Damping problem for the special class of the second order hyperbolic systems

Abstract


We consider the damping problem for the hyperbolic system with mixed derivative as the special case of boundary control problem. For different cases the given system is transformed to the triangular or diagonal form, allowing separation of equations. The corresponding transformation is applied to the initial and final data. Two components of boundary control vectors are constructed by solving the Cauchy problem for homogeneous or inhomogeneous equation. The inverse transformation gives the desired control functions.

Full Text

Рассмотрим систему уравнений (1) utt + 2Buxt + Cuxx = 0, где B, C — постоянные коммутирующие матрицы размерности 2 × 2, u(x, t) — двумерная вектор-функция. Сделаем следующие предположения относительно собственных значений матриц B и C: 1) λ1B = λ2B = λB ; 2) λ2 −λ1C > 0, λ2 −λ2C > 0 (это условие обеспечивает гиперболичность [1] B B системы (1)). Для системы (1) в прямоугольнике Q = [0, l] × [0, T ] рассмотрим частный случай задачи управления — задачу о полном успокоении с начальными u(x,0) = ϕ(x), ut (x,0) = ψ(x), 0 x l и финальными u(x, T ) = 0, ut (x, T ) = 0, 0 x l условиями, при этом требуется построить функции граничного управления µ(t) = u(0, t), ν(t) = u(l, t), 0 t T. Здесь ϕ(x), ψ(x), µ(t), ν(t) — двумерные вектор-функции. Матрица B имеет одно собственное значение λB алгебраической кратности 2, геометрическая кратность которого может быть равна 2 или 1 [2]. Рассмотрим первый случай, когда нормальная жорданова форма матриλB 0 = λB E. Очевидно, что любая матрица, цы B имеет вид JB = 0 λB 47 К о з л о в а Е. А. подобная B, будет диагональной. Выберем матрицу перехода S (det S = 0) так, чтобы она приводила C к нормальной жордановой форме: JC = S −1 CS. После замены u = Sw и умножения слева на S −1 система (1) примет вид (2) wtt + 2JB wxt + JC wxx = 0, начальные и финальные условия сведутся к w(x,0) = S −1 ϕ(x) = ϕ(x), ˜ ˜ wt (x,0) = S −1 ψ(x) = ψ(x), 0 x l, (3) и w(x, T ) = 0, wt (x, T ) = 0, 0 x (4) l, соответственно, а граничные управления — к µ(t) = w(0, t) = S −1 µ(t), ˜ ν (t) = w(l, t) = S −1 ν(t), ˜ 0 t T. Если матрица C — простая, то JC является диагональной, иначе — треугольной. Выделим следующие варианты: λ1C 0 ; а) JC = 0 λ2C λC 0 . б) матрица C не является простой, λ1C = λ2C = λC , JC = 1 λC Рассмотрим вариант a). В этом случае система распадается на два уравнения, для k-той компоненты вектор-функции w(x, t) (k = 1, 2) из (2)–(4) получаем задачу управления в области Q, состоящую из уравнения (wk )tt + 2λB (wk )xt + λkC (wk )xx = 0, начальных условий wk (x,0) = ϕk (x), ˜ ˜ (wk )t (x,0) = ψk (x), 0 x l и нулевых финальных условий. Введём четыре действительных коэффициента: p11 = λB − λ2 − λ1C , B p21 = λB + λ2 − λ1C , B p12 = λB − λ2 − λ2C , B p22 = λB + λ2 − λ2C . B Построение решения задачи успокоения для wk при p2k > −p1k > 0 (аналогично p1k < −p2k < 0) было описано в [3], при p2k > p1k > 0 (или p1k < p2k < 0) — в [4]. Пусть p2k > p1k > 0, γk = (p2k − p1k )−1 и время управления достаточно мало: T l/p2k , k = 1, 2 (остальные случаи рассматриваются аналогично). Прямые t = 0, t = T , на которых заданы начальные и финальные данные, и 48 Задача о полном успокоении для одного класса систем гиперболических уравнений . . . характеристики x − p1k t = −p1k T , x − p2k t = l − p2k T , x − p2k t = 0, x − p1k t = l образуют две треугольные области ∆1k = {p2k t x p1k t + l, 0 t lγk } и ∆2k = {−p1k (T − t) x l − p2k (T − t), T − lγk t T }. Чтобы построить решение задачи управления, нужно решить две задачи Коши в ∆1k , ∆2k . Поскольку время управления мало, эти области имеют общую часть, в которой решения задач должны совпадать. Тогда, если выполняются условия при 0 x l − p2k T : ϕk (x) = 0, ˜ и при l − p2k T ˜ ψk (x) = 0 (5) l − p1k T : x x ˜ ψk (z)dz = 0, p2k ϕk (x) + ˜ (6) l−p2k T то граничные управления имеют вид: (7) µk (t) = 0, ˜ νk (t) = γk p2k ϕk (l − p1k t) − p1k ϕk (l − p2k t) + ˜ ˜ ˜ l−p1k t ˜ ψk (z)dz . (8) l−p2k t Следовательно, определены все компоненты функций µ(t), ν (t) и ˜ ˜ µ(t) = S µ(t), ˜ ν(t) = S ν (t). ˜ (9) Рассмотрим вариант б). В этом случае получаем систему вида (w1 )tt + 2λB (w1 )xt + λC (w1 )xx = 0, (w2 )tt + 2λB (w2 )xt + λC (w2 )xx = −(w1 )xx с начальными условиями (3) и нулевыми финальными условиями, p11 = p12 = = p1 , p21 = p22 = p2 , γ1 = γ2 = γ. Решение задачи управления для w1 имеет тот же вид, что и в предыдущем случае. Функции µ1 , ν1 определяются формулами (7),(8). Второе уравнение ˜ ˜ системы является неоднородным, его правая часть зависит от w1 , то есть известна. Два уравнения системы имеют одинаковые характеристики, поэтому области построения решений совпадают (∆11 = ∆12 , ∆21 = ∆22 ). Следовательно, находя в этих областях w2 в виде суммы решения однородного уравнения, удовлетворяющего неоднородным условиям, и частного решения соответствующего неоднородного уравнения с однородными условиями, получим искомые функции µ2 , ν2 : ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ µ2 (t) = γ 3 p2 ϕ1 (−p1 t)−p1 ϕ1 (−p2 t)+p1 ϕ1 (−p1 t−γ −1 T )−p2 ϕ1 (−p2 t+γ −1 T ) + ˜ + γ3 −p1 t−γ −1 T ˜ ˜ ψ1 (z + γ −1 T ) + ψ1 (z) dz+ −p2 t ˜ ˜ + γ (T − t) p2 ϕ1 (−p1 t) + p1 ϕ1 (−p2 t) + ψ1 (−p1 t) + ψ1 (−p2 t) , ˜ ˜ 2 49 К о з л о в а Е. А. l−p1 t ν2 (t) = γ p2 ϕ2 (l − p1 t) − p1 ϕ2 (l − p2 t) + ˜ ˜ ˜ ˜ ψ2 (z)dz + l−p2 t + γ 3 (p1 + p2 ) ϕ1 (l − p1 t) − ϕ1 (l − p2 t) + 2γ 3 ˜ ˜ l−p1 t ˜ ψ1 (z)dz− l−p2 t ˜ ˜ − γ 2 t p2 ϕ1 (l − p1 t) + p1 ϕ1 (l − p2 t) + ψ1 (l − p1 t) + ψ1 (l − p2 t) . ˜ ˜ При этом должны выполняться условия (5),(6) при k = 1, а также условия при 0 x l − p2k T : ˜ ϕ2 (x) = 0, ψ2 (x) = 0 ˜ и при l − p2k T l − p1k T : x γ 2 p1 ϕ1 (x) − p1 ϕ1 (x − γ −1 T ) + ˜ ˜ l−p2 T ˜ ψ1 (z)dz + l−γ −1 T x + p2 ϕ2 (x) + ˜ ˜ ψ2 (z)dz = 0. l−p2 T Замена (9) заканчивает решение. Теперь предположим, что нормальная жорданова форма матрицы B имеλB 0 . Матрица перехода S (det S = 0) должна приводить ет вид JB = 1 λB B к нормальной жордановой форме: JB = S −1 BS. Обозначим JC = S −1 CS. JB JC = JC JB , так как BC = CB. Известен общий вид матрицы, коммутируλC 0 . Здесь α — число, которое в зависимости от ющей с JB [2]: JC = α λC структуры C может быть равно нулю или отлично от нуля. Тогда исследуемая система перейдет в систему (w1 )tt + 2λB (w1 )xt + λC (w1 )xx = 0, (w2 )tt + 2λB (w2 )xt + λC (w2 )xx = −2(w1 )xt − α(w1 )xx . Начальные и финальные условия — такие же, как и в предыдущем случае. Разделяем систему на два уравнения (однородное и неоднородное) и строим решения получившихся задач, как и ранее, что и приводит к искомым функциям граничного управления. Поскольку частные решения для правой части, содержащей (w1 )xx , были построены выше, ограничимся случаем α = = 0. Итак, построены управления в виде: ˜ ˜ ˜ ˜ µ2 (t) = −2γ 3 p1 p2 ϕ1 (−p1 t)−ϕ1 (−p2 t)+ϕ1 (−p1 t−γ −1 T )−ϕ1 (−p2 t+γ −1 T ) − ˜ − 2γ 3 −p1 t−γ −1 T ˜ ˜ p1 ψ1 (z + γ −1 T ) + p2 ψ1 (z) dz− −p2 t ˜ ˜ − 2γ 2 (T − t) p1 p2 ϕ1 (−p1 t) + p1 p2 ϕ1 (−p2 t) + p1 ψ1 (−p1 t) + p2 ψ1 (−p2 t) , ˜ ˜ 50 Задача о полном успокоении для одного класса систем гиперболических уравнений . . . l−p1 t ν2 (t) = γ p2 ϕ2 (l − p1 t) − p1 ϕ2 (l − p2 t) + ˜ ˜ ˜ ˜ ψ2 (z)dz − l−p2 t ˜ ˜ − 4γ 3 p1 p2 ϕ1 (l − p1 t) − ϕ1 (l − p2 t) − 2γ 3 (p1 + p2 ) l−p1 t ˜ ψ1 (z)dz+ l−p2 t ˜ ˜ + 2γ 2 t p1 p2 ϕ1 (l − p1 t) + p1 p2 ϕ1 (l − p2 t) + p1 ψ1 (l − p1 t) + p2 ψ1 (l − p2 t) . ˜ ˜ Должны выполняться соотношения (5),(6) (k = 1), условия при 0 l − p2k T : ˜ ϕ2 (x) = 0, ψ2 (x) = 0, ˜ и при l − p2k T x x l − p1k T : ˜ 2γT ϕ1 (x) + p1 ψ1 (x) + 2γ 2 p1 p2 ϕ1 (x − γ −1 T )+ ˜ ˜ x +2γ 2 p1 l−p2 T x−γ −1 T ˜ ψ1 (z)dz +p2 ˜ ψ1 (z)dz +p2 ϕ2 (x)+ ˜ x x ˜ ψ2 (z)dz = 0. l−p2 T Для возвращения к функциям µ(t), ν(t) выполняется преобразование (9). Задачи управления для гиперболических уравнений изучались многими авторами. В данной статье использованы работы В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [5,6], исследующие управление для волнового и телеграфного уравнений, а также работы А. А. Андреева и С. В. Лексиной [7] для системы уравнений гиперболического типа. Отметим, что гиперболическое уравнение, содержащее смешанную производную, возникает при описании малых колебаний движущегося гибкого стержня [8, 9].

About the authors

Elena A Kozlova

Samara State Technical University

Email: leni2006@mail.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

References

  1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
  2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с.
  3. Козлова Е. А. Задача о полном успокоении для гиперболического уравнения, содержащего смешанную производную // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 4(25). С. 37–42.
  4. Козлова Е. А. Задача управления для гиперболического уравнения в случае характеристик с угловыми коэффициентами одного знака // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. Т. 1(26). С. 243–247.
  5. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. уравнения, 2000. Т. 36, № 11. С. 1513–1528.
  6. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Граничное управление на двух концах процессом, описываемым телеграфным уравнением // Докл. РАН, 2004. Т. 394, № 2. С. 154–158.
  7. Андреев А. А., Лексина С. В. Задача граничного управления в условиях первой краевой задачи для системы гиперболического типа второго порядка // Дифференц. Уравнения, 2011. Т. 47, № 6. С. 843–849.
  8. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978. 224 с.
  9. Скоробогатько В. Я. Исследования по качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Киев: Наук. думка, 1980. 244 с.

Statistics

Views

Abstract - 14

PDF (Russian) - 4

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2012 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies