Optimal control problem for the impulsive differential equations with non-local boundary conditions

Abstract


The optimal control problem is investigated, where the state of the controlled system is described by the impulsive differential equations with non-local boundary conditions. The existence and uniqueness of the non-local impulsive boundary problem by fixed admissible controls are proved using the contraction mapping principle. The gradient of the functional is calculated under certain conditions on the initial data. The necessary conditions for optimality of the first order are obtained.

Full Text

Введение. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием моделируют поведение эволюционирующих во времени процессов разнообразной природы, которые могут почти мгновенно изменять свое состояние. Такие уравнения имеют разрывные решения с разрывами первого рода в фиксированные или нефиксированные моменты времени [1]. В [2, стр. 10, 16] приведены конкретные примеры из теории электрических колебаний и часов, математические модели которых описываются дифференциальными уравнениями с импульсными воздействиями. Такие дифференциальные уравнения подробно изучены в монографиях [1–4]. Однако в последние годы интенсивно исследуются дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями при нелокальных краевых условиях (см. напр., [4–8] и ссылки в них). В этих работах отмечается существование многочисленных процессов физики, техники, экологии, механики и др., математические модели которых описываются дифференциальными уравнениями с импульсными воздействиями при нелокальных краевых условиях и доказаны теоремы существования и единственности решения соответствующих краевых задач. В указанных работах нелокальность краевых условий в основном имеет вид x(0) + g(x) = x0 , (1) где g(x) — линейный оператор, действующий из пространства кусочных абсолютно непрерывных функций в пространство Rn . Такие краевые условия не охватывают даже простые случаи, например, когда одна часть граничных условий задана в начальной точке, а другая часть — в конечной точке. 34 Задача оптимального управления для систем с импульсными воздействиями . . . В монографии [9] приведены примеры из практики, в которых нелокальные граничные условия заданы в различных точках, т. е. имеют вид m Ak x(tk ) = C. k=0 Очевидно, что такие нелокальные краевые условия более общие, чем выше отмеченные, так как содержат (1) как частный случай. Действительно, при A0 = E (E — единичная матрица) получаются условия вида (1). В настоящей работе исследуется задача оптимального управления системой, состояние которой описывается дифференциальными уравнениями с импульсными воздействиями при нелокальных краевых условиях. Исследованы вопросы существования и единственности решений краевой задачи, найдены достаточные условия для дифференцируемости критерия качества, получена формула его градиента и установлены необходимые условия оптимальности в форме вариационных неравенств. 1. Постановка задачи. Рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу при импульсных воздействиях: dx = f (t, x, u(t)), 0 t T, t = ti , dt Ax(0) + Bx(T ) = C, ∆x(ti ) = Ii (x(ti ), vi ), i = 1, 2, . . . , p, 0 < t1 < t2 < · · · < tp < T, (2) (3) (4) (u(·), [v]) ∈ U × Πp = u(t) ∈ Lr [0, T ] : u(t) ∈ V, 2 п.в. t ∈ [0, T ], vi ∈ Π, i = 1, 2, . . . , p. , (5) где x(t) ∈ Rn ; f (t, x, u) — n-мерная непрерывная функция; A, B ∈ Rn×n , C ∈ Rn×1 — заданные постоянные матрицы; ∆x(ti ) = x(t+ ) − x(t− ); Ii (x, v) — i i некоторые заданные функции; (u, [v]) — управляющие параметры; V ∈ Rr и Π ∈ Rm — ограниченные выпуклые множества. Требуется на решениях краевой задачи (2)–(5) минимизировать функционал J(u, [v]) = Φ(x(0), x(T )), (6) где Φ(x, y) — заданная скалярная функция. Под решением краевой задачи (2)–(4), соответствующей фиксированному управляющему параметру (u(·), [v]) ∈ U × Πp , будем понимать функцию x(t) : [0, T ] → Rn , абсолютно непрерывную на [0, T ], t = ti и непрерывную слева при t = ti , для которой существует конечный правый предел x(t+ ) при i i = 1, 2, . . . , p. Пространство таких функций обозначим P C([0, T ], Rn ). Очевидно, такое пространство является банаховым с нормой x P C = max |x(t)|, t∈[0,T ] где | · |— является нормой в Rn . Допустимый процесс {(u(t), [v]), x(t; u(t), [v])}, являющийся решением задачи (2)–(6), т. е. доставляющий минимум функционалу (6) при ограничениях (2)–(5), будем называть оптимальным процессом, а (u(t), [v]) — оптимальным управлением, где через x(t; u(t), [v]) обозначено решение краевой задачи (2)– (4), соответствующее допустимому управлению (u(t), [v]). 35 Я. А. Ш а р и ф о в 2. Существование решений краевой задачи (2)–(4). Рассмотрим следующие условия: 1) det(A + B) = 0; 2) f : [0, T ]×Rn ×Rr → Rn , Ii : Rn ×Rm → Rn , i = 1, 2, . . . , p — непрерывные функции; существуют постоянные K > 0, Li > 0, i = 1, 2, . . . , p, такие, что |f (t, x, u) − f (t, y, u)| K|x − y|, t ∈ [0, T ], x, y ∈ Rn , |Ii (x, v) − Ii (y, v)| Li |x − y|, x, y ∈ Rn ; 3) p L = S KT + где S = max (A + B)−1 A , (A + Li < 1, i=1 B)−1 B . Теорема 1. Пусть выполняется условие 1). Тогда x(t) ∈ P C([0, T ], Rn ) является абсолютно непрерывным решением краевой задачи (2)–(4) тогда и только тогда, когда x(t) = (A + B) −1 p T K(t, τ )f (τ, x(τ ), u(τ ))dτ + C+ 0 K(t, ti )Ii (x(ti ), vi ), (7) i=1 где (A + B)−1 A, 0 −(A + B)−1 B, t K(t, τ ) = τ τ t, T. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция x(t) является решением дифференциального уравнения (2), то для t ∈ (tj , tj+1 ) t t f (s, x(s), u(s))ds = 0 x (s)ds = 0 = x(t− ) − x(0+ ) + x(t− ) − x(t+ ) + · · · + x(t− ) − x(t+ ) = 1 2 1 j = −x(0) − x(t+ ) − x(t− ) − x(t+ ) − x(t− ) − · · · − x(t+ ) − x(t− ) + x(t). 1 1 2 2 j j Отсюда t x(t) = x(0) + ∆x(tj ), f (s, x(s), u(s))ds + 0 (8) 0

About the authors

Yagub A Sharifov

Baku State University

Email: sharifov22@rambler.ru
23, Z. Khalilov st., Baku, AZ-1073/1, Azerbaijan
(Ph.D. Phys. & Math.), Associate profesor, Dept. of Mathematical Methods of Applied Analysis

References

  1. А. М. Самойленко, Н. А. Перестюк, Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища школа, 1987. 287 с.
  2. A. M. Samoilenko, N. A. Perestyuk, Impulsive Diff erential Equations. Singapore: World Scienti c, 1995. ix+467 pp.
  3. A. Halanay, D. Wexler, Teoria calitativ a a sistemelor cu impulsuri (Qualitative Theory of Sampled-Data Systems). Bucuresti: Editura Academiei Republicii Socialiste România, 1968. 312 pp.
  4. А. Халанай, Д. Векслер, Качественная теория импульсных систем. Москва: Мир, 1971. 309 с.
  5. V. Lakshmikantham, D. D. Bainov, P. S. Simeonov, Theory of impulsive di fferential equations / Series in Modern Applied Mathematics. Vol. 6.World Scienti c: Singapore, 1989. xii+273 pp.
  6. M. Benchohra, J. Henderson, S. Ntouyas, Impulsive diff erential equations and inclusions / Contemporary Mathematics and Its Applications. Vol. 2. Hindawi Publishing Corporation: New York, 2006. xiv+366 pp.
  7. B. Selvaraj, M. Mallika Arjunan, V. Kavitha, "Existence of solutions for impulsive nonlinear diff erential equations with nonlocal conditions" // J. KSIAM, 2009. Vol. 13, no. 3. Pp. 203-215, http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/thesis_file/jksiam-v13n3p203.pdf.
  8. A. Anguraj, M. Mallika Arjunan, "Existence and uniqueness of mild and classical solutions of impulsive evolution equations" // Electron. J. Di fferential Equations, 2005. Vol. 2005, no. 111. Pp. 1-8, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/EJDE/Volumes/2005/111/anguraj.pdf.
  9. S. Ji, S. Wen, "Nonlocal Cauchy problem for impulsive di fferential equations in Banach spaces" // Int. J. Nonlinear Sci, 2010. Vol. 10, no. 1. Pp. 88-95.
  10. M. Li, M. Han, "Existence for neutral impulsive functional di fferential equations with nonlocal conditions" // Indag. Math. (N.S.), 2009. Vol. 20, no. 3. Pp. 435-451.
  11. А. М. Самойленко, Н. И. Ронто, Численно-аналитические методы исследования решений краевых задач. Киев: Наукова думка, 1986. 223 с.
  12. Ф. П. Васильев, Методы оптимизации. Москва: Факториал Пресс, 2002. 823 с.

Statistics

Views

Abstract - 21

PDF (Russian) - 11

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies