Construction of material functions of aluminum alloy D16T inelastic deformation based on the results of tests of tension and torsion

Full Text

Реализация уточненных расчётов ответственных конструкций требует развития методов экспериментальных исследований [1–4] и математического моделирования неупругого деформирования материалов в условиях сложного напряженного состояния [5–7]. Построение и обоснование феноменологических моделей накопления повреждений, которому посвящено большое число работ, в частности [8–14], не теряет своей актуальности. В ряде работ процесс накопления повреждений осуществляется с использованием скалярного или тензорного (второго или четвертого ранга) параметра повреждённости. Феноменологическое описание процессов накопления повреждений, приводящих к изменению деформационных характеристик материала, и установление связи тензора напряжений σ с тензором деформаций ε может быть осуществлено с использованием тензора повреждённости четвертого ранга Ω в виде [13, 16] σij = Cijkl (Iklmn − Ωklmn ) εmn , (1) где C — тензор упругих модулей, Iklmn = 1/2(δkm δln + δkn δlm ) — компоненты единичного тензора, δkn — символ Кронекера. Тензор-оператор повреждённости Ω однозначно определяется процессом деформирования или нагружения. Зависимость свойств материала от уровня деформаций или напряжений, параметров циклического нагружения при усталости материалов, времени (в частности, при описании процессов ползучести и релаксации), температуры или других факторов также может быть учтена с помощью тензора повреждённости. 106 Построение материальных функций неупругого деформирования . . . Ограничившись рассмотрением изотропных материалов, процесс неупругого деформирования можно описать с помощью изотропного тензора повреждённости Ωklmn = ω1 δkl δmn + ω2 (δkm δln + δkn δlm ). Соотношения (1) в этом случае сводятся к следующим [16]: σij = [3K(1 − κ)Vijmn + 2G(1 − g)Hijmn ]εmn , Vijkl = δij δkl /3, Hijkl = Iijkl − Vijkl , κ = 3ω1 + 2ω2 , g = 2ω2 , (2) где K и G — упругие модули объемного сжатия и сдвига. Величины κ и g выражают изменение деформационных свойств, определяющих поведение материалов при гидростатическом давлении и чистом сдвиге соответственно. Из соотношений (2) следует, что инварианты тензора напряжений (1) jσ = σkk /3, (2) jσ = σij σij ˘ ˘ (3) связаны с инвариантами тензора деформаций (1) jε = εkk , (2) jε = εij εij , ˘ ˘ (4) при записи которых использованы обозначения σij ≡ σij − σkk δij /3, ˘ εij ≡ εij − εkk δij /3, ˘ (1) (1) jσ = K(1 − κ)jε , (5) (2) (2) jσ = 2G(1 − g)jε , уравнениями (1) (2) (1) (2) где κ = κ(jε , jε ), g = g(jε , jε ). В общем случае сложного напряжённо-деформированного состояния инварианты тензора напряжений связаны с инвариантами тензора деформаций соотношениями, определяющими материальные функции неупругого дефор(2) (1) (2) (1) (2) (1) мирования jσ = f (jε , jε ), jσ = ϕ(jε , jε ). Особенность определяющих соотношений (2) заключается в том, что в отличие от теории малых упругопластических деформаций они позволяют учесть нелинейную зависимость относительного изменения объема от гидростатического давления, что может иметь существенное значение для описания поведения пористых материалов и композитов. Поведение материала при одноосном растяжении описывается уравнениями σ33 = E(1 − e)ε33 , ε11 = ε22 = −ν(1 − η)ε33 , Gκ(1 − g) + 3Kg(1 − κ) KG(κ − g) e= , η= , G(1 − g) + 3K(1 − κ) (K − 2G/3)[K(1 − κ) + 2G/3(1 − g)] где E и ν — соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала в неповреждённом состоянии. Модель деформирования, построенная на основе скалярной функции повреждённости (Ωklmn = ΩIklmn ), описывает накопление повреждений, при котором относительное изменение всех деформационных свойств происходит 107 И п а т о в а А. В., В и л ь д е м а н В. Э. одинаково. В рамках этой модели для изотропного материала предполагается, что κ = g, ν = const. Скалярная функция Ω эквивалентна параметру повреждённости Качанова—Работнова. Если компоненты тензора Ω изотропного материала определить таким образом, чтобы κ = 0, то есть не учитывать неупругое изменение объёма, то функция повреждённости g совпадёт с функцией пластичности А. А. Ильюшина, а соотношения (2) — с уравнениями теории малых упругопластических деформаций при активном нагружении. Построение введённых материальных функций неупругого деформирования в более общих случаях требует отработки методик и получения результатов экспериментального исследования поведения материалов в условиях сложного напряжённого состояния. Применимость моделей накопления повреждений может быть оценена, в частности, на основе экспериментальных данных, полученных в опытах на растяжение, кручение, а также пропорциональное растяжение с кручением. Как известно, функции (или константы), по которым можно полностью восстановить связь тензора напряжений и тензора деформаций, следуя определяющим соотношениям, описывающим данную модель механики деформируемого твёрдого тела, называются материальными функциями (или константами). Конкретный вид материальных функций, входящих в определяющие соотношения, устанавливается на основе анализа экспериментальных данных. В качестве аргументов используются инварианты тензоров деформаций и напряжений, определяемые согласно соотношениям (3)–(5) по формулам 1 (1) jε = (σ11 + σ22 + σ33 ), 3 1 (2) jσ = √ 3 2 2 2 (σ11 − σ22 )2 + (σ11 − σ33 )2 + (σ22 − σ33 )2 + 6(τ12 + τ13 + τ23 ) , (1) jε = ε11 + ε22 + ε33 , 1 (2) jε = √ 3 (ε11 − ε22 )2 + (ε11 − ε33 )2 + (ε22 − ε33 )2 + 6(ε2 + ε2 + ε2 ) . 12 13 23 Например, поведение упругопластического материала с линейным упрочне(1) (2) нием описывается функцией g = g(jε , jε ) следующего вида: (2) g= (2) (2) 0, jε jε упр ; (2) (2) (2) (2) (1 − G /G)(1 − jε упр /jε ), jε > jε упр , где jεупр — значение второго инварианта тензора деформаций, соответствующего пределу упругости рассматриваемого материала; G — модуль упрочнения. Рассмотрим более подробно экспериментальные данные, полученные на основе опытов, проведённых в Центре экспериментальной механики Пермского национального исследовательского политехнического университета с использованием системы двухосного нагружения Instron 8850, основные принципы работы которой, возможности и технические характеристики изложены в [3, 18, 19]. 108 Построение материальных функций неупругого деформирования . . . На рис. 1 и 2 представлены экспериментальные диаграммы пропорционального деформирования алюминиевого сплава Д16Т, полученные с использованием тонкостенных трубчатых образцов. Скорость осевого деформирования — 3,33 % в минуту, скорость изменения угла сдвига — 0,052 рад/мин. Удлинения и углы закручивания в рабочих зонах образцов регистрировались с использованием двухосевого экстензометра. Приведённые данные могут быть применены для установления зависимостей первых и вторых инвариантов тензоров напряжений от инвариантов тензоров деформаций. Для точного определения первого инварианта тензора деформаций при проведении испытаний следует регистрировать поперечные деформации. При использовании полых цилиндрических образцов это связано с техническими трудностями. В связи с этим было принято допущение, что коэффициент Пуассона, определённый по значениям упругих констант и равный 0,235, не изменяется в процессе пластического деформирования. Полученные зависимости инвариантов представлены на рис. 2. Полученные данные позволяют расчётным путем установить зависимости значений функций повреждённости от значений инвариантов тензоров деформаций. На рис. 3 представлены результаты построения материальной (1) (2) функции e = e(jε , jε ) по результатам испытаний на одноосное растяжение, растяжение с кручением. На основании приведённых данных можно сделать вывод о существенной зависимости функции повреждённости от первого инварианта тензора деформаций. а б Рис. 1. Экспериментальные диаграммы деформирования: а) 1— растяжение, 2 — растяжение с кручением при ε11 = kε12 , k = 0,63; б) 1 — кручение, 2 — растяжение с кручением при ε12 = k ε11 , k = 1/k = 1,59 а б Рис. 2. Зависимости инвариантов тензора напряжений от инвариантов тензора деформаций: а) 1 — одноосное растяжение, 2 — растяжение с кручением при ε11 = kε12 , k = 0,63; б) 1 — одноосное растяжение, 2 — кручение, 3 — растяжение с кручением при ε11 = kε12 , k = 0,63 109 И п а т о в а А. В., В и л ь д е м а н В. Э. В этом случае коэффициент связи первого и второго инвариантов деформаций, определяемый по формуле ξ = (2) (1) = jε /jε , для случая чистого сдвига стремится к бесконечности, для одноосного растяжения равен 1,903, для пропорционального деформирования при Рис. 3. Построение материальной функ- соотношении ε11 = kε12 и k = 0,63 со(2) ции e = e(jε ): 1— по результатам испыта- ставляет 4,643. ний на одноосное растяжение, 2 — растяжеНа рис. 4 представлена функция поние с кручением при ε11 = kε12 (k = 0,63) (1) (2) вреждённости g = g(jε , jε ), построенная по результатам механических испытаний на кручение (ξ = ∞), растяжение (ξ = 1,903), растяжение с кручением (k = 0,63, ξ = 4,643). Рассмотрим вопрос аппроксимации полученных экспериментальных зависимостей и конкретизации моделей неРис. 4. Построение материальной функ- упругого деформирования. Зависимость (1) (2) (2) ции g = g(jε , jε ): 1 — по результатам g = g(jε ), полученная на основании испытаний на кручение, 2 — растяжение, 3— растяжение с кручением при ε11 = kε12 (k = опыта на кручение (кривая 1 на рис. 4), = 0,63, ξ = 4,643) без учёта зависимости от первого инварианта может быть аппроксимирована выражением (2) (2) 0, jε jε упр ; (2) (2) α (2) (2) A(1 − jε упр /jε ) , jε > jε упр , (6) где A, α — константы материала. На основании опытных данных полуРис. 5. Построение материальных функчены значения констант материала для (2) ций g = g(jε ) неупругого деформирования для опыта на кручение: 1 — экспери- рассматриваемого алюминиевого спла(2) ментальная кривая, 2 — функция g = g(jε ), ва: A = 0,99; α = 1,3. Результаты попостроенная по формуле (6) строения экспериментальной и теоретической кривой представлены на рис. 5. На рис. 6, а представлены графические зависимости для опыта на одноосное растяжение. Как видим, теоретическая кривая 2, построенная на основе выражения (6), не достаточно точно описывает полученные экспериментальные данные (кривая 1). Для уточнённого описания опытных значений, полученных при растяжении, предложим следующую модель, учитывающую зависимость материальной функции не только от второго, но и от первого инварианта тензора деформаций: g= g= 0, (2) (2) A 1 − jε упр /jε где B = −0,5; β = 3,57. 110 (2) (2) jε jε упр ; α β (1) (2) (2) (2) (2) + B jε /(jε − jε упр ) , jε > jε упр , (7) Построение материальных функций неупругого деформирования . . . Данная модель достаточно точно описывает и случай пропорционального нагружения в условиях растяжения с кручением, что отражено на рис. 6, б. Проведем сравнение теоретических кривых, построенных по формулам (6) (без учета влияния первого инварианта), (7) (с учетом влияния первого инварианта), и экспериментальных кривых, полученных в опыте на одноосное растяжение (кривая 2 на рис. 4) и растяжение с кручением (кривая 3 на рис. 4). Сопоставление результатов отражено на рис. 6. Как видно, усложненная модель (7) более точно соответствует экспериментальным данным. С целью получения данных для верификации модели были получены результаты независимых испытаний в условиях сложного напряженно-деформированного состояния при других соотношениях величин осевых и сдвиговых деформаций (k = 0,45; k = 0,32). Результа(1) (2) ты построения функций g = g(jε , jε ) на основе экспериментальных данных приведены на рис. 7. Применим модель (7) для описания полученных данных. Как показано на рис. 8, обнаруживается хорошее соответствие расчётных и экспериментальных данных. Таким образом, на основе полученных экспериментальных данных по одноосному растяжению, кручению, растяжению с кручением при различных соотношениях осевых и сдвиговых деформаа б Рис. 6. Построение материальных функ(1) (2) ций g = g(jε , jε ) неупругого деформирования для опытов на растяжение (а) и растяжение с кручением (б): 1 — экспериментальная кривая, 2 — функция g = (2) (1) = g(jε ) без учёта влияния jε , 3 — функ(1) (2) ция g = g(jε , jε ) по формуле (7) Рис. 7. Построение материальных функций неупругого деформирования на основании опытных данных (растяжение с кручением при различных соотношениях осевых и сдвиговых деформаций ε11 = = kε12 ): 1 — при k = 0,45 (ξ = 6,227); 2 — при k = 0,32 (ξ = 8,553) а б Рис. 8. Построение материальных функций неупругого деформирования на основании опытных данных на растяжение с кручением при ε11 = kε12 : а) k = 0,45, ξ = 6,227; б) k = = 0,32, ξ = 8,553; 1 — экспериментальные данные, 2 — кривая, построенная по формуле (7) 111 И п а т о в а А. В., В и л ь д е м а н В. Э. ций для алюминиевого сплава построены материальные функции неупругого деформирования, аргументами которых являются, в общем случае, два инварианта тензора деформаций. Предложены аппроксимации опытных данных аналитическими выражениями для материальных функций неупругого деформирования. Сопоставление экспериментальных и теоретических зависимостей свидетельствует об адекватности предложенных математических моделей. Работа выполнена в рамках государственного контракта № 13.G25.31.0093 от 25 октября 2010 г., а также РФФИ в рамках научного проекта № 12-08-31336 мол_а.

About the authors

Anastasiya V Ipatova

Perm State National Research Polytechnical University

Email: cem_ipatova@mail.ru
Engineer, Center of Experimental Mechanics 29a, Komsomolskiy prospekt, Perm, Russia, 614990

Valeriy E Vil’deman

Perm State National Research Polytechnical University

Email: wildemann@pstu.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Mechanics of Composition Materials & Structures 29a, Komsomolskiy prospekt, Perm, Russia, 614990

References

Supplementary files