Evaluation of the reliability of structures under creep for stochastic generalized models

Full Text

Введение. Одними из наиболее ответственных характеристик, влияющих на работоспособность элементов конструкций из реономных материалов, являются характеристики ползучести и длительной прочности материалов. Однако полученные в лабораторных условиях опытные данные даже для одноосной деформации ползучести и времени до разрушения имеют значительный разброс. Кроме того, сам процесс деформирования протекает неравномерно в пределах одного и того же образца. Существенное влияние случай 53 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., К у б ы ш к и н а С. Н. ных возмущений механических характеристик на поля напряжений и деформаций и необходимость построения соответствующих стохастических моделей для расчётов на прочность отмечались во многих работах (см., например [1–10]. Еще больший разброс данных наблюдается у однотипных элементов конструкций, изготовленных из стохастически неоднородных материалов, поскольку на случайные характеристики материала накладываются различного рода геометрические допуски, нестабильность технологических факторов и механической обработки и т.д. Классический подход к решению задач прочности в условиях ползучести, базирующийся на решении соответствующих краевых задач, сталкивается с серьезными трудностями. Во-первых, для этого необходима полная трехмерная информация о реологических характеристиках материала (носящая явно выраженный стохастический характер), получение которой экспериментальным путем крайне проблематично. Во-вторых, в полную систему уравнений ползучести и длительной прочности должны входить стохастические уравнения состояния. Однако в настоящее время стохастическая теория реологического деформирования и разрушения в условиях сложного напряженного состояния развита слабо, особенно для процессов разупрочнения материала. В-третьих, сдерживающим фактором разработки методов решения стохастических краевых задач являются физическая и стохастическая нелинейности определяющих уравнений ползучести и длительной прочности, что не позволяет в должной мере развивать аналитические и численные методы решения. Здесь имеются решения лишь на стадии установившейся ползучести [11–13], и единичные работы посвящены решению краевых задач с учетом третьей стадии ползучести [14]. В силу отмеченных обстоятельств необходимо развивать нетрадиционные подходы к оценке работоспособности элементов конструкций в условиях ползучести со случайными свойствами материала, из которого они изготовлены. В этом направлении перспективным является использование обобщённых реологических моделей ползучести и длительной прочности макромеханики конструкций, основы построения которых заложены в работах [15–17], а систематизация подхода выполнена в [18]. Суть данного подхода заключается в следующем. При анализе эволюции конструкции в условиях однопараметрического нагружения можно обнаружить аналогию между эффектами деформационной анизотропии, определяемыми наличием самоуравновешенных напряжений в конструктивном элементе, и наблюдаемыми микронапряжениями в испытаниях одноосных образцов реальных материалов. Природа этой аналогии очевидна, неоднородность реальных материалов вызывает микронапряжения, которые в образце играют ту же роль, что и самоуравновешенные напряжения в статически неопределимой конструкции. Поэтому, если ограничиться построением локальных решений для краевой задачи (в некоторых выбранных точках) или описывать эволюцию некоторых характеристик, интегрально отражающих деформационные свойства конструктивных элементов, то реологические уравнения для элементов конструкций можно строить таким же образом и пользуясь такой же методологией, как и в феноменологических теориях для сплошной среды, не учитывающих микронапряжения, возникающие за счёт микронеоднородностей материала. 54 Оценка над¨жности элементов конструкций в условиях ползучести . . . е Рассматривая конструктивный элемент как единое целое (специфический образец, хотя и сложной структуры), можно установить связь между входными (нагрузки) и выходными (перемещения, деформации, углы закручивания и т.п.) параметрами, аналогично тому, как строятся модели ползучести для одноосного растягиваемого образца. Тогда для конкретизации связи между входными параметрами (обобщённая нагрузка) и выходными характеристиками (обобщённые перемещения) можно использовать уже имеющиеся одноосные модели реологического деформирования. Такой подход основан на полной аналогии диаграмм упругопластического деформирования и кривых ползучести для растягиваемого одноосного стержня и соответствующих диаграмм в координатах «обобщённая нагрузка — обобщённое перемещение» конструктивного элемента как целого при постоянных температурно-силовых нагрузках. В общем случае выбор обобщённого перемещения в качестве наблюдаемой величины неоднозначен, носит неформальный характер и определяется целями и задачами исследования; осуществлять его следует так, чтобы при постоянной обобщённой нагрузке получить для элемента конструкции обычную «кривую ползучести» в координатах «обобщённое перемещение — время». При этом обобщённые модели могут устанавливать связи типа «крутящий момент — угол закручивания» при кручении толстостенных труб или сплошных стержней, «радиальное перемещение — количество оборотов» для диска газотурбинного двигателя, «радиальное перемещение — время» для толстостенных труб под действием внутреннего давления, «кривизна балки — время» для чистого изгиба балки при действии изгибающего момента и т.д. [18]. Для построения обобщённых моделей необходимы первичные «стационарные» кривые ползучести и «диаграммы» упругопластического деформирования при постоянных нагрузках, которые могут быть получены либо экспериментально в лабораторных условиях или натурных испытаний, либо численно решением соответствующей краевой задачи. Наличие адекватной реологической модели конструкции дает новые возможности для оценки надёжности элементов конструкций по параметрическим критериям отказа, иллюстрация которых и является целью настоящей работы. Прежде чем рассматривать вопрос построения стохастической модели ползучести и длительной прочности одноосного образца (как простейшей конструкции), проанализируем глобальную картину неоднородностей свойств материала. Следуя подходу Ю. П. Самарина [7], будем считать, что некоторым производителем в течение длительного времени изготавливается металлический пруток. Тогда всю продукцию можно представить как один глобальный стержень, образованный из последовательно изготовленных прутков. Если через x обозначить координату на оси глобального Рис. 1. Схематическое распределение неоднородностей вдоль глобального стержня стержня, а через A(x) — исследуемую 55 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., К у б ы ш к и н а С. Н. механическую характеристику материала, то влияние неоднородности качественно будет описываться кривой, изображенной на рис. 1. Здесь нетрудно увидеть два вида неоднородностей: макро- и микронеоднородности. Медленные изменения рассматриваемой функции (плавная кривая на рис. 1) соответствуют макронеоднородностям материала, обусловленным трендом (постепенным изменением) условий производства. свойств сырья, нестабильностью технологических процессов и т.д. При этом возможны разрывы кривой, описывающей тренд, за счет перехода на новое сырье, измененную технологию и т.п. Указанные разрывы хорошо известны экспериментаторам при сравнении опытных данных, например, на ползучесть образцов различных плавок. Наряду с трендом на рис. 1 показана быстроосциллирующая кривая, связанная с микроструктурным строением материала. При этом характерные частоты флуктуаций, возникающих за счет микронеоднородностей, будут гораздо выше частот, обусловленных наличием макронеоднородностей. Поэтому для глобального описания неоднородностей можно предложить следующее соотношение: A(x) = u0 (x) + [uk (x) cos ωk x + vk (x) sin ωk x] . (1) k Здесь функция u0 (x) описывает тренд исследуемой механической характеристики, т. е. макронеоднородность, а выражение под знаком суммы — её микроструктурные флуктуации. Функции uk (x) и vk (x) изменяются так же медленно, как и u0 (x). Они предназначены для описания тренда амплитуд микроструктурных флуктуаций. Пусть теперь из глобального стержня вырезан образец длиной l, соответствующий отрезку [a, a + l] (см. рис. 1). При этом предполагается, что величина l значительно больше, чем характерная длина волны микронеоднородностей, т.е. число ωk l/2π является большим. С другой стороны, длину l будем считать достаточно малой для того, чтобы зафиксировать тренд. Тогда в (1) функции u0 (x), uk (x) и vk (x) можно приближенно считать не зависящими от x (x ∈ [a, a + l]): A(x) = u0 (x) + (uk cos ωk x + vk sin ωk x) , k x ∈ [a, a + l]. (2) Очевидно, что величины u0 (x), uk (x) и vk (x) зависят от того места, где вырезан образец, т.е. от величины a (см. рис. 1). Если местоположение образцов выбирать случайно, то указанные величины будут восприниматься по отношению к набору образцов тоже как случайные. С помощью (2) нетрудно найти эффективное (среднее) значение исследуемой механической характеристики для выбранного образца (x ∈ [a, a + l]): 1 l a+l A(x)dx = u0 (x) + a k 1 [uk sin ωk (a + l) − uk sin ωk a− ωk l −vk cos ωk (a + l) + vk cos ωk a] ≈ u0 , поскольку числа ωk l считаются большими. 56 Оценка над¨жности элементов конструкций в условиях ползучести . . . е Таким образом, для описания макронеоднородностей достаточно рассматривать лишь величину u0 , причем для набора образцов она будет восприниматься при статистическом исследовании как случайная величина, закон распределения которой зависит от формы кривой, выражающей тренд. Другими словами, кусочно-непрерывная функция тренда аппроксимируется кусочнопостоянной функцией на отрезках длиной l (l — длина образца). 1. Стохастическая модель растягиваемого образца. Исходя из вышеизложенного основной вариант стохастической модели ползучести для растягиваемого одноосного образца принимается в виде [10] p = u + v + w; s uk (t), u(t) = k=1 s v(t) = vk (t), m u˙k (t) = λk [Ak σ0 − uk (t)] ; m m λk [Bk (σ0 − vk (t))] , Bk σ0 vk (t), m < v (t); 0, Bk σ0 k vk (t) = ˙ k=1 w(t) = Cσ n ; ˙ σ = σ0 (1 + ω); (3) ω = ασ p. ˙ ˙ Здесь p — деформация ползучести; u, v, w — вязкоупругая, вязкопластическая и вязкая составляющие деформации ползучести (соответственно); σ0 и σ — соответственно номинальное и истинное напряжение; λk , Ak , Bk , C, n, m — константы модели, при помощи которых описывается первая и вторая стадии ползучести материала; ω — параметр повреждённости; α — параметр модели, контролирующий процесс разупрочнения материала на деформации ползучести, который является в общем случае функцией номинального напряжения σ0 и может быть аппроксимирован зависимостью α = L1 (σ0 )m1 , (4) где L1 и m1 — параметры аппроксимации (в частных случаях величина может и не зависеть от σ0 и тогда α = L1 ). При этом в (3), (4) случайными полагаются величины Ak , Bk , C, L1 , а остальные параметры являются детерминированными. Для определения времени до разрушения t = t∗ используется критерий разрушения энергетического типа t∗ 0 при этом σ dp = 1, A∗ C A∗ (σ0 ) = LA (σ0 )mA , C (5) (6) где mA — детерминированная, а LA — случайная величины. Таким образом, индивидуальные деформационные свойства конкретного образца определяются набором случайных величин Ak , Bk , C, L1 , LA , а стохастические свойства совокупности образцов — законами распределения этих случайных величин. Это означает, что каждая реализация кривой ползучести может быть описана при помощи задания конкретных значений величин: 57 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., К у б ы ш к и н а С. Н. Ak , Bk , C, L1 , LA , а их законы распределения устанавливаются процедурой идентификации этих параметров по всей совокупности экспериментальных кривых ползучести. Исходной информацией для построения стохастической модели (3)–(6) для простейшего конструктивного элемента — растягиваемого стержня — является серия экспериментальных кривых ползучести вплоть до разрушения, полученных при нескольких значениях номинального напряжения σ0 , при этом при каждом значении σ0 желательно иметь несколько экспериментальных реализаций. При наличии такой информации методика построения стохастической модели (3)–(6) состоит из следующих этапов: 1) c использованием осреднённых кривых ползучести при каждом значении σ0 , по методике работы [18] строится детерминированная модель, соответствующая (3)–(6), при этом случайные параметры Ak , Bk , C, L1 , LA заменяются на детерминированные величины ak , bk , c, α1 , αA соответственно, которые фактически являются математическими ожиданиями для соответствующих случайных величин; 2) далее осуществляется переход от детерминированной к стохастической модели (3)–(6), но параметры n, m, λk , m1 , mA берутся из детерминированной модели, а случайные параметры Ak , Bk , C, L1 , LA подлежат идентификации; 3) по методике [10] производится вычисление (оценка) величин Ak , Bk , C, L1 , LA для каждой реализации при всех значениях σ0 = const, т.е. фактически строятся выборки всех пяти случайных величин, после чего устанавливаются законы их распределений; 4) зная законы распределения случайных величин, теоретически, на основании модели (3)–(6), можно прогнозировать деформацию ползучести стержневого элемента конструкции и время до разрушения в вероятностном аспекте при любом законе изменения напряжения σ0 = σ0 (t), а также использовать методы оценки надёжности по параметрическим критериям отказа, разработанным, например, в [2]. 2. Оценка надёжности стержневого элемента по деформационному критерию отказа. Основная проблема использования модели (3)–(6) состоит в её физической и стохастической нелинейности. Поэтому одним из подходов её решения является использование метода Монте—Карло, который хорошо зарекомендовал себя, в частности, в работах [3, 8, 10, 19–22]. Однако он требует большой трудоемкости и представительной выборки экспериментальных данных по ползучести и длительной прочности материала, получение которых представляет определенные трудности. Для применения аналитических подходов требуется линеаризация стохастической модели, что позволяет успешно применять разработанный В. В. Болотиным [2] аппарат оценки надёжности через вероятность безотказной работы. Так, в результате линеаризации системы (3)–(6) в [23] предложен метод оценки надёжности стержневого элемента из стохастически неоднородного материала в условиях первой и второй стадий ползучести по деформационному критерию отказа, а в работах [9, 24] сделана попытка обобщения данного подхода для оценки надёжности с учётом третьей стадии (но без учёта первой стадии ползучести). Не нарушая методологичексой общности вопроса, выполним линеаризацию основной стохастической модели (3)–(6) без учета первой стадии ползу58 Оценка над¨жности элементов конструкций в условиях ползучести . . . е чести, т.е. полагая u(t) = v(t) = 0. Тогда, после введения дополнительных гипотез относительно структуры случайных функций (4) и (6) вида m1 = 0 и mA = 0 система (3)–(6) принимает вид p = Cσ n (t), ˙ σ(t) = σ0 (t)(1 + ω(t)), ω(t) = ασ(t)p(t); ˙ ˙ ω(0) = 0, p(0) = 0, t∗ 0 σdp = 1, A∗ C (7) (8) (9) где C, α = L1 и A∗ — случайные величины, а n — детерминированная велиC чина. Решение системы (7) с условиями (8) при σ0 (t) = σ0 = const имеет вид p(t) = − 1 n+1 ln 1 − nσ0 αCt . nασ0 (10) Уравнение (10) является стохастически нелинейным, следовательно, его нельзя использовать в существующей методике оценки надёжности для стохастически линейных моделей, предложенной в [23]. Следовательно, необходимо выполнить линеаризацию (10). Формальное разложение в ряд Тейлора нерационально, так как логарифмический ряд сходится крайне медленно и в соответствующем ряде для достижения заданной точности необходимо удерживать большое количество членов с последующей стохастической оценкой каждого члена при степенях t. Поэтому в настоящей работе применяется метод аппроксимации функции ln(1 − x) степенными полиномами с использованием интегрального метода наименьших квадратов. В работе [9] показано, что достаточно ограничиться полиномами четвертой степени, при этом наилучшая аппроксимация имеет вид ln(1 − x) = −x + a1 x2 + a2 x3 + a3 x4 , (11) где a1 = −0,91048; a2 = 1,90612; a3 = −3,06057. Там же показано, что при величине среднеквадратической погрешности δ = 5 · 10−4 количество членов формального разложения в ряд Тейлора для функции y = ln(1 − x) равно двенадцати, в то время как в аппроксимации (11) — всего четырём. Таким образом, функцию (10) в дальнейшем будем аппроксимировать выражением (11) с приведёнными значениями величин ai (i = 1, 2, 3), т. е. при σ0 = const имеем 2n+1 2 3n+2 3 n p(t) = cσ0 t + 0,911c2 αnσ0 t − 1,906c3 α2 n2 σ0 t + 4n+3 4 + 3,061c4 α3 n3 σ0 t . (12) Наличие аналитической зависимости (12) позволяет теперь рассмотреть вероятностные методы оценки прочностной надёжности, например, по деформационному критерию отказов, для простейшего конструктивного элемента — стержня. Основной количественной характеристикой надёжности является вероятность безотказной работы. Она в данном случае определяет вероятность того, что во всех точках материала элемента конструкции выполняется условие прочности p(t) p∗ , 59 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., К у б ы ш к и н а С. Н. где p∗ — назначенный ресурс по предельно допустимой накопленной деформации ползучести. Функция надёжности P (t), описывающая вероятность безотказной работы на отрезке [0, t], равна вероятности пребывания случайной функции p(t) в допустимой области (0, p∗ ) на этом отрезке времени [2, 9]: P (t) = P {p(τ ) ∈ (0, p∗ ), τ ∈ [0, t]} . (13) В связи с тем, что согласно модели (7), (8) деформация ползучести является неубывающей функцией, функция p(t), покинув в некоторый момент времени область (0, p∗ ), затем в эту область возвратиться не может. Поэтому для вероятности безотказной работы P (t) на отрезке времени [0, t] имеет место более простая формула [2, 9]: P (t) = P {p(t) ∈ (0, p∗ )} . В отличие от общего случая (13), когда вычисление случайной функции требует рассмотрения выбросов случайного процесса, здесь достаточно вычислить вероятность нахождения случайной функции p(t) в заданной области в рассматриваемый момент времени. Применим изложенную выше методику к оценке надёжности единичного стержня при σ0 (t) = σ0 = const, деформация которого описывается моделью (7), (8) и задаётся соотношением (12). Для оценки надёжности необходимо знать математическое ожидание и дисперсию величины p = p(t), которые находятся с использованием разложения (12). Тогда для математического ожидания имеем M [p] = A1 M [C] + A2 M [C 2 α] + A3 M [C 3 α2 ] + A4 M [C 4 α3 ], (14) а дисперсия деформации p(t) определяется по классической формуле 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Sp (t) = M0 Sc + M1 Sc2 α + M2 Sc3 α2 + M3 Sc4α3 + + 2 M0 M1 Kc,c2α + M0 M2 Kc,c3 α2 + M0 M3 Kc,c4 α3 + +M1 M2 Kc2 α,c3 α2 + M1 M3 Kc2 α,c4 α3 + M2 M3 Kc3 α2 ,c4 α3 . (15) 2 2 2 2 2 Здесь M [·] — оператор математического ожидания; Sp , Sc , Sc2α , Sc3 α2 , Sc4 α3 — дисперсии соответствующих параметров; Kc,c2 α , Kc,c3 α2 , Kc,c4 α3 , Kc2 α,c3 α2 , 2n+1 2 n t , Kc2 α,c4 α3 , Kc3 α2 ,c4 α3 — корреляционные моменты; A1 = σ0 t, A2 =0,911nσ0 3n+2 3 4n+3 4 2σ 3σ A3 = −1,906n 0 t , A4 = 3,061n 0 t . Для реализации методики необходимо «наполнение» соответствующих формул реальными экспериментальными данными. Для апробации методики использовались экспериментальные данные [6, 25] по ползучести при чистом растяжении для 21 образца из одной плавки нержавеющей стали 12Х18Н10Т при температуре 850 ℃. Образцы испытывались на ползучесть при чистом растяжении вплоть до разрушения. Номинальные напряжения σ0 принимали значения 39,24; 49,05; 58,86; 78,48 МПа. Результаты эксперимента представлены в табл. 1. Здесь p0 = p(0 + 0) — начальная скорость установившейся ˙ ˙ ползучести, t1 и p1 — экспериментальные значения времени и деформации ползучести в момент разрушения. 60 Оценка над¨жности элементов конструкций в условиях ползучести . . . е Таблица 1 Результаты эксперимента и результаты расчёта случайных величин C, α п/п № обр. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5 11 16 13 30 32 24 22 23 27 26 29 28 15 31 17 7 14 21 39 37 39,24 49,05 58,86 78,48 p˙0 , час−1 t1 , час p1 C · 109 α A∗ C 0,00080 0,00081 0,00080 0,00084 0,00084 0,00081 0,0023 0,0019 0,0019 0,0019 0,0021 0,0017 0,0014 0,0037 0,0027 0,0023 0,0023 0,0033 0,0023 0,0110 0,0045 σ0 , МПа 35 40 47 66 67 68 18 20,5 21,5 22,5 24 28 30 6,7 14 15 16 20 20,5 6 6 0,048 0,085 0,152 0,234 0,110 0,125 0,080 0,090 0,110 0,093 0,130 0,120 0,080 0,065 0,047 0,073 0,050 0,170 0,090 0,130 0,118 6,365 6,435 6,365 6,673 6,673 6,435 8,947 7,391 7,391 7,391 8,169 6,613 5,446 8,031 5,861 4,992 4,992 7,163 4,992 9,510 3,890 0,198 0,223 0,208 0,142 0,111 0,124 0,119 0,141 0,143 0,125 0,114 0,120 0,117 0,194 0,051 0,127 0,069 0,073 0,087 0,048 0,146 2,277 4,932 11,820 18,916 5,537 6,751 4,951 6,061 8,134 6,137 9,312 8,558 4,983 5,701 2,968 5,691 3,266 14,758 6,737 13,177 18,796 Значения C и α находятся по результатам экспериментов для каждого образца (каждой реализации) при n = 3,2 (определено в [6, 25]), при этом величина C в соответствии (7) определяется из соотношения n C = p˙0 /σ0 . После нахождения величины C значение α для каждой кривой ползучести определяется из условия прохождения графика через точку разрушения (p1 , t1 ), т.е. из решения уравнения (10) относительно α при известных p(t1 ) = = p1 , t = t1 , C, σ0 , n. После определения C и α по формуле (5) рассчитывается величина работы разрушения A∗ для каждой реализации при фиксированC ных σ0 . Результаты расчётов величин C, α и A∗ представлены в табл. 1. C Анализ этих данных позволяет ввести гипотезы, согласно которым в (4) и (6) можно положить m1 = 0 и mA = 0 соответственно. Поскольку выборки случайных величин C и α известны, не составляет труда найти выборки случайных величин C 2 α, C 3 α2 и C 4 α3 , а затем математические ожидания, дисперсии и коэффициенты корреляции случайных величин C, α, A∗ , C 2 α, C 3 α2 , C 4 α3 . Результаты вычислений представлены в C табл. 2 и 3. Далее с использованием полученных данных конкретизируются функции для математического ожидания и дисперсии (формулы (14) и (15) соответственно). При известных математическом ожидании и дисперсии вычисляется вероятность безотказной работы P (t), при этом величина критической (допустимой) деформации p∗ в модельных расчётах полагается равной 0,04: P (t) = √ 1 2πSp(t) 0,04 exp 0 −(x − M [p(t)])2 2 2Sp(t) dx. (16) 61 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., К у б ы ш к и н а С. Н. Таблица 2 Математические ожидания и дисперсии случайных величин Случайная величина C α C2α C 3 α2 C 4 α3 A∗ C −9 −18 −27 −36 Мат. ожидание 6,65 · 10 0,128 5,80 · 10 5,86 · 10 6,58 · 10 7,442 Дисперсия 1,80 · 10−18 0,002 8,28 · 10−36 2,32 · 10−53 5,52 · 10−71 9,477 Таблица 3 Корреляционная матрица случайных величин C C 2 α C 3 α2 C 4 α3 A∗ C C 1 0,618 0,455 0,367 0,007 C 2α 1 0,966 0,908 −0,201 C 3 α2 1 0,984 −0,271 C 4 α3 1 −0,294 A∗ 1 C На рис. 2 в качестве примера приведена функция P (t), полученная при σ0 = 39,24 МПа. В табл. 4 приведены расчётные значения времени отказа (tрасч ) по всей совокупности образцов с вероятностями 0,9; 0,95 и 0,99. Здесь же представлены экспериментальные значения времени отказа (tэксп ) для каждой реализации (время, при котором конкретная реализация достигает значения p∗ = 0,04). При этом значения tэксп определялись из графиков, приведенных в [25]. Как следует из анализа данных табл. 4, при уровне вероятности 0,99 все экспериментальные Рис. 2. Вероятность безотказной работы P (t) значения (правый столбец таблицы) растягиваемого стержня при σ0 = 39,24 МПа лежат правее времени безотказной Таблица 4 работы, вычисленного по формуле Примеры расчёта вероятности безотказ- (16), при значениях вероятности 0,95 и 0,9 имеются экспериментальные ной работы значения времени безотказной рабоσ0 P (t) tрасч , час tэксп , час ты, которые лежат левее расчётного 0,99 24,5 32,9; 29; значения, т.е. имеются «выбросы» из 39,24 0,95 26,5 28,4; 28,4; расчётного значения ресурса. Поэто0,9 27,7 32,9; 29,7 му в прикладных расчётах рекомен0,99 11 12; 13,55; дуется использовать величину веро11,9 14,2; 15,2; 20; 49,05 0,95 0,9 12,4 13,55; 13,55 ятности 0,99. 0,99 5,7 6; 10,3; Таким образом, разработанный 58,86 0,95 6 11,7; 12,8; подход позволяет аналитическими 0,9 6,3 13,5; 14,5 методами прогнозировать величину 0,99 1,94 назначенного ресурса для стержня 78,48 0,95 2 3,14; 4,2 по деформационному критерию от0,9 2,15 каза. 3. Обобщённая стохастическая модель ползучести и длительной прочности элемента конструкций. Во введении данной статьи отмечалась возможность построения обобщённой реологической модели элемента конструкции с использованием формальной аналогии кривых одноосной ползучести и кривых деформирования элементов конструкций в координатах «обобщённое перемещение — время» при фиксированном внешнем воздействии. Однако ввиду большого разнообразия элементов конструкций сразу же 62 Оценка над¨жности элементов конструкций в условиях ползучести . . . е возникает вопрос о том, какой должна быть для них структура определяющих соотношений и методология их построения; какие ограничения кинематического и силового характера должны выполняться. Введём понятие пропорционального нагружения. Пусть обобщённая плотность поля внешних нагрузок задаётся формулой α(¯, t) = αV (¯, t) + αs (¯s , t)δ(r − rs ) + ¯ r ¯ r ¯ r i αi (¯i , t)δV (¯ − ri ), ¯ r r ¯ (17) где r — радиус-вектор рассматриваемой точки; αV (¯, t) — объёмная плотность ¯ ¯ r нагрузки; αs (¯s , t) — поверхностная плотность нагрузки, заданная на поверх¯ r ности rs = rs (φ, θ) (φ, θ — углы в сферической системе координат); δ(r) — дельта-функция Дирака скалярного аргумента; αi (¯i , t) — сосредоточенная си¯ r ла в точке r = ri ; δV (¯) — «объёмная» дельта-функция Дирака векторного ¯ ¯ r аргумента. Таким образом, в формуле (17) учитываются три вида нагрузок: распределенные по объёму, по поверхности, а также сосредоточенные силы. Будем называть нагружение пропорциональным, если обобщённая плотность (17) имеет вид α(¯, t) = αV (¯V ) + αs (¯s )δ(r − rs ) + ¯ r ¯ r ¯ r i αi (¯i )δV (¯ − ri ) q(t) = ¯ r r ¯ = α0 (¯)q(t). (18) ¯ r Обозначим через p(¯, t) поле перемещений, заданное во всех точках, где ¯r действует нагрузка (17). Поле перемещений будем называть пропорциональным, если ¯r p(¯, t) = β(¯)ε(t). ¯r (19) Для многих краевых задач выполнение (19) автоматически следует из кинематических гипотез, накладываемых на перемещения. В качестве примера можно привести гипотезу плоских сечений при чистом изгибе балки или раздаче толстостенного цилиндра при действии внутреннего давления, гипотезу прямых радиусов при кручении вала. Соотношение (19) с высокой точностью будет выполняться для элементов конструкций с локализованной внешней нагрузкой. Действительно, если объёмные силы отсутствуют, то выполнение условия (19) надо контролировать лишь на поверхности, где действуют поверхностные силы, или в точках приложения сосредоточенных усилий, т. е. пропорциональность перемещений должна проверяться лишь на нагруженной части граничной поверхности. Вычислим работу, совершаемую внешними нагрузками (18) на перемещениях (19): t A(t) = 0 V α(¯, τ )dτ p(¯, τ )dV − ¯ r ¯r или t α0 (¯)β(¯)dV ¯ r ¯r V q(τ )dε(τ ) 0 t A(t) = c∗ q(τ )dε(τ ), (20) 0 63 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., К у б ы ш к и н а С. Н. где c∗ — величина интеграла по пространственным координатам. Из (20) следует, что при выполнении условий (18) и (19) работа внешних нагрузок с точностью до константы записывается так же, как для одноосного растяжения стержня. При этом роль «напряжения» играет q(t), а ε(t) — роль «деформации». Далее величина q(t) будет называться обобщённой нагрузкой, а ε(t) — обобщённым перемещением. Выражение (20) позволяет ввести гипотезу: исследование деформирования элемента конструкций, для которого выполняются условия (18), (19), следует вести в соответствии с методологией, разработанной в случае одноосного напряженного состояния для растягиваемого стержня. В связи с изложенным в качестве определяющих уравнений, связывающих ε и q, используем уравнения (3)–(6) с заменой σ на q, а под ε будем понимать обобщённое перемещение: ε = e + p, e = q/G, p = u + v + w; s u(t) = uk (t), k=1 s vk (t), v(t) = m u˙k (t) = λk [Ak q0 − uk (t)] ; m m vk (t), λk [Bk (q0 − vk (t))] , Bk q0 m 0, Bk q0 < vk (t); vk (t) = k=1 w(t) = Cq n ; ˙ q = q0 (1 + ω); ω = αq p; ˙ ˙ (21) α = L1 (q0 )m1 . Здесь ε — полное обобщённое перемещение; e — упругая компонента ε; p — компонента обобщённого перемещения, вызванная ползучестью; u, v, w — вязкоупругая, вязкопластическая и вязкая составляющие p соответственно; G — интегральная (либо локальная) упругая податливость в заданной точке; q0 и q — соответственно номинальное и истинное значение обобщённой нагрузки;Ak , Bk , C, L1 — случайные величины; λk , n, m, m1 — детерминированне параметры; ω — параметр повреждённости. В частных случаях может выполняться α = L1 (в последнем соотношении (21) величина m1 = 0). Величину «фиктивной» (истинной) нагрузки q можно трактовать следующим образом. В процессе неупругого деформирования конструктивного элемента происходит накопление поврежденности (появление микротрещин, микропор и т.п.), что ведет к увеличению величины обобщённой плотности поля внешних нагрузок при q0 = const. Поэтому, записывая кинетику для обобщённой плотности α(¯, t) с учетом микроповрежденности в виде ¯ r α(¯, t) = α1 (¯, t)(1 + ω), ¯ r ¯ r где α1 (¯, t) — обобщённая плотность внешних нагрузок в неповрежденном со¯ r стоянии, ω — параметр повреждённости, из (18) сразу получаем соотношение q = q0 (1 + ω). В качестве критерия разрушения (локального или интегрального) конструктивного элемента формально можно использовать соотношение типа (5), записанное для обобщённых перемещений и нагрузок: t∗ 0 64 q(t) dp = 1, A∗ (q0 ) C (22) Оценка над¨жности элементов конструкций в условиях ползучести . . . е где t∗ — время разрушения; A∗ (q0 ) в общем случае имеет вид C A∗ (q0 ) = LA (q0 )mA C и имеет тот же смысл, что и в (5). Здесь LA — случайная, а mA — детерминированная величины. В частных случаях возможно выполнение mA = 0, т. е. A∗ = LA . C Конечно, далеко не все практически важные задачи исчерпываются случаем (18). Поле внешних нагрузок может иметь несколько степеней свободы, и тогда следует рассматривать нагрузки вида α = α0 (¯, q1 (t), q2 (t), . . . , qm (t)) . ¯ ¯ r Теперь обобщённая нагрузка представляет собой векторную величину x(t) = (¯, q1 (t), q2 (t), . . . , qm (t)) . r Анализ поля внешних нагрузок с несколькими степенями свободы для элемента конструкции может иметь аналогию с использованием поведения материала при сложном напряженном состоянии. Однако прямое перенесение на элемент конструкции уравнений для материала в условиях сложного напряженного состояния проблематично, поскольку требует дополнительных исследований. Поэтому в дальнейшем ограничимся случаем однопараметрического нагружения. 4. Обобщённая стохастическая модель неупругого деформирования и разрушения толстостенной трубы при действии внутреннего давления. В качестве иллюстрации предложенного подхода рассмотрим пример построения обобщённой стохастической модели ползучести толстостенной трубы с внутренним радиусом R1 и внешним R2 , нагруженной внутренним давлением q. Роль обобщённой силы q обобщённой модели конструкции (21), (22) играет внутреннее давление, а в качестве обобщённого перемещения ε можно выбрать окружную деформацию, например, на внутренней поверхности трубы εθ , связанной с реальным перемещением соотношением Ur = R1 εθ (используется классическая цилиндрическая система координат θ, r, z) К моделированию стохастических свойств специфического «образца» (толстостенной трубы) применим подход, аналогичный случаю одноосного образца (см. рис. 1) Учитывая тренд механических свойств материала, будем считать, что в пределах одного «образца» (толстостенной трубы конечной длины) случайные механические характеристики принимают конкретные значения, которые, однако, изменяются при переходе к другому «образцу». Тогда в модели (21) для конкретного «образца» (толстостенной трубы) случайные параметры принимают также конкретные значения, но в каждом «образце» — разные. Статистические оценки этих параметров можно найти обработкой соответствующих «выборок». Таким образом, методика построения стохастической обобщённой модели конструкции (21), (22) полностью аналогична методике построения стохастической модели для одноосного образца (3)–(6), и если для модели (3)–(6) исходными данными являлись экспериментальные кривые одноосной ползучести в координатах «деформация ползучести – время» при σ0 = const, то 65 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., К у б ы ш к и н а С. Н. для «образца» (толстостенной трубы) такой информацией являются обобщённые кривые ползучести в координатах «окружная деформация εθ – время t» при q0 = const, получить которую можно либо экспериментально, либо из решения соответствующей краевой задачи для толстостенной трубы по известным стохастическим соотношениям для материала, из которого изготовлена труба. Если имеется возможность получения необходимой статистической информации путём эксперимента над толстостенными «образцами», то тогда стохастическая информация о свойствах материала вообще не нужна. Однако этот путь — трудоёмкий и в условиях ползучести практически неосуществимый. Поэтому в настоящей работе соответствующая статистическая информация получена в результате численного эксперимента решением соответствующей краевой задачи о ползучести толстостенной трубы на основании известной информации о материале, методика решения которой детально изложена в работах [18, 26]. В качестве модельного примера использована толстостенная труба c внутренним R1 = 13 мм и внешним R2 = 16 мм радиусами из стали 12Х18Н10Т при температуре 850 ℃, поскольку все статистические свойства этого материала приведены в п. 1. Так как первая стадия ползучести у этой стали отсутствует, то и первой стадией у обобщённой модели трубы, вызванной перераспределением напряжений по радиусу, можно пренебречь в силу ее малости. Тогда, полагая в (21) u = v = 0 и q∗ = 1, для обобщённой реологической модели трубы (аналогично (7)–(9)) получим pθ (t) = Cq n (t); q = q0 (1 + ω); ˙ t∗ 0 ω = αq pθ , ˙ ˙ q(t)dpθ (t) ˙ = 1, ∗ AC (23) где pθ (t) — окружная компонента деформации ползучести на внутреннем радиусе r = R1 ; α = L1 (q0 )m1 , A∗ (q0 ) = LA (q0 )mA . (24) C В соответствии с изложенной выше методикой (п. 1) для определения детерминированных параметров n, m1 , mA модели (23), (24) получены стационарные обобщённые кривые ползучести в координатах «окружная деформация ползучести pθ – время t» при фиксированных значениях давления q0 = = {6,5; 8,2; 10,23; 12,28; 16; 37} МПа и усреднённых значениях параметров модели материала: c, α, A∗ (см. табл. 2) на основании решения краевой задачи о C ползучести толстостенной трубы по методике [18, 26], которые представлены на рис. 3 сплошными линиями. По этим данным численного эксперимента построена детерминированная обобщённая модель толстостенной трубы со следующими значениями параметров n = 3,05, m1 = 0, mA = 0, c = 1,34 · 10−6 , α = 0,6; A∗ = 1,7. Данные расчёта по детерминированной обобщённой моC дели (23), (24) при стационарных режимах нагружения приведены на рис. 3, а при нестационарных режимах — на рис. 4 штриховыми линиями, при этом наблюдается хорошее их согласование с данными численного эксперимента на основе решения краевой задачи. Для построения стохастической модели также выполнен численный эксперимент следующего характера. Так как по вышеизложенному случайные 66 Оценка над¨жности элементов конструкций в условиях ползучести . . . е свойства параметров C, α = L1 и A∗ модели материала (7)–(9) в предеC лах одного «образца» (толстостенной трубы) имеют постоянные значения, но изменяются случайным образом от одного образца к другому, то с использованием статистической информации (табл. 1 и 2) для модели материала генерировались выборки случайных величин C, α и A∗ , для каждой из котоC рых решалась условно «детерминированная» краевая задача для толстостенной трубы при фиксированных значениях давления q0 = const. Для каждого уровня нагрузки q0 = {5,5; 6,5; 8,2} МПа расчётным путём получено по 21 реализации обобщённых кривых ползучести. В частности, в качестве примера на рис. 5 приведены результаты генерации реализаций при двух уровнях внутреннего давления. По данным статистической информации (63 реализации) аналогично случаю одноосного растяжения (п. 1) определены значения случайных параметров C, α = L1 и A∗ = LA для каждой реализации, выC числены математические ожидания и дисперсии этих случайных параметров. Тем самым и заканчивается построение обобщённой стохастической модели (23), (24) для данного конкретного случая. Рис. 3. Расчётные обобщённые кривые ползучести толстостенной трубы из стали 12Х18Н10Т при температуре 850 ℃ в координатах «окружная деформация ползучести – время»: сплошные линии — решение краевой задачи; штриховые линии — расчёт по модели (23), (24); цифры: 1 — q0 = 6,5 МПа; 2 — q0 = 8,2 МПа; 3 — q0 = 10,23 МПа; 4 — q0 = = 12,28 МПа; 5 — q0 = 16,37 МПа а Рис. 4. Расчётные обобщённые кривые ползучести толстостенной трубы из стали 12Х18Н10Т при температуре 850 ℃ в координатах «окружная деформация ползучести – время» при переменных режимах нагружения: сплошные линии — решение краевой задачи; штриховые линии — расчёт по модели (23), (24); цифры: 1 — q0 = 6,5 МПа; 2 — q0 = 8,2 МПа; 3 — q0 = 10,23 МПа; 4 — q0 = = 12,28 МПа; 5 — q0 = 16,37 МПа б Рис. 5. Обобщённые кривые ползучести толстостенной трубы из стали 12Х18Н10Т при температуре 850 ℃ в координатах «окружная деформация ползучести – время» в условиях квазистатического нагружения: а) q0 = 6,5 МПа; б) q0 = 8,2 МПа 67 Р а д ч е н к о В. П., Ш е р ш н е в а М. В., К у б ы ш к и н а С. Н. 5. Применение обобщённой стохастической модели к оценке надёжности толстостенной трубы. Сравнивая стохастическую одномерную модель для растягиваемого стержня (7)–(9) и обобщённую стохастическую модель для толстостенной трубы (23), (24), можно убедиться в их идентичности, т.е. модель (23), (24) может быть получена из (7)–(9) заменой σ0 на q0 , σ на q и p на pθ . Таким образом, разработанную в пункте 2 методику оценки надёжности для стержневого образца можно формально перенести и на оценку надёжности толстостенной трубы. Для рассматриваемого конкретного примера трубы из стали 12Х18Н10Т при температуре 850 ℃, используя формулы типа (14) и (15), определялись соответственно математическое ожидание и дисперсии величины pθ по 63 реализациям, а далее по формуле типа (16) находилась вероятность безотказной работы по деформационному критерию, при этом величина допустимой окружной деформации p∗ полагалась равной 0,05. В θ табл. 5 приведены результаты расчёта времени безотказной работы tрасч при трёх уровнях вероятности для трёх значений внутреннего давления q0 , полученные на основании обобщённой модели трубы (23), (24), а также значения времени tэксп достижения конкретными реализациями значения p∗ = 0,05, поθ лученные в результате численного эксперимента на основе решения краевой задачи. Таблица 5 Примеры расчёта времени отказа толстостенной трубы по деформационному критерию при различных значениях вероятности q0 , МПа 8,2 6,5 5,5 P (t) tрасч , час tэксп , час 0,99 0,95 0,9 0,99 0,95 0,9 0,99 0,95 0,9 29,7 32,1 33,7 68,8 74,9 78,7 115,3 125,9 132,5 68; 41; 91; 61; 47; 42; 38; 49; 48; 58; 46; 30; 38; 35; 69; 37; 43; 41; 61; 31; 44 70; 79; 87; 85; 153; 93; 122; 93; 100; 100; 100; 162; 137; 112; 91; 117; 89; 75; 88; 113; 116 180; 179; 258; 176; 322; 153; 205; 259; 118; 139; 160; 202; 160; 118; 141; 212; 167; 178; 189; 161; 219 Из анализа табл. 5 следует, что для вероятности P (t) = 0,9 по два образца для каждого режима нагружения не удовлетворяют назначенному ресурсу tрасч (tэксп лежит левее tрасч ); для P (t) = 0,95— по два образца при q0 = 8,2 и q0 = 5,5 МПа и один при q0 = 6,5 МПа, а уже при вероятности P (t) = = 0,99 времена отказа всех конкретных реализаций лежат правее tрасч , т. е. попадают в область назначенного ресурса. Выводы. Выполненные исследования обосновывают целесообразность разработки обобщённых стохастических моделей элементов конструкций, демонстрируют эффективность их применения для оценки надёжности конструкций по параметрическим (деформационным) критериям отказа в условиях ползучести. На конкретных примерах показано, что рекомендуемая вероятность должна составлять величину порядка 0,99. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 10–01–0064-a).

About the authors

Vladimir P Radchenko

Samara State Technical University

Email: radch@samgtu.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Mariya V Shershneva

Samara State Technical University

Email: mary-sofya@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Svetlana N Kubyshkina

Samara State Technical University

Email: kubsn@yandex.ru
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files