Method of pure shear problem solving for stochastically inhomogeneous plane in a steady-state creep

Full Text

Наиболее часто используемым методом решения стохастических краевых задач является метод малого параметра, который позволяет свести статистически нелинейную задачу к последовательности статистически линейных задач. Следует отметить, что данный подход связан с трудностями вычислительного характера, поэтому при решении нелинейных стохастических задач обычно ограничиваются первым (реже вторым) приближением метода малого параметра. Метод малого параметра детально разработан лишь для стохастических задач линейной теории упругости В. А. Ломакиным [1, 2]. Его применение в теории ползучести сдерживается проблемами не только статистической, но и физической нелинейности. В данной работе приводится решение нелинейной задачи установившейся ползучести при чистом сдвиге стохастически неоднородной плоскости на основе второго приближения метода малого параметра. Аналогичная задача в корреляционном приближении (соответствует первому приближению метода малого параметра) на основе метода спектрального представления рассматривалась в работе [3]. Вводится ограничение о малости упругих деформаций и считается, что ими допустимо пренебречь. Деформируемый материал считается стохастически неоднородным, так что компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций установившейся ползучести в декартовой ортогональной системе координат являются случайными функциями 97 П о п о в Н. Н., Ч е р н о в а О. О. координат x1 и x2 . Определяющие соотношения ползучести принимаются в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения (установившейся ползучести) в стохастической форме [4] 1 pij = csn−1 σij − δij σkk (1 + αU (x1 , x2 )) , ˙ 3 (1) где s2 = 0,5 (3σij σij − σii σjj ) — интенсивность напряжений, pij — компонен˙ ты тензора деформаций, σij — компоненты тензора напряжений, δij — символ Кронекера, U (x1 , x2 ) — случайная однородная функция, описывающая возмущение реологических свойств материала с математическим ожиданием U = 0 и дисперсией U 2 = 1; c, n — постоянные материала, α — число, определяющее степень неоднородности материала. По повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 2. В дальнейшем предполагается, что α — малый параметр, по которому производится разложение в ряд (метод малого параметра). К определяющим соотношениям ползучести (1) присоединяются уравнения равновесия для напряжений и условие совместности деформаций, сформулированное для скоростей деформаций ползучести: σij ,j = 0, i, j = 1, 2, Λij Λkl pjk,il = 0. ˙ 0 1 −1 0 Здесь Λ = (2) (3) — единичный антисимметричный псевдотензор. Соотношения (1)–(3) задают стохастическую задачу ползучести, которая решается относительно напряжений на основе второго приближения метода малого параметра. После подстановки определяющего соотношения (1) в уравнение совместности (2) и сокращения на величину (s2 )(n−5)/2 в работе [5] было получено следующее уравнение: n−1n−3 2 s,2 2 2 2 (1 + αU ) + n−1 2 2 s s,22 (1 + αU ) + 2 + (n − 1) s2 s22 αU,2 + s2 , +2 n−1 2 2 s s,2 (1 + αU ) + s2 2 + s2 + 2 98 αU,22 (2σ11 − σ22 ) + 2 αU,2 (2σ11 − σ22 ),2 + (1 + αU ) (2σ11 − σ22 ),22 + n−1n−3 2 s,1 2 2 2 (1 + αU ) + + (n − 1) s2 s21 αU,1 + s2 , +2 2 2 n−1 2 2 s s,1 (1 + αU ) + s2 2 n−1 2 2 s s,11 (1 + αU ) + 2 αU,11 (2σ22 − σ11 ) + 2 αU,1 (2σ22 − σ11 ),1 + Метод решения задачи о чистом сдвиге . . . + s2 − 3(n − 1) 2 (1 + αU ) (2σ22 − σ11 ),11 − n−3 2 2 s,1 s,2 (1 + αU ) + s2 s212 (1 + αU ) + , 2 + s2 s22 αU,1 + s2 s21 αU,2 σ12 − 6(s2 )2 αU,12 σ12 − , , n−1 2 2 s s,1 (1 + αU ) + (s2 )2 αU,1 σ12,2 − 2 n−1 2 2 −6 s s,2 (1 + αU ) + (s2 )2 αU,2 σ12,1 − 2 −6 − 6 s2 2 (1 + αU ) σ12,12 = 0. (4) Для приближённого решения уравнения (4) используется метод разложения компонент тензора напряжений σij и интенсивности напряжений s2 по малому параметру α до членов второго порядка малости: 0 1 2 σij = σij + ασij + α2 σij , 0 σij = σij , s2 = s2 + αs1 + α2 s2 . 0 (5) (6) В силу того, что в условии чистого сдвига детерминированные нормальные 0 0 0 напряжения σ11 и σ22 равны нулю, а касательное напряжение σ12 является постоянным, имеем 0 s2 = 3σ12 , 0 0 1 s1 = 6σ12 σ12 , 1 s2 = σ11 2 1 + σ22 2 1 0 2 1 1 − σ11 σ22 + 3(σ12 )2 + 6σ12 σ12 . Уравнение (4) путём подстановки в него представлений (5), (6) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях α приводится к системе двух уравнений: 1 1 1 1 1 0 0 (2σ11 − σ22 ),22 + (2σ22 − σ11 ),11 − 6σ12,12 − 6ks1,12 σ12 = 6U,12 σ12 , (7) 2 2 2 2 2 0 (2σ11 − σ22 ),22 + (2σ22 − σ11 ),11 − 6σ12,12 − 6ks2,12 σ12 = 0 1 1 1 = 6kqs1,1 s1,2 σ12 + 6k s1,12 σ12 + s1,1 σ12,2 + s1,2 σ12,1 − − 0 s1 s1,12 σ12 0 0 1 1 1 1 +s1,2 U,1 σ12 +s1,1 U,2 σ12 −k s1,22 (2σ11 −σ22 )+s1,11 (2σ22 −σ11 )+ 2 s0 1 1 1 1 1 1 1 1 +2s1,2 (2σ11 −σ22 ),2 +2s1,1 (2σ22 −σ11 ),1 −U,22 (2σ11 −σ22 )−2U,2 (2σ11 −σ22 ),2 − 1 1 1 1 1 0 − U,11 (2σ22 − σ11 ) − 2U,1 (2σ22 − σ11 ),1 + 6U,12 σ12 − 6U U,12 σ12 , (8) где k = (n − 1)/(2s2 ), q = (n − 3)/(2s2 ). 0 0 Подставив в уравнения (7), (8) приближения s1 , s2 интенсивности напряжений s2 , получим систему дифференциальных уравнений в частных произ1 2 водных относительно σij и σij : 1 1 1 1 1 0 2σ11,22 − σ22,22 + 2σ22,11 − σ11,11 − 6nσ12,12 = 6σ12 U,12 , (9) 99 П о п о в Н. Н., Ч е р н о в а О. О. 2 2 2 2 2 1 1 0 2σ11,22 − σ22,22 + 2σ22,11 − σ11,11 − 6nσ12,12 = 216kqσ12,1 σ12,2 σ12 3 + 0 1 1 1 1 1 0 1 0 + 36kσ12 2σ12,1 σ12,2 − σ12 σ12,12 + σ12,2 U,1 σ12 + σ12,1 U,2 σ12 − 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − 6kσ12 σ12,22 (2σ11 − σ22 ) + σ12,11 (2σ22 − σ11 ) + 2σ12,2 (2σ11,2 − σ22,2 )+ 1 1 1 1 1 1 1 + 2σ12,1 (2σ22,1 − σ11,1 ) − r,12 − U,22 (2σ11 − σ22 ) − 2U,2 (2σ11,2 − σ22,2 )− 1 1 1 1 1 0 − U,11 (2σ22 − σ11 ) − 2U,1 (2σ22,1 − σ11,1 ) + 6U,12 σ12 − 6U U,12 σ12 , (10) 1 1 1 1 1 где r = (σ11 )2 + (σ22 )2 − σ11 σ22 + 3(σ12 )2 . К полученным уравнениям необходимо добавить уравнения равновесия для приближений напряжений m σij ,j = 0, m = 1, 2. (11) Если ввести функцию напряжений F для приближений тензора напряжений с помощью формул 1 σij ,j = δij F1 − F1,ij , 2 σij ,j = δij ∆F2 − F2,ij (12) (∆Fm = Fm,11 +Fm,22 — оператор Лапласа), то вместо системы четырёх уравm нений (9)–(11) относительно напряжений σij ,j получим два линейных уравнения относительно F1 и F2 : 0 F1,1111 + F1,2222 + (3n − 1)F1,1122 = 3σ12 U,12 , F2,1111 + F2,2222 + (3n − 1)F2,1122 = ϕ(F1 , U ). (13) (14) Правая часть ϕ(F1 , U ) уравнения зависит от производных функций F1 и U . В силу громоздкости здесь она не представлена. Однородную функцию U (x1 , x2 ), с помощью которой даётся случайное поле возмущений реологических свойств материала, будем брать в виде [6] U (x1 , x2 ) = A cos(ω1 x1 + ω2 x2 + ϕ), (15) где A — центрированная случайная величина, ϕ — случайная величина, имеющая равномерное распределение на интервале (0; 2π), причём Aϕ = 0, ω1 и ω2 — положительные неслучайные параметры. Для удобства выкладок целесообразно перейти к функции комплексной переменной ˜ ˜ U = Aei(ω1 x1 +ω2 x2 ) , (16) ˜ ˜ ˜ где A = Aeiϕ . Функция U введена так, что Re U = U . Будем рассматривать уравнения (13), (14), в которых действительные ˜ ˜ ˜ функции U , Fi заменены комплексными U , Fi , причём Re Fi = Fi . Решение уравнения (13) имеет вид ˜ ˜ F1 = Af ei(ω1 x1 +ω2 x2 ) , (17) где f — постоянная, найденная путём подстановки представлений (16), (17) в уравнение (13): 0 3ω1 ω2 σ12 f =− 4 4 2 2. ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 100 Метод решения задачи о чистом сдвиге . . . ˜ Выделяя действительную часть F1 , имеем ˜ F1 = Re F 1 = Af cos(ω1 x1 + ω2 x2 + ϕ) или с учётом формулы (15) — F1 = f U (x1 , x2 ). Используя соотношение (12), решение задачи в первом приближении в напряжениях можно записать в виде 3 0 3αω1 ω2 σ12 U 4 4 2 2, ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 0 3 3αω1 ω2 σ12 U (1) 1 2 (18) σ22 = ασ22 = −αω1 f U = 4 4 2 2, ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 2 2 0 3αω1 ω2 σ12 U 0 1 0 0 = σ12 + ασ12 = σ12 + αω1 ω2 f U = σ12 − 4 4 2 2. ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 (1) 1 2 σ11 = ασ11 = −αω2 f U = (1) σ12 Подставляя решение (17) в правую часть уравнения (14), можно получить ˜ ˜ ˜ ˜ F2,1111 + F2,2222 + (3n − 1)F2,1122 = 3A2 be2i(ω1 x1 +ω2 x2 ) , (19) 3 3 0 2 2 0 4 4 0 где b = −2 36kqf 2 ω1 ω2 (σ12 )3 +4kf 2 ω1 ω2 (ω1 +ω2 )2 σ12 +6kf 2 ω1 ω2 (ω1 +ω2 )σ12 + 0 4 4 0 2 2 + 12kf ω1 ω2 )2 σ12 + (ω1 + ω2 )f − ω1 ω2 σ12 . Решение уравнения (19) можно искать в виде ˜ ˜ F2 = A2 ge2i(ω1 x1 +ω2 x2 ) , (20) g = const. После подстановки (20) в (19) для нахождения g получается алгебраическое уравнение, из которого следует g= 4 16(ω1 + 4 ω2 3b 2 2 . + (3n − 1)ω1 ω2 ) Согласно (20) решение уравнения (19) определяется формулой ˜ F2 = ˜ 3A2 be2i(ω1 x1 +ω2 x2 ) 4 2 2 . + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 ) 4 16(ω1 ˜ Выделяя действительную часть F2 и используя соотношения (12), получим вторые приближения для компонент тензора напряжений: 2 3A2 bω2 cos(2ω1 x1 + 2ω2 x2 + ϕ) , 4 4 2 2 4(ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 ) 2 3A2 bω1 cos(2ω1 x1 + 2ω2 x2 + ϕ) 2 , σ22 = − 4 + ω 4 + (3n − 1)ω 2 ω 2 ) 4(ω1 2 1 2 ˜ 3A2 bω1 ω2 cos(2ω1 x1 + 2ω2 x2 + ϕ) 2 σ12 = . 4 4 2 2 4(ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 ) 2 σ11 = − (21) 101 П о п о в Н. Н., Ч е р н о в а О. О. Решение задачи (1)–(3) во втором приближении согласно (5), (18), (21) определяется формулами 3 0 2 3αω1 ω2 σ12 U 3A2 bω2 cos(2ω1 x1 + 2ω2 x2 + ϕ) − , 4 4 4 4 2 2 2 2 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 4(ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 ) 2 0 3 3A2 bω1 cos(2ω1 x1 + 2ω2 x2 + ϕ) 3αω1 ω2 σ12 U (2) − , σ22 = 4 4 2 2 4 4 2 2 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 4(ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 ) 2 2 0 3A2 bω1 ω2 cos(2ω1 x1 + 2ω2 x2 + ϕ) 3αω1 ω2 σ12 U (2) 0 + . σ12 = σ12 − 4 4 2 2 4 4 2 2 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 4(ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 ) (2) σ11 = Найдём основные статистические характеристики случайного поля напряжений: математическое ожидание и дисперсии компонент тензора напряже(1) 0 ний. В силу того, что по условию задачи U = 0, имеем σij = σij . 2 Покажем, что σij = 0. Для этого согласно (21) достаточно установить, что A2 cos(2ω1 x1 +2ω2 x2 +ϕ) = 0. В силу независимости случайных величин A и ϕ имеем cos(2ω1 x1 + 2ω2 x2 ) + ϕ = cos(2ω1 x1 + 2ω2 x2 ) cos ϕ + sin(2ω1 x1 + + 2ω2 x2 ) sin ϕ = 0. Поскольку случайная величина ϕ распределена равно2 мерно на отрезке [0; 2π], имеем cos ϕ = 0 (см. [6]). Отсюда σij = 0. Таким образом, математические ожидания в первом и втором приближениях рав0 ны σij . Дисперсии напряжений в первом приближении с учётом условия U 2 = 1 определяются формулами (1) D11 (1) D22 = 1 2 σ11 = 1 2 σ22 (1) D12 = 1 σ12 2 = = = 0 2 6 9α2 ω1 ω2 σ12 2 4 4 2 2 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 0 6 2 9α2 ω1 ω2 σ12 2 4 4 2 2 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 0 4 4 9α2 ω1 ω2 σ12 2, (22) 2, 2 4 4 2 2 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 2. Дисперсии для второго приближения можно записать в виде (2) 1 2 1 2 Dij = α2 D σij + α4 D σij + 2α3 σij σij . (23) В дальнейшем предполагаем, что случайная величина A распределена по нормальному закону. Для нормально распределённой случайной величины все центральные моменты нечётных порядков равны нулю, а момент четвёр1 2 того порядка A4 = 3 A2 = 6 [7]. Момент σij σij , входящий в (23), равен нулю, так как он пропорционален моменту третьего порядка A3 . Дисперсия 2 D σij , как показано в работе [8], пропорциональна величине 0,5 A4 . Таким образом, дисперсии напряжений во втором приближении согласно (22), (23) определяются формулами (2) D11 102 = 0 2 6 9α2 ω1 ω2 σ12 2 4 4 2 2 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 2 + 0 4 27α4 b2 ω2 σ12 2 4 4 2 2 16 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 2, Метод решения задачи о чистом сдвиге . . . 0 6 2 9α2 ω1 ω2 σ12 (2) D22 = 4 4 2 2 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 0 4 4 9α2 ω1 ω2 σ12 (2) D12 = 2 2 + 2 + 2 4 4 2 2 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 0 4 27α4 b2 ω1 σ12 2 4 4 2 2 16 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 0 2 2 27α4 b2 ω1 ω2 σ12 2, 2 4 4 2 2 16 ω1 + ω2 + (3n − 1)ω1 ω2 2. Анализ случайного поля напряжений был проведён при условии, что частоты флуктуаций микронеоднородностей ω1 и ω2 относительно осей x1 и x2 равны между собой (ω1 = ω2 = ω). При этом условии случайное поле U , заданное разложением (15), можно считать близким к изотропному [1]. Дисперсии напряжений и в первом, и во втором приближениях будут равны между собой (D11 = D22 = D12 = D) и не будут зависеть от ω. Тогда формулы для вычисления коэффициента вариации будут иметь вид √ √ √ 3α D (1) D (2) 3α d1 = 48 + α2 b2 , , d2 = = = σ0 3n + 1 σ0 4(3n + 1) 0 где σ 0 = σ12 . Значения коэффициента вариации d1 и d2 (в процентах) как функции переменных α и n приведены в табл. 1. В столбце d1 представлены значения коэффициента вариации, вычисленные по первому приближению, в столбце d2 — по второму приближению. Как видно из табл. 1, для материалов с высоким показателем нелинейности (n = 9) коэффициент вариации d2 изменяется в пределах от 1,08% (α = 0,1) до 5,81% (α = 0,5). В случае низких показателей нелинейности, когда возможна полная физическая линеаризация закона ползучести (n = 1), разброс напряжений около среднего значения значительно больше: здесь значения коэффициента вариации заключены в пределах от 7,54% (α = 0,1) до 42,64% (α = 0,5). В табл. 2 приведена относительная погрешность вычисления среднеквадратичного отклонения второго приближения относительно первого: √ √ D (2) − D (1) √ · 100%. δ= D (2) Из табл. 2 видно, что имеется довольно обширная область значений параметров α и n, для которой погрешность δ < 5% и первое (линейное) приближение вполне приемлимо для решения практических задач. Второе приближение необходимо использовать для материалов с большой степенью неоднородности (α = 0,4 ÷ 0,5), особенно при малых значениях n. Таблица 1 Значения коэффициента вариации d1 и d2 (в процентах) H H n α HH H 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 3 5 7 9 d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2 d1 d2 7,50 15,00 22,50 30,00 37,50 7,54 15,35 23,66 32,69 42,64 3,00 6,00 9,00 12,00 15,00 3,01 6,09 9,29 12,67 16,29 1,88 3,75 5,63 7,50 9,38 1,88 3,80 5,80 7,91 10,17 1,36 2,73 4,09 5,45 6,82 1,37 2,77 4,22 5,75 7,40 1,07 2,14 3,21 4,29 5,36 1,08 2,17 3,32 4,52 5,81 103 П о п о в Н. Н., Ч е р н о в а О. О. Таблица 2 Относительная погрешность вычисления среднеквадратичного отклонения (в процентах) H n H 1 2 3 4 5 6 7 8 9 α HH H 0,05 0,146 0,097 0,090 0,088 0,088 0,088 0,088 0,089 0,089 0,10 0,581 0,388 0,358 0,351 0,350 0,351 0,352 0,353 0,354 0,15 1,293 0,867 0,801 0,785 0,783 0,784 0,786 0,789 0,792 2,264 1,526 1,410 1,383 1,379 1,381 1,385 1,390 1,395 0,20 0,25 3,472 2,355 2,178 2,137 2,130 2,133 2,139 2,147 2,154 0,30 4,890 3,339 3,092 3,034 3,024 3,029 3,038 3,049 3,059 6,487 4,465 4,140 4,064 4,051 4,057 4,069 4,083 4,096 0,35 0,40 8,234 5,717 5,308 5,212 5,196 5,204 5,219 5,236 5,253 10,100 7,078 6,581 6,465 6,445 6,455 6,473 6,494 6,514 0,45 0,50 12,056 8,531 7,945 7,808 7,785 7,796 7,818 7,842 7,867 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 10−01−00644−a).

About the authors

Nikolay N Popov

Samara State Technical University

Email: ponick25@gmail.com
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Olga O Chernova

Samara State Technical University

Email: chernova_olga@citydom.ru
Junior Research Scientist, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files