Damping problem for the special class of the second order hyperbolic systems

Full Text

Рассмотрим систему уравнений (1) utt + 2Buxt + Cuxx = 0, где B, C — постоянные коммутирующие матрицы размерности 2 × 2, u(x, t) — двумерная вектор-функция. Сделаем следующие предположения относительно собственных значений матриц B и C: 1) λ1B = λ2B = λB ; 2) λ2 −λ1C > 0, λ2 −λ2C > 0 (это условие обеспечивает гиперболичность [1] B B системы (1)). Для системы (1) в прямоугольнике Q = [0, l] × [0, T ] рассмотрим частный случай задачи управления — задачу о полном успокоении с начальными u(x,0) = ϕ(x), ut (x,0) = ψ(x), 0 x l и финальными u(x, T ) = 0, ut (x, T ) = 0, 0 x l условиями, при этом требуется построить функции граничного управления µ(t) = u(0, t), ν(t) = u(l, t), 0 t T. Здесь ϕ(x), ψ(x), µ(t), ν(t) — двумерные вектор-функции. Матрица B имеет одно собственное значение λB алгебраической кратности 2, геометрическая кратность которого может быть равна 2 или 1 [2]. Рассмотрим первый случай, когда нормальная жорданова форма матриλB 0 = λB E. Очевидно, что любая матрица, цы B имеет вид JB = 0 λB 47 К о з л о в а Е. А. подобная B, будет диагональной. Выберем матрицу перехода S (det S = 0) так, чтобы она приводила C к нормальной жордановой форме: JC = S −1 CS. После замены u = Sw и умножения слева на S −1 система (1) примет вид (2) wtt + 2JB wxt + JC wxx = 0, начальные и финальные условия сведутся к w(x,0) = S −1 ϕ(x) = ϕ(x), ˜ ˜ wt (x,0) = S −1 ψ(x) = ψ(x), 0 x l, (3) и w(x, T ) = 0, wt (x, T ) = 0, 0 x (4) l, соответственно, а граничные управления — к µ(t) = w(0, t) = S −1 µ(t), ˜ ν (t) = w(l, t) = S −1 ν(t), ˜ 0 t T. Если матрица C — простая, то JC является диагональной, иначе — треугольной. Выделим следующие варианты: λ1C 0 ; а) JC = 0 λ2C λC 0 . б) матрица C не является простой, λ1C = λ2C = λC , JC = 1 λC Рассмотрим вариант a). В этом случае система распадается на два уравнения, для k-той компоненты вектор-функции w(x, t) (k = 1, 2) из (2)–(4) получаем задачу управления в области Q, состоящую из уравнения (wk )tt + 2λB (wk )xt + λkC (wk )xx = 0, начальных условий wk (x,0) = ϕk (x), ˜ ˜ (wk )t (x,0) = ψk (x), 0 x l и нулевых финальных условий. Введём четыре действительных коэффициента: p11 = λB − λ2 − λ1C , B p21 = λB + λ2 − λ1C , B p12 = λB − λ2 − λ2C , B p22 = λB + λ2 − λ2C . B Построение решения задачи успокоения для wk при p2k > −p1k > 0 (аналогично p1k < −p2k < 0) было описано в [3], при p2k > p1k > 0 (или p1k < p2k < 0) — в [4]. Пусть p2k > p1k > 0, γk = (p2k − p1k )−1 и время управления достаточно мало: T l/p2k , k = 1, 2 (остальные случаи рассматриваются аналогично). Прямые t = 0, t = T , на которых заданы начальные и финальные данные, и 48 Задача о полном успокоении для одного класса систем гиперболических уравнений . . . характеристики x − p1k t = −p1k T , x − p2k t = l − p2k T , x − p2k t = 0, x − p1k t = l образуют две треугольные области ∆1k = {p2k t x p1k t + l, 0 t lγk } и ∆2k = {−p1k (T − t) x l − p2k (T − t), T − lγk t T }. Чтобы построить решение задачи управления, нужно решить две задачи Коши в ∆1k , ∆2k . Поскольку время управления мало, эти области имеют общую часть, в которой решения задач должны совпадать. Тогда, если выполняются условия при 0 x l − p2k T : ϕk (x) = 0, ˜ и при l − p2k T ˜ ψk (x) = 0 (5) l − p1k T : x x ˜ ψk (z)dz = 0, p2k ϕk (x) + ˜ (6) l−p2k T то граничные управления имеют вид: (7) µk (t) = 0, ˜ νk (t) = γk p2k ϕk (l − p1k t) − p1k ϕk (l − p2k t) + ˜ ˜ ˜ l−p1k t ˜ ψk (z)dz . (8) l−p2k t Следовательно, определены все компоненты функций µ(t), ν (t) и ˜ ˜ µ(t) = S µ(t), ˜ ν(t) = S ν (t). ˜ (9) Рассмотрим вариант б). В этом случае получаем систему вида (w1 )tt + 2λB (w1 )xt + λC (w1 )xx = 0, (w2 )tt + 2λB (w2 )xt + λC (w2 )xx = −(w1 )xx с начальными условиями (3) и нулевыми финальными условиями, p11 = p12 = = p1 , p21 = p22 = p2 , γ1 = γ2 = γ. Решение задачи управления для w1 имеет тот же вид, что и в предыдущем случае. Функции µ1 , ν1 определяются формулами (7),(8). Второе уравнение ˜ ˜ системы является неоднородным, его правая часть зависит от w1 , то есть известна. Два уравнения системы имеют одинаковые характеристики, поэтому области построения решений совпадают (∆11 = ∆12 , ∆21 = ∆22 ). Следовательно, находя в этих областях w2 в виде суммы решения однородного уравнения, удовлетворяющего неоднородным условиям, и частного решения соответствующего неоднородного уравнения с однородными условиями, получим искомые функции µ2 , ν2 : ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ µ2 (t) = γ 3 p2 ϕ1 (−p1 t)−p1 ϕ1 (−p2 t)+p1 ϕ1 (−p1 t−γ −1 T )−p2 ϕ1 (−p2 t+γ −1 T ) + ˜ + γ3 −p1 t−γ −1 T ˜ ˜ ψ1 (z + γ −1 T ) + ψ1 (z) dz+ −p2 t ˜ ˜ + γ (T − t) p2 ϕ1 (−p1 t) + p1 ϕ1 (−p2 t) + ψ1 (−p1 t) + ψ1 (−p2 t) , ˜ ˜ 2 49 К о з л о в а Е. А. l−p1 t ν2 (t) = γ p2 ϕ2 (l − p1 t) − p1 ϕ2 (l − p2 t) + ˜ ˜ ˜ ˜ ψ2 (z)dz + l−p2 t + γ 3 (p1 + p2 ) ϕ1 (l − p1 t) − ϕ1 (l − p2 t) + 2γ 3 ˜ ˜ l−p1 t ˜ ψ1 (z)dz− l−p2 t ˜ ˜ − γ 2 t p2 ϕ1 (l − p1 t) + p1 ϕ1 (l − p2 t) + ψ1 (l − p1 t) + ψ1 (l − p2 t) . ˜ ˜ При этом должны выполняться условия (5),(6) при k = 1, а также условия при 0 x l − p2k T : ˜ ϕ2 (x) = 0, ψ2 (x) = 0 ˜ и при l − p2k T l − p1k T : x γ 2 p1 ϕ1 (x) − p1 ϕ1 (x − γ −1 T ) + ˜ ˜ l−p2 T ˜ ψ1 (z)dz + l−γ −1 T x + p2 ϕ2 (x) + ˜ ˜ ψ2 (z)dz = 0. l−p2 T Замена (9) заканчивает решение. Теперь предположим, что нормальная жорданова форма матрицы B имеλB 0 . Матрица перехода S (det S = 0) должна приводить ет вид JB = 1 λB B к нормальной жордановой форме: JB = S −1 BS. Обозначим JC = S −1 CS. JB JC = JC JB , так как BC = CB. Известен общий вид матрицы, коммутируλC 0 . Здесь α — число, которое в зависимости от ющей с JB [2]: JC = α λC структуры C может быть равно нулю или отлично от нуля. Тогда исследуемая система перейдет в систему (w1 )tt + 2λB (w1 )xt + λC (w1 )xx = 0, (w2 )tt + 2λB (w2 )xt + λC (w2 )xx = −2(w1 )xt − α(w1 )xx . Начальные и финальные условия — такие же, как и в предыдущем случае. Разделяем систему на два уравнения (однородное и неоднородное) и строим решения получившихся задач, как и ранее, что и приводит к искомым функциям граничного управления. Поскольку частные решения для правой части, содержащей (w1 )xx , были построены выше, ограничимся случаем α = = 0. Итак, построены управления в виде: ˜ ˜ ˜ ˜ µ2 (t) = −2γ 3 p1 p2 ϕ1 (−p1 t)−ϕ1 (−p2 t)+ϕ1 (−p1 t−γ −1 T )−ϕ1 (−p2 t+γ −1 T ) − ˜ − 2γ 3 −p1 t−γ −1 T ˜ ˜ p1 ψ1 (z + γ −1 T ) + p2 ψ1 (z) dz− −p2 t ˜ ˜ − 2γ 2 (T − t) p1 p2 ϕ1 (−p1 t) + p1 p2 ϕ1 (−p2 t) + p1 ψ1 (−p1 t) + p2 ψ1 (−p2 t) , ˜ ˜ 50 Задача о полном успокоении для одного класса систем гиперболических уравнений . . . l−p1 t ν2 (t) = γ p2 ϕ2 (l − p1 t) − p1 ϕ2 (l − p2 t) + ˜ ˜ ˜ ˜ ψ2 (z)dz − l−p2 t ˜ ˜ − 4γ 3 p1 p2 ϕ1 (l − p1 t) − ϕ1 (l − p2 t) − 2γ 3 (p1 + p2 ) l−p1 t ˜ ψ1 (z)dz+ l−p2 t ˜ ˜ + 2γ 2 t p1 p2 ϕ1 (l − p1 t) + p1 p2 ϕ1 (l − p2 t) + p1 ψ1 (l − p1 t) + p2 ψ1 (l − p2 t) . ˜ ˜ Должны выполняться соотношения (5),(6) (k = 1), условия при 0 l − p2k T : ˜ ϕ2 (x) = 0, ψ2 (x) = 0, ˜ и при l − p2k T x x l − p1k T : ˜ 2γT ϕ1 (x) + p1 ψ1 (x) + 2γ 2 p1 p2 ϕ1 (x − γ −1 T )+ ˜ ˜ x +2γ 2 p1 l−p2 T x−γ −1 T ˜ ψ1 (z)dz +p2 ˜ ψ1 (z)dz +p2 ϕ2 (x)+ ˜ x x ˜ ψ2 (z)dz = 0. l−p2 T Для возвращения к функциям µ(t), ν(t) выполняется преобразование (9). Задачи управления для гиперболических уравнений изучались многими авторами. В данной статье использованы работы В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [5, 6], исследующие управление для волнового и телеграфного уравнений, а также работы А. А. Андреева и С. В. Лексиной [7] для системы уравнений гиперболического типа. Отметим, что гиперболическое уравнение, содержащее смешанную производную, возникает при описании малых колебаний движущегося гибкого стержня [8, 9].

About the authors

Elena A Kozlova

Samara State Technical University

Email: leni2006@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files