Boundary value problem for mixed type equation of the third order with periodic conditions

Abstract


The problem for the equation of the mixed elliptic-hyperbolic type with nonlocal boundary conditions is viewed. This problem is reduced to the inverse problem for elliptichyperbolic equation with unknown right-hand parts. The criterion of the uniqueness is established. The explicit solution is constructed as the sum of orthogonal trigonometric series of the one-dimensional spectral problem eigenfunctions. The argumentation of the series convergence under some restrictions is given. The stability of the solution by the boundary functions is proved.

Full Text

Введение. Рассмотрим уравнение третьего порядка смешанного типа ∂ ∂ (Lu) = uxx + (sgn y)uyy − b2 u = 0 ∂y ∂y (1) в прямоугольной области D = {(x, y) | 0 < x < 1, −α < y < β} , где α, β, b — заданные положительные постоянные, и следующую задачу. Задача 1.Найти в области D функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям: u(x, y) ∈ C 1 (D), uy (x, y) ∈ C 1 (D), uxxy , uyyy ∈ C(D− ∪ D+ ); ∂ (Lu) = 0, (x, y) ∈ D− ∪ D+ ; ∂y u(0, y) = u(1, y), ux (0, y) = ux (1, y), −α y β; u(x, −α) = ψ(x), u(x, β) = ϕ(x), 0 x 1; uy (x, −α) = g(x), 0 x 1, (2) (3) (4) (5) где ψ(x), ϕ(x), g(x) — заданные достаточно гладкие функции, ψ(0) = ψ(1), ϕ(0) = ϕ(1), ψ (0) = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), D− = D ∩ {y < 0}, D+ = D ∩ {y > 0}. Уравнение (1) в области D равносильно уравнению эллиптико-гиперболического типа второго порядка с неизвестной правой частью Lu = f (x, y) = f1 (x), y > 0, f2 (x), y < 0. (6) 29 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а Тогда задача 1 сводится к следующей обратной задаче. Задача 2. Найти в области D функции u(x, y) и f (x, y), удовлетворяющие условиям (2), (3)–(5) и Lu = f (x, y), (x, y) ∈ D− ∪ D+ ; fi (x) ∈ C(0, 1) ∩ L2 [0, 1], i = 1, 2. (7) (8) Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка изучались многими авторами (см. работы [1–3] и приведенную там библиографию). В [1,2] исследуются краевые задачи для уравнения (1) при b = 0 аналитическими методами в области, где гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник. Решение найдено в классе функций, представимых в виде u(x, y) = ω(x, y) + ω(x), где ω(x, y) — произвольное регулярное решение уравнения Lu = 0 при b = 0, y = 0, ω(x) — произвольная функция из класса C[0,1] ∩ C 2 (0,1), удовлетворяющая условиям ω(0) = ω(1) = 0. В [3] получены теоремы об однозначной разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных нечётного порядка в цилиндрических областях. В работах [4, 5] доказаны единственность и существование решения краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка в прямоугольной области. В данной работе, как и в работах [4, 5], предлагается метод решения задачи для дифференциального уравнения третьего порядка путём сведения к обратной задаче для дифференциального уравнения смешанного типа второго порядка с неизвестными правыми частями. Ранее обратные задачи для различных типов дифференциальных уравнений в частных производных изучались многими авторами [6–13]. Обратные задачи для уравнений смешанного типа второго порядка с неизвестными правыми частями рассматривались в работах [14–20]. В работах [18–20] для уравнения (6) при f1 (x) = f2 (x) и f1 (x) = f2 (x) изучены обратные задачи с граничными условиями второго рода ux (0, y) = ux (1, y) = 0, −α y β, когда b = 0 и b > 0. В этой работе изучены задачи 1 и 2 с условиями периодичности (3). Установлен критерий единственности. Решение указанных задач построено в виде суммы рядов по системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При определенных ограничениях на данные задачи (2)–(5) дано обоснование сходимости рядов в классах (2) и (8). Установлена устойчивость решения по граничным данным. 1. Формальное построение решения задач 1 и 2. Поставленную задачу будем решать методом разделения переменных u(x, y) = X(x)Y (y). Соответствующая спектральная задача относительно X(x) имеет следующую систе√ му собственных чисел и собственных функций: µk = 2πk, k ∈ N0 = N ∪ {0}; √ √ X0 (x) = 1, X2k−1 (x) = 2 sin 2πkx, X2k = 2 cos 2πkx, k ∈ N. (9) Система (9) ортонормирована, полна и образует базис в пространстве L2 [0, 1]. Пусть существует решение задачи 2. Будем искать его в виде суммы ортогональных рядов: u(x, y) = u0 (y) + √ ∞ 2 (u2k−1 (y) sin 2πkx + u2k (y) cos 2πkx) , k=1 30 (10) Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности fi (x) = fi,0 + √ ∞ 2 (fi,2k−1 sin 2πkx + fi,2k cos 2πkx) , i = 1, 2, (11) k=1 где 1 u(x, y) dx, u0 (y) = 0 u2k (y) = u2k−1 (y) = √ √ 1 0 1 2 u(x, y) sin 2πkx dx, 2 (12) u(x, y) cos 2πkx dx, 0 1 fi,0 = fi (x) dx, 0 fi,2k = √ fi,2k−1 = √ 1 2 1 2 fi (x) sin 2πkx dx, 0 fi (x) cos 2πkx dx, (13) i = 1, 2, k ∈ N. 0 Следуя [18], получим, что функции uk (y), k ∈ N0 , являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений uk (y) − (sgn y)λ2 uk (y) = (sgn y)fi,k , k (14) где λ2 = (2πk)2 + b2 , i = 1 при y > 0, i = 2 при y < 0. k Дифференциальные уравнения (14) имеют общие решения y > 0, ak eλk y + bk e−λk y − f1,k /λ2 , k ck cos λk y + dk sin λk y − f2,k /λ2 , y < 0, k uk (y) = (15) здесь k ∈ N0 , ak , bk , ck , dk — произвольные постоянные. В силу условий (2) функции uk (y), определяемые формулами (15), удовлетворяют условиям сопряжения: uk (0 − 0) = uk (0 + 0), uk (0 − 0) = uk (0 + 0), uk (0 − 0) = uk (0 + 0), Удовлетворяя их этим условиям, получим   ak eλk y + f1,k −f2,k − ak e−λk y − f1,k , 2λ2 λ2 k k uk (y) = f2,k −f1,k f2,k −f1,k  cos λk y + 2ak + 2λ2 sin λk y − 2 2λ k k k ∈ N0 . y > 0, f2,k , λ2 k (16) y < 0. На основании (4), (5) и (12) имеем uk (−α) = ψk , uk (β) = ϕk , uk (−α) = gk , k ∈ N0 , (17) где ψk , ϕk , gk — коэффициенты разложения функций ψ(x), ϕ(x), g(x) соответственно в ряд по системе (9), т. е. 1 ψ0 = ψ(x) dx, 0 ψ2k = ψ2k−1 = √ 1 2 √ 1 2 ψ(x) sin 2πkx dx, 0 (18) ψ(x) cos 2πkx dx, 0 31 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а 1 ϕ(x) dx, ϕ0 = 0 ϕ2k = ϕ2k−1 = √ √ 1 ϕ(x) sin 2πkx dx, 2 0 1 (19) ϕ(x) cos 2πkx dx, 2 0 1 g0 = g(x) dx, 0 g2k = g2k−1 = √ √ 1 2 g(x) sin 2πkx dx, 0 1 (20) g(x) cos 2πkx dx. 2 0 Удовлетворим решения (16) условиям (17). Тогда относительно неизвестных ak , bk , f1,k , f2,k получим системы линейных уравнений:          f2,k −f1,k f −f cos λk α − 2ak + 2,k 2 1,k sin λk α − 2λ2 2λk k λk β + −a − f2,k −f1,k e−λk β − f1,k = ϕ , ak e k k 2λ2 λ2 k k f2,k −f1,k f2,k −f1,k sin λk α + 2ak + 2λ2 cos λk α = 2λ2 k k f2,k λ2 k = ψk , (21) gk λk , k ∈ N0 . Определители систем (21) такие: ∆αβb (k) sin λk α sh λk β + cos λk α ch λk β − 2 cos λk α + 1 = . 4 λk λ4 k Тогда при условии, что при всех k ∈ N0 ∆αβb (k) = 0, (22) системы (21) имеют единственные решения: ak = f1,k = f2,k = −(sin λk α + cos λk α)ψk + ϕk + (cos λk α − sin λk α − 2)gk /λk , 2∆αβb (k) −λ2 [(sin λk α sh λk β + cos λk α ch λk β)ψk + (2 cos λk α − 1)ϕk ] k − ∆αβb (k) λk (sin λk α ch λk β − cos λk α sh λk β + 2 sh λk β)gk − , (24) ∆αβb (k) λ2 [(2 cos λk α − sin λk α sh λk β − cos λk α ch λk β)ψk − ϕk ] k + ∆αβb (k) λk (2 sin λk α − sin λk α ch λk β + cos λk α sh λk β)gk + . (25) ∆αβb (k) Таким образом, функции (16) построены однозначно. 32 (23) Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности 2. Единственность решения задач 1 и 2. Пусть ψ(x) = ϕ(x) = g(x) ≡ 0 и выполнены условия (22). Тогда в силу (18)–(20) коэффициенты ψk = ϕk = = gk ≡ 0, k ∈ N0 , а значит, системы (21) имеют нулевые решения: ak = f1,k = = f2,k ≡ 0 при k ∈ N0 . Тогда из равенств (12) и (13), учитывая (16), получаем, что при всех y ∈ [−α, β] u(x, y) cos 2πkx dx = 0, u(x, y) sin 2πkx dx = 0, u(x, y) dx = 0, 0 0 0 1 1 fi (x) dx = 0, 0 1 1 1 1 fi (x) sin 2πkx dx = 0, fi (x) cos 2πkx dx = 0, 0 i = 1, 2. 0 Отсюда в силу полноты системы (9) в пространстве L2 [0, 1] и условий (2), (8) следует, что u(x, y) ≡ 0 и f (x, y) ≡ 0 в D. Пусть для некоторых α, β, b, k = p ∈ N выражение ∆αβb (p) = 0, тогда задачи 1 и 2, где ϕ(x) = ψ(x) = g(x) ≡ 0, имеют ненулевые решения: up (x, y) = u0 (y) + up (y)(Ap sin 2πpx + Bp cos 2πpx), fi (x) = fi,p , i = 1, 2, (26) ∆αyb (p) ∆αβb (p)   up (y) =    cos λp (y+α) ∆αβb (p)λ2 p f1,p = f2,p , λ2 p −1 −1 1− y > 0, f2,p , λ2 p y < 0, p ∈ N0 , 2 cos λp α ∆αβb (p) f2,p , ∆αβb (p) = 2 cos λp α − sin λp α sh λp β − cos λp α ch λp β, где Ap , Bp , f2,p — произвольные постоянные. Теперь рассмотрим вопрос, при каких α, β и b выражение ∆αβb (k) = 0. Представим ∆αβb (k) в следующем виде: ∆αβb (k) = 2(ch λk β − 1)2 + 1 sin(λk α + θk ) + 1, (27) где θk = arcsin ch λk β − 2 2(ch λk β − 1)2 + 1 → π 4 при k → +∞. Решая уравнение ∆αβb (k) = 0 относительно α, получаем серию корней α= 1 (−1)n+1 γk − θk + πn , λk n ∈ N, (28) −1/2 где γk = arcsin 2(ch λk β − 1)2 + 1 . Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1. Если существует решение задач 1 и 2, то оно единственно тогда и только тогда, когда выполнены условия (22) при всех k ∈ N0 . 33 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а 3. Обоснование существования решения задач 1 и 2. Решение задач 1 и 2 при условии (22) построено формально в виде сумм ортогональных рядов (10), (11). Поскольку в числители коэффициентов этих рядов входит экспонента exp(λk β), а в знаменатель — выражение ∆αβb (k), для обоснования существования решения задачи необходимо существование таких чисел α, чтобы ∆αβb (k) при достаточно больших k возрастало не медленнее, чем exp(λk β). При этом в силу (28) возникает проблема малых знаменателей [4, 22]. 3.1. Оценка малых знаменателей. Лемма 1. Если α = p/q, p, q ∈ N, (p, q) = 1, (q, 4) = 1, β, b — любые фиксированные положительные числа, то существуют положительные постоянные k0 (k0 ∈ N) и C0 , вообще говоря, зависящие от α, β и b, такие, что при любом k > k0 справедлива оценка |∆αβb (k)| > C0 e2πkβ . (29) Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим выражение ∆αβb (k) в виде ∆αβb (k) = (sin λk α + cos λk α) sh λk β + cos λk αe−λk β + 1 − 2 cos λk α = √ π = 2 sh λk β sin λk α + + cos λk α e−λk β − 2 + 1. (30) 4 Из выражения (30) при b = 0 имеем √ π |∆αβ0 (k)| = 2 sh 2πkβ sin 2πkα + + cos 2πkα e−2πkβ − 2 + 1 4 √ π 2 sh 2πkβ sin 2πkα + − cos 2πkα e−2πkβ − 2 + 1 4 √ π 2 sh 2πkβ sin 2πkα + − cos 2πkα e−2πkβ − 2 − 1. (31) 4 Оценим первое слагаемое из правой части неравенства (31): √ π π C1 e2πkβ sin 2πkα + 2 sh 2πkβ sin 2πkα + 4 4 . (32) Здесь и в дальнейшем Ci — положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от α, β и b. Если α = n ∈ N, то при любом k ∈ N sin 2πkn + π 4 = sin π 1 =√ , 4 2 и тогда из (32) имеем √ C1 > √ e2πkβ . 2 Пусть теперь α = p/q, (p, q) = 1, (q, 4) = 1. Разделив в этом случае 2kp на q с остатком (2kp = sq + r, 0 r < q), получим sin 34 2 sh 2πkβ sin 2πkα + 2πkp π + q 4 = sin π 4 πr π + q 4 = C2 > 0. (33) Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности Из оценок (31), (32) и (33) имеем e−2πkβ − 2 cos 2πkα − 1 > |∆αβ0 (k)| > C3 e2πkβ − > e2πkβ C3 − 3e−2πkβ > C3 2πkβ e (34) 2 √ при k > k1 = (2πβ)−1 ln(6/C3 ). Здесь C3 = min{C1 / 2, C1 · C2 }. Теперь рассмотрим разность eλk β − e2πkβ (sin λk α + cos λk α)− 2 1 1 − e2πkβ (− sin λk α−cos λk α+sin 2πkα+cos 2πkα)+ e−λk β (cos λk α−sin λk α)− 2 2 1 −2πkβ − e (cos 2πkα − sin 2πkα) + 2(cos 2πkα − cos λk α) 2 eλk β − e2πkβ 1 | sin λk α + cos λk α| + e2πkβ (| sin λk α − sin 2πkα|+ 2 2 1 −λk β | cos λk α − sin λk α|+ + | cos λk α − cos 2πkα|) + e 2 1 + e−2πkβ | cos 2πkα − sin 2πkα| + 2| cos 2πkα − cos λk α| 2 (λk − 2πk)α e(λk −2πk)β − 1 √ (λk + 2πk)α 2 + sin e2πkβ · cos + 2 2 2 √ (λk + 2πk)α (2πk − λk )α (λk − 2πk)α · sin + 2e−2πkβ + 4 sin . + sin 2 2 2 |∆αβb (k) − ∆αβ0 (k)| = Учитывая неравенства 0 ex − 1 2x, 0 x 1; | sin x| |x|, получим |∆αβb (k) − ∆αβ0 (k)| e2πkβ √ 2(λk − 2πk)β + (λk − 2πk)α+ √ + 2e−4πkβ + 2e−2πkβ |λk − 2πk|α . Отсюда, в силу оценки 0 < λk − 2πk < b2 /(2πk) при любых k ∈ N, будем иметь |∆αβb (k) − ∆αβ0 (k)| e2πkβ 2πk √ e2πkβ √ 2 2b β + b2 α + 2 2πke−4πkβ + 2αb2 e−2πkβ 2πk √ 2 2b β + b2 α + 2πke−4πkβ + 2αb2 < < e2πkβ √ 2 1 C4 e2πkβ 2b β + 3αb2 + = . 2πk 2β k 35 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а Из последней оценки и неравенства (34) будем иметь |∆αβb (k)| = |∆αβb (k) − ∆αβ0 (k) + ∆αβ0 (k)| |∆αβ0 (k)| − |∆αβb (k) − ∆αβ0 (k)| > при k > k0 C3 2πkβ C4 e2πkβ e − = 2 k C3 C4 = e2πkβ − = C0 e2πkβ 2 k max{k1 , k2 }, где k2 = 2C4 /C3 , C0 = C3 /4. Лемма 2. Пусть α > 0 является любым иррациональным алгебраическим числом степени n = 2. Тогда существуют положительные постоянные β0 , b0 и C0 , вообще говоря, зависящие от α, такие, что при всех β > β0 , b < b0 и k ∈ N справедлива оценка |∆αβ0 (k)| e λk β C0 . k (35) Д о к а з а т е л ь с т в о. Первый множитель выражения (27) имеет оценку 2(ch λk β − 1)2 + 1 1 √ 2(ch λk β − 1) + 1 = 2 √ √ −λ β √ −2λ β 2−1 e λk β k k − (2 − 2)e > √ eλk β . (36) = √ 1 + 2e 2 2 2 2 Рассмотрим теперь второй множитель выражения (27). При b < 2π имеет место равенство λk = b 2 = 2πk 1 b 2 1 b = 2πk 1 + − 2 2πk 8 2πk (2πk)2 + b2 = 2πk 1+ 2 + . . . = 2πk + σk , При этом для σk справедлива оценка [15] b2 b2 < σk < . 2πk 4πk (37) Тогда получим | sin(λk α + θk )| = | sin(2πkα + σk α + θk )| = = | sin(πkα1 + σk + θk )| = | sin(πkα1 − πn + σk + θk )|, (38) где σk = σk α, α1 = 2α. Для σk с учётом (37) имеем оценку b2 α b2 α < σk < . 8πk 4πk 36 (39) Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности Для любого k ∈ N существует n ∈ N такое, что имеет место неравенство [14] n 1 α1 − < , (40) k 2k с другой стороны, по теореме Лиувилля [21, c. 60] известно, что для любого алгебраического числа степени n = 2 найдется число δ > 0 такое, что при любых целых p и q (q > 0) справедлива оценка p q α1 − δ . q2 (41) Пусть n ∈ N такое, что выполняется неравенство (40). Тогда, учитывая оценку (41), имеем m π πδ πk α1 − < . k k 2 Учитывая, что θk → π/4 при k → ∞, в силу возрастания функций ch x − 2 y = arcsin u и u = 2(ch x − 1)2 + 1 имеем θ1 θk < π . 4 (42) √ Тогда при всех b < b1 = π/ 2α выполнено σk < π/8, а следовательно, с учётом (42), 3π π π . σk + θk < + = 8 4 8 Возможны два случая: 1) π/2 < |πkα1 − πn + σk + θk | < 7π/8, 2) 0 < |πkα1 − πn + σk + θk | < π/2. В первом случае | sin(πkα1 − πn + σk + θk )| > sin 7π . 8 (43) Во втором случае, учитывая неравенство sin x > 2 x, π 0 где εk = π/4 − θk > 0. 37 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а Применяя формулу разности арксинусов arcsin x − arcsin y = arcsin(x 1 − y2 − y 1 − x2 ), xy > 0, и учитывая неравенство arcsin x < πx/2, 0 < x < 1, а также оценку (36), при √ ln 2+2 β > β1 = 3 b2 + (2π)2 будем иметь θk − π = arcsin 4 ch λk β − 2 1 − arcsin √ = 2 2(ch λk β − 1)2 + 1 = arcsin √ 2 − e−λk β 2(ch λk β − 1)2 + 1 2· √ π 2 − e−λk β 2 2· 2(ch λk β − 1)2 +1 2π √ . (45) ( 2 − 1)eλk β Из неравенства (45) следует, что 2π 2π < √ 0 < εk < √ ( 2 − 1)eλk β ( 2 − 1)λk β 2π 1 = √ . (46) ( 2 − 1)2πkβ ( 2 − 1)βk √ Тогда из (44) с учётом (39) и (46) получим | sin(πkα1 − πn + σk + θk )| > 2 πδ b2 α 1 − − √ π 4k 4πk ( 2 − 1)βk > C9 k (47) при b < b2 = π 4 1 √ δ− , α πβ( 2 − 1) β > β2 = 4 √ . πδ( 2 − 1) Из выражений (36), (43) и (47) следует справедливость леммы при β > β0 = max{β1 , β2 } и b < b0 = min{2π, b1 , b2 }. Лемма 3. Пусть α > 0 является любым иррациональным алгебраическим числом степени n = 2. Тогда существует k0 ∈ N, зависящee, вообще говоря, от α, β и b, такое, что при всех k > k0 справедлива оценка (35). Д о к а з а т е л ь с т в о леммы аналогично доказательству леммы 2 с той разницей, что необходимые ограничения для выполнения неравенств накладываются не на параметры β и b, а на номер k0 . 3.2. Существование решения задач 1 и 2 при выполнении условий леммы 1. Для доказательства существования решения задач 1 и 2 из ряда (10) формально почленным дифференцированием составим ряды √ uxx (x, y) = − 2 ∞ (2πk)2 (u2k−1 (y) sin 2πkx + u2k (y) cos 2πkx), k=1 38 (48) Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности uyy (x, y) = u0 (y) + √ ∞ 2 (u2k−1 (y) sin 2πkx + u2k (y) cos 2πkx), (49) (2πk)2 (−u2k−1 (y) cos 2πkx + u2k (y) sin 2πkx), (50) k=1 uxxy (x, y) = √ ∞ 2 k=1 uyyy (x, y) = u0 (y) + √ ∞ 2 (u2k−1 (y) sin 2πkx + u2k (y) cos 2πkx). (51) k=1 Лемма 4. Пусть выполнено неравенство (29) при k > k0 . Тогда при таких k для любых y ∈ [−α, β] справедливы оценки |uk (y)| C4 (|ψk | + |ϕk | + |gk |/k) , (52) |uk (y)| C5 k (k|ψk | + k|ϕk | + |gk |) , (53) |uk (y)| |f1,k | |f2,k | 2 C6 k (k|ψk | + k|ϕk | + |gk |) , C7 k (k|ψk | + k|ϕk | + |gk |) , C8 k (k|ψk | + k|ϕk | + |gk |) . (54) (55) (56) Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании формул (16) найдём |uk (y)| 3|f1,k | 2|f2,k | + 2λ2 λ2 k k 3 |f1,k | 1 |f2,k | + 2· 2 + 2· 2 8π k 2π k e2πkβ eb |ak | + eb · e2πkβ |ak |+ C9 e2πkβ |ak | + |f1,k | |f2,k | + 2 . (57) k2 k На основании формул (16) вычислим λ2 ak eλk y + 1 −2ak λ2 − f2,k + f1 , k e−λk y , y > 0, k k 2 (58) 1 1 2 +f 2,k − f1,k ) sin λk y, y < 0, 2 (f1,k − f2,k ) cos λk y − 2 (4ak λk  1 2 λ y 2 −λ y  λk λk ak e k + 2 (2ak λk + f2,k − f1,k )e k , y > 0, uk (y) = (59) λ 1 (f − f1,k ) sin λk y−  k 2 2,k 1 2a + f − 2 (4λk k 2,k − f1,k ) cos λk y , y < 0. uk (y) = Аналогично, исходя из равенств (58) и (59), получим |uk (y)| C10 k 2 e2πkβ |ak | + |f1,k | + |f2,k | , (60) |uk (y)| C11 k k 2 e2πkβ |ak | + |f1,k | + |f2,k | . (61) Далее на основании равенств (23)–(25) в силу оценки (29) найдём √ √ 2|ψk | + |ϕk | + ( 2 + 2)|gk |/λk C12 |gk | |ak | |ψk | + |ϕk | + , (62) 2πkβ 2πkβ k 2C0 e e 39 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а |ϕk | + |gk | , e2πkβ |ϕk | C14 k k|ψk | + k 2πkβ + |gk | . e |f1,k | C13 k k|ψk | + k |f2,k | (63) (64) Тогда из соотношений (62)–(64) и (57)–(61) получим непосредственно оценки (52)–(56). В силу (52), (53), (55), (56) ряды (10), (11), (48), (49) мажорируются рядом +∞ k(k|ψk | + k|ϕk | + |gk |), (65) k 2 (k|ψk | + k|ϕk | + |gk |). (66) C15 k=k0 +1 а ряды (50) и (51) — рядом +∞ C16 k=k0 +1 Лемма 5. Пусть ψ(x), ϕ(x) ∈ C 3 [0, 1], g(x) ∈ C 2 [0, 1], ψ (0) = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), g(0) = g(1), g (0) = g (1). Тогда справедливы представления ψ (3) ψ (3) 2k−1 2k ψ2k−1 = − (2πk)3 , ψ2k = − (2πk)3 , (3) ϕ 2k−1 ϕ2k = − (2πk)3 , (3) (3) g (3) ϕ 2k ϕ2k−1 = − (2πk)3 , (2) (2) 2k−1 g2k−1 = − (2πk)2 , g2k = g2k , (2πk)2 (67) (2) где ψk , ϕk , gk (k ∈ N) — коэффициенты разложения в ряд по системе (9) функций ψ (3) (x), ϕ(3) (x), g (2) (x), для которых справедливы следующие оценки: (3) 2 ∞ k=1 |ψk | ψ (3) (x) 2 L2 [0,1] , (2) 2 ∞ k=1 |gk | (3) 2 ∞ k=1 |ϕk | g (2) (x) 2 2 [0,1] . L ϕ(3) (x) 2 L2 [0,1] , (68) Д о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируя вторые и третьи интегралы равенств (18), (19) по частям три раза, а равенства (20) — два раза, получим непосредственно выражения (67). Поскольку система функций (9) ортонормирована в пространстве L2 [0, 1], справедливость оценок (68) следует из неравенства Бесселя по этой системе. Лемма 6. Пусть ψ(x), ϕ(x) ∈ C 4 [0, 1], g(x) ∈ C 3 [0, 1], ψ (0) = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), ψ (0) = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), g(0) = g(1), g (0) = g (1), g (0) = g (1). Тогда справедливы представления (4) ψ2k−1 = ψ2k−1 , (2πk)4 (4) ϕ2k = 40 ϕ2k , (2πk)4 (4) ψ2k , (2πk)4 (3) g2k g2k−1 = − (2πk)3 , ψ2k = (4) ϕ2k , (2πk)4 (3) g2k−1 − (2πk)3 , ϕ2k−1 = g2k = Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности (4) (4) (3) где ψk , ϕk , gk (k ∈ N) — коэффициенты разложения в ряд по системе (9) функций ψ (4) (x), ϕ(4) (x), g (3) (x), для которых справедливы следующие оценки: (4) 2 ∞ k=1 |ψk | 16 ψ (4) (x) 2 L2 [0,1] , (3) 2 ∞ 16 k=1 |gk | (4) 2 ∞ k=1 |ϕk | g (3) (x) 2 2 [0,1] . L 16 ϕ(4) (x) 2 L2 [0,1] , Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 6 проводится аналогично доказательству леммы 5. При выполнении условий леммы 5 ряд (65), а значит и ряды (10), (11), (48), (49), мажорируются сходящимся числовым рядом ∞ C23 k=k0 1 (3) (3) (2) |ψk | + |ϕk | + |gk | . k При выполнении условий леммы 6 ряд (66), а значит и ряды (50), (51), мажорируются сходящимся числовым рядом ∞ C24 k=k0 1 (4) (4) (4) |ψk | + |ϕk | + |gk | . k Тогда, по признаку Вейерштрасса, при выполнении условий леммы 5 ряд (10) сходится равномерно в области D, ряд (11) — на отрезке [0, 1], а при выполнении условий леммы 6 ряды (48)–(51) сходятся равномерно в области D. Следовательно, функции u(x, y) и f (x, y) удовлетворяют условиям (2), (8). Подставляя ряды (48), (49) в (10), (11), убеждаемся, что эти функции удовлетворяют условию (7). Если для указанных в лемме 1 чисел α при некоторых k = l = k1 , k2 , . . . , kp k0 , где ki и p — заданные натуральные числа, выражение ∆αβb (l) = 0, то для разрешимости задачи (2)–(5) достаточно, чтобы выполнялись условия ψl = ϕl = gl = 0, l = k1 , k2 , . . . , kp . (69) Тогда решение задачи (2)–(5) определяется в виде kp −1 k1 −1 u(x, y) = (sgn k1 )u0 (y) + +∞ +... + k=1 × + k=kp−1 +1 k=kp +1 ×(u2k−1 (y) sin 2πkx + u2k cos 2πkx) + Ml ul (x, y), (70) l kp −1 k1 −1 fi (x) = (sgn k1 )fi,0 + +... + k=1 +∞ × + k=kp−1 +1 k=kp +1 ×(fi,2k−1 sin 2πkx + fi,2k cos 2πkx) + Ml ul (x, y), (71) l 41 К. Б. С а б и т о в, Г. Ю. У д а л о в а где ul (x, y) определяется по формуле (26), Ml — произвольные постоянные, в сумме l индекс l принимает значения k1 , k2 , . . . , kp ; sgn k1 = 0 при k1 = 0 и sgn k1 = 1 при k1 1. В случае, когда в конечных суммах верхний предел меньше нижнего, соответствующую сумму следует считать равной нулю. Таким образом, доказаны следующие утверждения. Теорема 2. Пусть функции ϕ(x), ψ(x), g(x) удовлетворяют условиям леммы 5 и имеет место оценка (29) при k > k0 . Тогда, если при всех k k0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 2, которое определяется рядами (10), (11). Если при некоторых k k0 выражение ∆αβb (k) = 0, то решение задачи 2 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядами (70), (71). Теорема 3. Пусть функции ϕ(x), ψ(x), g(x) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (29) при k > k0 . Тогда, если при всех k k0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10). Если при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kp k0 выражение ∆αβb (k) = 0, то решение задачи 1 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядом (70). 3.3. Существование решения задач 1 и 2 при выполнении условий лемм 2 и 3. Доказывая леммы, подобные леммам 2 и 3, можно обосновать справедливость следующих утверждений. Теорема 4. Пусть функции ϕ(x), ψ(x), g(x) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (35) при всех b < b0 и β > β0 . Тогда существует единственное решение задачи 2, которое определяется рядами (10), (11). Теорема 5. Пусть функции ϕ(x), ψ(x), g(x) удовлетворяют условиям леммы 6 и имеет место оценка (35) при k > k0 . Тогда, если при всех k k0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 2, которое определяется рядами (10), (11). Если при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kp k0 выражение ∆αβb (k) = 0, то решение задачи 2 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядами (70), (71). Теорема 6. Пусть функции ψ(x), ϕ(x) ∈ C 5 [0, 1], g(x) ∈ C 4 [0, 1], ψ (0) = = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), ψ (0) = ψ (1), ϕ (0) = ϕ (1), ψ (4) (0) = ψ (4) (1), ϕ(4) (0) = ϕ(4) (1) g(0) = g(1), g (0) = g (1), g (0) = g (1), g (0) = g (1) и имеет место оценка (35) при всех b < b0 и β > β0 . Тогда существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10). Теорема 7. Пусть функции ϕ(x), ψ(x), g(x) удовлетворяют условиям теоремы 6 и имеет место оценка (35) при k > k0 . Тогда, если при всех k k0 выполнены условия (22), то существует единственное решение задачи 1, которое определяется рядом (10). Если при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kp k0 выражение ∆αβb (k) = 0, то решение задачи 1 существует тогда, когда выполнены условия (69), и определяется рядом (70). 4. Устойчивость решения задач 1 и 2. Рассмотрим известные нормы 1/2 1 u(x, y) 42 L2 [0,1] u2 (x, y) dx = 0 , −α y β, Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности u(x, y) 1 f (x) n W2 C(D) = max |u(x, y)|, D n 1/2 |f (k) (x)|2 dx = 0 , n ∈ N0 . k=0 Теорема 8. Если выполнены условия теоремы 2 и ∆αβb (k) = 0 при k = = 1, 2, . . . , k0 , то для решения (10), (11) задач 1 и 2 справедливы оценки u(x, y) L2 u(x, y) C(D) fi (x) fi (x) L2 C(D) C17 ( ψ(x) C18 ( ψ(x) C19 ( ψ(x) + ϕ(x) L2 + g(x) L2 ), 1 1 W2 + ϕ(x) W2 + g(x) L2 ), L2 2 W2 C20 ( ψ(x) + ϕ(x) 3 W2 2 W2 + ϕ(x) + g(x) 3 W2 1 W2 ), 2 W2 ). + g(x) Здесь Ci — положительные постоянные, не зависящие от ϕ, ψ и g. Теорема 9. Если выполнены условия теоремы 3, то для решения (10), (11) задач 1 и 2 справедливы оценки u(x, y) u(x, y) fi (x) fi (x) L2 C(D) L2 C(D) C21 ( ψ(x) C22 ( ψ(x) C23 ( ψ(x) C24 ( ψ(x) 1 W2 + ϕ(x) 2 W2 3 W2 + ϕ(x) + ϕ(x) 4 W2 + ϕ(x) 1 W2 + g(x) 2 W2 3 W2 + g(x) + g(x) 4 W2 + g(x) L2 ), 1 W2 ), 2 W2 ), 4 W2 ). Здесь Ci — положительные постоянные, не зависящие от ϕ, ψ и g. Доказательство теорем 8 и 9 проводится аналогично работе [19].

About the authors

Kamil B Sabitov

Institute of Applied Research

Email: sabitov_fmf@mail.ru
68, Odesskaya st., Sterlitamak, Russia, 453103
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Director

Galina Yu Udalova

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: yeyeg@yandex.ru
194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russia
Postgraduate Student, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. А. В. Бицадзе, М. С. Салахитдинов, “К теории уравнений смешанно-составного типа” // Сиб. матем. журн., 1961. Т. 2, № 1. С. 7–19.
  2. Т. Д. Джураев, Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979. 239 с.
  3. А. И. Кожанов, Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990. 150 с.
  4. К. Б. Сабитов, “Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка” // Докл. РАН, 2009. Т. 427, № 5. С. 593–596.
  5. К. Б. Сабитов, “Задача Дирихле для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области” // Диффер. уравн., 2011. Т. 47, № 5. С. 705–713.
  6. А. Н. Тихонов, “Об устойчивости обратных задач” // Докл. АН СССР, 1943. Т. 39, № 5. С. 195–198.
  7. М. М. Лаврентьев, “Об одной задаче для волнового уравнения” // Докл. АН СССР, 1964. Т. 157, № 3. С. 520–521.
  8. М. М. Лаврентьев, К. Г. Резницкая, В. Г. Якно, Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, Сибирск. отдел., 1982. 88 с.
  9. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П., Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.
  10. А. И. Прилепко, Д. С. Ткаченко, “Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением” // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003. Т. 43, № 4. С. 562–570.
  11. А. В. Баев, “Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача” // Матем. заметки, 1990. Т. 47, № 2. С. 149–151.
  12. А. М. Денисов, Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 285 с.
  13. А. И. Кожанов, “Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи” // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2004. Т. 44, № 4. С. 694–716.
  14. К. Б. Сабитов, Э. М. Сафин, “Обратная задача для уравнения смешанного парабологиперболического типа” // Матем. заметки, 2010. Т. 87, № 6. С. 907–918.
  15. К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова, “Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа” // Изв. вузов. Матем., 2011. № 2. С. 71–85.
  16. К. Б. Сабитов, Н. В. Мартемьянова, “Обратная задача для уравнения эллиптикогиперболического типа с нелокальным граничным условием” // Сиб. матем. журн., 2012. Т. 53, № 3. С. 633–647.
  17. К. Б. Сабитов, И. А. Хаджи, “Краевая задача для уравнения Лаврентьева—Бицадзе с неизвестной правой частью” // Изв. вузов. Матем., 2011. № 5. С. 44–52.
  18. Г. Ю. Удалова, “Обратная задача для уравнения смешанного эллиптикогиперболического типа” // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2010. № 4(78). С. 89–97.
  19. Г. Ю. Удалова, “Обратная задача для уравнения с оператором Лаврентьева—Бицадзе” // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2012. Т. 14, № 1. С. 98–111.
  20. Г. Ю. Удалова, “Краевая задача для уравнения Лаврентьева—Бицадзе с неизвестной правой частью” // Научные ведомости Белгородского гос. ун-та. Сер. Математика. Физика, 2012. Т. 26, № 5. С. 209–225.
  21. А. Я. Хинчин, Цепные дроби. М.: Наука, 1978. 112 с.
  22. В. И. Арнольд, “Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике” // УМН, 1963. Т. 18, № 6(114). С. 91–192.
  23. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965. 616 с.

Statistics

Views

Abstract - 18

PDF (Russian) - 2

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies