Asymptotic analysis of solutions of a nonlinear problem of unsteady heat conduction of layered anisotropic inhomogeneous shells under boundary conditions of the first kind on the front surfaces

Full Text

Введение. Тонкостенные пластины и оболочки с пространственными структурами армирования - типичный конструктивный элемент в инженерной практике [1-6 и др.], исследование которого приводит к необходимости учёта в расчётах неоднородности композиционного материала и анизотропии самого общего вида. Функциональное назначение конструкции зачастую требует использование слоистой структуры изделия [7, 8 и др.] с анизотропными и неоднородными материалами слоёв вследствие различного типа 3Dармирования [9, 10] и других технологических факторов. Так как современные тонкостенные конструкции (особенно аэрокосмического назначения) подвергаются интенсивному термосиловому воздействию, ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1281 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: А. П. Я н к о в с к и й, “Асимптотический анализ решения нелинейной задачи нестационарной теплопроводности слоистых анизотропных неоднородных оболочек при граничных условиях первого рода на лицевых поверхностях” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 168-185. 168 Асимптотический анализ решения нелинейной задачи . . . актуальной становится задача изучения температурных полей в них. Для уточнения распределения температурных полей в изделиях, подвергнутых интенсивному тепловому воздействию, необходимо учитывать зависимость теплофизических характеристик их материалов от температуры, что приводит к необходимости изучения нелинейных задач теплопроводности. В связи с этим настоящее исследование посвящено построению внешнего асимптотического разложения основного температурного поля нелинейной задачи нестационарной теплопроводности слоистых анизотропных неоднородных оболочек и пластин при граничных условиях I рода на лицевых поверхностях с учётом термочувствительности материалов слоёв, в отличие от [11], где рассмотрен случай, когда на лицевых поверхностях заданы граничные условия III рода (при средних и больших числах Био) или смешанные граничные условия (I и II рода на разных лицевых поверхностях). 1. Постановка нелинейной задачи теплопроводности слоистых анизотропных оболочек. Рассматривается тонкая оболочка, состоящая из M анизотропных неоднородных слоёв, возможно, переменной толщины. Свяжем с оболочкой криволинейную ортогональную систему координат x1 , x2 , x3 так, чтобы ¯ ¯ ¯ отсчётная поверхность x3 = 0 совпадала с одной из лицевых поверхностей ¯ ¯ оболочки (например, внутренней), а поверхности x3 = Hm = const > 0 опре¯ деляли границы контакта между m-тым и (m+1)-м слоями (m = 1, 2, . . . , M ); ¯ ¯ ¯ значение x3 = H0 ≡ 0 задаёт отсчётную поверхность, x3 = HM ≡ H = ¯ ¯ = const > 0 - другую лицевую поверхность; слои последовательно пронумерованы от отсчётной поверхности к противоположной лицевой поверхности. ¯ ¯ Параметры Ламе A1 , A2 непрерывны всюду в оболочке и имеют гладкость, ¯ которая потребуется в процессе рассуждений; параметр Ламе A3 на границах ¯ ¯(m) контакта слоёв может испытывать разрыв первого рода (т.е. A3 = A3 при ¯ ¯ Hm-1 < x3 < Hm , 1 m M ), внутри каждого m-того слоя этот параметр ¯ имеет гладкость, которая потребуется в процессе рассуждений. (В случае слоёв постоянной толщины координата x3 ¯ 0 задаёт расстояние от произ¯ вольной точки оболочки до отсчётной поверхности, при этом A3 = 1.) На границах между слоями выполняются условия идеального (полного) теплового контакта. При сделанных предположениях уравнение нестационарной теплопроводности m-того слоя имеет вид [7] ¯ c(m) (T (m) )¯(m) ¯ ρ ¯ ∂ T (m) = ¯ ∂t 1 = ¯ ¯ ¯ A1 A2 A3 3 i=1 ∂ ∂ xi ¯ 3 j=1 ¯ ¯ ¯ ¯ (m) ¯ ¯ A1 A2 A3 λij (T (m) ) ∂ T (m) + ¯ ¯ ∂ xj ¯ Ai Aj ¯ + Q(m) (¯1 x2 x3 t) , x ¯ ¯ ¯ ¯ Hm-1 x3 ¯ ¯ Hm , 1 m M, (1) ¯ где T (m) - отклонение температуры m-того слоя от температуры естественно¯ ¯ го состояния конструкции T∗ ; Q(m) - плотность мощности внутренних источ¯ (m) - коэффициенты теплопроводности материаников тепла в m-том слое; λij ла m-того слоя; c(m) - удельная теплоёмкость материала m-того слоя; ρ(m) - ¯ ¯ ¯ объёмная плотность материала m-того слоя; t - время. Здесь и далее размер169 А. П. Я н к о в с к и й ные функции и величины будем помечать сверху чертой, а соответствующие им безразмерные функции и величины - обозначать теми же символами, но без черты. В случае учёта термочувствительности материалов слоёв коэффициенты ¯ (m) , c(m) в (1) зависят от T (m) . В первом приближении эту зависимость ¯ λij ¯ можно принять линейной [12, 13]: ¯ (m) ¯ ¯(m) ¯(m) ¯ λij (T (m) ) = kij + βij T (m) , (m) (m) ¯ c(m) (T (m) ) = c∗ + c∗∗ T (m) , ¯ ¯ ¯ ¯ (m) i, j = 1, 3, (2) (m) ¯ где kij , c∗ - коэффициенты теплопроводности и удельная теплоемкость ¯ материала m-того слоя при температуре естественного состояния конструк¯(m) ¯(m) ¯ ¯ ции T∗ (T (m) = 0); βij , c∗∗ - коэффициенты температурной зависимости, характеризующие термочувствительность материала m-того слоя. В общем ¯(m) ¯(m) ¯(m) ¯(m) ¯ случае величины kij , βij , c∗ , c∗∗ , ρ(m) могут зависеть от пространственных переменных в силу неоднородности материала m-того слоя. ¯ На поверхностях x3 = Hm контакта m-того и (m + 1)-го слоёв должны ¯ выполняться условия сопряжения решения по тепловому потоку и температуре [7, 12] 3 ¯ (n) ¯ (n) ¯ (m) ¯ λ3i ∂ T λ3i ∂ T (m) ¯ ¯ = , T (m) = T (n) , ¯ ¯ ¯ ¯ Ai ∂ xi Ai ∂ x i i=1 i=1 ¯ x3 = Hm , n = m + 1, 1 m M - 1; ¯ 3 (3) ¯ на лицевых поверхностях оболочки (¯3 = 0, H) заданы граничные условия x общего вида [7, 12] 3 β (-) i=1 ¯ (1) ¯ λ3i ∂ T (1) ¯ ¯ Ai ∂ x i x3 =0 ¯ ¯ = γ (-) Q(-) (¯1 , x2 , t) + x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯(-) x ¯ ¯ ¯ +δ (-) α(-) T (1) (¯1 , x2 , 0, t) - T∞ (¯1 , x2 , t) , x ¯ 3 -β (+) i=1 ¯ (M ) ¯ λ3i ∂ T (M ) ¯ ¯ Ai ∂ x i ¯ x3 = H ¯ =γ (+) (4) ¯ Q(+) (¯1 , x2 , t) + x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯(+) x ¯ ¯ +δ (+) α(+) T (M ) x1 , x2 , H, t - T∞ (¯1 , x2 , t) , ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ где Q(±) - заданные на лицевых поверхностях проекции вектора теплового потока на направление внешней нормали; α(±) - коэффициенты конвектив¯ ного теплообмена с окружающей средой на внешней (+) и внутренней (-), ¯(±) т. е. отсчётной, поверхностях оболочки; T∞ - температура окружающей среды со стороны внешней (+) и внутренней (-) лицевой поверхности оболоч¯ ки; β (±) , γ (±) , δ (±) - функции переключения, позволяющие задавать тот или иной тип граничных условий на внешней (+) и внутренней (-) лицевых поверхностях. 170 Асимптотический анализ решения нелинейной задачи . . . ¯ На торцевой поверхности S (кромке) оболочки также заданы граничные условия, аналогичные (4): 3 3 -β ni ¯ i=1 j=1 ¯ (m) ¯ λij ∂ T (m) ¯ ¯ Aj ∂ x j = γ qn S, t + ¯(m) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + δ α(m) T (m) S, t - T∞ S, t , ¯ ¯ ¯ (¯1 , x2 , x3 ) ∈ S, t x ¯ ¯ ¯ t0 , 1 m M, (5) где ni - компоненты вектора единичной нормали к торцевой поверхности обо¯ (m) лочки; qn - заданный тепловой поток через торцевую поверхность m-того ¯ слоя; α(m) - коэффициент теплообмена по закону Ньютона между m-тым сло¯ ¯ ем и окружающей средой на торцевой поверхности; T∞ - температура окружающей среды со стороны торцевой поверхности (или температура торцевой поверхности, смотря по смыслу); β, γ, δ - функции переключения, позволяющие задавать тот или иной тип граничных условий на торцевой поверхности. ¯ В момент времени t0 в m-тым слое задано начальное условие ¯ ¯(m) x ¯ ¯ T (m) (¯1 , x2 , x3 , t0 ) = T000 (¯1 , x2 , x3 ) , x ¯ ¯ ¯ 1 m M, (6) ¯(m) где T000 - известная функция. Обезразмерим соотношения (1)-(6). С этой целью введём безразмерные независимые переменные ¯ x ¯ Ai d¯i = LAi dxi , i = 1, 2, ¯ x ¯ ¯¯ A3 d¯3 = H∗ A3 dx3 , t = t/t∗ ¯ t∗ > 0, ¯ ¯ ¯ L = min R, a , (7) ¯ где R - характерный радиус кривизны отсчётной поверхности оболочки; a - ¯ характерный размер оболочки в плане (для пологих оболочек и искривлен¯ ¯ ных панелей); H∗ - характерная толщина оболочки; t∗ - характерное время, в течение которого рассматривается процесс нестационарной теплопроводности. ¯2 ¯ ¯ Уравнение (1) обезразмерим умножением на A1 A2 A3 H∗ /(λ∗ T∗ ), тогда с учётом (7) получим 2 2 ε C (m) ∂t T (m) =ε 2 2 (m) ∂i λij ∂j T (m) 2 i=1 j=1 (m) ∂i λi3 ∂3 T (m) + +ε i=1 2 (m) (m) λ3i ∂i T (m) + λ33 ∂3 T (m) + ε2 Q(m) (x, t) , + ∂3 ε 1 m M, (8) i=1 где согласно (2) (m) λij (m) = kij (m) C (m) = C∗ (m) + ηβij T (m) , (m) + ηC∗∗ T (m) , i, j = 1, 3, (9) x = {x1 , x2 , x3 } ; ¯ ¯ ε = H∗ /L - малый геометрический параметр; η - малый теплофизический параметр [12], характеризующий степень термочувствительности материалов 171 А. П. Я н к о в с к и й слоёв (при η → 0 получаем случай линейной теплопроводности слоистой оболочки при отсутствии термочувствительности материалов слоёв); ∂i - оператор частного дифференцирования по безразмерной пространственной переменной xi (i = 1, 3); ∂t - оператор частного дифференцирования по безразмерному времени t. ¯ ¯ ¯ Умножением на A1 A2 H∗ /(λ∗ T∗ ) обезразмерим первое условие сопряжения ¯ (3), а второе условие (3) - делением на T∗ = const: (m) (m) (m) ε λ31 ∂1 T (m) + λ32 ∂2 T (m) + λ33 ∂3 T (m) = (n) (n) (n) = ε λ31 ∂1 T (n) + λ32 ∂2 T (n) + λ33 ∂3 T (n) , T (m) = T (n) , x3 = Hm , n = m + 1, 1 m M - 1; (10) ¯ ¯ ¯ граничные условия (4) обезразмерим умножением на A1 A2 H∗ /(λ∗ T∗ ), а (5) - ¯ ¯ ¯ умножением на A1 A2 A3 H∗ /(λ∗ T∗ ): (1) (1) (1) β (-) ε λ31 ∂1 T (1) + λ32 ∂2 T (1) + λ33 ∂3 T (1) = (-) = εγ (-) Q(-) + εδ (-) α(-) T (1) - T∞ , (M ) x3 = 0; (11) (M ) (M ) - β (+) ε λ31 ∂1 T (M ) + λ32 ∂2 T (M ) + λ33 ∂3 T (M ) = (+) = εγ (+) Q(+) + εδ (+) α(+) T (M ) - T∞ , 3 2 3 (m) (m) ni λij ∂j T (m) - β - βε x3 = H; (12) i=1 j=1 (m) ni λi3 ∂3 T (m) = εγqn + i=1 + εδα(m) T (m) - T∞ , x ∈ S, t t0 , 1 m M ; (13) ¯ начальное условие (6) обезразмерим делением на T∗ = const: (m) T (m) (x, t0 ) = T000 (x) , 1 m M. (14) В соотношениях (8)-(14) с учётом (2) использованы следующие формулы обезразмеривания и обозначения: ¯ ¯ T (m) = T (m) /T∗ , (m) kij (m) λij (m) (m) ¯ ¯ = A1 A2 A3 λij /(Ai Aj λ∗ ), ¯ ¯ = A1 A2 A3 kij /(Ai Aj λ∗ ), (m) η∗ βij (m) ¯ ¯ ¯ = A1 A2 A3 T∗ βij /(Ai Aj λ∗ ), (±) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯(±) ¯ Q(m) = A1 A2 A3 L2 Q(m) /(λ∗ T∗ ), T∞ = T∞ /T∗ , ¯ ¯ ¯ ¯¯ ¯α Q(±) = A1 A2 LQ(±) /(λ∗ T∗ ), α(±) = L¯ (±) /λ∗ , (m) (m) ¯(m) ¯ ¯ q (m) ¯ ¯ T000 = T000 /T∗ , qn = A1 A2 A3 L¯n /(λ∗ T∗ ), ¯ ¯ ¯ ¯α ¯ ¯ ¯ = A1 A2 A3 L¯ (m) /λ∗ , C (m) = A1 A2 A3 L2 c(m) ρ(m) /(λ∗ t∗ ), ¯ ¯ T∞ = T∞ /T∗ , α(m) (m) C∗ ¯ ¯ ¯ ¯(m) ¯ = A1 A2 A3 L2 c∗ ρ(m) /(λ∗ t∗ ), (m) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯(m) ¯ η∗ C∗∗ = A1 A2 A3 L2 T∗ c∗∗ ρ(m) /(λ∗ t∗ ), ¯ ¯ ¯ t0 = t0 /t∗ , δ (±) = A1 A2 δ (±) , ni = Ai ni , ¯ 172 (15) i, j = 1, 2, 3, 1 m M; Асимптотический анализ решения нелинейной задачи . . . ¯ λ∗ - характерное значение коэффициента теплопроводности материалов слоёв оболочки (например, максимальная по слоям величина наибольшего из ¯ (m) главных значений тензора коэффициентов теплопроводности λij при тем¯ пературе естественного состояния T∗ ); η∗ - конкретное значение малого параметра η, при котором решается рассматриваемая задача теплопроводности оболочки (значение η∗ выбирается, например, так, чтобы наибольшие значе(m) (m) (m) (m) ния величин kij , η∗ βij и C∗ , η∗ C∗∗ были одного порядка или сопоста¯ вимы); C (m) - безразмерная теплоемкость (характерное значение времени t∗ (m) (m) в (8), (15) выбрано так, чтобы значения величин C (m) , C∗ , η∗ C∗∗ были порядка единицы). Если считать, что изменению малого геометрического параметра ε соот¯ ветствует изменение толщины оболочки H∗ (толщины слоёв при этом изменя¯ ются пропорционально изменению H∗ ) при фиксированной геометрии отсчёт¯ ной поверхности конструкции (при фиксированном характерном размере L), то основные функции и величины, приведенные в (15), имеют следующие асимптотические свойства: (m) kij Q (m) = O(1), βij (m) = O(1), i, j = 1, 3; = O(1), (±) T∞ = O(1), Q(±) = O(1), (m) qn = O(1), (m) α(m) = O(1), C∗ = O(1), T∞ = O(1), (16) (m) C∗∗ = O(1), (m) T000 = O(1) при ε → 0 (аналогично при η → 0 и α(±) → 0). Соотношения (8)-(14) формально совпадают с безразмерными уравнениями теплопроводности для слоистых анизотропных неоднородных пластин, поэтому дальнейшие рассуждения справедливы как для оболочек, так и для пластин. Согласно [14, 15], в зависимости от условий конвективного теплообмена в граничных условиях общего вида (11), (12) безразмерные коэффициенты α(±) , характеризующие критерий Био [16] на лицевых поверхностях, могут иметь значения порядка единицы, а могут быть большими и малыми величинами по сравнению с единицей. Следовательно, при определенных условиях теплообмена на лицевых поверхностях безразмерные числа Био α(±) (см. (15)) можно рассматривать как независимые от ε и η малые или большие параметры. Таким образом, следует раздельно рассматривать случаи больших и малых значений чисел Био на лицевых поверхностях оболочки. 2. Асимптотический анализ нелинейной задачи теплопроводности слоистых оболочек и пластин. В настоящем исследовании рассмотрим лишь случай задания на лицевых поверхностях граничных условий I рода, т.е. при бесконечно больших числах Био (α(±) → ∞, см. (11), (12)). Так как согласно (9) при η → 0 не происходит вырождения дифференциальных операторов в соотношениях начально-краевой задачи (8)-(14), для её линеаризации можно использовать следующее асимптотическое разложение: ∞ T (m) (m) (x, t) ∼ Tk (x, t)η k , 1 m M, t t0 . (17) k=0 173 А. П. Я н к о в с к и й Подставим (17) в (8)-(14) и соберем слагаемые при одинаковых степенях η, тогда получим следующую цепочку равенств для определения функций (m) Tk (x, t): (m) (m) + ε2 C k 2 ε2 C ∗ 2 ∂t Tk =ε (m) = 2 (m) (m) ∂i kij ∂j Tk 2 (m) Bijk + (m) +ε (m) ∂i ki3 ∂3 Tk i=1 j=1 (m) + Bi3k + i=1 2 (m) + ∂3 ε (m) k3i ∂i Tk (m) (m) + B3ik (m) (m) + B33k + + k33 ∂3 Tk i=1 + ε2 δ0k Q(m) (x, t) , 1 m M ; (18) 2 (m) ε (m) k3i ∂i Tk (m) (m) + B3ik (m) (m) + k33 ∂3 Tk + B33k = i=1 2 (n) =ε (n) k3i ∂i Tk i=1 (m) Tk = Tk , (1) (1) (n) (n) (n) (n) + B3ik + k33 ∂3 Tk (n) + B33k , x3 = Hm , n = m + 1, 1 M - 1; (19) m 2 β (-) (1) (1) (1) (1) (1) k3i ∂i Tk + B3ik + k33 ∂3 Tk + B33k - εδ (-) α(-) Tk ε = i=1 (-) = εδ0k γ (-) Q(-) - δ (-) α(-) T∞ , x3 = 0; (20) 2 -β (+) (M ) ε (M ) k3i ∂i Tk (M ) + B3ik (M ) (M ) + k33 ∂3 Tk (M ) + B33k - i=1 (M ) - εδ (+) α(+) Tk 3 (+) = εδ0k γ (+) Q(+) - δ (+) α(+) T∞ , 2 3 (m) (m) ni kij ∂j Tk - βε + (m) Bijk (m) -β i=1 j=1 - x3 = H; (21) (m) ni ki3 ∂3 Tk (m) + Bi3k - i=1 (m) εδα(m) Tk (m) = εδ0k γqn - δα(m) T∞ , (m) Tk (m) (x, t0 ) = δ0k T000 (x), 1 x ∈ S, t t0 , 1 m k M, m 0, M ; (22) (23) где (m) Ck (x, t) 1 (m) ≡ C∗∗ (x) 2 1 (m) (m) Bijk (x, t) ≡ βij (x) 2 1 174 m M, k-1 (m) ∂t Tl (m) Tk-l-1 , l=0 k-1 (m) ∂j Tl (m) Tk-l-1 , l=0 i, j = 1, 3, k 0; (24) Асимптотический анализ решения нелинейной задачи . . . δ0k - символ Кронекера. Согласно (17), в (24) нужно учесть, что (m) T-1 ≡ 0, 1 m M. (25) На основании (24), (25) при k = 0 в соотношениях (18)-(24) имеем (m) C0 (m) ≡ 0, Bij0 ≡ 0, 1 m M, i, j = 1, 3. (26) (m) Если функции Tn (0 n k - 1) уже последовательно определены из (m) (m) начально-краевых задач (18)-(23), то согласно (24), (26) функции Ck , Bijk в (18)-(22) известны. Следовательно, для каждого k 0 начально-краевая задача (18)-(23) является линейной задачей нестационарной теплопроводности. Линеаризованные уравнения (18)-(23) справедливы для граничных условий любого рода на лицевых поверхностях (20), (21). Далее предполагаем, что на этих поверхностях заданы граничные условия I рода, т.е. в (20), (21) следует принять β (±) = 0, γ (±) = 0, поэтому получаем (1) Tk (-) = δ0k T∞ (x3 = 0), (M ) Tk (+) = δ0k T∞ , x3 = H, k 0. (27) Наличие малого геометрического параметра ε при высших производных в уравнении (18) в условиях сопряжения (19) и граничном условии (22) указывает на то, что при каждом k 0 начально-краевая задача (18), (19), (22), (23), (27) является задачей с сингулярным возмущением, поэтому решение этой задачи следует разыскивать в виде (m) Tk (m) (m) (m) = T∗k + Tτ k + Tbk , 1 m M, k = 0, 1, 2, 3, . . . , (m) (28) (m) где T∗k - внешнее асимптотическое разложение функции Tk , характери(m) зующее основное температурное поле в m-том слое; Tτ k - поправка к внеш(m) нему разложению в окрестности начального момента времени t = t0 ; Tbk - поправка к внешнему разложению в пограничном слое в окрестности торцевой поверхности оболочки (пластины). Далее настоящее исследование посвящено определению внешнего асимп(m) (m) тотического разложения T∗k . Чтобы получить для определения T∗k непротиворечивую цепочку равенств, асимптотическое разложение следует задать в виде ∞ (m) (m) Tks (x, t)εs , T∗k (x, t) ∼ 1 m M, k 0. (29) s=0 Подставим (29) в (18), (19), (22), (23), (27) и соберём слагаемые при одинаковых степенях ε, тогда получим следующую цепочку равенств для опре(m) деления функций Tks (x, t): 2 (m) (m) (m) ∂3 k33 ∂3 Tks + (m) (m) k3p ∂p Tks-1 + qks (x, t) + p=1 175 А. П. Я н к о в с к и й 2 2 (m) + 2 (m) (m) (m) ∂p kpr ∂r Tks-2 - ∂p kp3 ∂3 Tks-1 + p=1 p=1 r=1 - (m) (m) C∗ ∂t Tks-2 (m) = -wks (x, t), 1 m M ; (30) 2 (m) (m) (m) k33 ∂3 Tks + (m) (m) (n) (n) k3p ∂p Tks-1 + qks (x, t) = k33 ∂3 Tks + p=1 2 (n) + (n) (n) (m) k3p ∂p Tks-1 + qks (x, t), (n) Tks = Tks , p=1 x3 = Hm , n = m + 1, 1 (1) (-) Tks = δ0k δ0s T∞ 3 (M ) x3 = 0; 2 Tks M - 1; (31) m (+) = δ0k δ0s T∞ , x3 = H; (32) 3 (m) (m) (m) np kpr ∂r Tks-1 - β -β p=1 r=1 (m) np kp3 ∂3 Tks - p=1 - (m) δα(m) Tks-1 (m) (m) x ∈ S, t = Qks (x, t), (m) Tks (x, t0 ) = δ0k δ0s T000 (x), 1 m t0 , 1 m M ; (33) M, k, s = 0, 1, 2, 3, . . . , (34) где 2 (m) (m) (m) qks (x, t) ≡ δ0s B33k + δ1s B3pk , p=1 2 (m) wks (x, t) ≡ δ2s δ0k Q (m) - (m) Ck 2 + (m) δ2s p=1 (m) ∂p Bprk + δ1s ∂p Bp3k , 3 (m) Qks (x, t) ≡ (m) δ0k δ1s γqn - δα (m) (35) r=1 3 (m) np Bp3k T∞ + βδ0s 2 (m) + βδ1s p=1 np Bprk . p=1 r=1 Согласно (29), в (30)-(33) нужно учесть, что (m) (m) Tk,-1 ≡ 0, Tk,-2 ≡ 0, (m) 1 m (m) M, k = 0, 1, 2, 3, . . . . (36) (m) В силу равенств (35) функции qks , wks , Qks в (30), (31), (33) известны при каждом s 0. Проинтегрировав уравнение (30) по переменной x3 при s = 0 с учётом (31), (35), (36), получим (m) (m) (m) k33 ∂3 Tk0 + qk0 (x, t) = Q0 (x1 , x2 , t), k0 1 m M, откуда (m) ∂3 Tk0 = 176 1 (m) k33 (x) (m) Q0 (x1 , x2 , t) - qk0 (x, t) , k0 1 m M, k 0, (37) Асимптотический анализ решения нелинейной задачи . . . где Q0 (x1 , x2 , t) - произвольная функция, подлежащая в последующем опреk0 делению. Проинтегрируем (37) с учётом второго равенства (31) и граничных условий (32), тогда будем иметь (m) (-) Tk0 (x, t) = δ0k T∞ (x1 , x2 , t)+ x3 + Q0 (x1 , x2 , t) k0 Hm-1 x3 - Hm-1 m-1 dx3 l=1 (m) k33 (x) m-1 (m) qk0 (x, t) dx3 (m) k33 (x) Hl Hl-1 + qk0 (x, t) Hl-1 k33 (x) - l=1 M Hm (l) dx3 , Hm , 1 m M ; (38) qk0 (x, t) dx3 . (39) -1 dx3 × (m) k33 (x) m=1 Hm-1 M × - (l) Hl Hm-1 < x3 Q0 (x1 , x2 , t) = k0 dx3 (l) k33 (x) (+) δ0k T∞ - (-) δ0k T∞ (m) Hm + m=1 Hm-1 (m) k33 (x) (m) Функция Tk0 (x, t) полностью определяется конечными соотношениями (38), (39), т. е. граничными условиями на лицевых поверхностях. Граничное условие на кромке (33) и начальное условие (34) при s = 0 с учётом (36), (37)-(39) могут быть выполнены тождественно как в локальном, так и в интегральном (после интегрирования по толщине оболочки или пластины) смысле лишь в исключительных случаях. В общем случае граничное условие на кромке тонкостенной конструкции можно удовлетворить только после рассмотрения пограничных слоёв (после определения поправки (m) Tbk в (28)), а начальное условие можно выполнить лишь после определения (m) в окрестности начального момента времени t = t0 поправки Tτ k в разложении (28). Проинтегрируем уравнение (30) по переменной x3 при s = 1 с учётом (31), (35)-(37), тогда получим 2 (m) (m) (m) k33 ∂3 Tk1 + (m) (m) k3p ∂p Tk0 + qk1 (x, t) = p=1 (m) = Q0 (x1 , x2 , t) - Φk1 (x, t), k1 1 m M, (40) где (m) Φk1 (x, t) ≡ x3 Hm-1 m-1 (m) Wk1 (x, t) dx3 + l=1 (m) (m) ∂p p=1 Hl-1 (l) Wk1 (x, t)dx3 , Hm-1 < x3 kp3 (m) k33 Hm , (41) (m) 2 Wk1 (x, t) ≡ wk1 (x, t) + Hl (m) Q0 (x1 , x2 , t) - qk0 (x, t) k0 ; 177 А. П. Я н к о в с к и й Q0 (x1 , x2 , t) - произвольная функция, подлежащая определению. Согласно k1 (m) (35), (39), (41) функция Φk1 в (40) известна. Выразим из (40) производную (m) ∂3 Tk1 = Q0 (x1 , x2 , t) k1 (m) k33 (x) (m) - Θk1 (x, t) , 1 m M, (42) (m) где согласно (38), (39), (41), (35) известная функция Θk1 определяется так: (m) Θk1 (x, t) ≡ 2 1 (m) Φk1 (x, t) (m) k33 (x) (m) + (m) (m) k3p ∂p Tk0 + qk1 (x, t) . (43) p=1 Проинтегрируем (42) по x3 с учётом (43), (31), (32), тогда будем иметь x3 (m) Tk1 (x, t) = Q0 (x1 , x2 , t) k1 m-1 dx3 Hm-1 (m) k33 (x) (m) - Ψk1 (x, t), Hl l=1 Hl-1 dx3 (l) k33 (x) - Hm , 1 m + Hm-1 < x3 M, (44) (m) где известная функция Ψk1 задаётся выражением x3 (m) Ψk1 (x, t) ≡ (m) Hm-1 Θk1 (x, t)dx3 + m-1 Hl + l=1 Hl-1 (l) Θk1 (x, t)dx3 , Hm-1 < x3 Hm . (45) Подставляя (44) во второе граничное условие (32) при s = 1, получим M Q0 (x1 , x2 , t) = k1 Hm m=1 Hm-1 dx3 -1 (m) k33 (x) (M ) Ψk1 (x, t) x3 =H . (46) Следовательно, конечные соотношения (44), (46) с учётом (45), (43), (41), (m) (35) полностью определяют коэффициент Tk1 (x, t) асимптотического ряда (29). Как и при s = 0, граничное условие на кромке (33) и начальное условие (m) (34) при s = 1 могут быть выполнены лишь после получения поправок Tbk (m) и Tτ k в разложении (28). (m) (m) Далее предполагаем, что при s 2 функции Tks-2 (x, t), Tks-1 (x, t) уже известны и справедливо выражение для производной (m) ∂3 Tks-1 = (m) Q0 ks-1 (x1 , x2 , t) (m) k33 (x) (m) - Θks-1 (x, t), 1 m M, s 2, (47) где Q0 , Θks-1 - также уже известные функции. (В силу (42)-(46), (38), ks-1 (39) эти предположения справедливы при s = 2.) 178 Асимптотический анализ решения нелинейной задачи . . . Проинтегрируем уравнение (30) по переменной x3 при s (35), (47) и сделанных предположений, тогда получим 2 с учётом (31), 2 (m) (m) (m) k33 ∂3 Tks + (m) k3p ∂p Tks-1 = p=1 (m) = Q0 (x1 , x2 , t) - Φks (x, t) , ks 1 m M, s 2, (48) где x3 (m) Φks (x, t) ≡ (m) Hm-1 Wks (x, t)dx3 + m-1 Hl (l) Wks (x, t)dx3 , + Hl-1 l=1 2 (m) Wks (x, t) ≡ (m) wks (x, t) - (m) (m) C∗ ∂t Tks-2 Hm-1 < x3 Hm , (49) 2 (m) (m) ∂p kpr ∂r Tks-2 + + p=1 r=1 (m) 2 + kp3 ∂p (m) p=1 (m) Q0 (x1 , x2 , t) - k33 Θks-1 (x, t) , ks-1 (m) k33 1 m M; Q0 (x1 , x2 , t) - произвольная функция, подлежащая определению. Согласно ks (m) (49), (47), (35) и принятым предположениям, функция Φks в (48) известна. Выразим из (48) производную (m) ∂3 Tks = Q0 (x1 , x2 , t) ks (m) k33 (x) (m) - Θks (x, t), 1 m M, s 2, (50) (m) где согласно (48) и сделанным предположениям известная функция Θks определяется так: 2 1 (m) Θks (x, t)≡ (m) (m) k33 (x) (m) Φks (x, t) + (m) k3p ∂p Tks-1 , 1 m M, s Проинтегрируем (50) по x3 с учетом (51), (31), (32) при s иметь (m) Tks (x, t) = 2. (51) p=1 x3 Q0 (x1 , x2 , t) ks dx3 Hm-1 (m) - Ψks (x, t), (m) k33 (x) m-1 Hl l=1 Hl-1 + Hm-1 < x3 Hm , 1 2, тогда будем dx3 (l) k33 (x) m - M, s 2, (52) (m) где известная функция Ψks задаётся выражением 179 А. П. Я н к о в с к и й x3 (m) Ψks (x, t) ≡ (m) Hm-1 Θks (x, t) dx3 + m-1 Hl + l=1 Hl-1 (l) Θks (x, t)dx3 , Hm-1 < x3 Подставляя (52) во второе граничное условие (32) при s M Q0 (x1 , x2 , t) ks Hm = m=1 Hm-1 -1 dx3 (m) k33 (x) (M ) Ψks (x, t) x3 =H , s Hm , s 2. (53) 2, получим 2, k 0. (54) Таким образом, конечные соотношения (52), (54) с учётом (53), (51), (49), (m) (35) полностью определяют коэффициент Tks (x, t) асимптотического ряда (29) при s 2, k 0. Как и при s = 0, s = 1, граничное условие на кромке (33) и начальное условие (34) при s 2 могут быть выполнены лишь после (m) (m) получения поправок Tbk и Tτ k в разложении (28). (m) Так как соотношения (47), (50) формально совпадают и функции Θks (x, t), (m) (m) Tks (x, t), Tks-1 (x, t) уже известны, принятые выше предположения становятся справедливыми при новом значении s (при замене в (47) (s - 1) на s), поэтому по схеме (47)-(54) при s 2 можно последовательно определить все (m) коэффициенты Tks (x, t) асимптотического ряда (29). Из соотношений (38), (39), (52), (54) с учётом (35) следует, что в случае задания на лицевых поверхностях граничных условий I рода температуры этих (-) (+) поверхностей T∞ , T∞ оказывают на температуру оболочки (или пластины) на два порядка по ε большее влияние, чем внутренние источники тепла, так (-) (+) (m) как температуры T∞ , T∞ при k = 0 определяют функцию T00 (см. (38), (m) (39), (35)) и все последующие Tks (k 0, s 1), а плотность мощности (m) определяет T (m) (см. (52)-(54) с учётом внутренних источников тепла Q 02 (m) (51), (49), (35) при k = 0, s = 2) и все последующие функции Tks (k 0, s 3). Из равенств (38)-(54) с учётом (35) следует, что при однородности ма(m) териалов слоёв по толщине пластины (∂3 kij = 0) в линейном приближении (m) (без учета термочувствительности: βij = 0) с точностью O(ε) распределение температуры в каждом слое в поперечном направлении можно задавать по линейному закону (по кусочно-линейному закону для всего пакета); с точностью же O(ε2 ) температуру по толщине слоёв пластины можно задавать по квадратичному закону (по кусочно-квадратичному закону для всей пластины). Этот вывод в общем случае не относится к оболочкам, так как для них (m) согласно (15) ∂3 kij = 0, i, j = 1, 3. Из соотношений (38), (39) вытекает, что при задании на обеих лицевых (+) (-) (m) (+) поверхностях одинаковой температуры T∞ = T∞ получим T00 = T∞ = (-) = T∞ , Q0 ≡ 0, т. е. с точностью O(ε) можно температуру считать по00 стоянной по толщине слоистой оболочки (пластины); если же, кроме того, (+) (-) (m) T∞ = T∞ = const, то, согласно (38)-(46), получим T01 = 0 и температуру 180 Асимптотический анализ решения нелинейной задачи . . . по толщине слоистой тонкостенной конструкции за пределами пограничного слоя можно считать постоянной с точностью O(ε2 ); если же отсутствуют и внутренние источники тепла (Q(m) ≡ 0), то из (52)-(54) с учетом (49), (51) (m) (m) дополнительно получим T0i ≡ 0, Tkj ≡ 0 (k 1, i 2, j 0), т. е. в этом случае за пределами пограничного слоя температура в оболочке или (m) (m) (+) (-) пластине постоянна (T∗ = T00 = T∞ = T∞ = const). Как уже отмечалось, построенные выше внешние асимптотические разложения температуры могут привести к невязкам в граничных условиях (13) на кромках оболочки или пластины [17] и в начальных условиях (14), для устранения которых можно использовать обычную процедуру [16, 17] введения в окрестности кромки и начального момента времени t = t0 внутренних «растянутых» переменных и построения соответствующих внутренних асимптотических разложений типа «пограничных слоёв» с последующим «сшиванием» (согласованием) их с внешним разложением. Если особый интерес вызывает поведение температурного поля именно в окрестности начального момента времени t = t0 , то целесообразно сразу вводить растянутый масштаб времени. В этом случае при обезразмеривании величин c(m) ρ(m) вместо формул (15) нужно использовать ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2¯ ¯ C (m) = A1 A2 A3 H∗ c(m) ρ(m) /(λ∗ t∗ ), (m) C∗ (m) ¯ ¯ ¯ 2 ¯ ¯(m) ¯ η∗ C∗∗ = A1 A2 A3 H∗ T∗ c∗∗ ρ(m) /(λ∗ t∗ ), ¯ ¯ ¯ 2 ¯(m) ¯ = A1 A2 A3 H∗ c∗ ρ(m) /(λ∗ t∗ ), 1 m (55) M, ¯ причём характерное время t∗ , в отличие от предыдущего, нужно выбирать (m) (m) 2 ¯ ¯ ∗ /t∗ = const и величины C∗ , η∗ C∗∗ имели значения порядка так, чтобы H ¯ единицы. При таком выборе значения t∗ согласно (55) справедливыми остаются асимптотические оценки (16), а в левой части уравнения (8) не будет присутствовать малый сомножитель ε2 , поэтому вместо уравнения (30) при k = s = 0 с учётом (35), (36) получим (m) C∗ (m) (m) (m) ∂t T00 = ∂3 k33 ∂3 T00 , 1 m M. (56) Подобную структуру будут иметь уравнения, аналогичные (30), и при (m) (m) k 0, s 0 (при этом в (30) нужно формально ∂t Tks-2 заменить на ∂t Tks ). Уравнение (56) является линейным уравнением параболического типа. В об(m) щем случае, когда k33 зависит от переменной x3 (например, при рассмотрении оболочек), это уравнение можно проинтегрировать только численно [18]. (m) В случае пластин с однородными по толщине слоями (∂3 k33 ≡ 0) можно получить решение уравнения (56) в аналитической форме (либо точно, либо приближенно [13]). Изучение этих вопросов выходит за рамки настоящего исследования. Выше рассматривалась задача теплопроводности тонкостенных конструкций при задании на обеих лицевых поверхностях граничных условиях I рода, которые являются предельным случаем граничных условий III рода при бесконечно больших числах Био (α(±) → ∞, см. (11), (12), (20) (21)). Если хотя бы на одной из лицевых поверхностей заданы граничные условия III рода с конечным значением числа Био, то, как показывает [11], можно построить внешнее асимптотическое разложение температурного поля без 181 А. П. Я н к о в с к и й предварительной линеаризации задачи теплопроводности (без использования разложения (17)). Кроме того, отдельного рассмотрения требует случай конвективного теплообмена на обеих лицевых поверхностях с малыми числами Био (α(±) < 1). Изучение этих вопросов также выходит за рамки настоящего исследования. Следует отметить, что в стационарном случае для слоистой пластины, (m) (m) слои которой однородны по толщине (∂3 k33 ≡ 0, ∂3 β33 ≡ 0), при отсутствии внутренних источников тепла (Q(m) ≡ 0) и задании граничных условий I рода на лицевых поверхностях пластины решение нелинейной задачи теплопроводности (без предварительной её линеаризации) в аналитической форме приведено в [13]. Заключение. В теоретических и прикладных исследованиях часто приходится решать задачи термоупругости, термопластичности и аналогичные, при этом, если постановка задачи несвязная, то решение задачи теплопроводности предшествует решению о напряжённо-деформированном состоянии. Полученное в настоящей работе внешнее асимптотическое разложение решения нелинейной задачи теплопроводности описывает, по сути, квазистационарное тепловое состояние тонкостенной слоистой анизотропной неоднородной конструкции при учете термочувствительности материалов слоёв. Поэтому оно может быть использовано, например, при расчётах композитных оболочек и пластин на ползучесть и длительную прочность, так как при таких расчётах рассматриваются большие временные интервалы (значение ха¯ рактерного времени t∗ велико, см. (15)), на которых динамические и сильно выраженные нестационарные эффекты считаются уже затухшими. Известно, что механическое поведение материалов в условиях температурной ползучести существенно зависит от температуры [19], поэтому при решении краевых задач расчёта напряжённо-деформированного состояния тонкостенных (и других) конструкций температурное поле играет определяющую роль. Для более точного определения температуры необходимо учитывать термочувствительность материалов слоёв таких конструкций, что и было проделано в настоящем исследовании. Допустимость полученного решения задачи теплопроводности в практических расчетах на прочность можно обосновать еще и тем, что в инженерной практике, как правило, используются приближенные теории изгиба оболочек и пластин (Кирхгофа-Лява, Тимошенко-Рейснера и др. [20-22]), которые дают приемлемую точность лишь на некотором удалении от кромок тонкостенных конструкций, т. е. за пределами пограничных слоёв и локальных эффектов, распространяющихся в глубину конструкции на расстояние порядка её толщины [20, 21].

About the authors

Andrey P Yankovskii

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: lab4nemir@rambler.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Leading Research Scientist, Lab. of Fast Processes Physics 4/1, Institutskaya st., Novosibirsk, 630090, Russian Federation

References

Supplementary files