Cyclic loading of three-layer beam in a temperature field

Abstract


The deformation of three-layer elastoplastic beam under the cyclic loading in a temperature field is considered. For the description of kinematics of asymmetrical on the package thickness beam the hypotheses of broken normal are accepted. The method of solving the corresponding boundary-value problems is given. The analytical solutions of thermoelasticity and thermo-elasto-plasticity problems under the direct and reverse loading are received. The numeric analysis is conducted.

Full Text

Введение. Слоистые элементы конструкций нашли широкое применение в авиа-, ракето-, приборостроении и строительстве, поэтому разработка методик решения соответствующих краевых задач является актуальной проблемой. Исследованию напряжённо-деформированного состояния неоднородных элементов конструкций посвящены многие публикации, в том числе [1–4]. В рамках теории малых упругопластических деформаций [5] в монографии [6] рассмотрено циклическое деформирование однородных элементов конструкций. 1. Постановка краевой задачи при прямом нагружении. Рассмотрим трёхслойный стержень с жёстким заполнителем (рис. 1). Систему координат x, y, z свяжем со срединной плоскостью заполнителя. Принимаем, что в тонких несущих слоях 1, 2 справедливы гипотезы Кирхгофа, в жёстком несжимаемом по толщине заполнителе 3 нормаль остается прямолинейной, не изменяет своей длины, но поворачивается на некоторый дополнительный угол ψ(x), через w(x) и u(x) обозначены прогиб и продольное перемещение срединной плоскости заполнителя. На торцах предполагается наличие жёстких диафрагм, препятствующих относительному сдвигу слоев, на границах слоев — склейки. Температурное поле Tk в k-том слое рассматриваемого стержня считаем известным. С помощью введённых гипотез продольные перемещения в слоях u(k) выражаются через три искомые функции u(x), ψ(x) и w(x): u(1) = u + cψ − zw,x (c z c + h1 ), u(3) = u + zψ − zw,x (−c z c), u(2) = u − cψ − zw,x (−c − h2 z −c), (1) 147 Э. И. С т а р о в о й т o в, Д. М. С а в и ц к и й Рис. 1 где запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифференцирования по следующей за ней координате. Компоненты тензора деформаций следуют из соотношений Коши и выражений (1), напряжения — из закона Гука. Внутренние силы и моменты вводятся соотношениями 3 3 N (k) , M = N= k=1 N (k) (2) k=1 = b0 hk (k) M (k) , H = c(N (1) − N (2) ) + M (3) , Q = Q(3) , (k) σxx dz, M (k) = b0 hk (k) σxx zdz, Q (3) = b0 h3 (3) σxz dz, (3) где σxx , σxz — компоненты тензора напряжений, b0 — ширина сечения стержня, интегралы берутся по толщине hk каждого из слоёв. Пусть на рассматриваемый стержень, наружные несущие слои которого выполнены из упругопластического материала, а несжимаемый по толщине заполнитель — нелинейно-упругий, действует распределенная силовая нагрузка p (x), q (x), при этом соответствующие траектории нагружения относятся к классу простых [5]. Один штрих вверху здесь и в дальнейшем обозначает нагружение из естественного состояния. Для связи напряжений и деформаций используются соотношения термопластичности в форме [2]: (k) (k) sxx = 2Gk (Tk )f (k) (ε(k) , Tk )exx , u (k) (k) σ = 3Kk (Tk )(ε − αk Tk ) (k = 1, 2; i, j = x, y, z), (k) (3) (k) где sxx , exx — девиаторные, σ (k) , ε (k) — шаровые части тензоров напряжений и деформаций; Gk , Kk — термозависимые модули сдвига и объёмного деформирования; αk — коэффициент линейного температурного расширения; f (k) — функция пластичности Ильюшина при нагружении из естественного состояния f (k) (k) (ε(k) , Tk ) = u (k) (k) 1, εu εy (Tk ), (k) (ε (k) , T ), ε (k) > ε (k) (T ), 1−ω u u y k k (k) εu — интенсивность деформаций, εy — деформационный предел текучести (3) материала, εs — предел физической нелинейности материала заполнителя. 148 Циклическое нагружение трёхслойных стержней в температурном поле Выделим в напряжениях (3) упругие (индекс «e») и неупругие (индекс «ω») слагаемые: (k) (k)e (k)ω (3) (3)e (3)ω σxx = σxx − σxx , σxz = σxz − σxz , где (k)e = 2Gk exx + 3Kk (ε (k) − αk Tk ), σxx (k)ω = 2G3 exz ω (3) , σxx σxz (k) (k)ω (k)ω (3) = 2Gk exx ω (k) , = 2G3 exz ω (3) . σxz (k) (3) Проведя подобную операцию с внутренними усилиями (2), получим N (k) =N (k)e (k)ω , M ( k) = M (k)e σxx dz, N (k)ω −N (k)e −M (k)ω , Q (3) = Q (3)e − Q (3)ω , (4) где N M (k)e (k)ω = b0 = b0 hk = b0 hk (k)ω σxx zdz, Q (3)e = b0 (k)ω σxx dz, M c (k)e = b0 (3)e σxz dz, Q (3)ω = b0 hk (k)e σxx zdz, c (3)ω σxz dz. −c −c Уравнения равновесия трёхслойного стержня получим, используя принцип возможных перемещений Лагранжа (5) δA = δW, где l δA = b0 (p δu + q δw)dx 0 — вариация работы внешней поверхностной нагрузки. Вариация работы сил упругости учитывает работу касательных напряжений в заполнителе: l 3 δW = b0 0 k=1 hk (k) (k) σxx δεxx dz + 2 h3 (3) (3) σxz δεxz dz dx. (6) С помощью соотношений (1) вариации деформаций в (6) выражаются через вариации независимых перемещений δu, δψ и δw. Подставив полученные выражения в уравнение (5) и приравняв нулю коэффициенты при независимых вариациях, получим в итоге систему дифференциальных уравнений равновесия трёхслойного стержня в перемещениях: a1 u,xx + a6 ψ,xx − a7 w,xxx = −p + pω , a6 u,xx + a2 ψ,xx − a3 w,xxx − a5 ψ = hω (7) a7 u,xxx + a3 ψ,xxx − a4 w,xxxx = −q + qω , где для коэффициентов имеем 2 a1 = K1 + h1 + K2 + h2 + 2K3 + c, a2 = c2 K1 + h1 + K2 + h2 + K3 + c , 3 149 Э. И. С т а р о в о й т o в, Д. М. С а в и ц к и й 1 2 + 1 + a3 = c K1 + h1 c + h1 + K2 h2 c + h2 + K3 c2 , 2 2 3 1 2 1 2 2 + + + a4 = K1 h1 c2 + ch1 + h1 + K2 h2 c + ch2 + h2 + K3 c3 , 3 3 3 + a5 = 2G3 c, a6 = c[K1 + h1 − K2 h2 ], 1 1 4 + + a7 = K1 h1 c + h1 − K2 h2 c + h2 , Kk + = Kk + Gk . 2 2 3 Величины pω , hω , qω учитывают физическую нелинейность материалов слоёв и вычисляются по формулам, следующим из (4) и (5): pω = N ω = 4 b0 3 1 ω N, , b0 x 3 Gk k=1 1 1 (H,ω − Q ω ), qω = M,ω , x xx b0 b0 3 4 (k) (k) ωk εxx dz, M ω = b0 ωk εxx zdz, Gk 3 hk hk hω = c Q ω = 2b0 G3 (8) k=1 ω3 ψ dz. −c Система дифференциальных уравнений (7) нелинейная, поэтому для решения необходимо использовать приближённые методы, например, метод «упругих» решений Ильюшина. Предположим, что в (7), (8) содержится малый параметр, например, все ωk < 1. Тогда возможен метод итераций, при котором для любого n-ного приближения система уравнений (7) преобразуется к виду (n−1) (n) (n) (n) , a1 u,xx + a6 ψ,xx − a7 w,xxx = −p + pω (n−1) (n) (n) (n) a6 u,xx + a2 ψ,xx − a3 w,xxx − a5 ψ (n) = hω (n−1) (n) (n) (n) a7 u,xxx + a3 ψ,xxx − a4 w,xxxx = −q + qω (n−1) (n−1) , (9) . (n−1) Величины pω , hω , qω , соответствующие неупругим составляющим, на первом шаге (n = 1) принимаются равными нулю, а в дальнейшем вычисляются по результатам предыдущего приближения и носят название дополнительных «внешних» нагрузок. Они служат поправками на пластичность и физическую нелинейность материалов слоёв: 1 ω(n−1) 1 1 (n−1) (n−1) , hω = (H,ω(n−1) −Q ω(n−1) ), qω = M,ω(n−1) , N,x x xx b0 b0 b0 3 3 4 (k)(n−1) (k)(n−1) N ω(n−1) = N (k)(n−1) = b0 Gk ω (k) (εu )εxx dz, 3 hk (n−1) pω = k=1 3 M ω(n−1) = H M k=1 ω(n−1) (k)(n−1) = c(N 4 = b0 3 k=1 3 (k)(n−1) (k)(n−1) Gk ω (k) (εu )εxx zdz, k=1 hk (1)ω(n−1) (2)ω(n−1) Q ω(n−1) = 2b0 −N c )+M (10) (3)ω(n−1) (3)(n−1) G3 ω (3) (εu )ψ (n−1) dz. −c Применение метода упругих решений позволяет на каждом шаге приближения рассматриваемую задачу сводить к линейной задаче термоупругости с 150 Циклическое нагружение трёхслойных стержней в температурном поле дополнительными «внешними» нагрузками (10). Решение системы (9) можно выписать в следующем рекуррентном виде: (n) (n) ψ (n) (x) = C2 sh(βx) + C3 ch(βx)+ 1 + sh(βx) g (n) ch(βx)dx − ch(βx) g (n) sh(βx)dx , β 1 (n−1) (n) −a4 L−1 p − pω + u (x) = γ3 ψ (n) + 2 α2 a7 (n) 2 (n) (n) (n−1) +a7 L−1 q − qω + C1 x + C7 x + C8 , 3 2 1 (n−1) w (n) (x) = + α1 ψ (n) dx−a7 L−1 p − pω 3 α2 1 (n) (n−1) +a1 L−1 q − qω + a1 C 1 x 3 + 4 6 1 (n) (n) (n) + C4 x2 + C5 x + C6 , 2 (11) где L−1 , L−1 , L−1 , L−1 — линейные интегральные операторы, 1 2 3 4 L−1 (g) ≡ 1 gdx, α2 (n) (n−1) (n−1) (n−1) γ1 hω + γ2 p − p ω + γ1 q − qω dx + C1 , α1 a1 α1 a6 α2 − a7 α1 a1 a5 α2 γ1 = γ2 = , β2 = 2 > 0, 2, α2 α3 − α1 α2 α3 − α1 α2 α3 − α2 1 a3 a7 − a4 a6 γ3 = , α2 α3 − α2 = 0, α1 = a1 a3 − a6 a7 , 1 α2 α2 = a1 a4 − a2 , α3 = a1 a2 − a2 . 6 7 g (n) (x) = (n) (n) (n) Константы интегрирования C1 , C2 , . . . , C8 на каждом шаге приближения следуют из условий закрепления стержня. В случае жёсткой заделки левого конца стержня при свободном правом торце граничные условия следующие: x = 0 : w = w ,x = u = ψ = 0, x = l : M = M ,x = N = ψ = 0. 2. Повторное термосиловое нагружение. Пусть начиная с момента t1 осуществляется мгновенная разгрузка и повторное нагружение усилиями обратного знака p , q , изменяющимися по тому же закону, что и при нагружении из естественного состояния. Эти усилия создадут в стержне поле переме(k) (k) (k) (k) щений u , ψ , w , деформации εαβ , eαβ , ε (k) и напряжения σαβ , sαβ , σ (k) . При этом будем предполагать, что за время разгрузки и последующего переменного нагружения температура во всех точках тела остается неизменной, совпадающей с полем температуры к моменту начала разгрузки, т. е. T1 (z) = T (z, t1 ) и модули упругости приняли фиксированные значения Gk (z) ≡ Gk (T1 (z)), Kk (z) ≡ Kk (T1 (z)), причём соответствующие траектории нагружения по-прежнему относятся к классу простых. 151 Э. И. С т а р о в о й т o в, Д. М. С а в и ц к и й Введём для всех характеристик напряжённо-деформированного состояния и нагрузки разности, в которых величины с одним штрихом — напряжения, деформации и перемещения в стержне перед разгрузкой, двумя штрихами помечены аналогичные параметры в процессе второго полуцикла: (k)∗ (k)∗ (k)∗ (k) (k) σ (k)∗ = σ (k) − σ (k)∗ (k) (k) ε(k)∗ = ε (k) − ε (k) (k) sαβ = sαβ − sαβ , (k) (k) eαβ = eαβ − eαβ , σαβ = σαβ − σαβ , εαβ = εαβ − εαβ , u∗ = u − u , ψ∗ = ψ − ψ , q∗ = q − q , (k) , (k) , (12) w∗ = w − w , p∗ = p − p . Для величин в (12), отмеченных звёздочкой, примем физические уравнения состояния типа (3): (k)∗ (k)∗ sxx = 2Gk (Tk )f (k)∗ ε(k) , Tk exx , u (k) σ (k)∗ = 3K1 ε(k)∗ (k = 1, 2, 3). (13) Соответствующие универсальные функции нелинейности в несущих слоях полагаем выраженными через функции пластичности при нагружении из естественного состояния: f (k)∗ ≡ f (k) (k)∗ (k)∗ εu , εy , T1 , a∗ , m (k)∗ (k)∗ 1, εu εy , (k)∗ (k) (k)∗ 1 − ω (k)∗ εu , T1 , εu > εy , f (k)∗ ε(k) , T1 = u (k)∗ (k)∗ ω (k)∗ = ω (k) εu , εy , T1 , A∗ , α∗ , 1k 1k где A∗ , α∗ — экспериментальные параметры материала k-того слоя, входя1k 1k щие в соответствующую аппроксимационную формулу. Физическая нелинейность заполнителя на втором полуцикле в силу отсутствия в нём остаточных деформаций по-прежнему описывается соотношениями (3). Компоненты напряжений и деформаций со звёздочками, используя физические соотношения (13), представим в виде (k)∗ (k)e∗ (k)ω∗ σx = σx − σx , (3)∗ (3)e∗ (3)ω∗ σxz = σxz − σxz , (14) где (k)e∗ = 2Gk ex (3)e∗ = 2G3 exz , σx σxz (k)∗ (k)ω∗ = 2Gk ex (k)ω∗ = 2G3 exz ω (3)∗ . + 3Kk ε(k)∗ , σx (3)∗ σxz (k)∗ (k)∗ ω , (3)∗ Проведя подобную операцию с величинами типа внутренних усилий (2), итерационные уравнения (9) для величин со звёздочками записываем в виде (n)∗ (n)∗ (n)∗ (n)∗ (n)∗ (n)∗ (n)∗ (n)∗ (n−1)∗ a1 u,xx + a6 ψ,xx − a7 w,xxx = −p∗ + pω , (n−1)∗ a6 u,xx + a2 ψ,xx − a3 w,xxx − a5 ψ (n)∗ = hω (n)∗ (n−1)∗ a7 u,xxx + a3 ψ,xxx − a4 w,xxxx = −q ∗ + qω 152 . , (15) Циклическое нагружение трёхслойных стержней в температурном поле Рис. 2 Рис. 3 153 Э. И. С т а р о в о й т o в, Д. М. С а в и ц к и й Уравнения равновесия для величин со звёздочками в (15) с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (9) и отличается только отсутствием температурных слагаемых в (14). Поэтому аналитическое решение (15) будет иметь рекуррентный вид типа (11). Перемещения в процессе второго полуцикла получим из соотношений (12): u (x) = u (x) − u∗ (x), ψ (x) = ψ (x) − ψ ∗ (x), w (x) = w (x) − w∗ (x), где величины с одним штрихом — напряжения, деформации и перемещения перед разгрузкой. Числовые результаты получены для трёхслойного стержня, слои которого выполнены из материалов Д16Т–фторопласт–Д16Т. Для описания зависимости параметров упругости несущих слоёв от температуры принимаются известные соотношения [2, 3]. Здесь и далее параметры слоёв: h1 = h2 = 0,03, c = 0,09; интенсивность распределённой нагрузки q = −0,75 МПа, p = 0. Температура принята одинаковой во всех слоях стержня. Численные результаты продемонстрировали практическую сходимость метода итераций. За искомое решение принято восьмое приближение, которое отличается от предыдущего менее чем на 1 %. На рис. 2 показаны перемещения в трёхслойном упругопластическом стержне (a — прогиб, б — относительный сдвиг в заполнителе): 1 — упругие изотермические (T1 = 293 К), 2 — упругие термосиловые (T2 = 343 К), 3 — упругопластические изотермические (T1 = 293 К), 4 — упругопластические термосиловые (T3 = 343 К) перемещения. Здесь учёт физической нелинейности материалов слоёв повышает упругие расчётные перемещения на 20 %, при нагревании на 50 K — на 22 %. На рис. 3 кривые с одним штрихом соответствуют нагружению из естественного состояния, с двумя штрихами — повторный изгиб знакопеременной нагрузкой: 1 — перемещения упругого стержня, 2 — изотермическая упругопластичность, 3 — термоупругопластический изгиб (T = 343 К). Прогиб и сдвиг при повторном нагружении уменьшаются на 3–4 %, как при «холодной», так и при «горячей» пластичности, что объясняется циклическим упрочнением материала. Выводы. Таким образом, предложенная методика позволяет исследовать напряжённо-деформированное состояние трёхслойного физически нелинейного стержня при повторном знакопеременном нагружении в температурном поле. При этом решение новой краевой задачи строится по известному решению соответствующей задачи о нагружении из естественного состояния. Следует подчеркнуть, что приведённые решения справедливы только в области малых упругопластических деформаций при простых нагружениях.

About the authors

Eduard I Starovoitov

Belarusian State University of Transport

Email: edstar@mail.by
34, Kirova st., Gomel, 246653, Belarus
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Building Mechanics

Dmitriy M Savitskiy

Belarusian State University of Transport

Email: edstar@mail.by
34, Kirova st., Gomel, 246653, Belarus
Postgraduate Student, Dept. of Building Mechanics

References

  1. Плескачевский Ю. М., Старовойтов Э. И., Леоненко Д. В. Механика трёхслойных стержней и пластин, связанных с упругим основанием. М.: Физматлит, 2011. 560 с.
  2. Starovoitov E. I., Naghiyev F. B. Foundations of the Theory of Elasticity, Plasticity, and Viscoelasticity. Toronto, New Jersey, Canada, USA: Apple Academic Press, 2012. 346 pp.
  3. Горшков А. Г., Старовойтов Э. И., Леоненко Д. В. Колебания трехслойных стержней под действием локальных нагрузок различных форм // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2004. № 1. С. 45–52.
  4. Starovoitov E. I., Leonenko D. V. Deformation of a three-layer elastoplastic beam on an elastic foundation // Mech. Solids, 2011. Vol. 46, no. 2. Pp. 291–298.
  5. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.
  6. Москвитин В. В. Циклическое нагружение элементов конструкций. М.: Наука, 1981. 344 с.

Statistics

Views

Abstract - 8

PDF (Russian) - 4

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies