Mathematical modeling of the conservation of populations

Abstract


The system of difference equations describing the process of industrial fish catching while their abundance is maintained is proposed. Population size changing and, consequently, the volume of catch are predicted on the basis of this model study. The impact on the model of the parameters responsible for catch rate and factors that characterize the population growth rate is analyzed taking into account the terms of the equation describing the increase in the population size at the expense of fish farms. The proposed model and the results, in particular, can be used to solve problems of the size reducing of population of the rare breed fish and disappearance of valuable species of fish such as sturgeon.

Full Text

В связи с возрастающим фактором антропогенного воздействия на окружающую среду наибольшую актуальность приобретает проблема не только резкого уменьшения численности ценных промысловых пород животных, рыб и растений, но и сокращения разнообразия видов представителей животного и растительного мира. Анализ литературы [1,2] показал, что модели роста популяций и модели промышленной добычи особей этих популяций существуют отдельно и никак не связаны между собой. Между тем главным фактором, влияющим на численность промысловых пород животных и рыб, оказывают не природные условия их обитания и не скорость их естественного вымирания, а деятельность человека. Поэтому для аналитического описания процесса вылова рыб в промышленных масштабах с учётом восполнения их популяции за счёт рыбных хозяйств выбрана модель [3], предложенная для учёта использования природных ресурсов: Xi Ri Ai Xi + p1 , Ri + N0 Xi Ai + N1 Xi p0 Xi Ri+1 = q0 Ri − Ri + bA(i − ∆i ), Ri + N0 Xi p1 Xi Ai+1 = q1 Ai − Ai + h. Ai + N1 Xi Xi+1 = p0 (1) 190 Математическое моделирование процессов сохранения популяций Здесь i — номер путины; Ri — численность популяции рыб, обитающих в природных условиях; Xi — объём вылова во время путины под номером i; Ai — численность популяции, выращиваемой на фермах; p0 , p1 — прирост объёмов вылова в природных условиях и на фермах; N0 , N1 — коэффициенты, характеризующие реальные численности популяций, доступные к вылову в морях и на фермах; q0 , q1 — коэффициенты, отвечающие за скорости роста популяций в дикой природе и в неволе (рассматриваем случай q0 < 1, q1 < 1, так как в модели не учитываются естественные факторы, ограничивающие рост популяций, такие как смертность от недостатка пищи, неблагоприятных условий существования и тому подобное); h — прирост популяции, обитающей на ферме, за счёт природных ресурсов; b — параметр восполнения популяции за счёт ферм; ∆i — количество путин, в течение которых на фермах происходит выращивание молоди, предназначенной для пополнения природных ресурсов. Тогда R/N0 , X + R/N0 A/N1 X + A/N1 — части, оставшиеся от общего количества популяции после вылова, соответственно, в морях и на фермах. Исследуем систему (1) при b = 0 и h = 0, т. е. когда пополнения популяции за счёт ферм не происходит. Так как в правой части первого уравнения системы (1) все члены положительны, Xi сначала будет возрастать. Из второго и третьего уравнений системы можно сделать вывод о том, что численность популяции Ri , обитающей в природных условиях, и численность популяции Ai , выращиваемой на фермах в это же время, будут убывать, так как Ri+1 − q0 Ri = − p0 Xi Ri . Ri + N0 Xi (2) p1 Xi Ai , Ai + N1 Xi (3) Из (2) следует Ri > Ri+1 /q0 . Аналогично получим Ai+1 − q1 Ai = − откуда Ai > Ai+1 /q1 . Отсюда следует, что Xi с какой-то путины также начнет убывать. Если к (3) добавить некоторую константу h, характеризующую резервное количество рыбы в хозяйствах, не подлежащее вылову, то Ai будет стремиться к ней. Из (2) определим скорость, с которой Ri стремится к нулю. После элементарных преобразований, устремляя Ri к нулю, получим q0 N0 − p0 def Ri+1 = = d0 . Ri N0 (4) Аналогично из (3) определим скорость, с которой уменьшается Ai : Ai+1 q1 N1 − p1 def = = d1 . Ai N1 (5) Установим, начиная с какой путины значения Xi начнут убывать. Для этого рассмотрим отношение, получающееся из первого уравнения системы (1): Xi+1 Ri Ai = p0 + p1 < 1, Xi Ri + N0 Xi Ai + N1 Xi p0 Ri N1 + p1 Ai N0 < Xi . N0 N1 (6) 191 О. С. Афанасьева, Г. Ф. Егорова, Л. В. Кайдалова Преобразуем формулу (2) к следующему виду: p0 Xi q0 Ri + (q0 N0 − p0 )Xi Ri+1 = q0 − = , Ri Ri + N0 Xi Ri + N0 Xi если Ri → 0, i → ∞, то в пределе Ri+1 q0 N0 − p0 = . Ri N0 Таким образом, начиная с некоторой путины i, Ri+1 = Ri d0 , где d0 = (q0 N0 − − p0 )/N0 — безразмерный коэффициент, характеризующий изменение численности популяции после очередного вылова. Не ограничивая общности, можем принять, что R(n) = R1 dn−1 . Аналогичные рассуждения приведут нас к такому же результату 0 для A(n) = A1 dn−1 , где d1 = (q1 N1 − p1 )/N1 . 1 Выявленные закономерности позволяют без решения исходной системы уравнений предсказывать номер путины n при заданных значениях параметров, после которой Ri и Ai начнут уменьшаться, что приведёт к уменьшению Xi . В частности, можно было бы в пространстве параметров получить критические точки, кривые или поверхности, являющиеся границами, отделяющими области неограниченного роста Ri , Ai , Xi и области их стремления к нулю. Тогда с учётом (4) и (5) получаем Rn = R1 dn−1 , An = A1 dn−1 и, преобразуя (6), 0 1 окончательно получим p0 N1 R1 dn−1 + p1 N0 A1 dn−1 0 1 < (d0 + d1 )n−1 . N0 N1 X1 Заменив в последнем соотношении знак неравенства на равенство, можно определить n из следующего уравнения: (p0 N1 R1 + p1 N0 A1 ) min dn−1 , dn−1 0 1 = (d0 + d1 )n−1 . N0 N1 X1 (7) В качестве примера рассмотрим вылов осетровых в Каспийском море [1,4]. Найдём решение системы уравнений (1) со следующими значениями коэффициентов: N0 = 10; N1 = 5; p0 = 1,53; p1 = 1,31; q0 = 0,99; q1 = 0,89 [1] и начальными условия X1 = 0,001, R1 = 25, A1 = 5 (единицы измерения: период путины — год, объём вылова — тысячи тонн). Оценим период времени, в течение которого объём вылова достигает максимального значения: d0 = q0 N0 − p0 = 0,837, N0 d1 = q1 N1 − p1 = 0,628. N1 Подставляя все численные значения в (7) и решая это уравнение относительно n, получим n = 10 — номер путины, начиная с которой Xi начнёт уменьшаться. Естественно, если начальное значение добычи X1 будет иметь меньшее значение, то номер путины, после которой начнётся спад вылова, увеличится. Результаты численного решения системы (1) при h = 0, b = 0 (сплошные линии) и h = 0,15, b = 0 (штриховые линии) приведены на рис. 1. Здесь i дано в годах. Анализ решения показывает, что при наличии изначальной крупной популяции осетровых (или других представителей фауны) в дикой природе и отсутствии пополнения популяции за счёт ферм (b = 0) наращивание объёмов добычи возможно лишь в первое время. Затем численность популяции катастрофически сокращается, а уровень добычи стабилизируется на уровне объёмов производства на фермах. Эти выводы подтверждаются статистической диаграммой, представленной на рис. 2 [4, с. 19]. 192 Математическое моделирование процессов сохранения популяций Рис. 1. Решение системы (1): 1 — объём вылова Xi , 2 — численность популяции Ri в природных условиях, 3 — численность популяции Ai на фермах; h = 0, b = 0 — сплошные линии; h = 0,15, b = 0 — штриховые линии Рис. 2. Совокупный вылов осетра в Каспийском море с 1932 по 2007 гг. Как видно из рис. 2, объём вылова осетровых существенно снижался только в середине сороковых годов, затем с некоторыми спадами объёмы вылова возрастали. Если проанализировать рост объёма вылова начиная с 1968 года, можно сделать вывод, что за десять лет он достиг своего максимума, после чего начался его быстрый спад, связанный с катастрофическим сокращением численности популяции осетровых, как это видно из решения системы (1). Результаты численного решения системы (1) при b = 0,1, ∆i = 3 (сплошные линии) и при b = 0,1, ∆i = 1 (штриховые ли- Рис. 3. Решение системы (1): 1 — объём нии) приведены на рис. 3. Анализ решения вылова Xi , 2 — численность популяции Ri в показывает, что пополнение природных ре- природных условиях, 3 — численность попусурсов молодью, выращиваемой на фермах, ляции Ai на фермах; b = 0,1; ∆i = 3 — сплошные линии; b = 0,01; ∆i = 1 — штриобеспечивает стабильный рост численности ховые линии этих популяций и объёмов их отлова. Таким образом, результаты расчётов, проведённых по предложенной модели, свидетельствуют о том, что модель качественно отражает процесс истощения природных ресурсов и что без восполнения ресурсов осетровых и любых других видов животных и рыб их запасы довольно быстро будут уменьшаться и могут исчезнуть совсем. Выводы. Предложена новая модель (1) для описания динамики популяции осетровых, которая в отличие от известных моделей [1, 2] учитывает промышленный вылов. Анализ решений системы разностных уравнений (1) показал качественное совпадение результатов, полученных с помощью предложенной модели, и реальных статистических данных [4]. Предлагаемая авторами модель может быть использована для исследования динамики популяций любых промысловых пород животных и рыб.

About the authors

Olga S Afanas’eva

Samara State Technical University

Email: afa@pm.samgtu.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia
(Ph. D. Tehn.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Galina F Egorova

Samara State Technical University

Email: galahouse2009@mail.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia
(Ph. D. Tehn.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.

Ludmila V Kaidalova

Samara State Transport University

Email: ludmila.kaid@gmail.com
18, First Bezimyanniy per., Samara, 443066, Russia
(Ph. D. Phys. & Math.), Associate Professor, Dept. of Hight Mathematics.

References

  1. Г. Ю. Ризниченко, Математические модели в биофизике и экологии. М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 184 с.
  2. А. М. Нахушев, Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.
  3. Е. Г. Пугачева, К. Н. Соловьенко, Самоорганизация социально-экономических систем. Иркутск: БГУЭП, 2003. 172 с.
  4. Каспийское море. Состояние окружающей среды – 2011: Доклад временного Секретариата Рамочной конвенции по защите морской среды Каспийского моря и бюро управления и координации проекта «КАСПЭКО»; http://www.caspianenvironment.org/newsite/DocCenter/2011/Caspian%20SoE_Russian-05-08-11.pdf, 2010. 112 с.

Statistics

Views

Abstract - 14

PDF (Russian) - 6

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies