Mathematical modeling of the conservation of populations

Full Text

В связи с возрастающим фактором антропогенного воздействия на окружающую среду наибольшую актуальность приобретает проблема не только резкого уменьшения численности ценных промысловых пород животных, рыб и растений, но и сокращения разнообразия видов представителей животного и растительного мира. Анализ литературы [1, 2] показал, что модели роста популяций и модели промышленной добычи особей этих популяций существуют отдельно и никак не связаны между собой. Между тем главным фактором, влияющим на численность промысловых пород животных и рыб, оказывают не природные условия их обитания и не скорость их естественного вымирания, а деятельность человека. Поэтому для аналитического описания процесса вылова рыб в промышленных масштабах с учётом восполнения их популяции за счёт рыбных хозяйств выбрана модель [3], предложенная для учёта использования природных ресурсов: Xi Ri Ai Xi + p1 , Ri + N0 Xi Ai + N1 Xi p0 Xi Ri+1 = q0 Ri − Ri + bA(i − ∆i ), Ri + N0 Xi p1 Xi Ai+1 = q1 Ai − Ai + h. Ai + N1 Xi Xi+1 = p0 (1) 190 Математическое моделирование процессов сохранения популяций Здесь i — номер путины; Ri — численность популяции рыб, обитающих в природных условиях; Xi — объём вылова во время путины под номером i; Ai — численность популяции, выращиваемой на фермах; p0 , p1 — прирост объёмов вылова в природных условиях и на фермах; N0 , N1 — коэффициенты, характеризующие реальные численности популяций, доступные к вылову в морях и на фермах; q0 , q1 — коэффициенты, отвечающие за скорости роста популяций в дикой природе и в неволе (рассматриваем случай q0 < 1, q1 < 1, так как в модели не учитываются естественные факторы, ограничивающие рост популяций, такие как смертность от недостатка пищи, неблагоприятных условий существования и тому подобное); h — прирост популяции, обитающей на ферме, за счёт природных ресурсов; b — параметр восполнения популяции за счёт ферм; ∆i — количество путин, в течение которых на фермах происходит выращивание молоди, предназначенной для пополнения природных ресурсов. Тогда R/N0 , X + R/N0 A/N1 X + A/N1 — части, оставшиеся от общего количества популяции после вылова, соответственно, в морях и на фермах. Исследуем систему (1) при b = 0 и h = 0, т. е. когда пополнения популяции за счёт ферм не происходит. Так как в правой части первого уравнения системы (1) все члены положительны, Xi сначала будет возрастать. Из второго и третьего уравнений системы можно сделать вывод о том, что численность популяции Ri , обитающей в природных условиях, и численность популяции Ai , выращиваемой на фермах в это же время, будут убывать, так как Ri+1 − q0 Ri = − p0 Xi Ri . Ri + N0 Xi (2) p1 Xi Ai , Ai + N1 Xi (3) Из (2) следует Ri > Ri+1 /q0 . Аналогично получим Ai+1 − q1 Ai = − откуда Ai > Ai+1 /q1 . Отсюда следует, что Xi с какой-то путины также начнет убывать. Если к (3) добавить некоторую константу h, характеризующую резервное количество рыбы в хозяйствах, не подлежащее вылову, то Ai будет стремиться к ней. Из (2) определим скорость, с которой Ri стремится к нулю. После элементарных преобразований, устремляя Ri к нулю, получим q0 N0 − p0 def Ri+1 = = d0 . Ri N0 (4) Аналогично из (3) определим скорость, с которой уменьшается Ai : Ai+1 q1 N1 − p1 def = = d1 . Ai N1 (5) Установим, начиная с какой путины значения Xi начнут убывать. Для этого рассмотрим отношение, получающееся из первого уравнения системы (1): Xi+1 Ri Ai = p0 + p1 < 1, Xi Ri + N0 Xi Ai + N1 Xi p0 Ri N1 + p1 Ai N0 < Xi . N0 N1 (6) 191 О. С. Афанасьева, Г. Ф. Егорова, Л. В. Кайдалова Преобразуем формулу (2) к следующему виду: p0 Xi q0 Ri + (q0 N0 − p0 )Xi Ri+1 = q0 − = , Ri Ri + N0 Xi Ri + N0 Xi если Ri → 0, i → ∞, то в пределе Ri+1 q0 N0 − p0 = . Ri N0 Таким образом, начиная с некоторой путины i, Ri+1 = Ri d0 , где d0 = (q0 N0 − − p0 )/N0 — безразмерный коэффициент, характеризующий изменение численности популяции после очередного вылова. Не ограничивая общности, можем принять, что R(n) = R1 dn−1 . Аналогичные рассуждения приведут нас к такому же результату 0 для A(n) = A1 dn−1 , где d1 = (q1 N1 − p1 )/N1 . 1 Выявленные закономерности позволяют без решения исходной системы уравнений предсказывать номер путины n при заданных значениях параметров, после которой Ri и Ai начнут уменьшаться, что приведёт к уменьшению Xi . В частности, можно было бы в пространстве параметров получить критические точки, кривые или поверхности, являющиеся границами, отделяющими области неограниченного роста Ri , Ai , Xi и области их стремления к нулю. Тогда с учётом (4) и (5) получаем Rn = R1 dn−1 , An = A1 dn−1 и, преобразуя (6), 0 1 окончательно получим p0 N1 R1 dn−1 + p1 N0 A1 dn−1 0 1 < (d0 + d1 )n−1 . N0 N1 X1 Заменив в последнем соотношении знак неравенства на равенство, можно определить n из следующего уравнения: (p0 N1 R1 + p1 N0 A1 ) min dn−1 , dn−1 0 1 = (d0 + d1 )n−1 . N0 N1 X1 (7) В качестве примера рассмотрим вылов осетровых в Каспийском море [1, 4]. Найдём решение системы уравнений (1) со следующими значениями коэффициентов: N0 = 10; N1 = 5; p0 = 1,53; p1 = 1,31; q0 = 0,99; q1 = 0,89 [1] и начальными условия X1 = 0,001, R1 = 25, A1 = 5 (единицы измерения: период путины — год, объём вылова — тысячи тонн). Оценим период времени, в течение которого объём вылова достигает максимального значения: d0 = q0 N0 − p0 = 0,837, N0 d1 = q1 N1 − p1 = 0,628. N1 Подставляя все численные значения в (7) и решая это уравнение относительно n, получим n = 10 — номер путины, начиная с которой Xi начнёт уменьшаться. Естественно, если начальное значение добычи X1 будет иметь меньшее значение, то номер путины, после которой начнётся спад вылова, увеличится. Результаты численного решения системы (1) при h = 0, b = 0 (сплошные линии) и h = 0,15, b = 0 (штриховые линии) приведены на рис. 1. Здесь i дано в годах. Анализ решения показывает, что при наличии изначальной крупной популяции осетровых (или других представителей фауны) в дикой природе и отсутствии пополнения популяции за счёт ферм (b = 0) наращивание объёмов добычи возможно лишь в первое время. Затем численность популяции катастрофически сокращается, а уровень добычи стабилизируется на уровне объёмов производства на фермах. Эти выводы подтверждаются статистической диаграммой, представленной на рис. 2 [4, с. 19]. 192 Математическое моделирование процессов сохранения популяций Рис. 1. Решение системы (1): 1 — объём вылова Xi , 2 — численность популяции Ri в природных условиях, 3 — численность популяции Ai на фермах; h = 0, b = 0 — сплошные линии; h = 0,15, b = 0 — штриховые линии Рис. 2. Совокупный вылов осетра в Каспийском море с 1932 по 2007 гг. Как видно из рис. 2, объём вылова осетровых существенно снижался только в середине сороковых годов, затем с некоторыми спадами объёмы вылова возрастали. Если проанализировать рост объёма вылова начиная с 1968 года, можно сделать вывод, что за десять лет он достиг своего максимума, после чего начался его быстрый спад, связанный с катастрофическим сокращением численности популяции осетровых, как это видно из решения системы (1). Результаты численного решения системы (1) при b = 0,1, ∆i = 3 (сплошные линии) и при b = 0,1, ∆i = 1 (штриховые ли- Рис. 3. Решение системы (1): 1 — объём нии) приведены на рис. 3. Анализ решения вылова Xi , 2 — численность популяции Ri в показывает, что пополнение природных ре- природных условиях, 3 — численность попусурсов молодью, выращиваемой на фермах, ляции Ai на фермах; b = 0,1; ∆i = 3 — сплошные линии; b = 0,01; ∆i = 1 — штриобеспечивает стабильный рост численности ховые линии этих популяций и объёмов их отлова. Таким образом, результаты расчётов, проведённых по предложенной модели, свидетельствуют о том, что модель качественно отражает процесс истощения природных ресурсов и что без восполнения ресурсов осетровых и любых других видов животных и рыб их запасы довольно быстро будут уменьшаться и могут исчезнуть совсем. Выводы. Предложена новая модель (1) для описания динамики популяции осетровых, которая в отличие от известных моделей [1, 2] учитывает промышленный вылов. Анализ решений системы разностных уравнений (1) показал качественное совпадение результатов, полученных с помощью предложенной модели, и реальных статистических данных [4]. Предлагаемая авторами модель может быть использована для исследования динамики популяций любых промысловых пород животных и рыб.

About the authors

Olga S Afanas’eva

Samara State Technical University

Email: afa@pm.samgtu.ru
(Ph. D. Tehn.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Galina F Egorova

Samara State Technical University

Email: galahouse2009@mail.ru
(Ph. D. Tehn.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Ludmila V Kaidalova

Samara State Transport University

Email: ludmila.kaid@gmail.com
(Ph. D. Phys. & Math.), Associate Professor, Dept. of Hight Mathematics. 18, First Bezimyanniy per., Samara, 443066, Russia

References

Supplementary files