Riemann method for solving non-local boundary value problems for the third order pseudoparabolic equations

Abstract


The existence and uniqueness of regular solutions of non-local boundary value problems for the third order pseudoparabolic equations with variable coefficients are proved using the Riemann function method.

Full Text

Хорошо известно, что рассмотрение вопросов фильтрации жидкости в пористых средах [1, 2], передачи тепла в гетерогенной среде [3, 4], влагопереноса в почво-грунтах [5] (см. [6, c. 137]) приводит к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются псевдопараболическими уравнениями в частных производных третьего порядка. В данной работе рассматриваются нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами. Доказательство существования регулярных решений поставленных задач проводится методом функции Римана, причём функция Римана, которая вводится здесь, существенно отличается от рассмотренной в [7,8]. В работе [9] рассматриваются локальные и нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами. Доказательство основных утверждений в [9] проводится с помощью метода функции Римана, принцип построения которой используется в данной работе. Задача А. Существование и единственность решения задачи А. В замкнутом прямоугольнике D = {(x, t) : 0 x l, 0 t T } рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу: Lu = (η(x, t)uxt )x + (k(x, t)ux )x + r(x, t)ux + dut − q(x, t)u = −f (x, t), 0 < x < l, 0 < t < T, (1) l u(0, t) = β(t) t ρ(t, τ )u(l, τ )dτ − µ(t), u(x, t)dx + 0 0 t T, (2) 0 15 М. Х. Б е ш т о к о в ux (l, t) = 0, 0 t T, u(x, 0) = u0 (x), 0 x l, (3) (4) где η(x, t) c0 > 0, c0 = const; ηx,t , kx , rx , dt , q, f ∈ C[D]; u0 (x) ∈ C 2 [0, l], (5) β(t), ρ(t, τ ), µ(t) — функции, непрерывные на [0, T ], 0 τ t. Кроме этого, введём обозначение Π(x, t) = kux + ηuxt , которое будет использоваться далее. Заметим, что нелокальное условие (2) можно заменить условием h u(0, t) = β(t) t ρ(t, τ )u(l, τ )dτ − µ(t), u(x, t)dx + 0 0 где h — глубина корнеобитаемого слоя (см. [10]) или активный слой почвы, который участвует в водоснабжении корневой системы, в процессах испарения и транспирации. Поставленные и исследованные в данной работе задачи характерны также тем, что содержат в краевых условиях нелокальность по времени, впервые изученную А. И. Кожановым [11]. Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (1) и граничных условий (2)– (4) удовлетворяют условиям гладкости (5), d(x, t) < 0 для любого (x, t) ∈ D и β(t) < 0 для любого t ∈ [0, T ]. Тогда задача (1)–(4) имеет единственное регулярное в D решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Следуя [9] введём аналог функции Римана w = = w(x, t; α, τ ) для уравнения (1) в области Ω = {(x, t) : α < x < l, 0 < t < τ } в форме M w(x, t; α, τ ) = = −(η(x, t)wx )xt + (k(x, t)wx )x − (r(x, t)w)x − (dw)t − q(x, t)w = 0, w(α, t; α, τ ) = 0, t wx (α, t; α, τ ) = η −1 (α, τ ) exp τ k(α, t1 ) dt1 , η(α, t1 ) w(x, τ ; α, τ ) = ω1 (x, τ ), где ω1 (x, τ ) — решение следующей задачи Коши: η(x, τ )wx (x, τ ; α, τ ) x + d(x, τ )w(x, τ ; α, τ ) = 0, w(α, τ ; α, τ ) = 0, wx (α, τ ; α, τ ) = η −1 (α, τ ). Здесь и далее (α, τ ) — произвольная фиксированная точка области D. Имеет место соотношение wLu − uM w = ∂Q ∂P − , ∂x ∂x где Lu = (ηuxt )x + (kux )x + rux + dut − qu + f (x, t), 16 (6) Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений . . . Q = ηwuxt + u(ηwx )t + kwux − kwx u + ruw, P = ηwx ux − duw. Потребуем непрерывности P , Q в D, непрерывности и ограниченности Px , Qt в D. Проинтегрируем соотношение (6) по области Ω: l τ ∂Q ∂P − dxdt. ∂x ∂x wLu − uM w dxdt = α Ω 0 (7) Тогда из (7) с учётом определения функции w = w(x, t; α, τ ) получим представление u(α, τ ) = u(l, τ )η(l, τ )wx (l, τ ; α, τ )− τ − η(l, t)uxt (l, t) + k(l, t)ux (l, t) w(l, t; α, τ )+ 0 + u(l, t) η(l, t)wx (l, t; α, τ ) t − k(l, t)wx (l, t; α, τ ) + r(l, t)w(l, t; α, τ ) dt+ l d(x, 0)w(x, 0; α, τ )u(x, 0) − η(x, 0)wx (x, 0; α, τ )ux (x, 0) dx− + α τ l − w(x, t; α, τ )f (x, t)dxdt. (8) 0 α Существование и единственность аналога функции Римана w = w(x, t; α, τ ) доказаны в работе [9]. Из представления (8) простым преобразованием получим u(α, τ ) = u(l, τ )η(l, τ )wx (l, τ ; α, τ ) − ux (l, τ )η(l, τ )w(l, τ ; α, τ )+ τ + ux (l, t) η(l, t)w(l, t; α, τ ) 0 − u(l, t) η(l, t)wx (l, t; α, τ ) t t − k(l, t)w(l, t; α, τ ) − − k(l, t)wx (l, t; α, τ ) + r(l, t)w(l, t; α, τ ) dt+ l d(x, 0)w(x, 0; α, τ )u(x, 0) − η(x, 0)wx (x, 0; α, τ )ux (x, 0) dx− + α τ l − w(x, t; α, τ )f (x, t)dxdt + ux (l, 0)η(l, 0)w(l, 0; α, τ ). (9) 0 α Проинтегрируем (9) по α от 0 до l. Тогда с учётом (4) из (9) получим l l u(α, τ )dα = u(l, τ )η(l, τ ) 0 l wx (l, τ ; α, τ )dα−ux (l, τ )η(l, τ ) 0 w(l, τ ; α, τ )dα+ 0 τ K1 (τ, t)ux (l, t) − K2 (τ, t)u(l, t) dt + γ1 (τ ), (10) + 0 где l K1 (τ, t) = η(l, t)w(l, t; α, τ ) 0 t − k(l, t)w(l, t; α, τ ) dα, 17 М. Х. Б е ш т о к о в l K2 (τ, t) = η(l, t)wx (l, t; α, τ ) 0 l t − k(l, t)wx (l, t; α, τ ) + r(l, t)w(l, t; α, τ ) dα, l d(x, 0)w(x, 0; α, τ )u0 (x) − η(x, 0)wx (x, 0; α, τ )u0 (x) dxdα− γ1 (τ ) = 0 τ α l l l − ux (l, 0)η(l, 0)w(l, 0; α, τ )dα. w(x, t; α, τ )f (x, t)dxdαdt + 0 0 0 α Учитывая (10), из (2) получим l u(0, τ ) − u(l, τ )β(τ )η(l, τ ) wx (l, τ ; α, τ )dα + ux (l, τ )β(τ )η(l, τ )× 0 l × τ w(l, τ ; α, τ )dα + K3 (τ, t)ux (l, t) + K4 (τ, t)u(l, t) dt = γ2 (τ ), (11) 0 0 где K3 (τ, t) = −β(τ )K1 (τ, t), K4 (τ, t) = β(τ )K2 (τ, t) − ρ(τ, t), γ2 (τ ) = β(τ )γ1 (τ ) − µ(τ ). Учитывая (4), из представления (9) при α = 0 получим интегральное уравнение u(0, τ ) − u(l, τ )η(l, τ )wx (l, τ ; 0, τ ) + ux (l, τ )η(l, τ )w(l, τ ; 0, τ )+ τ + K5 (τ, t)ux (l, t) + K6 (τ, t)u(l, t) dt = γ3 (τ ), (12) 0 где K5 (t, τ ) = − η(l, t)w(l, t; 0, τ ) K6 (t, τ ) = η(l, t)wx (l, t; 0, τ ) t t + k(l, t)w(l, t; 0, τ ), − k(l, t)wx (l, t; 0, τ ) + r(l, t)w(l, t; 0, τ ), l d(x, 0)w(x, 0; 0, τ )u0 (x) − η(x, 0)wx (x, 0; 0, τ )u0 (x) dx− γ3 (τ ) = 0 τ l − w(x, t; 0, τ )f (x, t)dxdt + η(l, 0)w(l, 0; 0, τ )u0 (l). 0 0 Учитывая (3), из (11) и (12) получим систему интегральных уравнений l u(0, τ ) − u(l, τ )β(τ )η(l, τ ) τ wx (l, τ ; α, τ )dα + 0 K4 (τ, t)u(l, t) dt = γ2 (τ ), 0 τ u(0, τ ) − u(l, τ )η(l, τ )wx (l, τ ; 0, τ ) + K6 (τ, t)u(l, t) dt = γ3 (τ ), 0 18 (13) Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений . . . которая в операторной форме принимает вид τ − A(τ )→(τ ) + u − − B(τ, t)→(t)dt = →(τ ), u γ 0 где l det |A(τ )| = β(τ )η(l, τ ) wx (l, τ ; α, τ )dα − η(l, τ )wx (l, τ ; 0, τ ). 0 Покажем, что определитель det |A(τ )| = 0. Лемма 1. Функция w(x, t; α, τ ) удовлетворяет неравенству w(x, τ ; 0, τ ) > 0 для любого x ∈ (0, l], если d(x, t) < 0, η(x, t) η(l, τ )wx (l, τ ; 0, τ ) > 1, c0 > 0 для любых (x, t) ∈ D. Д о к а з а т е л ь с т в о. Следуя рассуждениям [9], рассмотрим задачу (η(x, τ )wx (x, τ ; α, τ ))x + d(x, τ )w(x, τ ; α, τ ) = 0, w(α, τ ; α, τ ) = 0, (14) wx (α, τ ; α, τ )) = η −1 (α, τ ). С помощью принципа максимума и принципа Заремба—Жиро из (14) получаем wx (0, τ ; 0, τ ) > 0 для любого (x, t) ∈ [0, l). Тогда из равенства l η(l, τ )wx (l, τ ; 0, τ ) = η(0, τ )wx (0, τ ; 0, τ ) − d(x, τ )w(l, τ ; 0, τ )dx 0 имеем, что если d(x, t) < 0, η(x, t) c0 > 0 для любых (x, t) ∈ D, то η(l, τ )wx (l, τ ; 0, τ ) > 1. На основании доказанной леммы убеждаемся, что если β(τ ) < 0 для любого τ ∈ [0, T ], то det |A(τ )| = 0. Поэтому система уравнений (13) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая безусловно разрешима. Таким образом, находя из интегральных уравнений Вольтерра u(0, τ ) = f (τ ), u(l, τ ) = ϕ(τ ), где f (τ ), ϕ(τ ) ∈ C 1 [0, T ], задачу (1)–(4) редуцируем к первой начально-краевой задаче, однозначная разрешимость которой установлена также в работе [9]. Отсюда следуют существование и единственность решения задачи (1)–(4). Теорема доказана. Заметим, что (3) можно заменить условием t −ux (l, t) = ρ1 (t, τ )u(l, τ )dτ − µ1 (t), 0 t T, 0 где ρ1 (t, τ ), µ1 (t) — функции, непрерывные на [0, T ]. Задача B. Существование и единственность решения задачи B. Рассмотрим теперь нелокальную краевую задачу, когда условие (3) в задаче А заменяется условием вида −ux (l, t) = β1 (t)u(l, t) − µ1 (t), 0 t T, (3∗ ) 19 М. Х. Б е ш т о к о в где β1 (t), µ1 (t) — функции, непрерывные на [0, T ]. Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (1) и граничных условий (2), (3∗ ), (4) удовлетворяют условиям гладкости (5), d(x, t) < 0 для любых (x, t) ∈ D, β(t) < 0 и β1 (t) > 0 для любого t ∈ [0, T ]. Тогда задача (1), (2), (3∗ ), (4) имеет единственное регулярное в D решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. С учётом (3∗ ) уравнения (11) и (12) образуют следующую систему интегральных уравнений: l u(0, τ ) − u(l, τ ) β(τ )η(l, τ ) wx (l, τ ; α, τ )dα+ 0 l +β(τ )β1 (τ )η(l, τ ) w(l, τ ; α, τ )dα + 0 τ K7 (τ, t)u(l, t) dt = γ4 (τ ), + (15) 0 u(0, τ ) − u(l, τ ) η(l, τ )wx (l, τ ; 0, τ ) + β1 (τ )η(l, τ )w(l, τ ; 0, τ ) + τ K8 (τ, t)u(l, t) dt = γ5 (τ ), + 0 где K7 (τ, t) = K4 (τ, t) − K3 (τ, t)β1 (τ ), l γ4 (τ ) = γ2 (τ ) − β(τ )η(l, τ )µ1 (τ ) τ w(l, τ ; α, τ )dα − 0 K3 (τ, t)µ1 (τ ) dt, 0 K8 (τ, t) = K6 (τ, t) − K5 (τ, t)β1 (τ ), τ γ5 (τ ) = γ3 (τ ) − η(l, τ )µ1 (τ )w(l, τ ; α, τ ) − K5 (τ, t)µ1 (τ ) dt. 0 Систему интегральных уравнений (15) перепишем в операторной форме τ − A(τ )→(τ ) + u − − B(τ, t)→(t)dt = →(τ ), u γ (16) 0 где det |A(τ )| = −η(l, τ )wx (l, τ ; 0, τ ) − β1 (τ )η(l, τ )w(l, τ ; 0, τ )+ l + β(τ )η(l, τ ) l wx (l, τ ; α, τ )dα + β(τ )β1 (τ )η(l, τ ) 0 w(l, τ ; α, τ )dα. 0 На основании леммы 1 при условии, что если β(τ ) < 0, β1 (τ ) > 0 для любого τ ∈ [0, T ], убеждаемся, что определитель det |A(τ )| = 0. Поэтому система уравнений (16) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая безусловно разрешима. Таким образом, находя из интегральных уравнений Вольтерра u(0, τ ) = f (τ ), u(l, τ ) = ϕ(τ ), где f (τ ), ϕ(τ ) ∈ C 1 [0, T ], задачу (1), (2), (3∗ ), (4) редуцируем к первой начально-краевой задаче, однозначная разрешимость которой установлена в работе [9]. Отсюда следуют существование и единственность решения задачи (1), (2), (3∗ ), (4). 20 Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений . . . Задача C. Существование и единственность решения задачи C. Рассмотрим теперь нелокальную краевую задачу, когда условие (3) в задаче А заменяется условием вида −Π(l, t) = β1 (t)u(l, t) − µ1 (t), 0 t T. (3∗∗ ) Теорема 3. Пусть коэффициенты уравнения (1) и граничных условий (2), (3∗∗ ), (4) удовлетворяют условиям гладкости (5), d(x, t) < 0 для любого (x, t) ∈ D и β(t) < 0 для любых t ∈ [0, T ]. Тогда задача (1), (2), (3∗∗ ), (4) имеет единственное регулярное в D решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Проинтегрируем (8) по α от 0 до l. Тогда с учётом (4) получим l l u(α, τ )dα = u(l, τ )η(l, τ ) 0 wx (l, τ ; α, τ )dα− 0 τ − K9 (τ, t)Π(l, t) + K10 (τ, t)u(l, t) dt + γ6 (τ ), (17) 0 где l K9 (τ, t) = w(l, t; α, τ )dα, 0 l K10 (τ, t) = η(l, t)wx (l, t; α, τ ) 0 l t − k(l, t)wx (l, t; α, τ ) + r(l, t)w(l, t; α, τ ) dα, l d(x, 0)w(x, 0; α, τ )u0 (x) − η(x, 0)wx (x, 0; α, τ )u0 (x) dxdα− γ7 (τ ) = 0 α τ l l − w(x, t; α, τ )f (x, t)dxdαdt. 0 0 α Учитывая (2), (3∗∗ ), из (17) получим l u(0, t) − u(l, τ )β(τ )η(l, τ ) wx (l, τ ; α, τ )dα+ 0 τ + K11 (τ, t)u(l, t) dt = γ8 (τ ), (18) 0 где K11 (τ, t) = β(τ )K10 (τ, t) − β(τ )β1 (τ )K9 (τ, t) − ρ(τ, t), τ γ8 (τ ) = β(τ )γ7 (τ ) − µ(τ ) − β(τ )K9 (τ, t)µ1 (t)dt. 0 При α = 0 из (8) с учётом (3∗∗ ) получаем τ u(α, τ ) − u(l, τ )η(l, τ )wx (l, τ ; 0, τ ) + K12 (τ, t)u(l, t) dt = γ9 (τ ), (19) 0 21 М. Х. Б е ш т о к о в где K12 (τ, t) = η(l, t)wx (l, t; 0, τ ) t − k(l, t)wx (l, t; 0, τ )+ + r(l, t)w(l, t; 0, τ ) − β1 (τ )w(l, t; 0, τ ), l d(x, 0)w(x, 0; 0, τ )u0 (x) − η(x, 0)wx (x, 0; 0, τ )u0 (x) dx− γ9 (τ ) = 0 τ l τ w(x, t; 0, τ )f (x, t)dxdt − − 0 w(l, t; 0, τ )µ1 (t)dt. 0 0 Уравнения (18) и (19) образуют систему интегральных уравнений. Запишем систему в операторном виде τ − A(τ )→(τ ) + u − − B(τ, t)→(t)dt = →(τ ), u γ (20) 0 где l det |A(τ )| = β(τ )η(l, τ ) wx (l, τ ; α, τ )dα − η(l, τ )wx (l, τ ; 0, τ ). 0 На основании леммы 1 при условии β(τ ) < 0 для любых τ ∈ [0, T ] убеждаемся, что определитель det |A(τ )| = 0. Поэтому система уравнений (20) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая безусловно разрешима. Таким образом, находя из интегральных уравнений Вольтерра u(0, τ ) = f (τ ), u(l, τ ) = ϕ(τ ), где f (τ ), ϕ(τ ) ∈ C 1 [0, T ], задачу (1), (2), (3∗∗ ), (4) редуцируем к первой начально-краевой задаче, однозначная разрешимость которой установлена в работе [9]. Отсюда следуют существование и единственность решения задачи (1), (2), (3∗∗ ), (4). Заметим, что (3) также можно заменить условием t −Π(l, t) = ρ1 (t, τ )u(l, τ )dτ − µ1 (t), 0 t T. 0 Замечание. Если ввести аналог функции Римана ν = ν(x, t; ξ, τ ) для уравнения (1) в области Ω в форме M ν(x, t; ξ, τ ) = −(η(x, t)νx )xt + (k(x, t)νx )x − (r(x, t)ν)x − (dν)t − q(x, t)ν = 0, ν(ξ, t; ξ, τ ) = 0, t νx (ξ, t; ξ, τ ) = η −1 (ξ, τ ) exp τ k(ξ, t1 ) dt1 , η(ξ, t1 ) ν(x, τ ; ξ, τ ) = ω2 (x, τ ), где ω2 (x, τ ) — решение задачи Коши (η(x, τ )νx (x, τ ; ξ, τ ))x + d(x, τ )ν(x, τ ; ξ, τ ) = 0, ν(ξ, τ ; ξ, τ ) = 0, 22 νx (ξ, τ ; ξ, τ ) = η −1 (ξ, τ ), Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений . . . то имеет место следующее представление: τ u(ξ, τ ) = u(0, τ )η(0, τ )νx (0, τ ; ξ, τ ) − η(0, t)ν(0, t; ξ, τ )uxt (0, t)+ 0 + k(0, t)ν(0, t; ξ, τ )ux (0, t) + u(0, t) η(0, t)νx (0, t; ξ, τ ) t − k(0, t)νx (0, t; ξ, τ )+ ξ + r(0, t)ν(0, t; ξ, τ ) dt + η(x, 0)νx (x, 0; ξ, τ )ux (x, 0)− 0 τ ξ − d(x, 0)ν(x, 0; ξ, τ )u(x, 0) dx + ν(x, t; ξ, τ )f (x, t)dxdt. (21) 0 0 Существование и единственность аналога функции Римана доказаны в [9]. Лемма 2. Функция ν(x, t; ξ, τ ) удовлетворяет неравенству ν(x, τ ; l, τ ) < 0 для любого x ∈ [0, l), η(0, τ )νx (0, τ ; l, τ ) > 1 , если d(x, t) < 0, η(x, t) c0 > 0 для любого (x, t) ∈ D. На основании леммы 2 и представления (21) аналогично доказываются существование и единственность регулярных решений задач A, B, C, в которых условие (2) заменяется последовательно следующими условиями: l 1) ux (0, t) = β(t) t ρ(t, τ )u(l, τ )dτ − µ(t), 0 0 t T, ρ(t, τ )u(l, τ )dτ − µ(t), u(x, t)dx + 0 t T. 0 при условии, что β(t) > 0; l 2) Π(0, t) = β(t) t u(x, t)dx + 0 0

About the authors

Murat H Beshtokov

Kabardino-Balkarian State University

Email: beshtokov_murat@rambler.ru
173, Chernyshevskogo st., Nalchik, 360004, Russia
(Ph. D. Phys. & Math.), Doctoral Candidate, Dept. of Computational Mathematics

References

  1. Г. И. Баренблат, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина, “Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах” // ПММ, 1960. Т. 24, № 5. С. 852–864.
  2. G. I. Barenblatt, Yu. P. Zheltov, I. N. Kochina, “Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata]” // J. Appl. Math. Mech., 1960. Vol. 24, no. 5. Pp. 1286–1303.
  3. Е. С. Дзекцер, “Уравнения движения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах” // Докл. Акад. наук СССР, 1975. Т. 220, № 3. С. 540–543.
  4. E. S. Dzektser, “Equation of motion of underground water with a free surface in multilayer media” // Soviet Physics Doklady, 1975. Vol. 20, no. 3. Pp. 24.
  5. Л. И. Рубинштейн, “К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах” // Изв. Акад. наук СССР, Cер. Геогр., 1948. Т. 12, № 1. С. 27–45.
  6. T. W. Ting, “A cooling process according to two-temperature theory of heat conduction” // J. Math. Anal. Appl., 1974. Т. 45, № 1. С. 23–31.
  7. M. Hallaire, S. de Parcevaux, R. J. Bouchet, et. al., L'eau et la production végétale. Paris: Institut National De La Recherche Agronomique, 1964. 455 pp.
  8. А. Ф. Чудновский, Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.
  9. D. Colton, “Pseudoparabolic equation in one space variable” // J. Diff. Eq., 1972. Vol. 12, no. 3. Pp. 559–565.
  10. D. Colton, “Integral operators and the first initial-boundary value problems for pseudoparabolic equations with analytic coefficients” // J. Diff. Eq., 1973. Vol. 13, no. 3. Pp. 506–522.
  11. М. X. Шхануков, “О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах” // Диффер. уравн., 1982. Т. 18, № 4. С. 689–699.
  12. А. Ф. Чудновский, “Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве” // Сб. трудов АФИ, 1969. № 23. С. 41–54.
  13. А. И. Кожанов, “Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера” // Диффер. уравн., 2004. Т. 40, № 6. С. 763–774.
  14. A. I. Kozhanov, “On a nonlocal boundary value problem with variable coefficients for the heat equation and the Aller equation” // Differ. Equ., 2004. Vol. 40, no. 6. Pp. 815–826.

Statistics

Views

Abstract - 23

PDF (Russian) - 10

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies