina@i.ua
(Cand. Phys. & Math. Sci.; antonenkonina@i.ua; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of General Mathematics 64, Zhukovskogo st., Zaporizhzhya, 69600, Ukraine

Igor G Velichko

Tavria State Agrotechnological University

Email: wig64@mail.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.; wig64@mail.ru), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics and Physics 18, pr. B. Khmel’nitskii, Melitopol, 72310, Ukraine

References

Supplementary files