The Laplace’ quasi-operator in quasi-Sobolev spaces

Abstract

The quasi-Sobolev spaces notion introduced in the article is based on the quasinorms concept. Completeness of these spaces on the appropriate quasi-norms is proved and the continuous embedding of these spaces is shown in the work. Also Laplace’ and Green’s quasi-operators concepts are introduced; it is shown that these quasi-operators are toplinear isomorphisms.

Full Text

Пусть Ω ⊂ Rn — ограниченная область с границей класса C ∞ (для просто◦ −1 ты). Пусть W 1 (Ω) — соболевское пространство, а W2 — сопряжённое к нему 2 относительно скалярного произведения ·, · из L2 (Ω) пространство с негативной нормой. Отметим хорошо известные (см. например [1, гл. 4]) плотные и непрерывные (даже компактные) вложения ◦ −1 W 1 (Ω) → L2 (Ω) → W2 (Ω). 2 (1) Также хорошо известно, что оператор Лапласа −∆, определяемый формулой n − ∆u, v = uxm vxm dx, m=1 Ω задаёт топлинейный изоморфизм [2, гл. III]: ◦ −1 −∆ : W 1 (Ω) → W2 (Ω). 2 (2) Далее, пусть {λk } ⊂ R+ — множество собственных значений оператора Лапласа −∆, занумерованное по неубыванию с учетом их кратности. Построим пространства ∞ 1 l2 = x = {xk } : ∞ λk |xk |2 < +∞ , k=1 −1 l2 = x = {xk } : λ−1 |xk |2 < +∞ k k=1 13 Д ж. К. К. А л ь Д е л ф и ◦ −1 −1 1 и отметим топлинейные изоморфизмы l2 ∼W 1 (Ω), l2 ∼ W2 (Ω), а также = 2 = плотность и непрерывность вложений −1 1 l2 → l2 → l2 , (3) −1 1 вытекающие из (1). Отметим банаховость пространств l2 и l2 с нормами ∞ ∞ −1 k 2 k 2 2 x 2 = 1 k=1 λk |y | соответственно. (В действиk=1 λk |x | и y −1 = тельности эти пространства являются гильбертовыми, но их гильбертовость нам не понадобится). Введём в рассмотрение квазиоператор Лапласа Λx = λk xk . (4) Поскольку Λx −1 = x 1 , из (4) следует топлинейность изоморфизма Λ : −1 1 l2 → l2 , который, впрочем, легко получить из (2), (3). Обратный к Λ оператор (квазиоператор Грина Λ−1 ) задаётся формулой Λ−1 y = λ−1 y k . k (5) Статья посвящена перенесению описанной выше идеологии на квазибанаховы пространства lp , p ∈ (0, 1). В первой части вводятся в рассмотрение квазисоболевы пространства ∞ ∞ p/2 1 lp = x = {xk } : −1 λk |xk |p < +∞ , lp = x = {xk } : k=1 −p/2 λk |xk |p < +∞ , k=1 где p ∈ (0, 1), a {λk } ⊂ R+ — монотонно возрастающая последовательность такая, что limk→∞ λk = +∞. Устанавливается их полнота относительно соответствующих квазинорм, а также плотность и непрерывность вложений 1 −1 lp → lp → lp . Во второй части статьи доказывается, что квазиоператор Лапласа (4) является топлинейным изоморфизмом, причем обратным к нему служит квазиоператор Грина (5). 1. Квазисоболевы пространства. Пусть L — линейное вещественное (простоты ради) пространство. Определение. Квазинормированным пространством называется упорядоченная пара (L,q · ), где квазинорма q · : L → R удовлетворяет следующим аксиомам: (i) ∀x ∈ L q x 0, причём q x = 0 точно тогда, когда x = 0, где 0 — нуль пространства L; (ii) ∀x ∈ L ∀α ∈ R q αx = |α|q x ; (iii) ∀x, y ∈ L q x + y const(q x + q y ), где константа const 1 и не зависит ни от x, ни от y. В дальнейшем квазинормированное пространство (L,q · ) будем отождествлять с линейным пространством L. Последовательность {xk } ⊂ L называется сходящейся к x ∈ L, если limk→∞ q xk − x = 0. Этот факт будем 14 Квазиоператор Лапласа в квазисоболевых пространствах записывать так: limk→∞ xk = x. Последовательность называется фундаментальной, если limk,r→∞(xk − xr ) = 0. Пространство L называется квазибанаховым, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к некоторой точке этого пространства. Отметим сразу, что любое банахово пространство является квазибанаховым, а обратное, вообще говоря, неверно. Пример. Пространства lp — квазибанаховы при всех p ∈ (0, +∞], однако они банаховы только при p ∈ [1, +∞]. 1 −1 Лемма. Квазисоболевы пространства lp и lp являются квазибанаховыми при всех p ∈ (0, +∞]. Д о к а з а т е л ь с т в о этого факта аналогично п. 4.2 [3]. Заметим лишь, что константа const = 21/p при p ∈ (0, 1) и const = 1 при p ∈ [1, +∞]. Пусть U и F — два квазибанаховых пространства. Будем говорить, что – U вложено в F, если U подмножество F, то есть U ⊂ F; – U плотно вложено в F, если вдобавок замыкание U = F; – U плотно и непрерывно вложено в F, если вдобавок для всех u ∈ U Cq u F , где C ∈ R+ — некоторая константа, не зависящая от u; q u U плотное и непрерывное вложение будем обозначать символом U → F. Теорема. При всех p ∈ (0, +∞] имеют место плотные и непрерывные 1 −1 вложения lp → lp → lp . 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем плотность вложения lp в lp . Пусть x ∈ lp , рассмотрим последовательность {xk }, где x1 = (x1 , 0, 0, . . .), x2 = (x1 , x2 , 0, 0, . . .), . . . , xk = (x1 , x2 , . . . , xk , 0, 0, . . .), . . . . 1 Очевидно, {xk } ⊂ lp , причём limk→∞ xk = x в квазинорме lp . 1 Непрерывность вложения lp → lp очевидна. −1 доказывается аналогично. Утверждение lp → lp 2. Квазиоператор Лапласа. Пусть, как и выше, {λk } ⊂ R+ — монотонная последовательность такая, что limk→∞ λk = +∞. Формулой (4) определим 1 −1 квазиоператор Лапласа. Очевидно, что Λ : lp → lp при всех p ∈ (0, +∞], причём q Λ −1 = q x 1 , где ∞ q x −1 = k=1 1/p −p/2 λk |xk |p ∞ и q x 1 p/2 λk |xk |p = 1/p — k=1 −1 1 квазинормы в пространствах lp и lp соответственно. Далее формулой (5) определим квазиоператор Грина. −1 1 Очевидно, что ΛΛ−1 x = x при всех x ∈ lp и Λ−1 Λx = x при всех x ∈ lp , p ∈ (0, +∞], причём q Λ−1 x 1 = q x −1 . Итак, доказана следующая теорема. −1 1 Теорема. При всех p ∈ (0, +∞] квазиоператор Лапласа Λ : lp → lp — топлинейный изоморфизм. Напомним, что линейный непрерывный оператор S : U → F, где U и F — квазибанаховы пространства, называется топлинейным изоморфизмом, если существует обратный S −1 : F → U, который тоже непрерывен. 15 Д ж. К. К. А л ь Д е л ф и Замечание. Распространение результатов данной статьи на случай комплексных пространств lp , p ∈ (0, +∞], очевидно. Автор выражает свою искреннюю благодарность профессору Г. А. Свиридюку за постановку задачи и проявленный интерес к работе.