The optimal location of the polygonal internal supports to the circular rigid-plastic plates

Abstract


The general solution of a problem of the limit behavior and dynamic bend is obtained for the perfect rigid-plastic circular plates, hinge supported on immobile polygonal contour, located inside the plate. The plate is subjected to short-term dynamic load of explosive type with high intensity, uniformly distributed over the surface. It is shown that there are several mechanisms of limit and dynamic deformation of plates depending on the location of the support contour. The simple analytic expressions are obtained for the limit load and maximum final deflection of plates. The optimal location of support and the number of sides of the polygonal contour are determined, at which the plate has maximum limit load. Numerical examples are given. Keywords: rigid-plastic plate, circular plate, internal polygonal support, explosive load, limit load, final deflection, optimal location of support.

Full Text

Введение. Изучение повреждаемости пластин, разнообразных по форме и способам закрепления и являющихся элементами многих технических конструкций, при воздействии нагрузок взрывного типа необходимо для анализа рисков и прогнозирования чрезвычайных ситуаций, а также создания таких элементов методами импульсной штамповки. Для решения указанных задач широкое распространение получила модель жёсткопластического тела [1- 14]. В работе [13] на основе модели идеального жёсткопластического тела получено общее решение для произвольных криволинейных пластин, шарнирно опертых по внутреннему произвольному криволинейному гладкому контуру. В работе [3] рассмотрено оптимальное расположение дополнительной круговой опоры для шарнирно опёртой, защемленной и свободной на контуре круглой пластины под действием импульса, когда все точки пластины, за исключением опорных, движутся в начальный момент времени с одинаковой скоростью. В настоящей работе проанализировано поведение круглых жёсткопластических пластин под действием равномерно распределённой динамической нагрузки взрывного типа; внешний контур пластин свободен, а опора © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: Р о м а н о в а Т. П. Оптимальное расположение полигональных внутренних опор к круглым ж¨сткопластическим пластинам // Вестн. Сам. гос. техн. e ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 94-105. doi: 10.14498/vsgtu1312. 94 Оптимальное расположение полигональных внутренних опор . . . является правильным полигональным контуром и расположена внутри области пластины. Получены простые аналитические выражения для предельной нагрузки и максимального остаточного прогиба пластины. Определены оптимальное расположение опоры и количество сторон полигонального контура, при которых пластина имеет наименьшую повреждаемость с точки зрения максимума предельной нагрузки. Также определена оптимальная форма полигональной опоры при условии постоянства периметра контура опирания. Решения оптимизационных задач такого типа в литературе неизвестны. 1. Формулировка задачи и вывод определяющих уравнений. Рассмотрим круглую пластину из идеального жёсткопластического материала, шарнирно опертую по правильному n-угольному контуру L1 , расположенному внутри пластины. Внешний контур пластины L2 является свободным (рис. 1). Центры пластины и опорного многоугольника совпадают. Радиус окружности, вписанной в опорный контур, и радиус контура L2 равны R1 и R2 соответственно, причём R1 R2 sin ϕ, где ϕ = π(n - 2)/2n. На пластину действует равномерно распределенная по поверхности динамическая нагрузка высокой интенсивности P (t) взрывного типа, которая достигает максимального значения Pmax = P (0) в начальный момент времени t = 0 и затем быстро убывает (t - текущее время). Прогибы считаются малыми. Рассмотрим поведение пластины при нагрузках, незначительно превышающих предельные (так называемых «средних» нагрузках [1, 5, 10]). В этом случае в динамике рассматриваемой пластины из жёсткопластического материала возможны несколько схем деформирования в зависимости от количества сторон и размеров контура L1 . При всех схемах пластина деформируется в виде совокупности n одинаковых жёстких областей, разделённых линейными пластическими шарнирами с нормальным изгибающим моментом, равным предельному значению M0 . Обозначим область пластины внутри контура L1 через S1 , а остальную часть - через S2 . Расположим декартову систему координат так, что ось Ox проходит по части опорного контура, а ось Oy - по радиусу окружности, вписанной в опорный контур (рис. 1). Скорости прогибов пластины в сечении x = 0 представлены на рис. 2-4. При схеме 1 (рис. 2) Рис. 1. [Figure 1] 95 Р о м а н о в а Т. П. каждая из n жёстких областей вращается вокруг соответствующего участка опорного контура L1 , при этом область S1n (n-ная часть области S1 ) движется вниз в направлении действия нагрузки, область S2n (n-ная часть области S2 ) движется вверх. Схема, при которой область S1n движется вверх, а область S2n движется вниз, невозможна, так же как и в [13]. В схемах 2 (рис. 3) и 3 (рис. 4), как и в случае, рассмотренном в [13], на опорном контуре образуется пластический шарнир. Обе области S1n и S2n жёстко вращаются вниз вокруг опоры. При этом области S1n и S2n движутся независимо друг от друга и возможны варианты, когда одна из этих областей деформируется, а вторая остаётся жёсткой. Рассмотрим подробно схему 1 (рис. 2). Обозначим угол поворота плоскости пластины в направлении действия нагрузки через α. Уравнение движения пластины выведем из принципа виртуальной мощности с использованием принципа Даламбера [15]: K = A - N; ρ¨u∗ ds, u˙ K= S P (t)u∗ ds, ˙ A= S (1) ˙ Mm [θ∗ ]m dlm . N= m (2) lm Здесь K, A, N - мощности инерционных, внешних и внутренних сил соот- Рис. 2. [Figure 2] Рис. 3. [Figure 3] Рис. 4. [Figure 4] 96 Оптимальное расположение полигональных внутренних опор . . . ветственно; S - площадь пластины; ρ - поверхностная плотность материала пластины; u - прогиб; ds - элемент площади; lm , m - линии разрыва угловых ˙ скоростей и их количество; Mm - изгибающий момент на lm ; [θ∗ ]m - разрыв угловой скорости на lm ; dlm - элемент линии lm . Величинами с верхним индексом «∗» обозначены кинематически допустимые скорости; точкой обозначена частная производная по времени t. Скорости прогибов пластины для схемы 1 будут представлены в виде u(x, y, t) = α(t)y. ˙ ˙ (3) Мощности инерционных и внешних сил вычисляются следующим образом (Sn = S1n ∪ S2n ): K = nρ¨ α∗ α˙ Sn = R2 cos ϕ y 2 ds = 2nρ¨ α∗ α˙ -x tg ϕ+R1 √ R1 - 0 y 2 dy dx = 2 R2 -x2 1 2 2 nρ¨ α∗ R2 (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 cos ϕ + 3 R2 + 4R1 α˙ 2 12 A = nP (t)α∗ (t) ˙ R2 cos ϕ yds = 2nP (t)α∗ ˙ Sn 0 π -ϕ 2 ; (4) -x tg ϕ+R1 √ R1 - ydy dx = 2 R2 -x2 π 1 2 ˙ - ϕ - 2R2 cos ϕ . (5) = nP (t)α∗ (t)R2 3R1 3 2 На свободном контуре L2 нормальный изгибающий момент Mnn равен нулю; на линиях, являющихся границами областей Sn , он равен M0 . Разрыв ˙ угловой скорости на L1 есть [θ]L1 = 0. При повороте области Sn вокруг опоры на угол α угол между двумя смежными областями Sn будет равен 2α cos ϕ (при малых прогибах). Следовательно, разрыв угловой скорости на границах областей Sn равен 2α cos ϕ. Длина границы двух смежных областей Sn равна ˙ R2 . Тогда для мощности внутренних сил (2) получаем N = 2nα∗ M0 R2 cos ϕ. ˙ (6) Подставляя выражения (4)-(6) в (1), получаем уравнение движения для схемы деформирования 1: 1 π 2 2 ρ¨ R2 (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 cos ϕ + 3 R2 + 4R1 α -ϕ = 4 2 π - ϕ - 2R2 cos ϕ - 6M0 cos ϕ. (7) = P (t)R2 3R1 2 Динамическое поведение по схеме 2 (рис. 3) для области S1 , как защемленной правильной полигональной пластины, рассмотрено подробно в [5]. В этом случае, поскольку деформируется только внутренняя от опоры часть пластины, поведение и предельная нагрузка для области S1 не зависят от величины 97 Р о м а н о в а Т. П. R2 . Скорости прогибов пластины при схеме 2 определяются соотношениями (3) при (x, y) ∈ S1 . Выражения для мощностей (2) примут вид R1 /tg ϕ -x tg ϕ+R1 0 R1 /tg ϕ 0 -x tg ϕ+R1 0 0 K = 2nρ¨ α∗ α˙ A = 2nα∗ P (t) ˙ N = 4nα∗ M0 ˙ 1 R4 y 2 dy dx = nρ¨ α∗ 1 , α˙ 6 tg ϕ ydy dx = nρα∗ P (t) ˙ 3 R1 , 3 tg ϕ R1 . tg ϕ Подставляя эти выражения в (1), получаем уравнение движения для схемы 2: ρ¨ R1 α 12M0 = P (t) - 2 . 2 R1 (8) В случае схемы 3 (рис. 4) динамическое поведение области S2 как круглой пластины, защемлённой по полигональному внутреннему контуру, можно получить на основе [10]. Скорости прогибов пластины для схемы 3 имеют вид u(x, y, t) = -α(t)y, ˙ ˙ (x, y) ∈ S2 . (9) Выражения для мощностей (2) примут вид K = 2nρ¨ α α˙ √ R1 /tg ϕ ∗ 0 2 R2 -x2 -R1 0 R2 cos ϕ y 2 dy dx+ √ 2 R2 -x2 -R1 + R1 /tg ϕ = 2n¨ α α˙ ∗ x tg ϕ-R1 3 4 (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 sin ϕ - 2R1 + π 2 2 2 -ϕ + 3R2 R2 + 4R1 tg ϕ 2 √ R1 /tg ϕ A = 2nα∗ P (t) ˙ y 2 dy dx = ρ , 24 tg ϕ 2 R2 -x2 -R1 ydy dx+ 0 0 R2 cos ϕ √ 2 R2 -x2 -R1 + ydy dx = R1 /tg ϕ x tg ϕ-R1 3 3 2 = 2nα∗ 2R2 sin ϕ + R1 - 3R1 R2 tg ϕ ˙ π -ϕ 2 P (t) , 6 tg ϕ N = 2nα∗ M0 R2 cos ϕ. ˙ Подставляя последние выражения в (1), получаем уравнение деформирования пластины в случае схемы 3: 98 Оптимальное расположение полигональных внутренних опор . . . 3 4 2 2 2 ρ¨ (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 sin ϕ - 2R1 + 3R2 R2 + 4R1 tg ϕ α π -ϕ 2 3 3 2 = 4P (t) 2R2 sin ϕ + R1 - 3R1 R2 tg ϕ π -ϕ 2 = - 24M0 R2 sin ϕ. (10) Начальные условия имеют вид: α(0) = α(0) = 0. ˙ (11) 2. Определение предельной нагрузки и схемы деформирования. Предельную нагрузку P0i (i = 1, 2, 3) при разных схемах деформирования определяем из уравнений движения (7), (8), (10) при учете α = 0: ¨ 6M0 cos ϕ , R2 [3R1 (π/2 - ϕ) - 2R2 cos ϕ] 12M0 P02 = 2 , R1 6M0 R2 sin ϕ . = 3 3 2 2R2 sin ϕ + R1 - 3R1 R2 tg ϕ(π/2 - ϕ) P01 = P03 (12) (13) (14) Предельная нагрузка для пластины определится как P0 = min (P01 , P02 , P03 ) . (15) Номер i, соответствующий минимальному значению величин P0i , определяет номер схемы деформирования пластины, i = 1, 2, 3. 3. Интегрирование уравнений движения. Для «средних» нагрузок при Pmax > P0 движение пластины по схемам 1-3 определяется уравнениями (7), (8), (10), которые можно записать в виде α(t) = Gi [P (t) - P0i ] , ¨ (16) где i = 1, 2, 3 - номер схемы, 4 [3R1 (π/2 - ϕ) - 2R2 cos ϕ] , 2 2 ρ (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 cos ϕ + 3 R2 + 4R1 (π/2 - ϕ) 2 G2 = , ρR1 3 3 2 4 2R2 sin ϕ + R1 - 3R1 R2 tg ϕ (π/2 - ϕ) . G3 = 3 4 2 2 2 ρ (3R2 sin ϕ - 16R1 ) R2 sin ϕ - 2R1 + 3R2 tg ϕ R2 + 4R1 (π/2 - ϕ) G1 = Начальные условия имеют вид (11). В момент времени t = T нагрузка снимается, и пластина движется далее по инерции. Интегрируя уравнение (16), получаем (0 t T ) t t P (τ )dτ - P0i t , α(t) = Gi ˙ 0 m α(t) = Gi 0 0 1 P (τ )dτ dm - P0i t2 . (17) 2 99 Р о м а н о в а Т. П. При T < t tf движение пластины происходит по инерции до остановки в момент времени tf и описывается уравнением α(t) = -Gi P0i ¨ (18) с начальными условиями на α, α в момент времени T , определяемыми из ˙ (17). Время tf определяется из условия α(tf ) = 0. ˙ (19) Интегрируя уравнение движения (18), получаем α(t) = α(T ) - Gi P0i (t - T ), ˙ ˙ 1 α(t) = α(T ) + α(T )(t - T ) - Gi P0i (t - T )2 . ˙ 2 (20) (21) Из уравнений (19), (20) следует tf = T 1 P0i P (t)dt. (22) 0 По правилу интегрирования по частям справедливо равенство t t T 0 0 T P (t)dt - P (τ )dτ dt = T 0 tP (t)dt, 0 учитывая которое, из (21), (22) получаем выражение для остаточного угла поворота 2 T T 1 P (t)dt - tP (t)dt . α(tf ) = Gi 2P0i 0 0 Прогибы пластины определяются из равенств (4) для схем 1, 2 и (9) для схемы 3. Максимальный остаточный прогиб пластины вычисляется по следующей формуле: wmax = zi α(tf ) = zi Gi 1 2P0i 2 T P (t)dt 0 T - tP (t)dt . 0 Здесь i - номер схемы; z1 = z2 = R1 , z3 = R2 - R1 . 4. Результаты численных расчётов. На рис. 5 приведены графики распре2 деления предельной нагрузки P0 (в безразмерном виде P0 R2 /M0 ), полученные по формулам (12)-(15), в зависимости от расположения опорного контура (от отношения R1 /R2 ) при разном количестве сторон полигонального опорного контура. Кривая 1 на рис. 5 изображает случай треугольного опорного контура (n = 3). В этом случае (0 R1 /R2 0.5) пластина деформируется только по схеме 3; максимальная предельная нагрузка достигается при R1 /R2 = 0.5 и 2 равна P0 = 13.755M0 /R2 . Ломаная линия 2 на рис. 5 изображает случай квадратного опорного контура (n = 4). В этом случае при 0 R1 /R2 0.655 реализуется схема 3, 100 Оптимальное расположение полигональных внутренних опор . . . Рис. 5. [Figure 5] при 0.655 R1 /R2 0.67 - схема 2, а при 0.67 R1 /R2 0.707 - схема 1; 2 max P0 = 28.1M0 /R2 достигается при R1 /R2 = 0.655. Ломаная линия 3 на рис. 5 относится к случаю n = 6. Для такой пластины при 0 R1 /R2 0.678 реализуется схема 3, при 0.678 R1 /R2 0.718 - схе2 ма 2, при 0.718 R1 /R2 0.866 - схема 1; max P0 = 26.1M0 /R2 достигается при R1 /R2 = 0.678. Ломаная линия 4 на рис. 5 изображает случай n = 20 (практически круговая опора). Для этого случая при 0 R1 /R2 0.697 реализуется схема 3, при 0.697 R1 /R2 0.76 - схема 2, при 0.76 R1 /R2 0.988 - схема 1; 2 max P0 = 24.7M0 /R2 достигается при R1 /R2 = 0.697. Из расчётов видно, что при квадратной форме опорного контура максимальная предельная нагрузка пластины будет самой большой по сравнению с максимальными предельными нагрузками, полученными для других форм опорного контура. Следовательно, наименьшая повреждаемость будет достигать при квадратном внутреннем опорном контуре с радиусом вписанной окружности R1 = 0.678R2 . Поскольку при любом n 4 максимальная предельная нагрузка соответствует параметру R1 , при котором схема 2 переходит в схему 3, то, приравнивая P02 и P03 в равенствах (13), (14), получаем алгебраическое уравнение для определения оптимального значения R1 (ϕ = π(n - 2)/2n): 3 3 2 2 2 2R2 sin ϕ + R1 - 3R1 R2 tg ϕ (π/2 - ϕ) = R2 R1 sin ϕ. При n → ∞ получаем решение для круглой пластины с внутренней круг2 лой опорой, для которой максимальная предельная нагрузка P0 = 24.1M0 /R2 достигается при R1 /R2 = 0.7. Такое расположение опоры совпадает с оптимальным, полученным в [3] на основе точного решения с использованием условия пластичности Йогансена. При n → ∞ и R1 = R2 получаем случай круглой пластины, шарнирно опёртой по контуру, которая деформируется по схеме 1. Предельная нагрузка для неё получается предельным переходом из 2 формулы (12) и составляет P0 = 6M0 /R2 . Эта предельная нагрузка и остаточные прогибы пластины совпадают с точным решением задачи при условии пластичности Треска [1]. 101 Р о м а н о в а Т. П. В случае постоянного периметра D = 2nR1 /tg ϕ опорного контура L1 формулы (12)-(14) при обозначении d = D/(2πR2 ) принимают вид P01 = P03 = 6M0 n cos ϕ 2 [3π tg ϕ (π/2 - ϕ) d - R2 12M0 n2 P02 = , (πdR2 tg ϕ)2 2 R2 [2 sin ϕ 2n cos ϕ] , 6M0 sin ϕ . + (dπtg ϕ/n)3 - 3dπ tg2 ϕ (π/2 - ϕ) /n] (23) (24) (25) На рис. 6 приведены графики распределения предельной нагрузки P0 2 (в безразмерном виде P0 R2 /M0 ), полученные по формулам (23)-(25), (15) в зависимости от параметра d (безразмерный периметр опорного контура L1 ) при разном количестве сторон полигонального опорного контура. Кривая 1 на рис. 6 изображает случай n = 3: пластина деформируется 2 только по схеме 3; 0 d 0,827; max P0 = 13.755M0 /R2 достигается при d = 0.827. Ломаные линии 2-4 на рис. 6 изображают случаи n = 4 (max P0 = 2 2 2 = 28.1M0 /R2 ), n = 5 (max P0 = 26.8M0 /R2 ), n = 6 (max P0 = 26.1M0 /R2 ) соответственно. Ломаная линия 5 на рис. 6 изображает случай круглой опоры (n → ∞); при 0 d 0.697 реализуется схема 3, при 0.697 d 0.76 - схема 2, при 2 0.76 d 0.99 - схема 1; max P0 = 24.7M0 /R2 достигается при d = 0.697. Из рис. 6 видно, что при заданном периметре опирания D треугольная форма контура опоры является самой нежелательной. При 0 d 0.697 и d = 1 оптимальной является круглая опора; при 0.748 d 0.764 - шестиугольная опора, при 0.764 d 0.81 - пятиугольная, при 0.81 d 0.9 - квадратная. Оптимальное количество сторон при 0.9 < d < 1 определим так. Из нера- Рис. 6. [Figure 6] 102 Оптимальное расположение полигональных внутренних опор . . . венства R1 R2 sin ϕ и выражения ϕ = π(n - 2)/2n следует π(n - 2) n cos . (26) π 2n Тогда максимальное целое значение n, удовлетворяющее неравенству (26), будет оптимальным количеством сторон при 0.9 < d < 1. Таким образом, изменяя количество сторон и расположение опорного полигонального контура внутри области пластины, можно найти такую опору, при которой пластина будет наиболее прочной.

About the authors

Tatiana P Romanova

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: lab4nemir@gmail.com
4/1, Institutskaya st., Novosibirsk, 630090, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; lab4nemir@gmail.com), Senior Researcher, Lab. of the Physics of Fast Processes

References

  1. Hopkins H. G., Prager W. On the dynamics of plastic circular plates // Z. Angew. Math. Phys., 1954. vol. 5, no. 4. pp. 317-330. doi: 10.1007/BF01587827.
  2. Jones N. A literature review of the dynamic plastic response of structures // The Shock and Vibration Digest, 1975. vol. 7, no. 8. pp. 89-105. doi: 10.1177/058310247500700809.
  3. Оленев Г. М. Оптимальное расположение дополнительных опор к жёсткопластическим круглым пластинкам в случае импульсного нагружения // Уч. зап. Тартуского гос. унта, 1983. Т. 659. С. 30-41.
  4. Комаров К. Л., Немировский Ю. В. Динамика жёсткопластических элементов конструкций. Новосибирск: Наука, 1984. 234 с.
  5. Немировский Ю. В., Романова Т. П. Динамический изгиб пластических полигональных плит // ПМТФ, 1988. № 4. С. 149-156.
  6. Reid S. R., Harrigan J. J. Transient effects in the quasi-static and dynamic internal inversion and nosing of metal tubes // International Journal of Mechanical Sciences, 1998. vol. 40, no. 2-3. pp. 263-280. doi: 10.1016/S0020-7403(97)00054-4.
  7. Velasco J. I., Martínez A. B., Arencón D., Rodríıguez-Pérez M. A., De Saja J. A. Application of instrumented falling dart impact to the mechanical characterization of thermoplastic foams // Journal of Materials Science, 1999. vol. 34, no. 3. pp. 431-438. doi: 10.1023/A:1004565822502.
  8. Jones N., Jones C. Inelastic failure of fully clamped beams and circular plates under impact loading // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2. vol. 216. pp. 133-150. doi: 10.1243/0954406021525070.
  9. Casapulla C., Maione A. Structural response to transverse impact loading. Some orders of magnitude // Advances in Earthquake Engineering, 2003. vol. 13. pp. 131-140.
  10. Немировский Ю. В., Романова Т. П. Моделирование динамического поведения двусвязной жeсткопластической криволинейной пластины, закреплeнной по внутреннему контуру / Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием (29-31 мая 2008 г.). Часть 1: Математические модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2008. С. 197-207, http://mi.mathnet.ru/mmkz1021.
  11. Romanova T., Nemirovsky Yu. Dynamic rigid-plastic deformation of arbitrarily shaped plates // Journal of Mechanics of Materials and Structures, 2008. vol. 3, no. 2. pp. 313-334. doi: 10.2140/jomms.2008.3.313.
  12. Jones N. Impact loading of ductile rectangular plates // Thin-Walled Structures, 2012. vol. 50, no. 1. pp. 68-75. doi: 10.1016/j.tws.2011.09.006.
  13. Немировский Ю. В., Романова Т. П. Моделирование предельного и динамического поведения жёсткопластической пластины произвольной формы с внутренней криволинейной опорой // Вестн. Чувашского гос. педагог. ун-та. Сер. Механика предельного состояния, 2013. № 3(17). С. 89-96.
  14. Chen F. L., Yu T. X. Membrane factor method for large deflection response of beams and plates to intense dynamic loading // WIT Transactions on the Built Environment, 2014. vol. 141. pp. 59-71. doi: 10.2495/SUSI140061.
  15. Ерхов М. И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука, 1978. 352 с.

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 6

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies