On a stability of polar symmetrical deformation of bodies from softening materials

Full Text

Введение. Учет разупрочнения, т. е. неустойчивых по Друккеру [1] состояний материала, как правило, приводит к тому, что при некотором значении внешней нагрузки процесс деформирования элемента конструкции или © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования С т р у ж а н о в В. В., Б е р д н и к о в К. В. Об устойчивости процесса полярно-симметричного деформирования тел из разупрочняющихся материалов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 4 (37). С. 111-120. doi: 10.14498/vsgtu1317. 111 С т р у ж а н о в В. В., Б е р д н и к о в К. В. механической системы с элементом из разупрочняющегося материала теряет устойчивость [2, 3]. Невозможность равновесия является признаком разрушения [4]. Таким образом, начало разрушения связывается с моментом потери устойчивости напряженно-деформированного состояния. В монографии [5] приведено исследование устойчивости квазистатического активного (без разгрузок) растяжения параллельно и последовательно соединенных стержней, часть из которых обладает эффектом деформационного разупрочнения. Анализ осуществлялся посредством применения аппарата математической теории катастроф [6, 7], справедливым для консервативных (градиентных) механических систем с конечным числом обобщенных координат. В этом случае он опирается на принцип стационарности потенциальной энергии, фактически вытекающий из уравнений Эйлера-Лагранжа при равенстве нулю кинетической энергии и независимости функции Лагранжа (лагранжиана) от скоростей и времени. Потеря устойчивости процесса растяжения наступает тогда, когда вторая вариация лагранжиана обращается в нуль, что происходит в момент вырождения матрицы Гессе (матрицы вторых производных лагранжиана по параметрам состояния системы - обобщенным координатам). Исследование устойчивости процессов деформирования твердых тел, материал которых может работать и на стадии разупрочнения, осложняется тем, что деформируемые тела представляют собой механические системы с бесконечным числом переменных. В этом случае необходимо уже непосредственно использовать общий принцип гамильтоновой механики, а именно принцип наименьшего действия [8-10], на основе которого формулируются законы механики сплошных сред и других разделов механики и физики, излагающихся на языке теории поля [11]. В механике деформируемого твердого тела принципы гамильтоновой механики применимы, вообще говоря, для описания недиссипативных процессов. Однако известно [12], что при активном деформировании (без разгрузок) любой материал с формальной точки зрения можно рассматривать как нелинейно упругий. Поэтому в данном случае оправдано применение формализма Лагранжа и Гамильтона. При квазистатическом деформировании принцип наименьшего действия приводит к условию стационарности лагранжиана в положениях равновесия, а устойчивость равновесия определяется второй вариацией лагранжиана, который теперь представляет уже плотность потенциальной энергии. В данной работе исследуется устойчивость полярно-симметричного процесса деформирования на примере задач о расширении сферической полости в пространстве и гидростатического давления на толстостенный сферический сосуд. Свойства материала описываются единой кривой с падающей ветвью (материал Генки с разупрочнением [13]). Сформулирован критерий потери устойчивости процесса деформирования при постепенно (квазистатически) возрастающих нагрузках, который можно использовать для прогнозирования разрушения рассматриваемых континуальных механических систем. 1. Лагранжиан при квазистатическом изотермическом процессе деформирования под действием внешней нагрузки (объемные силы отсутствуют). Лагранжиан представляет собой сумму двух работ W = W i + W a, где W i - работа внутренних сил (энергия деформаций), W a - работа внеш112 Об устойчивости процесса полярно-симметричного деформирования тел. . . них сил, взятая со знаком минус (потенциальная энергия поверхностных сил). Будем считать, что материал, из которого изготовлено тело, является материалом Генки. Поэтому работа внутренних сил в элементарном объеме отождествляется со свободной энергией [14]. Тогда Wi = F dV, V где F - свободная энергия, V - объем тела. При полярно-симметричном напряженно-деформированном состоянии имеют место только радиальные перемещения u = u(r), а также определенные в сферической системе координат деформации εr , εθ = εϕ и напряжения σr , σθ = σϕ . Все они зависят от одной переменной r - расстояния от материальной точки до начала системы координат [15]. Функция свободной энергии для материала Генки имеет вид [14] 1 F (θ, Γ) = F (εr , εθ , εϕ ) = Kθ2 + 6 Γ Gs (Γ)Γ dΓ, (1) 0 где K - объемный модуль упругости, θ - относительное изменение объема материального элемента, Γ - интенсивность деформаций сдвига [14], Gs - секущий модуль единой кривой T (Γ) = Gs (Γ)Γ [14] (T - интенсивность касательных напряжений). Для полярно-симметричного напряженно-деформированного состояния находим √ √ θ = εr + 2εϕ , Γ = 2(εr - εϕ ) 3, T = (σr - σϕ ) 3. Отметим, что выражение (1) при условии неположительности объемной деформации справедливо и на стадии разупрочнения (неустойчивого деформирования материала), когда единая кривая имеет ниспадающий до нуля участок [13]. Полярно-симметричное деформирование возможно тогда, когда на сферических поверхностях S, ограничивающих объем V , заданы либо равномерно распределенные силы p, действующие в радиальном направлении, либо одинаковые радиальные перемещения v точкам границы. Потенциальная энергия внешних сил тогда составит величину Wa = - pu dS = -pus Sσ . Sσ Здесь Sσ - площадь сферической поверхности, на которой заданы силы, us - перемещение точек границы Sσ , возникающие под действием сил. Проверим корректность построенного лагранжиана. Найдем его первую вариацию. Имеем δW = δW a + δW i = -pδus Sσ + V ∂F ∂F δεr + 2 δεθ dV = ∂εr ∂εθ d δu = -pδus Sσ + σr δu + 2σθ dV. dr r V 113 С т р у ж а н о в В. В., Б е р д н и к о в К. В. Здесь использованы соотношения Коши для полярно-симметричной деформации: εr = du/dr, εθ = u/r = εϕ . Далее в сферической системе координат δW i = 4π r 2 σr R d δu dr + 8π dr = 4π rσθ δu dr = R r2 σr δu R - R d 2 r σr δu dr + 2 dr rσθ δu dr . R Здесь R - область изменения переменной r. Приравнивая теперь первую вариацию к нулю, находим уравнение равновесия 2rσθ - d 2 r σr = 0 dr и граничное условие σr = p. Очевидно, что полученный результат согласуется с принципом Лагранжа [15, 16]. 2. Критерий устойчивости. Рассмотрим некоторое положение равновесия деформируемого тела, возмутим его, задав вариации δεr , δεϕ , δεθ , и запишем приращения лагранжиана. Имеем [16] ∆W = δW + δ 2 W + · · · . Поскольку исходная конфигурация находится в равновесии, δW = 0. Следовательно знак приращения определяется знаком второй вариации. Пусть для всех возможных (виртуальных) деформаций δ 2 W > 0. Тогда ∆W > 0 при любых возмущениях положения равновесия. Функция W имеет минимум и строго выпукла вниз. Равновесие устойчиво. Если всегда выполняется неравенство δ 2 W < 0, то ∆W < 0. Функция W имеет максимум и строго выпукла вверх. Равновесие абсолютно неустойчиво. Когда вторая вариация знаконеопределена, т. е. для одних возможных деформаций δ 2 W > 0, а для других δ 2 W < 0, лагранжиан W имеет в положении равновесия седловую точку. При возмущениях в одних направлениях деформирование устойчиво, в других - неустойчиво. Таким образом, исходное равновесие неустойчиво, хотя и неабсолютно. Наконец, рассмотрим вариант положительной полуопределенности второй вариации, когда для некоторого набора возможных деформаций δ 2 W = 0, а для всех остальных δ 2 W > 0. В этом случае рассматриваемое состояние является пограничным, т. е. имеет место переход функции W от выпуклости вниз к седловой точке (переход к неустойчивости). Следовательно, равенство δ 2 W = 0 можно считать критерием, при выполнении которого процесс деформирования тела теряет устойчивость впервые при монотонном нагружении. В рассматриваемых задачах полярно-симметричного деформирования δ 2 W = δ 2 W a + δ 2 W i = -pδ 2 us Sσ + δ 2 W i , где δ2W i = V 114 ∂2F δεi δεj dV, ∂εi ∂εj Об устойчивости процесса полярно-симметричного деформирования тел. . . ∂ 2 F ∂εi ∂εj = H [F (r)] - матрица Гессе функции свободной энергии, компоненты которой определены для заданного положения равновесия. Отметим, что здесь индексы i, j принимают значения r, θ, ϕ. Матрица Гессе функции F совпадает с матрицей тангенциальной жесткости материала C p [13] и имеет следующий вид:  p p p  Crr Crθ Crϕ p p p C p =  Cθr Cθθ Cθϕ  , p p p Cϕr Cϕθ Cϕϕ где p Crr = ∂ 2 F ∂εr ∂εr = (K + Gp ) 3, p Cθθ = ∂ 2 F ∂εθ ∂εθ = Gs + (K + Gp ) 3, p p Cθθ = Cϕϕ , p p p p Crϕ = Crθ = Cθr = Cϕr = (K - 2Gp ) 3, p p Cθϕ = Cϕθ = -Gs + (K + Gp ) 3. Здесь Gp = Gs + ΓdGs dΓ - инкрементальный модуль, определяемый касательной к единой кривой T ∼ Γ. Далее в случае полярно-симметричного деформирования тело должны ограничивать сферические поверхности Sσ и Su , где возможно задание либо равномерно распределенных радиальных сил, либо одинаковых радиальных перемещений. На поверхности Su имеем pδus = 0 (вариация поверхностных перемещений равна нулю, так как us фиксировано). На Sσ имеем δus = const и, следовательно, δ 2 us = 0. Таким образом, критерий потери устойчивости процесса деформирования (пограничное состояние) определяет равенство δε H(F )δε dV = 0, (2) V где δε = (δεr , δεθ , δεϕ ) - вектор-строка, δε - соответствующий вектор-столбец. Интеграл (2) можно представить суммой трех интегралов, вычисляемых соответственно в областях упругости, упрочнения (пластичности) и разупрочнения. Собственные числа матрицы H(F ) равны K, 2Gp , 2Gs . Так как в упругости и упрочнении K > 0, Gp > 0, Gs > 0, матрица H(F ) является положительно определенной [17]. Тогда интегралы в областях упругости и упрочнения положительны. Поэтому при отсутствии зон разупрочнения процесс деформирования устойчив. В области разупрочнения Gp < 0, матрица H(F ) знаконеопределена и соответствующий интеграл может быть отрицательным. Следовательно, равенство нулю интеграла (2) и потеря устойчивости деформирования возможны только при достаточно развитой зоне разупрочнения материала. Примечание. Вообще говоря, условие (2) является только необходимым. Для фиксирования факта потери устойчивости при монотонном нагружении следует исследовать на устойчивость ближайшее к исходному положение равновесия. Если оно неустойчиво, то условие (2) является и достаточным. В противном случае устойчивость деформирования сохраняется. 115 С т р у ж а н о в В. В., Б е р д н и к о в К. В. 3. Устойчивость процесса расширения сферической полости. Сферическая полость радиуса a расположена в бесконечном упругопластическом пространстве, материал которого может работать на стадии разупрочнения. Пусть расширение полости осуществляется под действием равномерного внутреннего давления. Как было указано выше, потеря устойчивости процесса деформирования возможна при наличии зоны разупрочнения. Рассмотрим положение равновесия, когда зона разупрочнения ограничена сферическими поверхностями с радиусами a и rB , зона пластичности - поверхностями с радиусами rB и rT , зона упругости - поверхностью радиусом rT . Данное расположение зон вытекает из специфики напряженно-деформированного состояния [5]. Тогда критерий устойчивости (2) в сферической системе координат принимает вид rT rB r2 δε · H(F st ) · δε dr + r2 δε · H(F hr ) · δε dr+ rB a ∞ r2 δε · H(F el ) · δε dr = 0. (3) + rT Здесь H(F st ), H(F hr ) и H(F el ) - матрицы инкрементальных модулей, компоненты которых являются функциями расстояния от начала координат и определены соответственно в областях разупрочнения, упрочнения и упругости в данном положении равновесия. Для проверки равенства (3) необходимо иметь множество возможных деформаций, возмущающих положение равновесия и не нарушающих условий, при которых сформулирована задача. Такими ограничениями являются: 1) обращение в нуль деформаций на бесконечности; 2) неположительность объемной деформации; 3) удовлетворение виртуальными перемещениями уравнениям Ляме с нулевой правой частью (отсутствие объемных сил). Таким условиям отвечают виртуальные перемещения типа αi r2 , где αi - произвольные малые числа. Отсюда возможные деформации, вычисляемые по соотношениям Коши, равны δεr = -2αi /r3 , δεθ = δεϕ = αi /r3 . Подставляя эти значения в выражение (3), а также учитывая, что H(F ) = C p , после необходимых преобразований получаем равенство rB a Gp st dr + r4 rT rB Gp G hr dr + = 0. 4 r 3(rT )3 Здесь G - модуль сдвига в упругости, Gp > 0 - касательная к единой кривой hr на стадии упрочнения, Gp < 0 - касательная на стадии разупрочнения. st 4. Устойчивость процесса гидростатического сжатия сферического сосуда. Рассмотрим толстостенный сферический сосуд, находящийся под воздействием равномерного внешнего давления. Внутренний и внешний радиусы сферических поверхностей, ограничивающих сосуд, соответственно a и b. С учетом распределения зон упругости, упрочнения и разупрочнения [5] критерий (2) принимает вид 116 Об устойчивости процесса полярно-симметричного деформирования тел. . . rT rB 2 r2 δε · H(F hr ) · δε dr+ st r δε · H(F ) · δε dr + rB a b r2 δε · H(F el ) · δε dr. (4) + rT Возможные перемещения, удовлетворяющие приведенным выше условиям, есть линейная комбинация αi /r2 + βj r (αi , βj - произвольные малые числа). После подстановки всех необходимых значений в выражение (4) и проведения преобразований с учетом независимости αi и βj получаем два равенства: rB a rB a Gp st dr + r4 (3K - Gp ) r2 dr + st rT rB rT rB Gp G 1 1 hr dr + - 3 4 T )3 r 3 (r b 3K - Gp r2 dr + hr = 0, 1 (3K - G) b3 - (rT )3 = 0. 3 Выполнение хотя бы одного из этих равенств прогнозирует неустойчивость равновесия. Заключение. С использованием лагранжева формализма исследована устойчивость процесса полярно-симметричного деформирования твердых тел при стесненных условиях объемного деформирования, свойства материала которых описываются моделью Генки с разупрочнением. В задачах о расширении сферической полости в пространстве и гидростатическом сжатии толстостенного сферического сосуда из разупрочняющегося материала определены множества возможных деформаций, возмущающих положение равновесия и не нарушающих кинематических связей, которые позволяют выписать критерии потери устойчивости процесса деформирования для указанных задач.

About the authors

Valery V Struzhanov

Institute of Engineering Science, Ural Branch of RAS

Email: stru@imach.uran.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; stru@imach.uran.ru), Chief Researcher, Lab. of Matherial Micromechanics 34, Komsomolskaya st., Ekaterinburg, 620049, Russian Federation

Kirill V Berdnikov

Institute of Engineering Science, Ural Branch of RAS

Email: kir.berdnikov@mail.ru
(kir.berdnikov@mail.ru; Corresponding Author), Postgraduate Student, Lab. of Matherial Micromechanics 34, Komsomolskaya st., Ekaterinburg, 620049, Russian Federation

References

Supplementary files